2.3.3点到直线的距离公式-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析）

点到直线的距离公式同步练习
一、选择题
直线l：y=ax?a+1与圆：x2+y2=8的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 与a的大小有关
若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x?y?3=0的距离为（ ）
A. 55 B. 255 C. 355 D. 455
点(0,?1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
在一个平面上，机器人到与点C(3,?3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行，它在行进过程中到经过点A(?10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为（ ）
A. 82?8 B. 82+8 C. 82 D. 122
直线y=?33x+1与x轴，y轴分别交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等边△ABC，如果在第一象限内有一点P(m,12)，使得△ABP和△ABC面积相等，则m的值（ ）
A. 532 B. 332 C. 32 D. 3
若圆C：(x?1)2+y2=4上恰有两个点到直线x?3y+b=0的距离为1，则实数b的取值范围（ ）
A. (?7,?3) B. (1,5)
C. (?3,5) D. (?7,?3)∪(1,5)
圆(x?2)2+(y?2)2=18上的点到直线x+y?14=0的最大距离与最小距离的差是
A. 36 B. 18 C. 62 D. 52
圆x2+y2+2y=0与曲线y=2(x?1)的公共点个数为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
已知A(?1,0)，B(1,1)，若曲线C:x2?y2=0上的点P满足：|PA|=2|PB|，则符合条件的点P的个数为(? )
A. ? ?1 B. ? ? ?2 C. ? ? ? ? 3 D. ? ? ? 4
“k=3”是“直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
两圆C1：(x?1)2+(y?2)2=1和C2：(x?2)2+(y?5)2=9的公共弦的弦长为(?????)
A. 1010 B. 21010 C. 31010 D. 3105
抛物线y2=2px(p>0)的焦点到双曲线x2?y2=1的渐近线的距离为22，则p=
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
已知直线l1：x?y+1=0与l2：x+ay+3=0平行，则l1与l2之间的距离为? (??? )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
已知双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2?6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的离心率为
A. 355 B. 32 C. 3 D. 22
二、填空题
已知x，y满足x+y+3=0，求(x+1)2+(y?2)2的最小值______．
圆(x+3)2+y2=1的圆心到直线x+3y+1=0的距离为______．
已知直线l过点(1,2)，且原点到直线l的距离为1，则直线l方程为______．
点P(1,a)到直x?2y+2=0的距离为355，且P在3x+y?3>0表示的区域内，则a=??????????．
三、解答题
已知圆C经过点A(2,?1)，和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=?2x上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过(2,0)点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．
已知点△ABC三顶点坐标分别是A(1,3)，B(3,1)，C(?1,0)，
(1)求BC边上的高AD所在直线的方程；
(2)求△ABC的面积．
已知圆C:(x?2)2+(y?3)2=4外有一点(4,?1)，过点P作直线l．
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为135度时，求直线l被圆C所截得的弦长．
求满足下列条件的直线方程
(1)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程。
(2)过点(5,10)且到原点的距离是5的直线的方程。
已知圆：x2+(y?4)2=4，直线l：．
(1)证明直线l总与圆C相交；
(2)当直线l被圆C所截得的弦长为23时，求直线l的方程．
答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：∵圆：x2+y2=8的圆心(0,0)，半径r=22，
圆心(0,0)到直线l：y=ax?a+1的距离
d=|1?a|1+a2=a2+1?2aa2+1=1?2aa2+1，
(1)当a=0时，d=1(2)当a>0时，d=1?2aa2+1<1(3)当a<0时，d=1+?2aa2+1≤1+1=2当且仅当a=?1时，取等号;
∴直线l：y=ax?a+1与圆：x2+y2=8相交．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可得所求的圆在第一象限，设圆心为(a,a)，则半径为a，a>0．
故圆的方程为(x?a)2+(y?a)2=a2，再把点(2,1)代入，求得a=5或1，
故所求的圆的方程为(x?5)2+(y?5)2=25或(x?1)2+(y?1)2=1．
故所求圆的圆心为(5,5)或(1,1)；
故圆心到直线2x?y?3=0的距离d=|2×5?5?3|22+12=255或d=|2×1?1?3|22+12=255；
3.【答案】B
【解答】
解：因为点(0,?1)到直线y=k(x+1)距离d=|1+k|k2+1=k2+2k+1k2+1=1+2kk2+1；
∵要求距离的最大值，故需k>0；
可得d≤1+2k2k=2；当k=1时等号成立；
故选B．
4.【答案】A
【解析】解：机器人到与点C?(3,?3)距离为8的地方绕C点顺时针而行，
在行进过程中保持与点C的距离不变，
∴机器人的运行轨迹方程为(x?3)2+(y+3)2=64，如图所示；
∵A(?10,0)与B(0,10)，
∴直线AB的方程为x?10+y10=1，即为x?y+10=0，
则圆心C到直线AB的距离为d=|3+3+10|1+1=82>8，
∴最近距离为82?8．
5.【答案】A
【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：
由直线y=?33x+1，令x=0，解得y=1，故点B(0,1)，
令y=0，解得x=3，故点A(3,0)，
∵△ABC为等边三角形，且OA=3，OB=1，
根据勾股定理得：AB=2，故点C到直线AB的距离为3，
由题意△ABP和△ABC的面积相等，
则P到直线AB的距离d=32|?33m+12|=3，即?33m+12=2或?33m+12=?2，
解得：m=?332(舍去)或m=532．
则m的值为532．
6.【答案】D
【解析】解：由圆C：(x?1)2+y2=4可得圆C的圆心C(1,0)，半径为2，
若圆C：(x?1)2+y2=4上恰有2个点到直线l的距离等于1，
则满足C到直线l：x?3y+b=0的距离1∵直线l的一般方程为：x?3y+b=0，
∴1<|1+b|1+3<3，
解得?77.【答案】C
【解答】
解：圆(x?2)2+(y?2)2=18的圆心为(2,2)，半径为32．
圆心(2,2)到直线x+y?14=0的距离为|2+2?14|2=52>32，
所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r=62．
故选C．
8.【答案】B
【解答】
解：圆x2+y2+2y=0，可得x2+(y+1)2=1，圆心为(0,?1)，半径为1，
圆心(0,?1)到直线y=2x?2的距离d=|0+1?2|5=55<1，
圆心(0,?1)到直线y=?2x?2的距离d=|0?1+2|5=55<1，
又直线y=2x?2和直线y=?2x?2与圆x2+y2+2y=0有公共的交点点(0,?2)，
如图
∴圆x2+y2?2y=0与曲线y=2(x?1)的公共点个数为3，
故选B．
9.【答案】B
【解答】
解：设P(x,y)，则|AP|=(x+1)2+y2，
|PB|=(x?1)2+y?12，
由|PA|=2|PB|，得
(x+1)2+y2=2?(x?1)2+y?12，
两边平方得：(x?3)2+y?22=10，
∴点P的轨迹是以(3,2)为圆心，以10为半径的圆，
∵曲线C:x2?y2=0表示两条直线x?y=0和x+y=0，
圆(x?3)2+y?22=10的圆心(3,2)到直线x?y=0的距离d=12，
由于d<10，
所以(x?3)2+y2=10与直线x?y=0相交，有两个交点；
圆(x?3)2+y?22=10的圆心(3,2)到直线x+y=0的距离d1=52，
由于d1>10，
所以(x?3)2+y2=10与直线x+y=0相离，无交点，
故符合条件的点P的个数为2个．
故选B．
10.【答案】A
【解答】
解：若直线y=kx+2即kx?y+2=0与圆x2+y2=1相切，
则圆心(0,0)到直线的距离d=2k2+1=1，
解得k2=3，即k=±3，
∴“k=3”是“直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切”的充分不必要条件．
故选A．
11.【答案】D
【解答】
解：两圆相减可得公共弦的方程为x+3y?8=0，
∵圆C1：(x?1)2+(y?2)2=1的圆心坐标为(1,2)，半径为1，
?∴圆心(1,2)到公共弦的距离为d=|1+6?8|1+9=1010，
?∴弦长=21?10100=3105．
故选D．
12.【答案】C
【解答】
解：由抛物线的方程得焦点坐标为(p2,0)，由双曲线的方程得到其渐近线方程为y=x或y=?x，
由点到直线的距离公式得p2±01+±12=22,∴p=2(∵p>0负值舍去)
故选C．
13.【答案】B
【解答】
解：由两直线平行，得a=?1，
在直线l1:x?y+1=0上任取一点(0,1)，
到直线l2:x?y+3=0的距离为d=|0?1+3|2=2．
故选B．
14.【答案】A
【解答】
解：双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，即bx±ay=0
圆C：x2+y2?6x+5=0化为标准方程(x?3)2+y2=4
∴C(3,0)，半径为2
∵双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C：x2+y2?6x+5=0相切
∴|3b|b2+a2=2
∴9b2=4b2+4a2
∴5b2=4a2
∵b2=c2?a2
∴5(c2?a2)=4a2
∴9a2=5c2
∴e=ca=355
∴双曲线离心率等于355
故选A．
15.【答案】8
【解析】解：由于(x+1)2+(y?2)2表示点(?1,2)与直线上的点的距离的平方，
可知(x+1)2+(y?2)2的最小值为点(?1,2)到直线x+y+3=0距离的平方，
所以最小值为(|?1+2+3|12+12)2=8．
故答案为：8．
由于(x+1)2+(y?2)2表示点(?1,2)与直线上的点的距离的平方，可知(x+1)2+(y?2)2的最小值为点(?1,2)到直线x+y+3=0距离的平方，由点到直线的距离公式可得结果．
16.【答案】1
【解答】
解：圆(x+3)2+y2=1的圆心(?3,0)到直线x+3y+1=0的距离d=|?3+3×0+1|2=1．
故答案为：1．
17.【答案】x=1或3x?4y+5=0
【解析】解：直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为：x=1，满足题意；
直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为：y?2=k(x?1)，化为：kx?y+2?k=0．
由题意可得：|2?k|1+k2=1，解得：k=34，
∴直线l的方程为：y?2=34(x?1)，化为：3x?4y+5=0，
综上可得：直线l的方程为：x=1或3x?4y+5=0，
18.【答案】3
【解答】
解：∵点P到直线x?2y+2=0的距离：d=1?2a+212+?22=355，
∴解得a=0或3，
∵P点在不等式3x+y?3>0所表示的平面区域内，
∴a=3．
故答案为3．
19.【答案】解：(1)设圆心的坐标为C(a,?2a)，
则(a?2)2+(?2a+1)2=|a?2a?1|2．
化简，得a2?2a+1=0，解得a=1．
所以C点坐标为(1,?2)，
半径r=|AC|=(1?2)2+(?2+1)2=2．
故圆C的方程为(x?1)2+(y+2)2=2．
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，
满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x?2)，即kx?y?2k=0
由题意得|2?k|1+k2=1，解得k=34，
则直线l的方程为y=34(x?2)．
综上所述，直线l的方程为x=2或3x?4y?6=0．
20.【答案】解：(1)∵直线BC的斜率为k1=1?03?(?1)=14------------(2分)
∴直线AD的斜率为k2=?4---------------------------(3分)
∴BC边上的高AD所在直线的方程为y?3=?4(x?1)
即4x+y?7=0-----------------------------------(5分)
(2)∵|BC|=(3+1)2+(1?0)2=17----------------(7分)
直线BC的方程为y=14(x+1)，即x?4y+1=0----------(8分)
点A到直线BC的距离为d=|1?12+1|17=1017--------------(10分)
∴△ABC的面积=12|BC|?d=12×17×1017=5--------(12分)
21.【答案】解：(1)当斜率不存在时，直线l的方程为x=4，
当斜率存在时，设直线l的方程为kx?y?4k?1=0，
则2k?3?4k?11+k2=2，解得k=?34，∴直线l的方程为3x+4y?8=0，
∴直线l的方程为x=4或3x+4y?8=0；
(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x+y?3=0，
圆心C到直线l的距离为2+3?32=2，
∴弦长为222?(2)2=22．
22.【答案】解：(1)当截距为0时，直线方程为3x?2y=0，
当截距不为0时，设直线方程为xa+ya=1，
则2a+3a=1，解得a=5，所以直线方程为x+y?5=0，
故直线方程为：3x?2y=0或x+y?5=0．
?(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x?5=0，满足条件；
当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y?10=k(x?5)，即kx?y+10?5k=0，
由点到直线的距离公式，得|10?5k|k2+1=5，解得k=34.故所求直线方程为3x?4y+25=0
综上可知，所求直线方程为x?5=0或3x?4y+25=0，
故直线方程为：x?5=0或3x?4y+25=0．
23.【答案】解：(1)证明：∵圆C：x2+(y?4)2=4，∴圆心C(0,4)，半径r=2，
∵直线l：(3m+1)x+(1?m)y?4=0，整理得：(3x?y)m+(x+y?4)=0，
令3x?y=0x+y?4=0，解得：x=1y=3,∴直线l过定点M(1,3)，
∴CM=(1?0)2+(3?4)2=2<2=r，
∴定点M(1,3)在圆内，∴直线l总与圆C相交．
(2)∵直线l被圆C所截得的弦长为23，
∴圆心C(0,4)到直线l的距离d=r2?(232)2=22?3=1，
∵直线l：(3m+1)x+(1?m)y?4=0，
∴d=(3m+1)×0+(1?m)×4?4(3m+1)2+(1?m)2=?4m(3m+1)2+(1?m)2，
∴?4m(3m+1)2+(1?m)2=1，解得m=?13或m=1，
将m=?13或m=1，代入直线l：(3m+1)x+(1?m)y?4=0，
∴直线l的方程：x=1或y=3．