2.1.1倾斜角与斜率-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析）

倾斜角与斜率同步练习
一、选择题
直线l绕它与x轴的交点逆时针旋转π3，得到直线3x+y?3=0，则直线l的直线方程（ ）
A. x?3y?1=0 B. 3x?y?3=0
C. x+3y?1=0 D. 3x?y?1=0
直线y=x?3的倾斜角为（ ）
A. 45° B. 60° C. 120° D. 135°
直线y?2=3(x+1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为（ ）
A. 60°，2 B. 60°,2+3 C. 120°,2+5 D. 120°，2
过点A(2,1)，B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是(π4,3π4)，则实数m的取值范围是（ ）
A. 0C. 2≤m<4 D. 0已知直线l过点A(?1,3)，B(2,m)两点，若直线l的倾斜角是2π3，则m=（ ）
A. ?23 B. 0 C. 23 D. 43
下列说法中，正确的有（ ）
A. 过点P(1,2)且在x,y轴截距相等的直线方程为x+y?3=0
B. 直线y=3x?2在轴上的截距为?2
C. 直线x?3y+1=0的倾斜角为60?
D. 过点(5,4)并且倾斜角为90?的直线方程为y?4=0
已知直线l1:y=12x+2，直线l2是直线l1绕点P(?2,1)逆时针旋转45?形成的直线，则直线l2的方程是（ ）
A. y=x?1 B. y=13x+35 C. y=?3x+7 D. y=3x+7
如图，在椭圆x216+y2b2=1中，设点A，B为长轴的两个端点.直线PA，PB相交于点P，且平PA，PB的斜率之积为?916，则椭圆的焦距为(? )
A. 7 B. 27 C. 3 D. 6
已知两点A(2,?1)，B(?5,?3)，直线l：ax+y?a?1=0与线段AB相交，则直线l的斜率取值范围是（ ）
A. (?∞,?2]∪[23,+∞) B. [?2,23]
C. [?23,2] D. (?∞,?23]∪[2,+∞)
直线tan210?x?y+1=0的倾斜角为(??? )
A. 210? B. 30? C. 150? D. 60?
直线x+y=1的斜率是（ ）
A. ?1 B. 13 C. 0 D. 34π
已知点P(x,y)在圆x2+y2?4x+3=0上运动，则yx+1的最大值是(? ? ? ? )
A. 24 B. 34 C. 33 D. 23
已知两点A(2,?1)，，直线l：与线段AB相交，则直线l的斜率取值范围是(????)
A. B.
C. D. (?∞,?23]∪[2,+∞)
二、填空题
已知直线l的一个方向向量为d=(3,?4)，则直线l的斜率为______．
已知A(?1,2)、B(2,0)、C(x,3)，且A、B、C三点共线，则x=______．
已知实数x?,y满足方程(x?2)2+y2=1，则yx的取值范围是_____.
已知直线l:x?ay?2a?3=0，则直线l过定点??????????；若直线l的倾斜角为π4，则a=??????????．
三、解答题
已知实数x，y满足4x2+y2?4=0．
(1)求2x+y的取值范围；
(2)求x2+(y?3)2的取值范围；
(3)求y+2x+3的取值范围．
已知圆C:x2+y2+2x?4y+1=0．
(1)已知点P(x,y)为圆上的点，求y+1x?1的范围；
(2)已知点P(x,y)为圆上的点，求的取值范围．
已知平面内两点A(8,?6)，B(2,2)．
(1)求AB的中垂线方程；
(2)求过点P(2,?3)且与直线AB平行的直线l的方程；
(3)一束光线从B点射向(2)中的直线l，若反射光线过点A，求反射光线所在直线的方程．
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1:x29+y25=1与C2:x236+y2b2=1(0
(1)求椭圆C2的标准方程；
(2)若△ABO的面积为10，求直线AB的方程；
(3)若AF=2BF，求证：四边形AOCD是平行四边形．
答案和解析
1.【答案】B
【解答】
解：直线直线3x+y?3=0的斜率等于?3，设倾斜角等于θ，即θ=2π3，
绕它与x轴的交点(3,0)顺时针旋转π3，
所得到的直线l的倾斜角等于θ?π3，故所求直线l的斜率为tan(2π3?π3)=3，
故所求的直线方程为?y?0=3(x?3)，即?3x?y?3=0，
故选：B．
2.【答案】A
【解析】解：∵直线y=x?3的斜率为1，
∴直线y=x?3的倾斜角为45°，
3.【答案】B
【解析】解：由y?2=3(x+1)的可知斜率k=3，故倾斜角60°，
令x=0可得在y轴上的截距2+3．
4.【答案】B
【解答】
解：由直线的倾斜角α的范围是(π4,3π4)，
得直线的斜率存在时，有k1．
当m≠2时，kAB=3?1m?2=2m?2，
∴2m?21，
解得0当直线的斜率不存在时，m=2符合题意，
综上，实数m的取值范围是(0,4)．
故选：B．
5.【答案】A
【解答】
解：设直线l的斜率为k，则k=m?32+1=tan2π3=?3，
故m=?23．
故选：A．
6.【答案】B
【解答】
解：对A:过点P(1,2)且在x，y轴截距相等的直线方程，
要分直线过原点和不过原点两种情况讨论，
当直线过原点时，直线方程为2x?y=0;
当直线不过原点时，设直线方程为xa+ya=1，
直线经过P(1,2)，故1a+2a=1，解得a=3，即x3+y3=1
所以直线方程为x+y?3=0，所以A错误．
对B：直线y=3x?2在y轴上的截距，令x=0，得y=?2，
所以直线y=3x?2在y轴上的截距为?2，所以B正确．
对C:直线x?3y+1=0的斜率为33，设倾斜角为α，
则tanα=33,α∈[0°,180°)，所以α=30°，所以C错误．
对D：过点(5,4)并且倾斜角为90?，斜率不存在，
所以直线方程为x=5,即x?5=0，所以D错误．
故选B．
7.【答案】D
【解答】
解：根据题意可知P(?2,1)在直线l1上，
设直线l1的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为β，则β=(α+45°)，
由tanα=12，
∴tanβ=tanα+tan45°1?tanα·tan45°=12+11?12×1=3，
即直线l2的斜率为3，
所以y?1=3(x+2)，即y=3x+7，
故选D．
8.【答案】B
【解答】
解：由椭圆的方程知点A(?4,0)，点B(4,0)，设点P(m.n)，
∴kPA·kPB=nm+4·nm?4=?916，∴16n2=9(m2?16)，
∵点P在椭圆上，∴m216+n2b2=1,∴16n2+m2b2=16b2，
∴b2=9，∴c2=a2?b2=7，∴c=7，∴焦距为：2c=27．
故选B．
9.【答案】A
【解答】
解：直线l：ax+y?a?1=0，即a(x?1)+y?1=0，
令x?1=0y?1=0，解得x=1y=1,
可得直线l经过定点P(1,1)．
kPA=?1?12?1=?2，kPB=?3?1?5?1=23．
直线l：ax+y?a?1=0与线段AB相交，
则直线l的斜率取值范围是(?∞,?2]∪[23,+∞)．
故选：A．
10.【答案】B
【解答】
解：直线tan?210?x?y+1=0的斜率为：tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=33，
设直线的倾斜角为α，
则tanα=33，因为倾斜角的范围为[0°,180°)
∴α=30°．
故选B．
11.【答案】A
【解析】解：直线x+y=1的斜率是?1．
故选：A．
直线ax+by+c=0的斜率为k=?ab．
12.【答案】A
【解答】
解：设yx+1=y?0x?(?1)=k，则k表示点P(x,y)与点M(?1,0)连线的斜率．
把圆的方程x2+y2?4x+3=0化为标准方程得(x?2)2+y2=1，
故圆心坐标为(2,0)，半径r=1，
可知当直线kx?y+k=0与圆相切时，k取得最值．
由|2k+k|k2+1=1，解得k=±24，则yx+1的最大值是24，
故选A．
13.【答案】A
【解答】
解：直线l：ax+y?a?1=0，即a(x?1)+y?1=0，
令x?1=0y?1=0，解得x=1y=1,
可得直线l经过定点P(1,1)．
kPA=?1?12?1=?2，kPB=?3?1?5?1=23．
直线l：ax+y?a?1=0与线段AB相交，
则直线l的斜率取值范围是(?∞,?2]∪[23,+∞)．
故选：A．
14.【答案】?43
【解析】解：由于直线l的一个方向向量为d=(3,?4)，
则直线的斜率为?43，
15.【答案】?52
【解答】
解：已知A(?1,2)、B(2,0)、C(x,3)，且A、B、C三点共线，
所以kAB=0?22?(?1)=?23=kBC=3?0x?2，
解得：x=?52，
故答案为：?52．
16.【答案】?33,33
17.【答案】3,?2，1
【解答】
解：直线l:x?ay?2a?3=0，
整理得：(x?3)?a(y+2)=0，
故直线经过定点(3,?2)，
又直线l的斜率为1a，
则，
解得：a=1．
故答案为(3,?2)，1．
18.【答案】解：由题可知椭圆的方程为x2+y24=1，令x=cosα,y=2sinα．
(1)2x+y=2cosα+2sinα=22sinα+π4∈?22,22，
则可知2x+y的取值范围为?22,22；
(2)x2+y?32=cos2α+2sinα?32=3sin2α?43sinα+4,sinα∈?1,1．
令t=sinα∈?1,1，则y=3t2?43t+4,t∈?1,1
开口向上，对称轴t=233??1,1，
∴ymin=7?43,ymax=7+43．
则x2+(y?3)2的取值范围为7?43,7+43；
(3)设y+2x+3=k，则y+2=k(x+3)，即直线与椭圆有交点．
则有y+2=kx+3x2+y24=1?4+k2x2+2k3k?2x+3k?22?4=0,
即Δ=4k23k?22?44+k23k?22?4?0，
解得：0?k?32，
即y+2x+3∈0,32．
19.【答案】解：(1)圆C的标准方程为x+12+y?22=4，
圆心为(?1,2)，半径为2，y+1x?1表示圆上动点(x,y)与定点M(1,?1)连线的斜率，
点M在圆外，过点M的直线x=1恰为圆的切线，设过点M的斜率存在的切线方程为
y+1=k(x?1)，由点到直线的距离得到?2k?3k2+1=2，解得k=?512，
如下图所示，y+1x?1的取值范围是(?∞,?512];
(2)设Q(1,0)，则|PQ|=(x?1)2+y2，
则zmax=(|QC|+2)2=(22+2)2=12+82，
zmin=(|QC|?2)2=(22?2)2=12?82，
故可得12?82≤z≤12+82，
所以z的取值范围是[12?82,12+82]．
20.【答案】解：(1)8+22=5，?6+22=?2，∴AB的中点坐标为(5,?2)，
kAB=?6?28?2=?43，
∴AB的中垂线斜率为34，
∴由点斜式可得y+2=34(x?5)，
∴AB的中垂线方程为3x?4y?23=0．
(2)由(1)知kAB=?43，
则由点斜式得y+3=?43(x?2)，
∴直线l的方程4x+3y+1=0．
(3)设B(2,2)关于直线l的对称点B′(m,n)
∴n?2m?2=344×m+22+3×n+22+1=0,
解得m=?145n=?85
∴B′(?145,?85)，kB′A=?6+858+145=?1127
由点斜式可得y+6=?1127(x?8)，整理得11x+27y+74=0
∴反射光线所在的直线方程为11x+27y+74=0．
21.【答案】解：(1)由题意知，椭圆C1的长轴长2a1=6，短轴长2b1=25，
焦距2c1=2a12?b12=4，
椭圆C2的长轴长2a2=12，短轴长2b，焦距2c2=236?b2．
因为椭圆C1与C2的离心率相等，所以c1a1=c2a2，即23=36?b26，
因为0所以椭圆C2的标准方程为x236+y220=1．
(2)因为椭圆C1右焦点为F(2,0)，且A，O，B三点不共线，
设直线AB的方程为x=my+2，联立x29+y25=1，
消x得(5m2+9)y2+20my?25=0．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Δ=(20m)2+100(5m2+9)>0，
所以y1,2=?20m±(20m)2?4(5m2+9)×(?25)2(5m2+9)
=?20m±30m2+12(5m2+9)，
即y1+y2=?20m5m2+9，y1y2=?255m2+9．
(方法一)因为S△ABO=S△AOF+S△BOF=12OF|y1|+12OF|y2|
=12OF|y1?y2|=|y1?y2|
=(y1+y2)2?4y1y2=(20m5m2+9)2+1005m2+9=10，
化简得25m4=9，所以m=±155，
所以直线AB的方程为x=±155y+2，即5x±15y?10=0．
(方法二)AB=(x1?x2)2+(y1?y2)2=(1+(x1?x2)2(y1?y2)2)|y1?y2|
=1+m2|y1?y2|.
因为点D到直线AB的距离为d=21+m2，
所以S△ABO=12AB?d=|y1?y2|.
以下同方法一．
(3)(方法一)因为AF=2BF，所以AF=2FB．
因为A(x1,y1)，B(x2,y2)，F(2,0)，所以(2?x1,?y1)=2(x2?2,y2)，
所以x1=6?2x2,y1=?2y2?①，
因为A(x1,y1)，B(x2,y2)在椭圆x29+y25=1上，
所以x129+y125=1x229+y225=1②，结合①②消去y2，得x2=218．
代入x229+y225=1，由对称性不妨设y1>0，y2<0，所以y2=?538，
从而得，x1=34，y1=534，
即A(34,534)，B(218,?538).
所以koc=?5321，直线OC的方程为y=?5321x，
联立x236+y220=1，得x2=44116．
由题知x>0，所以x=214，y=?534，所以C(214,?534).
又D(6,0)，所以kOA=kCD=533．
又因为OA，CD不共线，所以OA//CD，
又kOC=kAD=?5321，且OC，AD不共线，所以OC//AD．
所以四边形AOCD是平行四边形．
(方法二)设直线OC的方程为y=kx，
由5x2+9y2=45,y=kx,得(5+9k2)x2=45，
所以xB=±355+9k2．
又由5x2+9y2=180,y=kx,得(5+9k2)x2=180，
所以xc=±655+9k2．
又因为B，C在点O的同侧，
所以xc=2xB．
设B(x1,y1)，则C(2x1,2y1)，D(6,0)．
因为AF=2FB，所以A(6?2x1,?2y1)，
所以OA=(6?2x1,?2y1)，CD=(6?2x1,?2y1)，
所以OA=CD．
又因为A，O，C，D四点不共线，所以四边形AOCD为平行四边形．
(方法三)由方法二得，OC=2OB．
因为F(2,0)，D(6,0)，所以FD=2OF．
又因为AF=2FB，所以OB//AD，AD=2OB．
所以OC//AD，OC=AD，
所以四边形AOCD为平行四边形．