5.5三角恒等变换-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册课后练习（Word含答案）

11709400106299002020-2021学年第一学期人教A版（2019）必修第一册5.5三角恒等变换课后练习
一、单选题
1．若α，β都是锐角，且cos α＝false，sin(α－β)＝false，则cos β＝（ ）
A．false B．false
C．false或－false D．false或false
2．定义运算false，若false，则false等于（ ）
A．false B．false C．false D．false
3．若false，那么false（ ）
A．false B．false C．false D．false
4．已知false则false的值为 （ ）
A．false B．false C．false D．false
5．方程false的解的个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知角false在第一象限且false，则false（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．在中，false所对的边长分别是false，若false，则的形状为
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
8．false是（ ）
A．最小正周期为false的偶函数 B．最小正周期为false的奇函数
C．最小正周期为false的奇函数 D．最小正周期为false的偶函数
二、填空题
9．已知θ是第四象限角，且sin（θ+false）=false，则tan（θ–false）= .
10．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西false，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则false______________．
11．如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的高为多少尺？现假设折断的竹子与地面的夹角（锐角）为false，则false________.
12．在false中，若false，false，则false的最大值为__________．
三、解答题
13.已知 α∈(π2，π)，sinα=55 .
（1）求 sin(π4+α) 的值；
（2）求 cos(5π6?2α) 的值.
14.已知在 ΔABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ， A 为锐角，且满足 3b=5asinB .
（1）求 sin2A+cos2B+C2 的值；
（2）若 a=2 , ΔABC 的面积为 32 ，求 b,c .
15.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞0， ω ＞0， |φ| ＜ π2) 的图象与 y
轴的交点为（0，1），它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 (x0,2) 和 (x0+2π,?2).
（1）写出 f(x) 的解析式及 x0 的值；
（2）若锐角 θ 满足 cosθ=13 ，求 f(4θ) 的值.
16.已知tan2θ＝－2 2 ， π ＜2θ＜2 π .
（1）求tanθ的值；
（2）求 2cos2θ2?1?sinθ2sin(θ+π4) 的值．
参考答案
A2．D3．D4．A5．C6．C7．D8．C9．false10．false11．false12．false
13.【答案】 （1）解：由题意 cosα=?1?(55)2=?255 ，
所以 sin(π4+α)=sinπ4cosα+cosπ4sinα=22×(?255)+22×55=?1010 ．
（2）解：由（1）得 sin2α=2sinαcosα=?45 ， cos2α=2cos2α?1=35 ，
所以 cos(5π6?2α)=cos5π6cos2α+sin5π6sin2α=?32×35+12×(?45)=?33+410 ．
【解析】(1)要求 sin(π4+α) 的值，根据两角和的正弦公式，可知还要求得 cosα ，由于已知 α∈(π2,π) ，所以 cosα<0 ，利用同角关系可得；（2）要求 cos(5π6?2α) ，由两角差的余弦公式我们知要先求得 sin2α,cos2α ，而这由二倍角公式结合（1）可很容易得到。
14.【答案】 （1）解：∵ 3b=5asinB ， ∴ 3sinB=5sinAsinB
由 B∈(0,π)?sinB≠0, ∴ sinA=35,
∵ A 为锐角， ∴ cosA=45.
sin2A+cos2B+C2=2sinAcosA+1+cos(B+C)2=2sinAcosA+1?cosA2 ? =2·35·45+110=5350
（2）解：由（Ⅰ）知， sinA=35,cosA=45 ?
∵ ΔABC 的面积为 32 ，∴ SΔABC= 12bcsinA=32? bc=5 （1）
由余弦定理得： a2=b2+c2?2bccosA
2=b2+c2?2bc?45?(b+c)2?185bc=2?(b+c)2=20 ?∴ b+c=25 ? （2）
由（1）、（2）解得 b=c=5
【解析】（1）利用三角型内角和为180度的关系式结合二倍角的正弦公式和余弦公式，用已知条件求出 sin2A+cos2B+C2 的值。
（2) 由（Ⅰ）知， sinA=35,cosA=45,再利用余弦定理结合三角形面积公式，用已知条件求出b,c的值。
15.【答案】 （1）解：由题意可得A=2， T2=2π ，即 2πω=4π ， ∴ω=12 ，
f(x)=2sin(12+ω) ．又 f(0)=2sinω=1 ，由 |ω|<π2 ，
∴φ=π6 , ∴f(x)=2sin(12x+π6) ．
f(x0)=2sin(12x0+π6)=2 ，所以 12x0+π6=2kπ+π2 ， x0=4kπ+2π3(k∈Z) ，
又 ∵ x0 是最小的正数， ∴x0=2π3 .
（2）解： f(4θ)=2sin(2θ+π6)=3sin2θ+cos2θ ，
∵θ∈(0,π2),cosθ=13 ， ∴sinθ=223 ，
∴cos2θ=2cos2θ?1=?79,sin2θ=2sincosθ=429 ，
∴f(4θ)=3·429?79=469?79 .
【解析】（1）根据图象的最值求出 A, 根据最高点与最低点坐标求出 12T ，从而求出 ω ，再由图象经过 (0,1) ，求出 φ ，然后求 f(x) 的解析式，根据 (x0,2) ，求 x0 的值；（2）锐角 θ 满足 cosθ=12 ，根据平方关系以及二倍角的正弦、余弦公式求出 sinθ,sin2θ, cos2θ, 化简 f(4θ) ，将所求 sinθ,sin2θ 的值代入，即可求得 f(4θ) 的值.
16.【答案】 （1）解：∵ tan2θ=?22 ，∴ 2tanθ1?tan2θ=?22 ，
∴ tanθ=2 或 tanθ=?22 .
∵ π2<θ<π ；∴ tanθ<0 ，∴ tanθ=?22 .
（2）解：∵ 2cos2θ2?sinθ?12sin(θ+π4) =cosθ?sinθcosθ+sinθ ，
∴原式 =1?tanθ1+tanθ=1+221?22=2+22?2=3+22
【解析】（1）由已知利用二倍角公式的正切列式，即可求出 tanθ的值；
（2）由已知利用两角和的正切公式列式，即可求值.