3.2.1 双曲线及其标准方程-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.2.1 双曲线及其标准方程-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 120.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-09 22:41:11 | ||
图片预览
文档简介
双曲线及其标准方程同步练习
一、选择题
设F是双曲线C:x216?y29=1的右焦点，P是双曲线C左支上的点，已知A(1,3)，则△PAF周长的最小值是（ ）
A. 35 B. 35+13 C. 25+13 D. 25
已知动圆M过定点B(?4,0)，且和定圆(x?4)2+y2=16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(? ? )
A. x24?y212=1(x>0) B. x24?y212=1(x<0)
C. x24?y212=1 D. y24?x212=1
“ab<0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的?????????????????? (? ? ?)
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
设F1、F2分别是双曲线x2?y24=1的左、右焦点，点P在双曲线上，且，则?）
A. 1 B. 3 C. 3或7 D. 1或9
已知双曲线的两个焦点为F1(?5,0),F2(5,0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=2，则该双曲线的方程是? (??? )
A. x22?y23=1 B. x23?y22=1 C. x24?y2=1 D. x2?y24=1
已知双曲线x24?y2b2=1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，若△ABF1是等腰三角形，且∠A=120°，则△ABF1的周长为（ ）
A. 1633+8 B. 4(2?1) C. 433+8 D. 2(3?2)
已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx?y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是(????)
A. B.
C. D.
焦点分别为(?2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为（ ）
A. x2?y23=1 B. x23?y2=1 C. y2?x23=1 D. x22?y22=1
已知双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，?OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(??? )
A. x24?y212=1 B. x212?y24=1 C. x23?y2=1 D. x2?y23=1
已知F1，F2是双曲线E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则E的离心率为(? ? ? ? ? ? ? ?)
A. 2 B. 32 C. 3 D. 2
已知双曲线x22?y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2则?F1PF2的面积是(? ? )
A. 4 B. 2 C. 1 D. 12
已知双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为(? ?)
A. x24?y212=1 B. x212?y24=1 C. x23?y29=1 D. x29?y23=1
若方程x2m2+1?y2m2?3=1表示双曲线，则实数m满足（ ）
A. m≠1且m≠?3 B. m>1
C. m3 D. ?3已知F1，F2是等轴双曲线(实轴与虚轴长相等)C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点，且焦距为42，点P是C的右支上动点，过点P向C的一条渐近线作垂线，垂足为H，则F1P+PH的最小值是(?? )
A. 6 B. 42 C. 12 D. 82
二、填空题
已知F是双曲线x24?y212=1的左焦点，A1,4，P是双曲线右支上的动点，则PF+PA的最小值为________．
已知F是双曲线C：x2?y23=1的右焦点，P是双曲线C左支上的一点，且点A的坐标为0,23，则△APF的周长最小值为??????????．
点P在双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右支上，其左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的离心率为________．
已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x216+y212=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则PF12PF2的最小值为_____．
三、解答题
已知双曲线x23?y2b2=1的右焦点为(2,0)．
(1)求双曲线的方程;
(2)求双曲线的渐近线与直线x=?2围成的三角形的面积．
求符合下列要求的曲线的标准方程：
(1)已知椭圆的焦点在x轴，且长轴长为12，离心率为12；
(2)已知双曲线经过点A(?7,?62)，B(27,3)．
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点154,3，且一条渐近线为4x+3y=0
(2)双曲线与x轴的一个交点是(2,0)，且离心率是3．
已知焦点在x轴上的双曲线C的实轴长为23，焦距为25．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l:y=33x?1与双曲线C交于A,B两点，求弦长AB.
答案和解析
1.【答案】B
【解答】
解：设双曲线C的左焦点为F1，
由题意可知，c=16+9=5，则F1(?5,0)，F(5,0)，
又A(1,3)，则|AF|=5，
根据双曲线的定义可知，|PF|=2a+|PF1|，
所以△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF1|+|PA|+13，
当A，P，F1三点共线时，|PF1|+|PA|取得最小值，即△PAF的周长取得最小值，
可得|AF1|=(1+5)2+32=35，
故△PAF周长的最小值为35+13．
故选B．
2.【答案】C
【解答】
解：设动圆M的半径为r，依题意有|MB|=r，
另设A(4,0)，则有|MA|=r±4，
即|MA|?|MB|=±4，
亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，
又4<|AB|，因此动点M的轨迹为双曲线，
且c=4，2a=4，
∴a=2，a2=4，b2=c2?a2=12，
故动圆圆心M的轨迹方程是x24?y212=1．
故选C．
3.【答案】A
【解答】
解：若ax2+by2=c表示双曲线，即x2ca+y2cb=1表示双曲线，则c≠0，
则c2ab<0，则ab<0，
这就是说“ab<0”是方程ax2+by2=c表示双曲线的必要条件，
然而若ab<0，c可以等于0，此时方程ax2+by?2?=c不表示双曲线，
即“ab<0”不是方程ax2+by2=c表示双曲线的充分条件，
故“ab<0”是方程ax2+by2=c表示双曲线的必要不充分条件．
故选A．
4.【答案】C
【解答】
解：双曲线x2?y24=1，可得a=1，b=2，
∴c=5，
F1,F2分别是双曲线x2?y24=1的左，右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|=5，
∵c+a=5+1<5，
∴P既有可能在双曲线的左支上，也有可能在右支上，
当P在双曲线的左支时，则|PF2|=2a+|PF1|=2+5=7，
当P在双曲线的右支时，则|PF2|=?2a+|PF1|=?2+5=3，
综上，|PF2|=3或|PF2|=7．
故选C．
5.【答案】C
【解答】
解：设双曲线的方程为x2a2?y2b2=1．
由题意得：||PF1|?|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=(25)2=20，
又∵|PF1|?|PF2|=2，
∴4a2=20?2×2=16，
∴a2=4，b2=5?4=1，
所以双曲线的方程为x24?y2=1．
故选C．
6.【答案】A
【解答】
解：由双曲线x24?y2b2=1(b>0)，
可得：a=2．
如图所示，
设|AF2|=m，|BF2|=n．
可得：|AF1|=4+m，|BF1|=4+n．
因为△ABF1是等腰三角形，且∠A=120°，
∴4+m=m+n．
作AD⊥BF1，垂足为D，D为线段BF1的中点．
∠F1AD=60°．
∴|DF1|=32(4+m)，
∴32(4+m)×2=4+n，即3(4+m)=4+n，
又4+m=n+m，联立解得：n=4，m=833?4．
∴△ABF1的周长=4+m+m+n+4+n
=8+2(m+n)=8+1633．
故选：A．
7.【答案】C
【解答】
解：方程mx?y+n=0表示直线，与坐标轴的交点分别为(0,n)，(?nm,0)
若方程nx2+my2=mn表示椭圆，则m，n同为正，此时?nm<0，故A，B不满足题意；
若方程nx2+my2=mn表示双曲线，则m，n异号，∴?nm>0，故C符合题意，D不满足题意；
故选C．
8.【答案】A
【解答】
解：由双曲线定义知，
2a=(2+2)2+32?(2?2)2+32=5?3=2，
∴a=1，
又c=2，∴b2=c2?a2=4?1=3，
因此所求双曲线的标准方程为x2?y23=1．
故选A．
9.【答案】D
【解答】
解：根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线y=bax上)．
由?AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF=60?，c=|OF|=2．
又点A在双曲线的渐近线y=bax上，
∴ba=tan60?=3．
又a2+b2=4，∴a=1，b=3，
∴双曲线的方程为x2?y23=1．
故选D．
10.【答案】D
【解答】
解：如图所示：
∵MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，
∴设MF1=m，则MF2=3m，
由双曲线的定义得3m?m=2a，即m=a，
在直角三角形MF2F1中，9m2?m2=4c2，即2m2=c2，
即2a2=c2，
则e=2．
故选D．
11.【答案】C
【解答】
解：∵双曲线x22?y2=1中，a=2，b=1，
∴c=a2+b2=3，可得F1(?3,0)、F2(3,0)，
∵点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=12，
根据双曲线的定义，得||PF1|?|PF2||=2a=22，
∴两式联解，得|PF1|?|PF2|=2，
因此△F1PF2的面积S=12|PF1|?|PF2|=1．
故选C．
12.【答案】C
【解答】
解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线，
其方程为y=bax，即bx?ay=0，F(c,0)，
AC⊥CD，BD⊥CD，作FE⊥CD交CD于点E，显然ACDB是直角梯形，
又F是AB的中点，EF=d1+d22=3，
EF=bca2+b2=b，
所以b=3，双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，可得ca=2，
可得：a2+b2a2=4，解得a=3．
则双曲线的方程为：x23?y29=1．
故选C．
13.【答案】C
【解答】解：因为方程x2m2+1?y2m2?3=1表示双曲线，而m2+1>0恒成立，
所以m2?3>0，
解得m3，
故选C．
14.【答案】A
【解答】
解：因为双曲线C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0是等轴双曲线，且焦距为42，
所以a2=b2,a2+b2=c2=8，
解得a2=b2=4，
又因为点P在双曲线的右支上，
所以PF1=2a+PF2=4+PF2，
所以PF1+PH=4+PF2+PH≥4+F2H，
当F2，P，H在同一条直线上，且垂直渐近线时，F1P+PH有最小值，
F2H=d=222=2，
所以(PF1+PH)min=6．
故选A．
15.【答案】9．
【解答】
解：如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E4,0．
由双曲线的定义及标准方程得PF?PE=4，
则PF+PA=4+PE+PA．
由图可得，当A，P，E三点共线时，PE+PAmin=AE=5，
从而PF+PA的最小值为9．
16.【答案】10
【解答】
解：如图，
由双曲线C的方程可知a2=1，b2=3，
∴c2=a2+b2=1+3=4，
∴c=2，∴左焦点E(?2,0)，右焦点F(2,0)，
∵|AF|=22+(23)2=4，
∴当△APF的周长最小时，|PA|+|PF|最小，
由双曲线的性质得|PF|?|PE|=2a=2，
∴|PF|=|PE|+2，
又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=4，
当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，
∴△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=4+|PE|+|AP|+2≥4+4+2=10．
故答案为10．
17.【答案】53
【解答】
解：设线段PF1的垂直平分线交PF1于点M，则PF2=F1F2=2c，
∵以原点为圆心，半径为a的圆与直线PF1切于A点，∴OA//F2M，OA⊥PF1，
∴∣AF1∣=∣OF1∣2?∣OA∣2=b，∣PF1∣=2∣PM∣=2∣MF1∣=4∣AF1∣=4b，
∴由双曲线的定义得∣PF1∣?∣PF2∣=2a，即4b?2c=2a，
∴4b2=(a+c)2，∴3c2?2ac?5a2=0，∴e=ca=53，
故答案为：53．
18.【答案】8
【解答】
解：椭圆x216+y212=1的焦点为(±2,0)，离心率为12，
则a2+b2=4，c=2，ca=2a=2，解得a=1，b=3．
因为点P在双曲线右支上，所以|PF1|?|PF2|=2，|PF2|≥c?a=1，
则PF12PF2=(PF2+2)2PF2=PF2+4PF2+4?2PF2?4PF2+4=8，
当且仅当PF2=4PF2，即|PF2|=2时取等号，故PF12PF2的最小值为8．
故答案为8．
19.【答案】解：(1)∵双曲线的右焦点的坐标为(2,0)，且双曲线的方程为x23?y2b2=1，
∴c2=a2+b2=3+b2=4，
∴b2=1，
∴双曲线的方程为x23?y2=1．
(2)∵a=3，b=1，
∴双曲线的渐近线方程为y=±33x.
令x=?2，则y=±233，
设直线x=?2与双曲线的渐近线的交点为A，B，则|AB|=433．
记双曲线的渐近线与直线x=?2围成的三角形的面积为S，
则S=12×433×2=433．
20.【答案】解：(1)由已知条件可设所求的椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(其中a>b>0)，
则2a=12，∴a=6，
且离心率为e=ca=12，∴c=3，
∴b2=a2?c2=62?32=27，
故所求的椭圆的标准方程为x236+y227=1；
(2)设所求的双曲线方程为mx2+ny2=1，
由题意可得方程组49m+72n=128m+9n=1，解之得m=125n=?175，
故所求的双曲线标准方程为x225?y275=1．
21.【答案】解：(1)双曲线的一条渐近线为4x+3y=0
可设双曲线的方程为：16x2?9y2=m(m≠0)
代入点154,3，得m=16×22516?81=144
则有双曲线的标准方程为x29?y216=1
(2)双曲线与x轴的一个交点是(2,0)，所以a=2
由ca=3，得c=6，则b=36?4=42
所以双曲线的标准方程为x24?y232=1
22.【答案】(1)x23?y22=1
(2)联立y=33x?1x23?y22=1?x2+23x?9=0,Δ=48,∴AB=8.
一、选择题
设F是双曲线C:x216?y29=1的右焦点，P是双曲线C左支上的点，已知A(1,3)，则△PAF周长的最小值是（ ）
A. 35 B. 35+13 C. 25+13 D. 25
已知动圆M过定点B(?4,0)，且和定圆(x?4)2+y2=16相切，则动圆圆心M的轨迹方程为(? ? )
A. x24?y212=1(x>0) B. x24?y212=1(x<0)
C. x24?y212=1 D. y24?x212=1
“ab<0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的?????????????????? (? ? ?)
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
设F1、F2分别是双曲线x2?y24=1的左、右焦点，点P在双曲线上，且，则?）
A. 1 B. 3 C. 3或7 D. 1或9
已知双曲线的两个焦点为F1(?5,0),F2(5,0)，P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=2，则该双曲线的方程是? (??? )
A. x22?y23=1 B. x23?y22=1 C. x24?y2=1 D. x2?y24=1
已知双曲线x24?y2b2=1(b>0)的左右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于A、B两点，若△ABF1是等腰三角形，且∠A=120°，则△ABF1的周长为（ ）
A. 1633+8 B. 4(2?1) C. 433+8 D. 2(3?2)
已知m，n为两个不相等的非零实数，则方程mx?y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是(????)
A. B.
C. D.
焦点分别为(?2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为（ ）
A. x2?y23=1 B. x23?y2=1 C. y2?x23=1 D. x22?y22=1
已知双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，?OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(??? )
A. x24?y212=1 B. x212?y24=1 C. x23?y2=1 D. x2?y23=1
已知F1，F2是双曲线E：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则E的离心率为(? ? ? ? ? ? ? ?)
A. 2 B. 32 C. 3 D. 2
已知双曲线x22?y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2则?F1PF2的面积是(? ? )
A. 4 B. 2 C. 1 D. 12
已知双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为(? ?)
A. x24?y212=1 B. x212?y24=1 C. x23?y29=1 D. x29?y23=1
若方程x2m2+1?y2m2?3=1表示双曲线，则实数m满足（ ）
A. m≠1且m≠?3 B. m>1
C. m3 D. ?3
A. 6 B. 42 C. 12 D. 82
二、填空题
已知F是双曲线x24?y212=1的左焦点，A1,4，P是双曲线右支上的动点，则PF+PA的最小值为________．
已知F是双曲线C：x2?y23=1的右焦点，P是双曲线C左支上的一点，且点A的坐标为0,23，则△APF的周长最小值为??????????．
点P在双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右支上，其左、右焦点分别为F1、F2，直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则该双曲线的离心率为________．
已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)与椭圆x216+y212=1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则PF12PF2的最小值为_____．
三、解答题
已知双曲线x23?y2b2=1的右焦点为(2,0)．
(1)求双曲线的方程;
(2)求双曲线的渐近线与直线x=?2围成的三角形的面积．
求符合下列要求的曲线的标准方程：
(1)已知椭圆的焦点在x轴，且长轴长为12，离心率为12；
(2)已知双曲线经过点A(?7,?62)，B(27,3)．
根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点154,3，且一条渐近线为4x+3y=0
(2)双曲线与x轴的一个交点是(2,0)，且离心率是3．
已知焦点在x轴上的双曲线C的实轴长为23，焦距为25．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l:y=33x?1与双曲线C交于A,B两点，求弦长AB.
答案和解析
1.【答案】B
【解答】
解：设双曲线C的左焦点为F1，
由题意可知，c=16+9=5，则F1(?5,0)，F(5,0)，
又A(1,3)，则|AF|=5，
根据双曲线的定义可知，|PF|=2a+|PF1|，
所以△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF1|+|PA|+13，
当A，P，F1三点共线时，|PF1|+|PA|取得最小值，即△PAF的周长取得最小值，
可得|AF1|=(1+5)2+32=35，
故△PAF周长的最小值为35+13．
故选B．
2.【答案】C
【解答】
解：设动圆M的半径为r，依题意有|MB|=r，
另设A(4,0)，则有|MA|=r±4，
即|MA|?|MB|=±4，
亦即动圆圆心M到两定点A、B的距离之差的绝对值等于常数4，
又4<|AB|，因此动点M的轨迹为双曲线，
且c=4，2a=4，
∴a=2，a2=4，b2=c2?a2=12，
故动圆圆心M的轨迹方程是x24?y212=1．
故选C．
3.【答案】A
【解答】
解：若ax2+by2=c表示双曲线，即x2ca+y2cb=1表示双曲线，则c≠0，
则c2ab<0，则ab<0，
这就是说“ab<0”是方程ax2+by2=c表示双曲线的必要条件，
然而若ab<0，c可以等于0，此时方程ax2+by?2?=c不表示双曲线，
即“ab<0”不是方程ax2+by2=c表示双曲线的充分条件，
故“ab<0”是方程ax2+by2=c表示双曲线的必要不充分条件．
故选A．
4.【答案】C
【解答】
解：双曲线x2?y24=1，可得a=1，b=2，
∴c=5，
F1,F2分别是双曲线x2?y24=1的左，右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|=5，
∵c+a=5+1<5，
∴P既有可能在双曲线的左支上，也有可能在右支上，
当P在双曲线的左支时，则|PF2|=2a+|PF1|=2+5=7，
当P在双曲线的右支时，则|PF2|=?2a+|PF1|=?2+5=3，
综上，|PF2|=3或|PF2|=7．
故选C．
5.【答案】C
【解答】
解：设双曲线的方程为x2a2?y2b2=1．
由题意得：||PF1|?|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=(25)2=20，
又∵|PF1|?|PF2|=2，
∴4a2=20?2×2=16，
∴a2=4，b2=5?4=1，
所以双曲线的方程为x24?y2=1．
故选C．
6.【答案】A
【解答】
解：由双曲线x24?y2b2=1(b>0)，
可得：a=2．
如图所示，
设|AF2|=m，|BF2|=n．
可得：|AF1|=4+m，|BF1|=4+n．
因为△ABF1是等腰三角形，且∠A=120°，
∴4+m=m+n．
作AD⊥BF1，垂足为D，D为线段BF1的中点．
∠F1AD=60°．
∴|DF1|=32(4+m)，
∴32(4+m)×2=4+n，即3(4+m)=4+n，
又4+m=n+m，联立解得：n=4，m=833?4．
∴△ABF1的周长=4+m+m+n+4+n
=8+2(m+n)=8+1633．
故选：A．
7.【答案】C
【解答】
解：方程mx?y+n=0表示直线，与坐标轴的交点分别为(0,n)，(?nm,0)
若方程nx2+my2=mn表示椭圆，则m，n同为正，此时?nm<0，故A，B不满足题意；
若方程nx2+my2=mn表示双曲线，则m，n异号，∴?nm>0，故C符合题意，D不满足题意；
故选C．
8.【答案】A
【解答】
解：由双曲线定义知，
2a=(2+2)2+32?(2?2)2+32=5?3=2，
∴a=1，
又c=2，∴b2=c2?a2=4?1=3，
因此所求双曲线的标准方程为x2?y23=1．
故选A．
9.【答案】D
【解答】
解：根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线y=bax上)．
由?AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF=60?，c=|OF|=2．
又点A在双曲线的渐近线y=bax上，
∴ba=tan60?=3．
又a2+b2=4，∴a=1，b=3，
∴双曲线的方程为x2?y23=1．
故选D．
10.【答案】D
【解答】
解：如图所示：
∵MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，
∴设MF1=m，则MF2=3m，
由双曲线的定义得3m?m=2a，即m=a，
在直角三角形MF2F1中，9m2?m2=4c2，即2m2=c2，
即2a2=c2，
则e=2．
故选D．
11.【答案】C
【解答】
解：∵双曲线x22?y2=1中，a=2，b=1，
∴c=a2+b2=3，可得F1(?3,0)、F2(3,0)，
∵点P在双曲线上，且∠F1PF2=90°，
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=12，
根据双曲线的定义，得||PF1|?|PF2||=2a=22，
∴两式联解，得|PF1|?|PF2|=2，
因此△F1PF2的面积S=12|PF1|?|PF2|=1．
故选C．
12.【答案】C
【解答】
解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线，
其方程为y=bax，即bx?ay=0，F(c,0)，
AC⊥CD，BD⊥CD，作FE⊥CD交CD于点E，显然ACDB是直角梯形，
又F是AB的中点，EF=d1+d22=3，
EF=bca2+b2=b，
所以b=3，双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，可得ca=2，
可得：a2+b2a2=4，解得a=3．
则双曲线的方程为：x23?y29=1．
故选C．
13.【答案】C
【解答】解：因为方程x2m2+1?y2m2?3=1表示双曲线，而m2+1>0恒成立，
所以m2?3>0，
解得m3，
故选C．
14.【答案】A
【解答】
解：因为双曲线C：x2a2?y2b2=1a>0,b>0是等轴双曲线，且焦距为42，
所以a2=b2,a2+b2=c2=8，
解得a2=b2=4，
又因为点P在双曲线的右支上，
所以PF1=2a+PF2=4+PF2，
所以PF1+PH=4+PF2+PH≥4+F2H，
当F2，P，H在同一条直线上，且垂直渐近线时，F1P+PH有最小值，
F2H=d=222=2，
所以(PF1+PH)min=6．
故选A．
15.【答案】9．
【解答】
解：如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E4,0．
由双曲线的定义及标准方程得PF?PE=4，
则PF+PA=4+PE+PA．
由图可得，当A，P，E三点共线时，PE+PAmin=AE=5，
从而PF+PA的最小值为9．
16.【答案】10
【解答】
解：如图，
由双曲线C的方程可知a2=1，b2=3，
∴c2=a2+b2=1+3=4，
∴c=2，∴左焦点E(?2,0)，右焦点F(2,0)，
∵|AF|=22+(23)2=4，
∴当△APF的周长最小时，|PA|+|PF|最小，
由双曲线的性质得|PF|?|PE|=2a=2，
∴|PF|=|PE|+2，
又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=4，
当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，
∴△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=4+|PE|+|AP|+2≥4+4+2=10．
故答案为10．
17.【答案】53
【解答】
解：设线段PF1的垂直平分线交PF1于点M，则PF2=F1F2=2c，
∵以原点为圆心，半径为a的圆与直线PF1切于A点，∴OA//F2M，OA⊥PF1，
∴∣AF1∣=∣OF1∣2?∣OA∣2=b，∣PF1∣=2∣PM∣=2∣MF1∣=4∣AF1∣=4b，
∴由双曲线的定义得∣PF1∣?∣PF2∣=2a，即4b?2c=2a，
∴4b2=(a+c)2，∴3c2?2ac?5a2=0，∴e=ca=53，
故答案为：53．
18.【答案】8
【解答】
解：椭圆x216+y212=1的焦点为(±2,0)，离心率为12，
则a2+b2=4，c=2，ca=2a=2，解得a=1，b=3．
因为点P在双曲线右支上，所以|PF1|?|PF2|=2，|PF2|≥c?a=1，
则PF12PF2=(PF2+2)2PF2=PF2+4PF2+4?2PF2?4PF2+4=8，
当且仅当PF2=4PF2，即|PF2|=2时取等号，故PF12PF2的最小值为8．
故答案为8．
19.【答案】解：(1)∵双曲线的右焦点的坐标为(2,0)，且双曲线的方程为x23?y2b2=1，
∴c2=a2+b2=3+b2=4，
∴b2=1，
∴双曲线的方程为x23?y2=1．
(2)∵a=3，b=1，
∴双曲线的渐近线方程为y=±33x.
令x=?2，则y=±233，
设直线x=?2与双曲线的渐近线的交点为A，B，则|AB|=433．
记双曲线的渐近线与直线x=?2围成的三角形的面积为S，
则S=12×433×2=433．
20.【答案】解：(1)由已知条件可设所求的椭圆标准方程为x2a2+y2b2=1(其中a>b>0)，
则2a=12，∴a=6，
且离心率为e=ca=12，∴c=3，
∴b2=a2?c2=62?32=27，
故所求的椭圆的标准方程为x236+y227=1；
(2)设所求的双曲线方程为mx2+ny2=1，
由题意可得方程组49m+72n=128m+9n=1，解之得m=125n=?175，
故所求的双曲线标准方程为x225?y275=1．
21.【答案】解：(1)双曲线的一条渐近线为4x+3y=0
可设双曲线的方程为：16x2?9y2=m(m≠0)
代入点154,3，得m=16×22516?81=144
则有双曲线的标准方程为x29?y216=1
(2)双曲线与x轴的一个交点是(2,0)，所以a=2
由ca=3，得c=6，则b=36?4=42
所以双曲线的标准方程为x24?y232=1
22.【答案】(1)x23?y22=1
(2)联立y=33x?1x23?y22=1?x2+23x?9=0,Δ=48,∴AB=8.