3.1.1 椭圆及其标准方程-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析）

椭圆及其标准方程同步练习
一、选择题
若方程x2m+y24?m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是(??? )
A. m<2 B. 02
若过椭圆x24+y22=1内一点P1,1的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为(??? )
A. x?2y+1=0 B. x?2y?3=0 C. x+2y?3=0 D. x+2y+3=0
如图F1，F2是双曲线C1：x2?y28=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限内的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是(????)
A. 23 B. 45 C. 35 D. 25
若椭圆x29+y2m+9=1的离心率是12，则m的值等于(??? )
A. ?94 B. 14 C. ?94或3 D. 14或3
已知F1，F2分别是椭圆x216+y29=1的左、右焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长为? (??? )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
已知F1，F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，B为椭圆C的短轴的一个端点，直线BF1与椭圆C的另一个交点为A.若ΔBAF2为等腰三角形，则AF1AF2=(???)
A. 13 B. 12 C. 23 D. 3
过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F的直线过C的上端点B，且与椭圆相交于点A，若BF=3FA,则C的离心率为(? ? ? ? )
A. 13 B. 33 C. 32 D. 22
若椭圆C：x2a2+y2b2=1的右焦点坐标是(1,0)，长轴长是4，则椭圆的标准方程为(????)
A. x24+y23=1 B. x24+y2=1 C. x23+y24=1 D. x216+y215=1
已知经过椭圆x236+y225=1的右焦点F2的直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为(? ? )
A. 36 B. 25 C. ?12 D. 24
方程x2+ky2=2表示焦点在x轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（ ）
A. k>0 B. 11 D. 0设椭圆C:x24+y2=1的左焦点为F，直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，则|AF|+|BF|的值是(???)
A. 2 B. 23 C. 4 D. 43
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)分别过点A(2,0)和点B(1,32)，则该椭圆的焦距为（ ）
A. 3 B. 2 C. 23 D. 25
椭圆x23+y27=1上一点到两个焦点的距离之和为（ ）
A. 23 B. 4 C. 27 D. 210
若点M到两定点F1(0,?1)，F2(0,1)的距离之和为2，则点M的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 直线F1F2
C. 线段F1F2 D. 线段F1F2的中垂线．
二、填空题
过点A(3,?2)且与椭圆x29+y24=1有相同焦点的椭圆的方程为??????????．
已知F是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|+|PF|的最大值是______．
椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，b=4，离心率为35，过F1的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为______．
已知两定点A(?2,0)和B(2,0)，动点P(x,y)在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为________．
三、解答题
已知椭圆C：y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为22，且过定点M1,22．
(1)求椭圆C的方程．
(2)已知直线l：y=kx?13(k∈R)与椭圆C交于A，B两点，试问在y轴上是否存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过点P？若存在，求出点P的坐标和△PAB的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点3,32处时，点Q的坐标为233,0．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且DN=2NM时，求直线BM的方程．
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为63
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过定点T(0,2)的直线l与(1)中的椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为33b.
(Ⅰ)求椭圆C的离心率；
(Ⅱ)若点M(3,32)在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解答】
解：∵方程x2m+y24?m=1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴m>04?m>04?m>m，解得：0故选B．
2.【答案】C
【解答】
解：设弦两端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，
根据题意可得x1+x2=2，y1+y2=2，
则x124+y122=1?①,x224+y222=1?②,,
①?②得k=y1?y2x1?x2=?x1+x22(y1+y2)=?22×2=?12?，
即直线为y?1=?12(x?1)，化简得x+2y?3=0，
故选C．
3.【答案】C
【解答】
解：设椭圆的标准方程为：x2a2+y2b2=1,a>b>0，右焦点为F2c,0，
由题意F1，F2是双曲线C1：x2?y28=1与椭圆C2的公共焦点可知，
c=3,|F1F2|=|F1A|=6，
由双曲线的定义可知：|F1A|?|F2A|=2，∴|F2A|=4，
由椭圆的定义可知：|F1A|+|F2A|=10=2a，所以a=5，
∴C2的离心率是ca=35．
故选C．
4.【答案】C
【解答】
解：当m+9>9，即m>0时，焦点在y轴上
c=m+9?9=m
e=mm+9=12求得m=3
当m+9<9时，即m<0时，焦点在x轴上
c=9?9?m=?m
e=?m3=12，求得m=?94．
故选C．
5.【答案】A
【解答】
解：由椭圆定义知，AF1+AF2=8,BF1+BF2=8,两式相加得AB+AF1+BF1=16，
即△AF1B的周长为16．
又因为在△AF1B中，两边之和是10，
所以第三边的长度为16?10=6．
6.【答案】A
【解答】解：设AF1=t(t>0)，由椭圆的定义可得AF2=2a?t．
由题意可知，AF2>BF2=a，
由于ΔBAF2是等腰三角形，则|AB|=AF2，即a+t=2a?t，
所以t=a2，所以AF1=a2，AF2=3a2，因此AF1AF2=13．
故选A
7.【答案】D
【解答】
解：过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F(?c,0)的直线过C的上端点B(0,b)，且与椭圆相交于点A，
若BF=3FA，设A(m,n)，
则?c,?b=3m+c,n?0，
所以m=?4c3n=?b3，
又A在椭圆上，
则16c29a2+b29b2=1，解得e2=c2a2=12，
则e=22．
故选D．
8.【答案】A
【解析】解：由题设知：2a=4，c=1，b2=a2?c2=3，故椭圆方程为x24+y23=1，
9.【答案】D
【解答】
解：∵椭圆方程为x236+y225=1，
∴长半轴长a=6，
∴由椭圆的定义可得，
△AF1B的周长为|AB|+|AF1|+|BF1|
=(|AF2|+|AF1|)+(|BF1|+|BF2|)
=2a+2a=4a=24，
故选D．
10.【答案】B
【解答】解：方程x2+ky2=2可变形为x22+y22k=1，
若表示焦点在x轴上的椭圆，则有0<2k<2，解得k>1．
易知(1,2)?(1,+∞)，
所以11的充分不必要条件．
故选B．
11.【答案】C
【解答】
解：由题意，设椭圆的右焦点为F2，连接AF2，BF2．
因为|OA|=|OB|，|OF|=OF2，所以四边形AFBF2是平行四边形，
所以|BF|=AF2，所以AF+|BF|=|AF|+AF2=2a=4．
故选C．
12.【答案】C
【解答】
解：由题意可得：a=2，且1a2+34b2=1，
可得：a2=4，b2=1，c2=a2?b2=4?1=3，
所以c=3，焦距2c=23．
故选：C．
13.【答案】C
【解析】解：根据题意，椭圆x23+y27=1中，a=7，
则椭圆x23+y27=上一点到两个焦点的距离之和为2a=27；
14.【答案】C
【解析】解：根据题意，两定点F1(0,?1)，F2(0,1)则|F1F2|=2，
而动点M到两定点F1(0,?1)和F2(0,1)的距离之和为2，
则M的轨迹为线段F1F2，
15.【答案】x215+y210=1
?【解答】
解：由x29+y24=1得焦点坐标为(?5,0)，(5,0)，
由题意可知：设椭圆方程为：x2a2+y2a2?5=1，(a2>5)
将A(3,?2)代入椭圆方程得：9a2+4a2?5=1，
整理得：a4?18a2+45=0解得：a2=15或a2=3，
∴a2=15，椭圆的标准方程x215+y210=1．
故答案为x215+y210=1．
16.【答案】6+2
【解答】
解：椭圆5x2+9y2=45的标准方程为x29+y25=1，a=3，c=2，
设椭圆的右焦点为F2(2,0)，
根据椭圆的定义可知|PA|+|PF|=|PA|+2a?|PF2|，
∴当|PA|?|PF2|取得最大值时，|PA|+|PF|最大，
如图所示：
因为|PA|+|PF|≤2a+|AF2|=6+(2?1)2+(0?1)2=6+2，
当且仅当P，A，F2三点共线，且F2在线段PA上时，等号成立，
所以|PA|+|PF|的最大值为：6+2．
故答案为：6+2．
17.【答案】20
【解答】
解：∵椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，b=4，离心率为35，
∴b=4ca=35a2=b2+c2，解得a=5，b=4，c=3，
∵过F1的直线交椭圆于A、B两点，
∴△ABF2的周长为4a=20．
故答案为：20．
18.【答案】22613
【解答】
解：设点A关于直线l的对称点为A1(x1,y1)，
则有y1x1+2=?1,y12=x1?22+3,
解得x1=?3，y1=1，则A1(?3,1)，
易知PA+PB的最小值等于A1B=26，
因此椭圆C的离心率e=ABPA+PB=4PA+PB的最大值为22613．
19.【答案】解：(1)由已知可得e=ca=22b2+c2=a212a2+1b2=1，解得a2=52b2=54,
∴椭圆C的方程为2y25+4x25=1；
(2)由y=kx?132y25+4x25=1，消y得9(2k2+4)x2?12kx?43=0①，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是方程①的两根，
∴x1+x2=12k9(2k2+4),x1x2=?439(2k2+4)，
设P(0,p)，则PA=(x1,y1?p),PB=(x2,y2?p)，
PA?PB=x1x2+y1y2?p(y1+y2)+p2
=x1x2+(kx1?13)(kx2?13)?pk(x1+x2)+2p3+p2
=(18p2?45)k2+36p2+24p?399(2k2+4)
假设在y轴上存在定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过P点，
则PA⊥PB，即PA?PB=0．
即(18p2?45)k2+36p2+24p?39=0对任意k∈R恒成立，
∴18p2?45=036p2+24p?39=0，
此方程组无解，
∴不存在定点满足条件．
20.【答案】解：(1)由N3,32，Q233,0，
得直线NQ的方程为y=32x?3．
令x=0，得点B的坐标为(0,?3)．
所以椭圆的方程为x2a2+y23=1．
将点N的坐标3,32代入，
得(3)2a2+(32)23=1，解得a2=4．
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．
(2)(设线法)? 设直线BM的斜率为k(k>0)，
则直线BM的方程为y=kx?3．
在y=kx?3中，令y=0，得xP=3k，
而点Q是线段OP的中点，所以xQ=32k．
所以直线BN的斜率kBN=kBQ=0?(?3)32k?0=2k．
联立y=kx?3,x24+y23=1,
消去y，得(3+4k2)x2?83kx=0，解得xM=83k3+4k2．
用2k代替k，得xN=163k3+16k2．
又DN=2NM，所以xN=2(xM?xN)，得2xM=3xN．
故2×83k3+4k2=3×163k3+16k2，
又k>0，解得k=62．
所以直线BM的方程为y=62x?3．
21.【答案】解：(1)由已知得?2b=2，ca=63，解得a=3，b=1
∴椭圆C的方程为x23+y2=1．
(2)直线l方程为y=kx+2，将其代入x23+y2=1，
得(3k2+1)x2+12kx+9=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∴△=(12k)2?36(1+3k2)>0，解得k2>1，
由根与系数的关系，得x1+x2=?12k1+3k2，x1x2=91+3k2
∵∠AOB为锐角，
∴OA?OB>0，
∴x1x2+y1y2>0，
∴x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0，
∴(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0，
化简得13?3k21+3k2>0，
解得k2<133，
由k2>1且k2<133，
解得k∈(?393,?1)∪(1,393).
22.【答案】解：(Ⅰ)由题意，得a?c=33b，
则(a?c)2=13b2，结合b2=a2?c2，得(a?c)2=13(a2?c2)，即2c2?3ac+a2=0，
亦即2e2?3e+1=0，结合0所以椭圆C的离心率为12．
(Ⅱ)由(Ⅰ)得a=2c，则b2=3c2．
将M(3,32)代入椭圆方程x24c2+y23c2=1，解得c=1．
所以椭圆方程为x24+y23=1．
易得直线OM的方程为y=12x．
当直线l的斜率不存在时，AB的中点不可能在直线y=12x上，故直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y=kx+m(m≠0)，与x24+y23=1联立，
消y得(3+4k2)x2+8kmx+4m2?12=0，
所以Δ=64k2m2?4(3+4k2)(4m2?12)
=48(3+4k2?m2)>0．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则x1+x2=?8km3+4k2，x1x2=4m2?123+4k2．
由y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，
得AB的中点N(?4km3+4k2,3m3+4k2)，
因为N在直线y=12x上，
所以?4km3+4k2=2×3m3+4k2，解得k=?32．
所以Δ=48(12?m2)>0，得?12|AB|=1+(32)2|x2?x1|
=132·x1+x22?4x1x2
=132?m2?4m2?123
=39612?m2．
又原点O到直线l的距离d=2|m|13，
所以S△OAB=12×39612?m2×2|m|13
=36(12?m2)m2
≤36?12?m2+m22=3．
当且仅当12?m2=m2，m=±6时等号成立，符合?12所以△OAB面积的最大值为：3．