3.2.2 双曲线的简单几何性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.2.2 双曲线的简单几何性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册同步练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 119.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-09 22:38:13 | ||
图片预览
文档简介
双曲线的简单几何性质同步练习
一、选择题
双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2，若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率是(????)
A. 5?1 B. 3+52 C. 5+12 D. 3+1
若双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x?2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为(? ? ? )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 233
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y23?x2=1相交于M，N两点，若△MNF为直角三角形，其中F为直角顶点，则p=(????)
A. 23 B. 3 C. 33 D. 6
双曲线x24?y2=1的顶点到渐近线的距离等于（ ）
A. 255 B. 45 C. 25 D. 455
已知双曲线x2m?y23m=1的一个焦点为(0,4)，椭圆y2n?x2m=1的焦距为4，则m+n=(????)
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e1e2的最大值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 433 D. 233
已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点坐标为(2,1)，则双曲线C的方程为（ ）
A. x22?y2=1 B. x24?y2=1 C. x2?y22=1 D. x2?y24=1
已知双曲线x2a2?y2b2=1a>0,b>0的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y=±2x B. y=±2x C. y=±12x D. y=±22x
与双曲x24?y25=1的一条斜率为正的渐近线平行，且距离为1的直线方程为（ ）
A. 5x?2y±3=0 B. 5x?2y±4=0
C. 2x?5±3=0 D. 2x?5y±4=0
设过双曲线x2?y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若PQ=7，则△F2PQ的周长为（ ）
A. 19 B. 26 C. 43 D. 50
已知椭圆E：x211+y22=1与双曲线C：x2a2?y25=1(a>0,b>0)有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. y=±355x B. y=±53x C. y=±255x D. y=±52x
设双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a=(????)
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
设F1，F2是双曲线C：x2?y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为（ ）
A. 72 B. 3 C. 52 D. 2
二、填空题
如图，F1,F2是双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)?的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为? ? ? ? ??．
已知双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________．
已知F1，F2为双曲线C:x2?y2=2的左、右焦点，点P在C上，PF1=2PF2，则cos∠F1PF2=??????????．
已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C:x216?y29=1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则??????????．
三、解答题
已知双曲线E：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=?2x．
(Ⅰ)求双曲线E的离心率；
(Ⅱ)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A,B分别在第一、四象限)，且?OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
已知双曲线3x2?y2=12．
(1)求双曲线的焦点坐标及顶点坐标;
(2)求过双曲线的右焦点且与双曲线的渐近线平行的直线方程．
已知双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线y24?x22=1有相同的渐近线，且经过点M(2,?2).
(Ⅰ)求双曲线C的方程；
(Ⅱ)求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
设双曲线C：x2a2?y2=1(a>0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A，B．
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且PA=512PB，求a的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解答】
解：由题意可得A1(?a,0)，A2(a,0)，B1(0,?b)，B2(0,b)，F1(?c,0)，F2(c,0)，
且a2+b2=c2，菱形F1B1F2B2的边长为b2+c2，
由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，
由面积相等，可得12?2b?2c=12a?4b2+c2，
即为b2c2=a2(b2+c2)，
即有c4+a4?3a2c2=0，
由e=ca，可得e4?3e2+1=0，
解得e2=3±52，
因为e>1，所以e2=3+52，
可得e=3+52=1+52．
故选C．
2.【答案】A
【解答】
解：双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨设为：bx?ay=0，
圆(x?2)2+y2=4的圆心(2,0)，半径为2，
由双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x?2)2+y2=4所截得的弦长为2，
可得圆心到bx?ay=0的距离为d=22?12=3=|2b|a2+b2，及即b2=3a2，
又c2=a2+b2=4a2，
可得e2=4，即e=2．
故选A．
3.【答案】A
【解答】
由题可得，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)，准线x=?p2，
所以其准线与双曲线y23?x2=1相交于M(?p2,3+3p24),N(?p2,?3+3p24)，
由双曲线的对称性知△MNF为等腰直角三角形，∴∠FMN=π4，
∴tan∠FMN=p3+3p24=1，∴p2=3+3p24，即p=23，
故选A．
4.【答案】A
【解答】解：因为双曲线x24?y2=1的顶点为±2,0，渐近线方程为x±2y=0，
所以双曲线的顶点到渐近线的距离为21+22=255．
故选A．
5.【答案】C
【解答】
记双曲线的焦距为2c，椭圆的焦距为c′，
由双曲线的焦点为(0,4)，知双曲线焦点在y轴，
且c2=(?3m)+(?m)=?4m=16，
可得m=?4，
从而椭圆方程为y2n+x24=1，
又焦距为4，知c′=2，
当n>4时，有n?4=4，得n=8，
当n<4时，4?n=4，n=0(舍去)，
于是m+n=4，
故选：C．
6.【答案】D
【解答】
解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P为第一象限的点，如图：
设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，
则根据椭圆及双曲线的定义知|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|?|PF2|=2a2，
∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1?a2．
设|F1F2|=2c，在△PF1F2中，∠F1PF2=π3，
由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1?a2)2?2(a1+a2)(a1?a2)cosπ3，
化简得a12+3a22=4c2，即1e12+3e22=4，
∴1e12+3e22=4≥23e12e22，
∴1e1e2≤233，
当且仅当e1=22,e2=62时，等号成立，
则1e1e2的最大值为233，
故选D．
7.【答案】B
【解答】解：设P(2,1)，由题意知，点P在y=bax上，所以a=2b．
又点P在以F1F2为直径的圆上，所以有PF1?PF2=0，
又F1(?c,0)，F2(c,0)，所以(?c?2,?1)?(c?2,?1)=0，即(?c?2)(c?2)+1=0，
所以c=5.又c=a2+b2，a=2b，
所以a=2，b=1，所以双曲线C的方程为x24?y2=1，
故选B．
8.【答案】B
【解答】解：双曲线x2a2?y2b2=1a>0,b>0的离心率为3，可得e=ca=3，
即c=3a，由c2=a2+b2，可得b=2a，
渐近线方程为y=±bax，即y=±2x．
故选B．
9.【答案】A
【解析】解：双曲线x24?y25=1的一条渐近线方程为：5x?2y=0，设所求直线方程：5x?2y+t=0，
与双曲x24?y25=1的一条斜率为正的渐近线平行，且距离为1，可得：|t|5+4=1，可得t=±3．
所求直线方程为：5x?2y±3=0．
故选：A．
求出渐近线方程，设出直线方程，然后推出结果即可．
本题考查双曲线的渐近线方程的应用，直线方程的求法．考查计算能力．
10.【答案】B
【解析】解：∵|PF2|?|PF1|=6，|QF2|?|QF1|=6，
∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=7
∴|PF2|+|QF2|?7=12，
∴|PF2|+|QF2|=19，
∴△F2PQ的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=19+7=26，
11.【答案】D
【解析】解：椭圆E的焦点为(±3,0).故a2=32?5=4．
双曲线C：x24?y25=1，
双曲线C的渐近线方程为y=±52x．
12.【答案】A
【解析】
解：不妨设P在双曲线的左支上，
由题意，设PF2=m，PF1=n，可得m?n=2a，12mn=4，m2+n2=4c2，
所以4c2=m2+n2=(m?n)2+2mn=4a2+16，①
又e=ca=5，所以c=5a，②
②代入①得可得5a2=4+a2，
解得a=1．
故选：A．
13.【答案】B
【解答】
解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y=±bax，
分别将x=a，代入可得y=±b，
即D(a,b)，E(a,?b)，
则S△ODE=12a×2b=ab=8，
∴c2=a2+b2≥2ab=16，当且仅当a=b=22时取等号，
∴C的焦距的最小值为2×4=8，
故选：B．
14.【答案】B
【解析】解：由题意可得a=1，b=3，c=2，
∴|F1F2|=2c=4，
∵|OP|=2，
∴|OP|=12|F1F2|，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2=16，
∵||PF1|?|PF2||=2a=2，
∴|PF1|2+|PF2|2?2|PF1|?|PF2|=4，
∴|PF1|?|PF2|=6，
∴△PF1F2的面积为S=12|PF1|?|PF2|=3，
15.【答案】7
【解答】
解：根据双曲线的定义，可得|BF1|?|BF2|=2a，
∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|，
∴|BF1|?|AB|=|AF1|=2a，
又∵|AF2|?|AF1|=2a，
∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，
∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°，
∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2?2|AF1|?|AF2|cos120°，
即4c2=4a2+16a2?2×2a×4a×cos120°=28a2，解得c=7a，
所以双曲线C的离心率e=7．
故答案为7．
16.【答案】y=±3x
【解答】
解：因为e=ca=2,
所以c=2a,
又2a2=a2+b2,
所以ba=3，
所以该双曲线的渐近线方程为y=±3x．
故答案为y=±3x．
17.【答案】34
【解答】
解：∵由双曲线的定义有PF1?PF2=PF2=2a=22，
∴PF1=2PF2=42，
双曲线的标准方程为x22?y22=1，所以F2F2=22+2=4，
在△F1PF2中，由余弦定理得：
cos∠F1PF2=PF12+PF22?F1F222PF1?PF2=(42)2+(22)2?422×42×22=34?．
故答案为34．
18.【答案】45
【解答】解：易求双曲线C:x216?y29=1中，a=4，c=5．
在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知
=||PB|?|PA|||AB|=2a2c=45．
故答案为45．
19.【答案】解：(Ⅰ)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x，y=?2x，
所以ba=2，所以c2?a2a=2，
故c=5a．
从而双曲线E的离心率e=ca=5．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，双曲线E的方程为x2a2?y24a2=1
设直线l与x轴相交于点C，如图所示．
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，
则OC=a，AB=4a.因为?OAB的面积为8，
所以12OC?AB=8，
即12a?4a=8，解得a=2．
此时双曲线E的方程为x24?y216=1．
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为x24?y216=1．
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：x24?y216=1也满足条件．
设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k>2或k记Ax1,y1，Bx2,y2．
由y=kx+m,y=2x,，消去x，得y1=2m2?k.同理得y2=2m2+k．
由S?OAB=12OC?y1?y2，得12?mk?2m2?k?2m2+k=8，
即m2=44?k2=4k2?4．
由y=kx+m,x24?y216=1,消去y，得4?k2x2?2kmx?m2?16=0．
因为4?k2<0，所以Δ=4k2m2+44?k2m2+16=?164k2?m2?16．
又m2=4k2?4，所以Δ=0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一公共点的双曲线E，
且E的方程为x24?y216=1．
20.【答案】解：(1)由题意，可得双曲线的标准方程为x24?y212=1，
所以该双曲线的左、右焦点坐标分别为(?4,0)，(4,0)．
左、右顶点坐标分别为(?2,0)，(2,0)．
(2)易知该双曲线的渐近线方程为y=±3x，
则过双曲线的右焦点且与双曲线的渐近线平行的直线方程为y=±3(x?4)．
21.【答案】解：(Ⅰ)∵双曲线C与双曲线y24?x22=1有相同的渐近线，
∴设双曲线的方程为x22?y24=λ(λ≠0)，
代入M(2,?2).得λ=12，
故双曲线的方程为：x2?y22=1．
(Ⅱ)由方程得a=1，b=2，c=3，故离心率e=3．
其渐近线方程为y=±2x；
焦点坐标F(3,0)，解得到渐近线的距离为：2×31+2=2．
∴m2+4m2=10，即m=±2．
22.【答案】解：(1)由C与l相交于两个不同的点，
故知方程组x2a2?y2=1x+y=1有两个不同的实数解，消去y并整理得，(1?a2)x2+2a2x?2a2=0.①
即有1?a2≠04a4+8a21?a2>0，解得0∵双曲线的离心率e=ca=a2+b2a=a2+1a=1a2+1，由于0∴e>62且e≠2；
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)，由于PA→=512PB→，
∴(x1,y1?1)=512(x2,y2?1)，
即有x1=512x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1?a2≠0，
∴x1+x2=?2a21?a2，x1·x2=?2a21?a2，
∴1712x2=?2a2a2?1，512x22=?2a21?a2，
消去x2得：2a2a2?1=28960，
又∵a>0，
解得a=1713．
一、选择题
双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2，若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，则双曲线的离心率是(????)
A. 5?1 B. 3+52 C. 5+12 D. 3+1
若双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x?2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为(? ? ? )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 233
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y23?x2=1相交于M，N两点，若△MNF为直角三角形，其中F为直角顶点，则p=(????)
A. 23 B. 3 C. 33 D. 6
双曲线x24?y2=1的顶点到渐近线的距离等于（ ）
A. 255 B. 45 C. 25 D. 455
已知双曲线x2m?y23m=1的一个焦点为(0,4)，椭圆y2n?x2m=1的焦距为4，则m+n=(????)
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则1e1e2的最大值为（ ）
A. 3 B. 2 C. 433 D. 233
已知双曲线C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线C的渐近线在第一象限的交点坐标为(2,1)，则双曲线C的方程为（ ）
A. x22?y2=1 B. x24?y2=1 C. x2?y22=1 D. x2?y24=1
已知双曲线x2a2?y2b2=1a>0,b>0的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. y=±2x B. y=±2x C. y=±12x D. y=±22x
与双曲x24?y25=1的一条斜率为正的渐近线平行，且距离为1的直线方程为（ ）
A. 5x?2y±3=0 B. 5x?2y±4=0
C. 2x?5±3=0 D. 2x?5y±4=0
设过双曲线x2?y2=9左焦点F1的直线交双曲线的左支于点P，Q，F2为双曲线的右焦点．若PQ=7，则△F2PQ的周长为（ ）
A. 19 B. 26 C. 43 D. 50
已知椭圆E：x211+y22=1与双曲线C：x2a2?y25=1(a>0,b>0)有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. y=±355x B. y=±53x C. y=±255x D. y=±52x
设双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a=(????)
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
设F1，F2是双曲线C：x2?y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|=2，则△PF1F2的面积为（ ）
A. 72 B. 3 C. 52 D. 2
二、填空题
如图，F1,F2是双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)?的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为? ? ? ? ??．
已知双曲线x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________．
已知F1，F2为双曲线C:x2?y2=2的左、右焦点，点P在C上，PF1=2PF2，则cos∠F1PF2=??????????．
已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C:x216?y29=1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则??????????．
三、解答题
已知双曲线E：x2a2?y2b2=1a>0,b>0的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=?2x．
(Ⅰ)求双曲线E的离心率；
(Ⅱ)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A,B分别在第一、四象限)，且?OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
已知双曲线3x2?y2=12．
(1)求双曲线的焦点坐标及顶点坐标;
(2)求过双曲线的右焦点且与双曲线的渐近线平行的直线方程．
已知双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线y24?x22=1有相同的渐近线，且经过点M(2,?2).
(Ⅰ)求双曲线C的方程；
(Ⅱ)求双曲线C的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．
设双曲线C：x2a2?y2=1(a>0)与直线l：x+y=1相交于两个不同的点A，B．
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
(2)设直线l与y轴的交点为P，且PA=512PB，求a的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解答】
解：由题意可得A1(?a,0)，A2(a,0)，B1(0,?b)，B2(0,b)，F1(?c,0)，F2(c,0)，
且a2+b2=c2，菱形F1B1F2B2的边长为b2+c2，
由以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，
由面积相等，可得12?2b?2c=12a?4b2+c2，
即为b2c2=a2(b2+c2)，
即有c4+a4?3a2c2=0，
由e=ca，可得e4?3e2+1=0，
解得e2=3±52，
因为e>1，所以e2=3+52，
可得e=3+52=1+52．
故选C．
2.【答案】A
【解答】
解：双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线不妨设为：bx?ay=0，
圆(x?2)2+y2=4的圆心(2,0)，半径为2，
由双曲线C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x?2)2+y2=4所截得的弦长为2，
可得圆心到bx?ay=0的距离为d=22?12=3=|2b|a2+b2，及即b2=3a2，
又c2=a2+b2=4a2，
可得e2=4，即e=2．
故选A．
3.【答案】A
【解答】
由题可得，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)，准线x=?p2，
所以其准线与双曲线y23?x2=1相交于M(?p2,3+3p24),N(?p2,?3+3p24)，
由双曲线的对称性知△MNF为等腰直角三角形，∴∠FMN=π4，
∴tan∠FMN=p3+3p24=1，∴p2=3+3p24，即p=23，
故选A．
4.【答案】A
【解答】解：因为双曲线x24?y2=1的顶点为±2,0，渐近线方程为x±2y=0，
所以双曲线的顶点到渐近线的距离为21+22=255．
故选A．
5.【答案】C
【解答】
记双曲线的焦距为2c，椭圆的焦距为c′，
由双曲线的焦点为(0,4)，知双曲线焦点在y轴，
且c2=(?3m)+(?m)=?4m=16，
可得m=?4，
从而椭圆方程为y2n+x24=1，
又焦距为4，知c′=2，
当n>4时，有n?4=4，得n=8，
当n<4时，4?n=4，n=0(舍去)，
于是m+n=4，
故选：C．
6.【答案】D
【解答】
解：不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P为第一象限的点，如图：
设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，
则根据椭圆及双曲线的定义知|PF1|+|PF2|=2a1，|PF1|?|PF2|=2a2，
∴|PF1|=a1+a2，|PF2|=a1?a2．
设|F1F2|=2c，在△PF1F2中，∠F1PF2=π3，
由余弦定理得，4c2=(a1+a2)2+(a1?a2)2?2(a1+a2)(a1?a2)cosπ3，
化简得a12+3a22=4c2，即1e12+3e22=4，
∴1e12+3e22=4≥23e12e22，
∴1e1e2≤233，
当且仅当e1=22,e2=62时，等号成立，
则1e1e2的最大值为233，
故选D．
7.【答案】B
【解答】解：设P(2,1)，由题意知，点P在y=bax上，所以a=2b．
又点P在以F1F2为直径的圆上，所以有PF1?PF2=0，
又F1(?c,0)，F2(c,0)，所以(?c?2,?1)?(c?2,?1)=0，即(?c?2)(c?2)+1=0，
所以c=5.又c=a2+b2，a=2b，
所以a=2，b=1，所以双曲线C的方程为x24?y2=1，
故选B．
8.【答案】B
【解答】解：双曲线x2a2?y2b2=1a>0,b>0的离心率为3，可得e=ca=3，
即c=3a，由c2=a2+b2，可得b=2a，
渐近线方程为y=±bax，即y=±2x．
故选B．
9.【答案】A
【解析】解：双曲线x24?y25=1的一条渐近线方程为：5x?2y=0，设所求直线方程：5x?2y+t=0，
与双曲x24?y25=1的一条斜率为正的渐近线平行，且距离为1，可得：|t|5+4=1，可得t=±3．
所求直线方程为：5x?2y±3=0．
故选：A．
求出渐近线方程，设出直线方程，然后推出结果即可．
本题考查双曲线的渐近线方程的应用，直线方程的求法．考查计算能力．
10.【答案】B
【解析】解：∵|PF2|?|PF1|=6，|QF2|?|QF1|=6，
∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=7
∴|PF2|+|QF2|?7=12，
∴|PF2|+|QF2|=19，
∴△F2PQ的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=19+7=26，
11.【答案】D
【解析】解：椭圆E的焦点为(±3,0).故a2=32?5=4．
双曲线C：x24?y25=1，
双曲线C的渐近线方程为y=±52x．
12.【答案】A
【解析】
解：不妨设P在双曲线的左支上，
由题意，设PF2=m，PF1=n，可得m?n=2a，12mn=4，m2+n2=4c2，
所以4c2=m2+n2=(m?n)2+2mn=4a2+16，①
又e=ca=5，所以c=5a，②
②代入①得可得5a2=4+a2，
解得a=1．
故选：A．
13.【答案】B
【解答】
解：由题意可得双曲线的渐近线方程为y=±bax，
分别将x=a，代入可得y=±b，
即D(a,b)，E(a,?b)，
则S△ODE=12a×2b=ab=8，
∴c2=a2+b2≥2ab=16，当且仅当a=b=22时取等号，
∴C的焦距的最小值为2×4=8，
故选：B．
14.【答案】B
【解析】解：由题意可得a=1，b=3，c=2，
∴|F1F2|=2c=4，
∵|OP|=2，
∴|OP|=12|F1F2|，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴PF1⊥PF2，
∴|PF1|2+|PF2|2=4c2=16，
∵||PF1|?|PF2||=2a=2，
∴|PF1|2+|PF2|2?2|PF1|?|PF2|=4，
∴|PF1|?|PF2|=6，
∴△PF1F2的面积为S=12|PF1|?|PF2|=3，
15.【答案】7
【解答】
解：根据双曲线的定义，可得|BF1|?|BF2|=2a，
∵△ABF2是等边三角形，即|BF2|=|AB|，
∴|BF1|?|AB|=|AF1|=2a，
又∵|AF2|?|AF1|=2a，
∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，
∵△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，∠F1AF2=120°，
∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2?2|AF1|?|AF2|cos120°，
即4c2=4a2+16a2?2×2a×4a×cos120°=28a2，解得c=7a，
所以双曲线C的离心率e=7．
故答案为7．
16.【答案】y=±3x
【解答】
解：因为e=ca=2,
所以c=2a,
又2a2=a2+b2,
所以ba=3，
所以该双曲线的渐近线方程为y=±3x．
故答案为y=±3x．
17.【答案】34
【解答】
解：∵由双曲线的定义有PF1?PF2=PF2=2a=22，
∴PF1=2PF2=42，
双曲线的标准方程为x22?y22=1，所以F2F2=22+2=4，
在△F1PF2中，由余弦定理得：
cos∠F1PF2=PF12+PF22?F1F222PF1?PF2=(42)2+(22)2?422×42×22=34?．
故答案为34．
18.【答案】45
【解答】解：易求双曲线C:x216?y29=1中，a=4，c=5．
在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知
=||PB|?|PA|||AB|=2a2c=45．
故答案为45．
19.【答案】解：(Ⅰ)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x，y=?2x，
所以ba=2，所以c2?a2a=2，
故c=5a．
从而双曲线E的离心率e=ca=5．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，双曲线E的方程为x2a2?y24a2=1
设直线l与x轴相交于点C，如图所示．
当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，
则OC=a，AB=4a.因为?OAB的面积为8，
所以12OC?AB=8，
即12a?4a=8，解得a=2．
此时双曲线E的方程为x24?y216=1．
若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为x24?y216=1．
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：x24?y216=1也满足条件．
设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k>2或k记Ax1,y1，Bx2,y2．
由y=kx+m,y=2x,，消去x，得y1=2m2?k.同理得y2=2m2+k．
由S?OAB=12OC?y1?y2，得12?mk?2m2?k?2m2+k=8，
即m2=44?k2=4k2?4．
由y=kx+m,x24?y216=1,消去y，得4?k2x2?2kmx?m2?16=0．
因为4?k2<0，所以Δ=4k2m2+44?k2m2+16=?164k2?m2?16．
又m2=4k2?4，所以Δ=0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一公共点的双曲线E，
且E的方程为x24?y216=1．
20.【答案】解：(1)由题意，可得双曲线的标准方程为x24?y212=1，
所以该双曲线的左、右焦点坐标分别为(?4,0)，(4,0)．
左、右顶点坐标分别为(?2,0)，(2,0)．
(2)易知该双曲线的渐近线方程为y=±3x，
则过双曲线的右焦点且与双曲线的渐近线平行的直线方程为y=±3(x?4)．
21.【答案】解：(Ⅰ)∵双曲线C与双曲线y24?x22=1有相同的渐近线，
∴设双曲线的方程为x22?y24=λ(λ≠0)，
代入M(2,?2).得λ=12，
故双曲线的方程为：x2?y22=1．
(Ⅱ)由方程得a=1，b=2，c=3，故离心率e=3．
其渐近线方程为y=±2x；
焦点坐标F(3,0)，解得到渐近线的距离为：2×31+2=2．
∴m2+4m2=10，即m=±2．
22.【答案】解：(1)由C与l相交于两个不同的点，
故知方程组x2a2?y2=1x+y=1有两个不同的实数解，消去y并整理得，(1?a2)x2+2a2x?2a2=0.①
即有1?a2≠04a4+8a21?a2>0，解得0
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1)，由于PA→=512PB→，
∴(x1,y1?1)=512(x2,y2?1)，
即有x1=512x2，由于x1，x2都是方程①的根，且1?a2≠0，
∴x1+x2=?2a21?a2，x1·x2=?2a21?a2，
∴1712x2=?2a2a2?1，512x22=?2a21?a2，
消去x2得：2a2a2?1=28960，
又∵a>0，
解得a=1713．