2.3.1两条直线的交点坐标-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析）

两条直线的交点坐标同步练习
一、选择题
已知在△ABC中，其中B(1,4)，C(6,3)，∠BAC的平分线所在的直线方程为x?y+1=0，则△ABC的面积为（ ）
A. 52 B. 102 C. 8 D. 210
直线2x+3y?k=0和直线x?ky+12=0的交点在x轴上，则k的值为（ ）
A. ?24 B. 24 C. 6 D. ±6
已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线x?y?1=0的交点，直线3x+4y?11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为(????)
A. x2+(y+1)2=18 B. x2+(y?1)2=32
C. (x?1)?2+y2=18 D. (x?1)?2+y2=32
已知直线l1：kx+y?k?2=0恒过点M，直线l2：y=x?1上有一动点P，点N的坐标为(4,6).当PM+PN取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A. (?25,?75) B. (25,?35) C. (175,125) D. (125,75)
已知圆C经过点A(1,1)和B(2,?2)，且圆心C在直线l：x?y+1=0上，则该圆的面积是(? ?)
A. 5π B. 13π C. 17π D. 25π
已知直线l1的方程为x+Ay+C=0，直线l2的方程为2x?3y+4=0，若l1，l2的交点在x轴上，则C的值为（ ）
A. 2 B. ?2 C. ±2 D. 与A有关
若a，b满足a+2b=1，则直线ax+3y+b=0必过定点（ ）
A. ?12,?16 B. 12,?16 C. 12,16 D. ?12,16
平面上三条直线x?2y+1=0，x?1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分成六部分，则实数k的取值集合A=
A. {0} B. {0,?2} C. {?1} D. {?2,0，?1}
已知过点?2,1的直线l与直线y=?x+2的交点位于第一象限，则直线l的斜率的取值范围是(????)
A. ?14,12 B. ?14,12
C. ?14,12 D. ?∞,?14∪12,+∞
若三直线2x+3y+8=0，x?y?1=0和x+ky=0相交于一点，则k=(???)
A. ?2 B. 12 C. 2 D. ?12
在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则AE?EC=
A. 1225 B. 2425 C. 125 D. 45
已知直线mx+4y?2=0与2x?5y+n=0互相垂直，垂足坐标为(1,p)，则m+n+p等于(????)
A. ?4 B. 0 C. 20 D. 24
若过定点P的直线l:ax+y?4=0与过定点Q的直线m:x?ay+3=0相交于点M，则|MP|2+|MQ|2的值为(? ?)
A. 5 B. 10 C. 20 D. 25
二、填空题
已知正方形的中心为直线2x?y+2=0，x+y+1=0的交点，正方形一边所在的直线方程为x+3y?5=0，则它对边所在的直线方程为________．
过点A(?3,2)，B(?5,?2)，且圆心在直线3x?2y+4=0上的圆的半径为______．
已知直线l1:ax+4y?2=0与直线l2:2x?5y+b=0互相垂直，垂足为1,c，则a+b+c的值为__________．
不论a为何实数，直线(a+3)x+(2a?1)y+7=0恒过定点______．
求经过两条直线l1：x+y?4=0和l2：x?y+2=0的交点，且与直线2x?y?1=0垂直的直线方程为________。
三、解答题
已知以点C(t,2t)(t∈R且t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y=?2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．
已知直线l1：2x?y+1=0和l2：x?y?2=0的交点为P．
(1)若直线1经过点P且与直线l3：4x?3y?5=0平行，求直线l的方程；
(2)若直线m经过点P且与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为线段AB的中点，求△OAB的面积(其中O为坐标原点)．
已知△ABC的顶点C(2,?8)，直线AB的方程为y=?2x+11，AC边上的高BH所在直线的方程为x+3y+2=0．
(1)求顶点A和B的坐标；
(2)求△ABC外接圆的一般方程．
已知△ABC的内角平分线CD的方程为2x+y?1=0，两个顶点为A(1,2)，B(?1,?1)．
(1)求点A到直线CD的距离；
(2)求点C的坐标．
答案和解析
1.【答案】C
【解答】
解：B(1,4)关于直线x?y+1=0的对称点B′(a,b)，
a+12?b+42+1=0b?4a?1=?1?a=3b=2，
∴B′(3,2)，C(6,3)，
∴直线CB′，即直线AC的方程为x?3y+3=0，
联立x?3y+3=0x?y+1=0，解得x=0y=1，∴A(0,1)．
∴|AC|=(6?0)2+(3?1)2=210；
B到直线AC的距离d=|1?3×4+3|1+(?3)2=810；
∴△ABC的面积S=12×|AC|×d=8．
故选：C．
2.【答案】A
【解答】
解：联立2x+3y?k=0x?ky+12=0，
解得x=k2?363+2ky=k+243+2kk≠?32,
∵直线2x+3y?k=0和直线x?ky+12=0的交点在x轴上，
∴y=k+243+2k=0，
解得k=?24．
故选：A．
3.【答案】A
【解答】
解：直线与直线的交点为，
所以圆C的圆心为，
设半径为r，
由题意可得，
即解得，
故圆C的方程为．
故选A．
4.【答案】C
【解答】
解：直线l1：kx+y?k?2=0，即k(x?1)+y?2=0，令x?1=0，
求得x=1，y=2，可得该直线恒过点M(1,2).直线l2：y=x?1上有一动点P，点N的坐标为(4,6)，
故M、N都在直线l2：y=x?1的上方．点M(1,2)关于直线l2：y=x?1的对称点为M′(3,0)，
则M′N直线方程为y?06?0=x?34?3，即y=6x?18．
把M′N直线方程和直线l2：y=x?1联立方程组，
求得x=175y=125，可得当PM+PN取得最小值时，
点P的坐标为(175,125)．
故选C．
5.【答案】D
【解答】
解：法一：设圆心为(a,a+1)，半径为r(r>0)，
则圆的标准方程为(x?a)2+(y?a?1)2=r2，
又圆经过点A(1,1)和点B(2,?2)，
故有(1?a)2+(?a)2=r2,(2?a)2+(?3?a)2=r2,解得a=?3,r=5,
故该圆的面积是25π．
法二：由题意可知圆心C在AB的中垂线y+12=13x?32，
即x?3y?3=0上．
由x?3y?3=0,x?y+1=0,解得x=?3,y=?2,
故圆心C为(?3,?2)，
半径r=|AC|=5，圆的面积是25π．
故选D．
6.【答案】A
【解答】
解：直线2x?3y+4=0与x轴的交点(?2,0)，
代入直线x+Ay+C=0，可得?2+A×0+C=0，解得C=2．
故选：A．
7.【答案】B
【解答】
解：∵a+2b=1，?
∴a=1?2b，代入直线ax+3y+b=0方程得b(1?2x)+(x+3y)=0，?
它经过1?2x=0和x+3y=0的交点(12,?16)．
故选B．
8.【答案】D
【解答】
解：若是三条直线两两相交，交点不重合，
则这三条直线把平面分成了7部分，
∴如果这三条直线将平面划分为六部分包括两种情况能够成立，
一是x+ky=0过另外两条直线的交点，x?2y+1=0，x?1=0的交点是(1,1)
∴k=?1，
二是这条直线与另外两条直线平行，此时k=0或?2，
故答案为{0,?1,?2}
9.【答案】A
【解答】
解：直线l的斜率不存在，显然不成立；
设直线l的方程为y=k(x+2)+1，k≠?1，
联立两直线方程得：y=k(x+2)+1y=?x+2,
解得x=?2k+1k+1，y=4k+1k+1，
∵两直线的交点在第一象限，
∴?2k+1k+1>0且4k+1k+1>0，
解得?14所以k的取值范围为?14,12
故选A．
10.【答案】D
【解答】
解：∵三直线2x+3y+8=0，x?y?1=0和x+ky=0相交于一点，?
∴2x+3y+8=0x?y?1=0，
得x=?1y=?2，即交点为(?1,?2)，
所以?1+(?2)k=0，解得k=?12；
故选D．
11.【答案】D
【解答】
解：以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系：
由矩形ABCD中，AB=3，AD=4，
则A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，
易知直线BD的方程为y=12x，
由AE⊥BD，则直线AE的方程为y?1=?2x，即y=?2x+1，
由y=12xy=?2x+1，解得x=25y=15，即E25,15，
所以AE=25,?45，EC=85,?15，
所以AE·EC=25×85+(?45)×?15=2025=45，
故选D．
12.【答案】A
【解答】
解：由两条直线互相垂直得?m4×25=?1，即m=10，由于点1,p在两条直线上，
从而有10+4p?2=0,2?5p+n=0,解得p=?2,n=?12,故m+n+p=?4．
故答案为A．
13.【答案】D
【解答】
解：∵在平面内，过定点P的直线ax+y?4=0与过定点Q的直线x?ay+3=0相交于点M，
∴P(0,4)，Q(?3,0)，
∵过定点P的直线ax+y?4=0与过定点Q的直线x?ay+3=0垂直，
∴M位于以PQ为直径的圆上，
∵|PQ|=9+16=5，
∴|MP|2+|MQ|2=25．
故选D．
14.【答案】x+3y+7=0
【解答】
解：联立2x?y+2=0x+y+1=0，解得正方形的中心坐标为(?1,0)，
设直线x+3y?5=0的对边所在的方程为x+3y+m=0，则有|?6|10=|?1+m|10，
解得m=7或?5(舍去)，所以它对边所在的直线方程为x+3y+7=0．
故答案为：x+3y+7=0．
15.【答案】10
【解答】
解：∵A(?3,2)，B(?5,?2)，
∴kAB=?2?2?5?(?3)=2，AB的中点坐标为(?4,0)，
∴AB的垂直平分线方程为y=?12(x+4)，即x+2y+4=0．
联立x+2y+4=03x?2y+4=0，解得x=?2y=?1．
∴所求圆的圆心坐标为(?2,?1)，半径r=(?3+2)2+(2+1)2=10．
故答案为：10．
16.【答案】?4
【解答】
解：因为直线l1与直线l2互相垂直，
所以2a+4×(?5)=0，解得a=10，
所以l1:10x+4y?2=0，
因为垂足(1,c)在l1上，
所以10+4c?2=0，解得c=?2，
再由垂足(1,?2)在l2上可得2+10+b=0，
解得b=?12，
所以a+b+c=10?12?2=?4，
故答案为?4．
17.【答案】(?2,1)
【解答】
解：直线(a+3)x+(2a?1)y+7=0可化为(x+2y)a+3x?y+7=0，
可知上述直线过直线x+2y=0和3x?y+7=0的交点，
解方程组x+2y=03x?y+7=0可得x=?2y=1
∴不论a为何实数，直线(a+3)x+(2a?1)y+7=0恒过定点(?2,1)
故答案为：(?2,1)
18.【答案】x+2y?7=0
【解答】
解：经过两条直线l1：x+y?4=0和l2：x?y+2=0的交点，
则：x+y?4=0x?y+2=0，解得x=1y=3，
所以交点坐标为(1,3)，
与直线2x?y?1=0垂直的直线方程的斜率为k=?12，
所以直线的方程为y?3=?12(x?1)，
整理得x+2y?7=0．
故答案为：x+2y?7=0
19.【答案】解：(Ⅰ)由题设知，圆C的方程为(x?t)2+(y?2t)2=t2+4t2，化简得x2?2tx+y2?4ty=0，
当y=0时，x=0或2t，则A(2t,0)；当x=0时，y=0或4t，则B(0,4t)，
∴S△AOB=12|OA|?|OB|=12×|2t|×|4t|=4为定值；
(II)∵|OM|=|ON|，
∴原点O在MN的中垂线上，
设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，
则直线OC的斜率k=2tt=2t2=12，
∴t=2或t=?2，
∴圆心C(2,1)或C(?2,?1)，
∵当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5时，直线2x+y?4=0到圆心的距离d>r，
此时不满足直线与圆相交，故舍去；
∴圆C的方程为(x?2)2+(y?1)2=5．
20.【答案】解：(1)由2x?y+1=0x?y?2=0，求得x=?3y=?5，可得直线l1：2x?y+1=0和l2：x?y?2=0的交点为P(?3,?5)．
由于直线l3的斜率为43，故过点P且与直线l3：4x?3y?5=0平行的直线l的方程为y+5=43(x+3)，
即4x?3y?3=0．
(2)设直线m的斜率为k，则直线m的方程为y+5=k(x+3)，
由于直线m与x轴，y轴分别交于A，B两点，
且?P(?3,?5)为线段AB的中点，
故A(5k?3,0)，B(?0,3k?5)，且点P的坐标满足直线m的方程，
∴5k?32=?3，且3k?52=?5，求得k=?53=?53．
故△OAB的面积为12?OA?OB=12?|5k?3|?|3k?5|=|(3k?5)22k|=(3k?5)22|k|=30．
21.【答案】解：(1)由y=?2x+11x+3y+2=0，可得顶点B(7,?3)，
又因为AC⊥BH得，kBH=?13，
所以设AC的方程为y=3x+b，
将C(2,?8)代入得b=?14，
由y=?2x+11y=3x?14可得顶点为A(5,1)，
所以A和B的坐标分别为(5,1)和(7,?3)，
(2)设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
将A(5,1)、B(7,?3)和C(2,?8)三点的坐标分
别代入得5D+E+F+26=07D?3E+F+58=02D?8E+F+68=0则有D=?4E=6F=?12，
所以△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2?4x+6y?12=0．
22.【答案】解：(1)A(1,2)到内角平分线CD：2x+y?1=0的距离为d=|2+2?1|4+1=355；
(2)由题意可得A关于直线CD的对称点A′在直线BC上，设A′(a,b)，
则由b?2a?1?(?2)=?12?a+12+b+22?1=0，
解得a=?75b=45,
∴A′(?75,45)，?
故直线BC即直线A′B为y+145+1=x+1?75+1，即9x+2y+11=0，
把直线CD和直线BC联立方程组可得2x+y?1=09x+2y+11=0，
解得x=?135y=315，
故点C(?135,315).