3.1.2 椭圆的简单几何性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.1.2 椭圆的简单几何性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 97.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-09 22:39:15 | ||
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文档简介
椭圆的简单几何性质同步练习
一、选择题
已知有相同两焦点F1、F2的椭圆x2m+y2=1(m>1)和双曲线x2n?y2=1(n>0)，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 随m，n变化而变化
已知椭圆：x24+y22=1，过点M(1,1)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点M平分，则直线AB的方程为(? ? ?)
A. x+2y?3=0 B. 2x+y?3=0 C. x+y?2=0 D. 2x?y+1=0
若过椭圆x216+y24=1内一点P(3,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为(??? )
A. 3x+4y?13=0 B. 3x?4y?5=0
C. 4x+3y?15=0 D. 4x?3y?9=0
已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点是圆x2+y2?6x+8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(??? )
A. ?3,0 B. ?4,0 C. ?10,0 D. ?5,0
我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2，a>b>c>0).如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为(????)
A. 5，4 B. 3，1 C. 5，3 D. 72，1
如图，F1F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左右焦点，点P在椭圆上，△POF2的面积为3的正三角形，则b2的值为（ ）
A. 3
B. 23
C. 33
D. 43
已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF1?(OF1+OP)=0(O为坐标原点)，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率为(????)
A. 6?3 B. 6?32 C. 6?5 D. 6?52
已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. (0,1) B. 0,12 C. 0,22 D. 22,1
已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e1e2的最大值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 433 D. 233
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A、B两点．若AF=3FB，则k=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
已知F1(?1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为（ ）
A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=1
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1,?1)，则弦长|AB|=(????)
A. 52 B. 25 C. 522 D. 10
若椭圆C：x28+y24=1的右焦点为F，且与直线l：x?3y+2=0交于P，Q两点，则△PQF的周长为（ ）
A. 62 B. 82 C. 6 D. 8
椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上的点M满足：∠F1MF2=60°，且MF1?MF2=2，则b=(????)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
二、填空题
已知抛物线C：x2=?2py(p>0)的焦点F与y28+x24=1的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为2，则弦长|AB|=________．
设M是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0上一点，以M为圆心的圆与x轴相切，切点为椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P，Q，若△PMQ为等边三角形，则椭圆C的离心率为________．
若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP?FP的最大值为_________．
设F1，F2分别为椭圆x23+y2=1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A=5F2B，则点A的坐标是_________．
三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)四个顶点中的三个是边长为23的等边三角形的顶点．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设直线y=kx+m与圆O:x2+y2=2b23相切且交椭圆E于两点M,N，求线段|MN|的最大值．
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个顶点分别为A?a,0,Ba,0，点P为椭圆上异于A，B的点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，且．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若b=1，设直线l与x轴交于点D(?1,0)，与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且椭圆上的点到点F的最大距离为3，O为坐标原点．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)过右焦点F倾斜角为60°的直线与椭圆C交于M、N两点，求△OMN的面积．
已知椭圆C：x2a2+y23=1(a>3)的焦距为2，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，M，N为椭圆C上的两点(异于A，B)，连结AM，BN，MN，且BN斜率是AM斜率的3倍．
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线MN恒过定点．
答案和解析
1.【答案】B
【解答】
解：由题意，不妨设P是双曲线右支上的一点，|PF1|=x，|PF2|=y，则x+y=2m，x?y=2n，
∴x2+y2=2(m+n)，
∵两曲线有相同的焦点，
∴m?1=n+1，
∴m=n+2，
∴x2+y2=4(n+1)，
即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
∴△F1PF2是直角三角形，
故选B．
2.【答案】A
【解答】
解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
则x124+y122=1，①，
x224+y222=1，②
①?②，得(x1?x2)(x1+x2)4+(y1?y2)(y1+y2)2=0．
∴y1?y2x1?x2=?12?x1+x2y1+y2．
又∵M为AB中点，
∴x1+x2=2，y1+y2=2．
∴直线AB的斜率为y1?y2x1?x2=?12．
∴直线AB的方程为y?1=?12(x?1)，即2y+x?3=0．
故选：A．
3.【答案】A
【解答】
解：设弦的两端点为A(x1,y1)，?B(x2,y2)，?P 为AB 中点得x1+x2=6y1+y2=2，
?由A ，?B 在椭圆上有x1216+y124=1x2216+y224=1,
两式相减得x12?x2216+y12?y224=0，
即(x1+x2)(x1?x2)16+(y1+y2)(y1?y2)4=0，
即3(x1?x2)8+y1?y22=0，即y1?y2x1?x2=?34，
则斜率k=?34，且过点P(3,1)，有y?1=?34(x?3)，
整理得3x+4y?13=0．
故选 A．
4.【答案】D
【解答】解：∵圆的标准方程为x?32+y2=1，
∴圆心坐标是3,0，
∴c=3．
又b=4，
∴a=b2+c2=5．
∵椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为?5,0．
故选D．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可得|OF2|=b2?c2=12，
|OF0|=c=3|OF2|=32，解得b=1，
又a2=b2+c2=1+34=74，得a=72，即a=72，b=1．
6.【答案】B
【解答】
解：∵△POF2的面积为3的正三角形，S=12×c×32c=34c2
∴34c2=3，
解得c=2．
∴P(1,3)代入椭圆方程可得：1a2+3b2=1，与a2=b2+4联立解得：b2=23．
故选B．
7.【答案】A
【解答】
解：设焦点坐标F1(?c,0)，F2(c,0)，F1F2=2c，
|PF1|=2|PF2|，PF1+PF2=2a，
所以PF1=22a2?1，PF2=2a2?1，
由PF1?(OF1+OP)=0，设线段PF1的中点为M，则OM⊥PF1,
则PO=OF1=OF2，
∴PF1⊥PF2，
则PF12+PF22=F1F22，
∴(22a2?1)2+(2a2?1)2=4c2，
可得c2=9?62a2，解得e2=9?62，
则椭圆的离心率为6?3．
故选A．
8.【答案】C
【解答】
解：设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c，椭圆上任一点P(x,y)，
由MF1·MF2=0的点M总在椭圆内，
则PF1·PF2>0，得x2+y2>c2恒成立，
代入椭圆方程化简得y2所以b2得a2>2c2，可得e=ca<22，
又0故选C．
9.【答案】D
【解答】
解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P为第一象限的点，如图：
设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，
则根据椭圆及双曲线的定义知|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|?|PF2|=2a2，
∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1?a2．
设|F1F2|=2c，在△PF1F2中，∠F1PF2=π3，
由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1?a2)2?2(a1+a2)(a1?a2)cosπ3，
化简得a12+3a22=4c2，即1e12+3e22=4，
∴1e12+3e22=4≥23e12e22，
∴1e1e2≤233，
当且仅当e1=22,e2=62时，等号成立，
则1e1e2的最大值为233，
故选D．
10.【答案】B
【解答】
解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2，
可得：b=1，ca=32，解得：a=2，c=3，b=1，
椭圆方程为x24+y2=1，
过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∵AF=3FB，∴y1=?3y2，
设直线AB方程为y=k(x?3)，
代入x24+y2=1，消去x，可得(14k2+1)y2+32ky?14=0，
∴y1+y2=?32k1+14k2=?23k1+4k2，y1y2=?141+14k2=?k24k2+1，
?2y2=?23k1+4k2，?3y22=?k24k2+1，
解得：k=2．
故选：B．
11.【答案】C
【解答】
解：F1(?1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，可得c=1，
过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，
令椭圆方程x2a2+y2b2=1中x=1，得y=±b2?b2a2，
可得2b2?b2a2=3，
化简得4a4?17a2+4=0，
解得a=2，则b=3，
所求的椭圆方程为：x24+y23=1．
故选：C．
12.【答案】A
【解答】
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
代入椭圆方程得x12a2+y12b2=1①，x22a2+y22b2=1②，
相减得x12?x22a2+y12?y22b2=0，
∴x1+x2a2+y1?y2x1?x2?y1+y2b2=0．
∵x1+x2=2，y1+y2=?2，kAB=?1?01?3=12．
∴2a2+12×?2b2=0，
化为a2=2b2，又c=3=a2?b2，解得a2=18，b2=9．
∴椭圆E的方程为?x218+y29=1．
AB的斜率为12，且过(1,?1)，
∴直线AB的方程为y+1=12(x?1)，即y=12x?32，代入椭圆方程，得3x2?6x?27=0．
∴x1+x2=2.x1x2=?9．
∴|AB|=1+14?(x1+x2)2?4x1x2=52．
故选：A．
13.【答案】B
【解析】解：∵直线l过椭圆C的左焦点F′(?2,0)，
直线l：x?3y+2=0经过左焦点F′，
∴△PQF的周长|PQ|+|PF|+|QF|
=|PF′|+|PF|+|QF′|+|QF|
=4a=82，
14.【答案】C
【解析】解：设|MF1|=m，|MF2|=n，因为MF1?MF2=2，则mncos60°=2，?mn=4，
又m+n=2a，(1)，
在△MF1F2中，由余弦定理可得：|F1F2|2=m2+n2?2mncos60°=4(a2?b2)(2)，
(1)式平方减去(2)式得：b2=3，得：b=3．
故选：C．
设|MF1|=m，|MF2|=n，由数量积及∠F1MF2的大小可得mn=4，再由椭圆的定义可得m+n=2a，在△MF1F2中，由余弦定理可得b的值．
本题考查椭圆的性质及数量积的运算性质，属于中档题．
15.【答案】10
【解答】
解：由题意可得F(0,?2)，则p=4，抛物线方程为x2=?8y．
设直线AB方程为y=kx?2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中y1=?x128，y2=?x228．
由y=?x28得y′=?x4，
所以在点A处的切线方程为y?y1=?x14(x?x1)，化简得y=?x14x+x128，①?
同理可得在点B处的切线方程为y=?x24x+x228.②?
联立①②得xM=x1+x22，
又∵M的横坐标为2，
∴x1+x2=4．
将AB方程代入抛物线得x2+8kx?16=0，
∴x1+x2=?8k=4，
∴k=?12，
∴y1+y2=k(x1+x2)?4=?12×4?4=?6，
∴|AB|=p?y1?y2=10．
故答案为10．
16.【答案】33
【解答】
解：如图，过M作MN⊥y轴于N，由△PMQ为等边三角形，
可得|PQ|=233c，
再由题意可得M(c,b2a)，则圆M为(x?c)2+(y?b2a)2=b4a2，
取x=0，可得y1=b2a?b4?a2c2a，y2=b2a+b4?a2c2a，
∴2b4?a2c2a=233c，即3(e2)2?10e2+3=0，
解得：e=33．
故答案为：33．
17.【答案】6
【解答】
解：由题意，F(?1,0)，
设点P(x0,y0)，
则有x024+y023=1，
解得y02=3(1?x024)，
因为FP=(x0+1,y0),OP=(x0,y0),
所以OP?FP=x0(x0+1)+3(1?x024)=x024+x0+3=14(x0+2)2+2，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=?2，
因为?2≤x0≤2，
所以当x0=2时，OP?FP取得最大值224+2+3=6，
故答案为6．
18.【答案】(0,1)或(0,?1)
【解答】
解：设A(m,n)．
由F1A=5F2B，
得Bm+625,n5．
又A，B均在椭圆上，
所以有m23+n2=1,m+62523+n52=1,
解得m=0,n=1或m=0,n=?1,
所以点A的坐标为(0,1)或(0,?1)．
19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形，
所以a=3b,b=3，即a=3，
所以椭圆E的方程为x29+y23=1，
(Ⅱ)圆O:x2+y2=2，因为直线y=kx+m与圆O:x2+y2=2相切，
所以m1+k2=2，即m2=2(1+k2)；
联立x29+y23=1y=kx+m得1+3k2x2+6kmx+3m2?3=0，Δ>0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，所以x1+x2=?6km1+3k2,x1·x2=3m2?31+3k2,
由弦长公式得|MN|=1+k2·x1?x2=1+k2·x1+x22?4x1x2=1+k2·129k2+3?m21+3k2，
将m2=21+k2代入：
|MN|=6·2+2k27k2+11+3k2≤6·2+2k2+7k2+121+3k2=362，
当且仅当2+2k2=7k2+1，即k2=15时等号成立，
故弦长|MN|最大值为362．
20.【答案】解：(1)设P(x0,y0)为椭圆上的点，
则x02a2+y02b2=1，整理得：y02=?b2a2(x02?a2)，
又k1=y0x0+a，k2=y0x0?a，∴k1k2=y02x02?a2=?12，
联立两个方程则k1k2=?b2a2=?12，
解得e=ca=1?b2a2=22．
(2)由(1)知a2=2b2，又b=1，
∴椭圆C的方程为x22+y2=1．
由题意，设直线l的方程为：x=my?1，
代入椭圆的方程有：(m2+2)y2?2my?1=0，
则Δ=?2m2+4m2+2=8m2+1>0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则y1+y2=2mm2+2，y1y2=?1m2+2，
则△OMN的面积
S=12OD·y1?y2
=12(y1+y2)2?4y1y2
=12×8m2+8m2+2=2·m2+1m2+2，
令m2+1=t，(t≥1)，则有m2=t2?1，
代入上式有S=2·m2+1m2+2=2tt2+1=2t+1t≤22，
当且仅当t=1，即m=0时等号成立，
所以△OMN面积的最大值为22．
21.【答案】解：(Ⅰ)椭圆焦点坐标为(1,0)，则c=1，
由椭圆C上的点到F的最大距离为a+c=3，则a=2，
b2=a2?c2=3，
∴椭圆的标准方程为x24+y23=1．
(Ⅱ)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由已知可设直线MN的方程为：y=3(x?1)，
联立方程组y=3(x?1)3x2+4y2=12消去x得：5y2+23y?9=0．
y1+y2=?235，y1?y2=?95，?(y1?y2)2=(?235)2?4×(?95)=19225．
∴△OMN的面积S=12×OF×|y1?y2|=12×1×835=435
22.【答案】解：(1)∵2c=2a2=c2+3,
∴a=2c=1,
所以b2=a2?c2=3
∴椭圆C的方程为x24+y23=1；
(2)连结BM，设M(x1,y1),N(x2,y2)，
则kAM?kBM=y1x1+2?y1x1?2=y12x12?4，
∵点M(x1,y1)在椭圆上，
∴kAM?kBM=y12x12?4=3?34x12x12?4=?34，
∵kBN=3kAM，
∴kBN?kBM=?94，
①当MN斜率不存在时，设MN:x=m，不妨设M在x轴上方，
∴M(m,12?3m24),N(m,?12?3m24)，
∵kBN?kBM=?94，
∴m=1；
②当MN斜率存在时，设MN:y=kx+t，
由y=kx+t3x2+4y2?12=0，整理，得(3+4k2)x2+8ktx+4t2?12=0，
∴x1+x2=?8kt3+4k2,x1?x2=4t2?123+4k2，
∵kBN?kBM=y1x1?2?y2x2?2=(kx1+t)?(kx1+t)x1x2?2(x1+x2)+4=?94，
∴化简可得2k2+3kt+t2=0，即t=?k或t=?2k，
当t=?k时，y=kx?k，恒过定点(1,0)，当斜率不存在亦符合；
当t=?2k，y=kx?2k，过点(2,0)与点B重合，舍去，
∴直线恒过定点(1,0)．
一、选择题
已知有相同两焦点F1、F2的椭圆x2m+y2=1(m>1)和双曲线x2n?y2=1(n>0)，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 随m，n变化而变化
已知椭圆：x24+y22=1，过点M(1,1)的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点M平分，则直线AB的方程为(? ? ?)
A. x+2y?3=0 B. 2x+y?3=0 C. x+y?2=0 D. 2x?y+1=0
若过椭圆x216+y24=1内一点P(3,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为(??? )
A. 3x+4y?13=0 B. 3x?4y?5=0
C. 4x+3y?15=0 D. 4x?3y?9=0
已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的一个焦点是圆x2+y2?6x+8=0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(??? )
A. ?3,0 B. ?4,0 C. ?10,0 D. ?5,0
我们把由半椭圆x2a2+y2b2=1(x≥0)与半椭圆y2b2+x2c2=1(x<0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2=b2+c2，a>b>c>0).如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为(????)
A. 5，4 B. 3，1 C. 5，3 D. 72，1
如图，F1F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左右焦点，点P在椭圆上，△POF2的面积为3的正三角形，则b2的值为（ ）
A. 3
B. 23
C. 33
D. 43
已知F1，F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆上一点，且PF1?(OF1+OP)=0(O为坐标原点)，若|PF1|=2|PF2|，则椭圆的离心率为(????)
A. 6?3 B. 6?32 C. 6?5 D. 6?52
已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. (0,1) B. 0,12 C. 0,22 D. 22,1
已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e1e2的最大值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 433 D. 233
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A、B两点．若AF=3FB，则k=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
已知F1(?1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则C的方程为（ ）
A. x22+y2=1 B. x23+y22=1 C. x24+y23=1 D. x25+y24=1
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1,?1)，则弦长|AB|=(????)
A. 52 B. 25 C. 522 D. 10
若椭圆C：x28+y24=1的右焦点为F，且与直线l：x?3y+2=0交于P，Q两点，则△PQF的周长为（ ）
A. 62 B. 82 C. 6 D. 8
椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上的点M满足：∠F1MF2=60°，且MF1?MF2=2，则b=(????)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
二、填空题
已知抛物线C：x2=?2py(p>0)的焦点F与y28+x24=1的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为2，则弦长|AB|=________．
设M是椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0上一点，以M为圆心的圆与x轴相切，切点为椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P，Q，若△PMQ为等边三角形，则椭圆C的离心率为________．
若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP?FP的最大值为_________．
设F1，F2分别为椭圆x23+y2=1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若F1A=5F2B，则点A的坐标是_________．
三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）
已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)四个顶点中的三个是边长为23的等边三角形的顶点．
(Ⅰ)求椭圆E的方程；
(Ⅱ)设直线y=kx+m与圆O:x2+y2=2b23相切且交椭圆E于两点M,N，求线段|MN|的最大值．
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的两个顶点分别为A?a,0,Ba,0，点P为椭圆上异于A，B的点，设直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，且．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若b=1，设直线l与x轴交于点D(?1,0)，与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且椭圆上的点到点F的最大距离为3，O为坐标原点．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)过右焦点F倾斜角为60°的直线与椭圆C交于M、N两点，求△OMN的面积．
已知椭圆C：x2a2+y23=1(a>3)的焦距为2，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，M，N为椭圆C上的两点(异于A，B)，连结AM，BN，MN，且BN斜率是AM斜率的3倍．
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线MN恒过定点．
答案和解析
1.【答案】B
【解答】
解：由题意，不妨设P是双曲线右支上的一点，|PF1|=x，|PF2|=y，则x+y=2m，x?y=2n，
∴x2+y2=2(m+n)，
∵两曲线有相同的焦点，
∴m?1=n+1，
∴m=n+2，
∴x2+y2=4(n+1)，
即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
∴△F1PF2是直角三角形，
故选B．
2.【答案】A
【解答】
解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
则x124+y122=1，①，
x224+y222=1，②
①?②，得(x1?x2)(x1+x2)4+(y1?y2)(y1+y2)2=0．
∴y1?y2x1?x2=?12?x1+x2y1+y2．
又∵M为AB中点，
∴x1+x2=2，y1+y2=2．
∴直线AB的斜率为y1?y2x1?x2=?12．
∴直线AB的方程为y?1=?12(x?1)，即2y+x?3=0．
故选：A．
3.【答案】A
【解答】
解：设弦的两端点为A(x1,y1)，?B(x2,y2)，?P 为AB 中点得x1+x2=6y1+y2=2，
?由A ，?B 在椭圆上有x1216+y124=1x2216+y224=1,
两式相减得x12?x2216+y12?y224=0，
即(x1+x2)(x1?x2)16+(y1+y2)(y1?y2)4=0，
即3(x1?x2)8+y1?y22=0，即y1?y2x1?x2=?34，
则斜率k=?34，且过点P(3,1)，有y?1=?34(x?3)，
整理得3x+4y?13=0．
故选 A．
4.【答案】D
【解答】解：∵圆的标准方程为x?32+y2=1，
∴圆心坐标是3,0，
∴c=3．
又b=4，
∴a=b2+c2=5．
∵椭圆的焦点在x轴上，椭圆的左顶点为?5,0．
故选D．
5.【答案】D
【解析】解：由题意可得|OF2|=b2?c2=12，
|OF0|=c=3|OF2|=32，解得b=1，
又a2=b2+c2=1+34=74，得a=72，即a=72，b=1．
6.【答案】B
【解答】
解：∵△POF2的面积为3的正三角形，S=12×c×32c=34c2
∴34c2=3，
解得c=2．
∴P(1,3)代入椭圆方程可得：1a2+3b2=1，与a2=b2+4联立解得：b2=23．
故选B．
7.【答案】A
【解答】
解：设焦点坐标F1(?c,0)，F2(c,0)，F1F2=2c，
|PF1|=2|PF2|，PF1+PF2=2a，
所以PF1=22a2?1，PF2=2a2?1，
由PF1?(OF1+OP)=0，设线段PF1的中点为M，则OM⊥PF1,
则PO=OF1=OF2，
∴PF1⊥PF2，
则PF12+PF22=F1F22，
∴(22a2?1)2+(2a2?1)2=4c2，
可得c2=9?62a2，解得e2=9?62，
则椭圆的离心率为6?3．
故选A．
8.【答案】C
【解答】
解：设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，焦距为2c，椭圆上任一点P(x,y)，
由MF1·MF2=0的点M总在椭圆内，
则PF1·PF2>0，得x2+y2>c2恒成立，
代入椭圆方程化简得y2
又0
9.【答案】D
【解答】
解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P为第一象限的点，如图：
设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，
则根据椭圆及双曲线的定义知|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|?|PF2|=2a2，
∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1?a2．
设|F1F2|=2c，在△PF1F2中，∠F1PF2=π3，
由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1?a2)2?2(a1+a2)(a1?a2)cosπ3，
化简得a12+3a22=4c2，即1e12+3e22=4，
∴1e12+3e22=4≥23e12e22，
∴1e1e2≤233，
当且仅当e1=22,e2=62时，等号成立，
则1e1e2的最大值为233，
故选D．
10.【答案】B
【解答】
解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2，
可得：b=1，ca=32，解得：a=2，c=3，b=1，
椭圆方程为x24+y2=1，
过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∵AF=3FB，∴y1=?3y2，
设直线AB方程为y=k(x?3)，
代入x24+y2=1，消去x，可得(14k2+1)y2+32ky?14=0，
∴y1+y2=?32k1+14k2=?23k1+4k2，y1y2=?141+14k2=?k24k2+1，
?2y2=?23k1+4k2，?3y22=?k24k2+1，
解得：k=2．
故选：B．
11.【答案】C
【解答】
解：F1(?1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，可得c=1，
过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，
令椭圆方程x2a2+y2b2=1中x=1，得y=±b2?b2a2，
可得2b2?b2a2=3，
化简得4a4?17a2+4=0，
解得a=2，则b=3，
所求的椭圆方程为：x24+y23=1．
故选：C．
12.【答案】A
【解答】
解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
代入椭圆方程得x12a2+y12b2=1①，x22a2+y22b2=1②，
相减得x12?x22a2+y12?y22b2=0，
∴x1+x2a2+y1?y2x1?x2?y1+y2b2=0．
∵x1+x2=2，y1+y2=?2，kAB=?1?01?3=12．
∴2a2+12×?2b2=0，
化为a2=2b2，又c=3=a2?b2，解得a2=18，b2=9．
∴椭圆E的方程为?x218+y29=1．
AB的斜率为12，且过(1,?1)，
∴直线AB的方程为y+1=12(x?1)，即y=12x?32，代入椭圆方程，得3x2?6x?27=0．
∴x1+x2=2.x1x2=?9．
∴|AB|=1+14?(x1+x2)2?4x1x2=52．
故选：A．
13.【答案】B
【解析】解：∵直线l过椭圆C的左焦点F′(?2,0)，
直线l：x?3y+2=0经过左焦点F′，
∴△PQF的周长|PQ|+|PF|+|QF|
=|PF′|+|PF|+|QF′|+|QF|
=4a=82，
14.【答案】C
【解析】解：设|MF1|=m，|MF2|=n，因为MF1?MF2=2，则mncos60°=2，?mn=4，
又m+n=2a，(1)，
在△MF1F2中，由余弦定理可得：|F1F2|2=m2+n2?2mncos60°=4(a2?b2)(2)，
(1)式平方减去(2)式得：b2=3，得：b=3．
故选：C．
设|MF1|=m，|MF2|=n，由数量积及∠F1MF2的大小可得mn=4，再由椭圆的定义可得m+n=2a，在△MF1F2中，由余弦定理可得b的值．
本题考查椭圆的性质及数量积的运算性质，属于中档题．
15.【答案】10
【解答】
解：由题意可得F(0,?2)，则p=4，抛物线方程为x2=?8y．
设直线AB方程为y=kx?2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中y1=?x128，y2=?x228．
由y=?x28得y′=?x4，
所以在点A处的切线方程为y?y1=?x14(x?x1)，化简得y=?x14x+x128，①?
同理可得在点B处的切线方程为y=?x24x+x228.②?
联立①②得xM=x1+x22，
又∵M的横坐标为2，
∴x1+x2=4．
将AB方程代入抛物线得x2+8kx?16=0，
∴x1+x2=?8k=4，
∴k=?12，
∴y1+y2=k(x1+x2)?4=?12×4?4=?6，
∴|AB|=p?y1?y2=10．
故答案为10．
16.【答案】33
【解答】
解：如图，过M作MN⊥y轴于N，由△PMQ为等边三角形，
可得|PQ|=233c，
再由题意可得M(c,b2a)，则圆M为(x?c)2+(y?b2a)2=b4a2，
取x=0，可得y1=b2a?b4?a2c2a，y2=b2a+b4?a2c2a，
∴2b4?a2c2a=233c，即3(e2)2?10e2+3=0，
解得：e=33．
故答案为：33．
17.【答案】6
【解答】
解：由题意，F(?1,0)，
设点P(x0,y0)，
则有x024+y023=1，
解得y02=3(1?x024)，
因为FP=(x0+1,y0),OP=(x0,y0),
所以OP?FP=x0(x0+1)+3(1?x024)=x024+x0+3=14(x0+2)2+2，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=?2，
因为?2≤x0≤2，
所以当x0=2时，OP?FP取得最大值224+2+3=6，
故答案为6．
18.【答案】(0,1)或(0,?1)
【解答】
解：设A(m,n)．
由F1A=5F2B，
得Bm+625,n5．
又A，B均在椭圆上，
所以有m23+n2=1,m+62523+n52=1,
解得m=0,n=1或m=0,n=?1,
所以点A的坐标为(0,1)或(0,?1)．
19.【答案】解：(Ⅰ)由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形，
所以a=3b,b=3，即a=3，
所以椭圆E的方程为x29+y23=1，
(Ⅱ)圆O:x2+y2=2，因为直线y=kx+m与圆O:x2+y2=2相切，
所以m1+k2=2，即m2=2(1+k2)；
联立x29+y23=1y=kx+m得1+3k2x2+6kmx+3m2?3=0，Δ>0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，所以x1+x2=?6km1+3k2,x1·x2=3m2?31+3k2,
由弦长公式得|MN|=1+k2·x1?x2=1+k2·x1+x22?4x1x2=1+k2·129k2+3?m21+3k2，
将m2=21+k2代入：
|MN|=6·2+2k27k2+11+3k2≤6·2+2k2+7k2+121+3k2=362，
当且仅当2+2k2=7k2+1，即k2=15时等号成立，
故弦长|MN|最大值为362．
20.【答案】解：(1)设P(x0,y0)为椭圆上的点，
则x02a2+y02b2=1，整理得：y02=?b2a2(x02?a2)，
又k1=y0x0+a，k2=y0x0?a，∴k1k2=y02x02?a2=?12，
联立两个方程则k1k2=?b2a2=?12，
解得e=ca=1?b2a2=22．
(2)由(1)知a2=2b2，又b=1，
∴椭圆C的方程为x22+y2=1．
由题意，设直线l的方程为：x=my?1，
代入椭圆的方程有：(m2+2)y2?2my?1=0，
则Δ=?2m2+4m2+2=8m2+1>0，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
则y1+y2=2mm2+2，y1y2=?1m2+2，
则△OMN的面积
S=12OD·y1?y2
=12(y1+y2)2?4y1y2
=12×8m2+8m2+2=2·m2+1m2+2，
令m2+1=t，(t≥1)，则有m2=t2?1，
代入上式有S=2·m2+1m2+2=2tt2+1=2t+1t≤22，
当且仅当t=1，即m=0时等号成立，
所以△OMN面积的最大值为22．
21.【答案】解：(Ⅰ)椭圆焦点坐标为(1,0)，则c=1，
由椭圆C上的点到F的最大距离为a+c=3，则a=2，
b2=a2?c2=3，
∴椭圆的标准方程为x24+y23=1．
(Ⅱ)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，
由已知可设直线MN的方程为：y=3(x?1)，
联立方程组y=3(x?1)3x2+4y2=12消去x得：5y2+23y?9=0．
y1+y2=?235，y1?y2=?95，?(y1?y2)2=(?235)2?4×(?95)=19225．
∴△OMN的面积S=12×OF×|y1?y2|=12×1×835=435
22.【答案】解：(1)∵2c=2a2=c2+3,
∴a=2c=1,
所以b2=a2?c2=3
∴椭圆C的方程为x24+y23=1；
(2)连结BM，设M(x1,y1),N(x2,y2)，
则kAM?kBM=y1x1+2?y1x1?2=y12x12?4，
∵点M(x1,y1)在椭圆上，
∴kAM?kBM=y12x12?4=3?34x12x12?4=?34，
∵kBN=3kAM，
∴kBN?kBM=?94，
①当MN斜率不存在时，设MN:x=m，不妨设M在x轴上方，
∴M(m,12?3m24),N(m,?12?3m24)，
∵kBN?kBM=?94，
∴m=1；
②当MN斜率存在时，设MN:y=kx+t，
由y=kx+t3x2+4y2?12=0，整理，得(3+4k2)x2+8ktx+4t2?12=0，
∴x1+x2=?8kt3+4k2,x1?x2=4t2?123+4k2，
∵kBN?kBM=y1x1?2?y2x2?2=(kx1+t)?(kx1+t)x1x2?2(x1+x2)+4=?94，
∴化简可得2k2+3kt+t2=0，即t=?k或t=?2k，
当t=?k时，y=kx?k，恒过定点(1,0)，当斜率不存在亦符合；
当t=?2k，y=kx?2k，过点(2,0)与点B重合，舍去，
∴直线恒过定点(1,0)．