2012考前90天突破——高考核心考点(数学）

2012考前90天突破——高考核心考点
专题十四 算法初步
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读
　　（1）算法的含义、程序框图　① 了解算法的含义，了解算法的思想.② 理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环.
　　（2）基本算法语句　理解几种基本算法语句――输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
近几年考点分布 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础。算法初步虽然是新课标增加的内容，但与前面的知识有着密切的联系，并且与实际问题的联系也非常密切。因此，在高考中算法初步知识将与函数、数列、三角、概率、实际问题等知识点进行整合，是高考试题命制的新“靓”点。这样试题就遵循了“在知识网络交汇处设计试题”的命制原则，既符合高考命题“能力立意”的宗旨，又突出了数学的学科特点。这样做，可以从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，可以揭示数学各知识之间得到的内在联系，可以使考查达到必要的深度。
考查形式与特点是：
（1）选择题、填空题主要考查算法的含义、流程图、基本算法语句等内容，一般在每份试卷中有1～2题，多为中档题出现。
(2)在解答题中可通过让学生读程序框图去解决其它问题，此类试题往往是与数列题结合在一起，具有一定的综合性，可以考查学生的识图能力及对数列知识的掌握情况.
【考点pk】名师考点透析
考点一．含循环结构求输出
例1.如果执行图1的框图，输入N=5，则输出的数等于（ ）
A． B. C. D.
【解析】由程序框图可知，该程序框图的功能计算，现在输入的N=5，所以满足条件的结果为，故选D．
【名师点睛】：该框图含有循环结构，弄清循环体、变量的初始条件和循环的中止条件，算法功能是求和．
考点二．含循环结构填内容
例2.图2是求样本x 1，x2，…，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为（ ）
A.S=S+x n B.S=S+ C. S=S+ n D.S=S+
【解析】根据题意可知，该框图的算法功能是求样本x 1，x2，…，x10平均数，为此须先求和，观察框图执行框里面，应填充求和变量关系式S=S+x n，故选A．
【名师点睛】：本题是以统计知识为背景的算法考题，由于是选择题，可由选项的内容逐一检验．
考点三．只含条件结构填内容
例3.已知函数右图表示的是给定x的值，
求其对应的函数值y的程序框
图，①处应填写 ；②处应填写 ．
【解析】由可知，当时，对应的函数
解析式为，所以①处应填写，则②处应填写.
【名师点睛】：本题属算法与函数的综合题．本题即考查对函数解析式的理解，又考查对算法流程图的理解，属容易题．分清两段的函数解析式与各自条件的对应关系．
【金题热身】
11年高考试题及解析
1、（陕西文7）.如右框图，当时，等于
(A) 7 (B) 8 (C)10 （D）11
【答案】B
【解析】：而则
所以即故选B
2、（陕西理8）、右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当，时等于
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】：,由得
故选C
3、（江苏4）、根据如图所示的伪代码，当输入分别为2，3时，
最后输出的m的值是________
答案：3
解析：考察算法的选择结构和伪代码，是容易题。
4、（山东文14、理13）.执行右图所示的程序框图，输入
则输出的y的值是 .
【答案】68
【解析】由输入l=2，m=3，n=5，计算得出y=278,
第一次得新的y=173;第二次得新的y=68<105,输出y.
5、（浙江文14、理12）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值是___。
【答案】
【解析】：比较的大小，当，
则该程序运行后输出的的值是5
6、（课标卷文5理3）.执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的是（ ）
A 120 B 720 C 1440 D 5040
5.解析：B.按照算法的程序化思想，有程序框图执行下面的计算可得：
此时，按终止条件结束，输出
点评：该题考查算法的程序化思想、算法框图的结构、功能、逻辑思维能力和运算能力。注意理解和把握。
7、（湖南文11）．若执行如图2所示的框图，输入则输出的数等于 ．
解析：由框图功能可知，输出的数等于。
8、（湖南理13）.若执行如图3所示的框图，输入，，
，，则输出的数等于 .
解析：①当，计算
②当，计算
③当，计算
④当，计算，输出.故填
评析：本小题主要考查算法框图的阅读与理解以及统计中方差的计算.
9、（福建文5）.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是
A.3 B.11 C.38 D.123
【解析】
,
所以输出,选B.
10、（福建理11）.运行如图所示的程序，输出的结果是_______。
【答案】3
【解析】：
11、（辽宁文、9理6））执行下面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是（ ）
(A) 8 (B) 5 (C) 3 (D) 2
解析：第一次执行结果：p=1,s=1,t=1,k=2;
第二次执行结果：p=2,s=1,t=2,k=3;
第三次执行结果：p=3,s=2,t=3,k=4;结束循环，输出p的值4. 答案：C
12、（北京文6）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
【解析】执行三次循环，成立，
，，成立，
，，成立，
，不成立，
输出，故选C
13（北京理4）.执行如图所示的程序框图，输出的s的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】：循环操作4次时S的值分别为，选D。
14（天津文3）阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为-4,则
输出的值为
A.0.5 B.1 C.2 D.4
【解析】因为输入的,所以第一次计算出的新的,第二次计算出的新的,第三次计算出的新的,此时计算,故选C.
15（天津理3）.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】B
【解析】由程序框图知,选项B正确.
16（安徽文12、理11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .
【命题意图】本题考查算法框图的识别，考查等差数列前n项和.
【解析】由算法框图可知，
若T＝105，则K＝14，继续执行循环体，
这时k＝15，T>105，所以输出的k值为15.
17（江西文13）.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_ ___.
【答案】27
【解析】由框图的顺序，s=0,n=1,s=(s+n)n=(0+1)*1=1,n=n+1=2,依次循环S=(1+2)*2=6,n=3,注意此刻3>3仍然是否，所以还要循环一次s=(6+3)*3=27,n=4，此刻输出，s=27.
18、（江西理13）.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是
【答案】10
【解析】当n=1时,计算出的;当n=2时,计算出的;当n=3时,计算出的;当n=4时,计算出的,此时输出s=10.
【核心突破】
2011年模拟试题及答案
1. (2011豫南九校四联)一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（ D ）
A． 　 B．
C． D．
2．（2011北京丰台区期末）程序框图如图所示，将输出的a的值
依次记为a1，a2，…，an，其中且．
那么数列的通项公式为（A）
A． B．
C． D．
4. （2011北京西城区期末）
阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间
内，则输入的实数的取值范围是(B)
（A）（B）
（C）（D）
10．(2011东莞期末)定义一种运算，运算原理如右框图所示，则式子的值为(B)
A. B.
C. D.
13．（2011福州期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由 密文→明文（解密），已知加密规则如图所示，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16，当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为 6,4,1,7 。
15．（ 2011广东广雅中学期末）阅读如图的程序框图．若输入，则输出的分别等于 （ B ）
A．12，2 B．12，3
C．24，2 D．24，3
17. （2011广州调研）如果执行图1的程序框图，若输入，那么输出的等于(B)
A. 720 B. 360 C. 240 D. 120
20．（2011杭州质检）某程序框图如同所示，
则该程序框图运行后输出的n的值为 （ C ）
A．2 B． 3
C．4 D．10
24、 (2011·惠州三调)给出如图所示的程序框图，
那么输出的数是_7500___．
【解析】由题知，s＝3×1＋3×3＋3×5＋…＋3×99＝7500.
26、(2011·锦州期末)在如下程序框图中，已知，
则输出的是( B )
（A）（B）
（C） （D）
29．（2011·九江七校二月联考）某程序框图如图所示，
该程序运行后输出的为____________
31．(2011·南昌期末)若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于的条件是 ( D )
A． B． C． D．
32．（2011·三明三校二月联考）如图是将二进制数11111（2）
化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ D）
A．i≤5 B．i≤4 C．i＞5 D．i＞4
36、（2011·上海长宁区高三期末）如图是一个算法的流程图，则最后输出的 36 ．
38．（2011中山期末）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的数据.
在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程
图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是__7__ .
40. （2011苏北四市二调）如图是一个算法的流程图，
若输出的结果是31，则判断框中的整数的值是 4 ．
41．（ 2011·温州八校联考）若框图所给的程序运行结果为S=90，那么判断框中应填入的关于的条件是 （ B ）
44、（2011·温州十校高三期末）
某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 （ D ）
（A）3 （B）4 （C）6 （D）8
2010年模拟试题及答案
一、选择题:
1．（广东省惠州市2010届高三第三次调研文科）小明中午放学回家自己煮面条吃,有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；②洗菜6分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开10分钟；⑤煮面条和菜共3分钟。以上各道工序，除了④之外，一次只能进行一道工序。小明要将面条煮好，最少要用( )分钟。
A．13 B．14 C．15 D．23
【答案】C
【解析】①洗锅盛水2分钟+④用锅把水烧开10分钟（同时②洗菜6分钟+③准备面条及佐料2分钟）+⑤煮面条和菜共3分钟=15分钟。∴选C
2．（2010年3月广东省广州市高三一模数学文理科试题）某算法的程序框如图3所示，若输出结果为，则输入的实数的值是________．
（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成 “←”或“：=”）
二、填空题:
3．（广东省惠州市2010届高三第三次调研文科）对任意非零实数，若的运算原理如右图程序框图所示，则=　　 　　．
【解析】，输出，填2.
4．（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000. 在样本中记月收入在，,的人数依次为、、……、．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量 ；图乙输出的 ．（用数字作答）
【答案】6000
【解析】∵月收入在的频率为 ，且有4000人
∴样本的容量，由图乙知输出的=10000－4000=6000.
5. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科） 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如，明文对应密文. 当接收方收到密文时，则解密得到的明文为 .
【答案】
【解析】
【考点定位】本题考查实际应用能力等数学基本能力。
【备考要点】复习时，要加强新的信息与创新题，高考中几乎年年必有。
6.（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）如图所示的流程图是将一系列指令
和问题用框图的形式排列而成，箭头将告诉
你下一步到哪一个框图．阅读右边的流程图，并回答下面问题：
若，
则输出的数是　　　　．b
7.（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科） 对任意非零实数a、b，若a b的运算原理如图所示，则=______.
8．（广东省深圳高级中学2010届高三一模理科）对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次,得到如下表所示的
数据.
观测次数 1 2 3 4 5 6 7 8
观测数据 40 41 43 43 44 46 47 48
在上述统计数据的分析中,一部分计算见如图所示的算法流程图(其
中是这8个数据的平均数),则输出的S的值是_____7__ .
9．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)图3中的程序框图所描述的算法称为欧几里得
辗转相除法．若输入，，
则输出 67 ．（注：框图中的的赋值
符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）
10．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)右面的程序框图给出了计算数列的前10项和s的算法，算法执行完毕后，输出的s为 175 .
【核心预测】
一、选择题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列运算不属于我们所讨论算法范畴的是（　　）
Ａ．已知圆的半径求圆的面积 Ｂ．随意抽４张扑克牌算到二十四点的可能性
Ｃ．已知坐标平面内两点求直线方程 Ｄ．加减乘除法运算法则
【解析】B． A、C、D均可以按照一定的步骤完成
2．早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（　　）
A．S1 洗脸刷牙、S2刷水壶、S3 烧水、S4 泡面、S5 吃饭、S6 听广播
B．刷水壶 、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5 听广播
C．刷水壶 、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭 同时 听广播
D．吃饭 同时 听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶
【解析】C．
3．以下关于排序的说法中，正确的是（ ）
A．排序就是将数按从小到大的顺序排序
B．排序只有两种方法，即直接插入排序和冒泡排序
C．用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最小的数逐趟向上漂浮
D．用冒泡排序把一列数从小到大排序时，最大的数逐趟向上漂浮
【解析】C．由冒泡排序的特点知C正确.
4．下列语句中：① ② ③ ④
⑤ ⑥ 其中是赋值语句的个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解析】C． ①②④⑥为赋值语句
5．把“二进制”数化为“五进制”数是（ ）
A． B． C． D．
【解析】C．先转化成“十进制”，再转化为“五进制”数.
6．840和1764的最大公约数是（ ）
A．84 B．12 C．168 D．252
【解析】A．用辗转相除法或更相减损术可求得.
7．下面为一个求20个数的平均数的程序,在横线上应填充的语句为 ( )
A．i>20 B．i<20 C．i>=20 D．i<=20
【解析】A．依题意须循环20次
8．为了在运行下面的程序之后得到输出y＝16，键盘输入x应该是（ ）
A．或 B． C．或 D．或
【解析】C．令得：或（舍），令
得：或（舍）
二、填空题：(本大题共7小题，其中13—15小题是选做题；
每小题5分，共30分)
9．已知有下面程序，如果程序执行后输出的结果是11880，那么在程序
UNTIL后面的“条件”应为
【解析】（或）]
10．给出下面的程序框图，那么其循环体执行的次数是
【解析】 从运行到步长为，运行次数为499
11．比较大小：
【解析】 由于，所以，
而，所以
12．用等值算法求294和84的最大公约数时，需要做 次减法.
【解析】4．由等值算法可求得
选做题（从13题、14题、15题中任选2题）
13．下列四个有关算法的说法中，正确的是 . ( 要求只填写序号 )
⑴算法的某些步骤可以不明确或有歧义，以便使算法能解决更多问题；
⑵正确的算法执行后一定得到确定的结果；
⑶解决某类问题的算法不一定是唯一的；
⑷正确的算法一定能在有限步之内结束.
【解析】（2）（3）（4）.从算法的定义可得
14.若输入3，则下列程序执行后输出的结果为
【解析】
15.读程序，完成下面各题
(1)输出结果是 .
(2)输出结果是 .
【解析】（1）2,3,2 （2）6 正确理解算法语句和循环语句的含义
三、解答题：(本大题6小题，共80分)
16．（13分）将十进制数30化为二进制.
【解析】把一个十进制的数转换为相应的二进制数，用2反复去除欲被转换的十进制数30，直到商是0为止，所得余数（从末位读起）就是该十进制数30的二进制表示. 所以 (13分)
17．（12分）设计算法流程图，要求输入自变量的值，输出函数 的值，
并用复合IF语句描述算法．
【解析】（12分）
18．（14分）设计程序框图求的值．
【解析】这是一个累加求和问题，共49项相加，
可设计一个计数变量，一个累加变量，
用循环结构实现这一算法.程序框图如图所示：
19．(13分)用循环语句描述1++++…+．
【解析】算法分析：
第一步：是选择一个变量S表示和，并赋给初值0,再选取一个循环
变量i，并赋值为0；
第二步：开始进入WHILE循环语句，首先判断i是否小于等于9；
第三步：为循环表达式(循环体),用WEND来控制循环；
第四步：用END来结束程序，可写出程序如右图：
20．（14分）用秦九韶算法求多项式,
当时的值.
【解析】根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:
按照从内到外的顺序依次计算一次多项式,当时的值
∴当时，多项式的值为
21．（14分）某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：
⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；⑵用程序及流程图表示计算10年以后该城市人口总数的算法；
⑶用程序及流程图表示如下算法：计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人．
【解析】（1） （4分)
(2)程序框图与程序如下： （9分)
(3) 程序框图与程序如下： (14分)
Read a，b
If a>b Then
ma
Else
mb
End If
Print m
开始
输出
结束
是
否
输入
图3
开始
结束
输入
否
是
输出
开始
输入
输出
输出
结束
是
否
（第11题图）
输入a,b,c,d
输出m,n,p,q
结束
开始
第9题图
输出S
结束
输入
i←1
是
开始
S←S +
i← i +1
S←0
i ≥ 8
否
S ← S / 8
a=a+n
结 束
n= n+1
开 始
是
输出 s
否
n= 1
a = 1
s= 0
s= s + a
n≤10
S=0
i=1
DO
INPUT x
S=S+x
i=i+1
LOOP UNTIL _____
a=S/20
PRINT a
END
第7题图
INPUT x
IF x<0 THEN
y=(x+1)(x+1)
ELSE
y=(x-1)(x-1)
End if
Print y
end
第8题图
否
是
开始
i＝2，sum＝0
sum＝sum＋i
i＝i＋2
i1000？
结束
（第10题图）
i=12
s=1
DO
s = s * i
i = i－1
LOOP UNTIL 条 件
PRINT s
END
（第9题）程序
INPUT x
If x<0
THEN
else
Print y
end
14题
j=1
s=0
WHILE s≤10
s=s+j
j=j+1
END WHILE
PRINT j
第15题（2）
x=1
y=2
z=3
x=y
y=z
z=x
PRINT x,y,z
第15题（1）
S=0
i=0
WHILE i<=9
S=S+1/2^i
i=i+1
WEND
PRINT S
END
第20题（2）
第20题（2）
本卷第16页（共17页）2012考前90天突破——高考核心考点
专题三 数列
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读（1）数列的概念和简单表示法　①了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）.②了解数列是自变量为正整数的一类函数.
　　（2）等差数列、等比数列　① 理解等差数列、等比数列的概念.　② 掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.　③ 能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.　④ 了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
近几年考点分布数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与中学数学其他部分知识如：函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系，又有自己鲜明的特征，因此它是历年高考考查的重点、热点和难点，在高考中占有极其重要的地位.试题往往综合性强、难度大，承载着考查学生数学思维能力和分析、建模、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.通过对2011年高考试题的研究，本专题在高考试题中占有较大比重，分值约占总分的12%，大多为一道选择题或填空题，一道解答题.试题注重基础，着重考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式、数学归纳法及应用问题，选择题和填空题，突出“小、巧、活”的特点.而解答题大多为中等以上难度的试题或难度大的压轴题.
【考点pk】名师考点透析
考点一 　等差、等比数列的概念与性质
例1：已知为等比数列，且（1）若，求；（2）设数列的前项和为，求.
解：设，由题意，解之得，进而
（1）由，解得
（2）
【名师点睛】：关于等差、等比数列的问题，首先应抓住a1，d，q，通过列方程组来解．此方法具有极大的普遍性，需用心掌握，但有时运算繁杂，要注意计算的正确性；若能恰当地运用性质，可减少运算量．
例2：设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足+15=0。（Ⅰ）若=5，求及a1；（Ⅱ）求d的取值范围。
【名师点睛】：在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
考点二 求数列的通项与求和
例3. 已知数列满足（1）求
（（2）设求证：； 3）求数列的通项公式。
解：（1）由已知,即
，即有
由，有
，
即 同时，
（2）由（1）：，有
（3）由（2）：而，
是以2为首项，2为公比的等比数列，
，即，而，
有：
【名师点睛】：一般地，含有的递推关系式，一般利用化“和”为“项”。
例4：在数列{}中，，并且对任意都有成立，令
．（Ⅰ）求数列{}的通项公式 ；（Ⅱ）求数列{}的前n项和．
解：（1）当n=1时，,当时，由得所以
所以数列是首项为3，公差为1的等差数列，所以数列的通项公式为
（2）
【名师点睛】：裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同.
考点三 数列与不等式、函数等知识的联系
例5： 已知数列是等差数列，（1）判断数列是否是等差数列，并说明理由；（2）如果，试写出数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列得前n项和为，问是否存在这样的实数，使当且仅当时取得最大值。若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
解：（1）设的公差为，则
数列是以为公差的等差数列
（2），
两式相减：
（3）因为当且仅当时最大
即
【名师点睛】：解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
例6： 已知数列的首项（是常数，且），（），数列的首项，（）。 （1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；（3）当时，求数列的最小项.（提示：当时总有）
解：（1）∵∴
(n≥2)由得，，∵，∴ ，
即从第2项起是以2为公比的等比数列。
（2）
当n≥2时，
∵是等比数列, ∴(n≥2)是常数，∴，即 。
（3）由（1）知当时，，
所以，
显然最小项是前三项中的一项。当时，最小项为；当时，最小项为或；当时，最小项为；当时，最小项为或；当时，最小项为。
【名师点睛】：、对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.
例7：已知数列中，.（1）写出的值（只写结果）并求出数列的通项公式；（2）设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）∵ ∴ …2分
当时，，
∴ ，∴
当时，也满足上式， ∴数列的通项公式为
（2）
令，则， 当恒成立∴在上是增函数，
故当时，即当时， 要使对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则须使，即，∴ ∴ 实数的取值范围为
另解：
∴ 数列是单调递减数列，∴
【名师点睛】：数列是一种特殊的函数，要注意其特殊性： (1)若用导数研究数列的单调性、最值等．要构造辅助函数，因为导数是对连续函数而定义的．(2)辅助函数的单调性与数列的单调性的联系与区别．
例8：已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．（1）求数列的通项公式．（2）若，求数列的前项和．（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.
解：（1）点都在函数的图像上，,当时，当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为
（2）由求导可得过点的切线的斜率为，.
.①
由①×4，得②
①-②得：
（3）,.
又，其中是中的最小数，.
是公差是4的倍数，.
又，,解得ｍ＝27.
所以，设等差数列的公差为，则
，所以的通项公式为
【名师点睛】：一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，主要用错位相减法求数列的和.
例9：甲、乙两容器中分别盛有浓度为，的某种溶液500ml， 同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和. 记，，经次调 和后甲、乙两个容器的溶液浓度为， （I）试用，表示，； （II）求证：数列｛－｝是等比数列，数列｛+｝是常数列；（III）求出数列｛｝，｛｝的通项公式.
解：（1）
（2）两式相减 所以等比
两式相加＝…….＝ 所以常数列；
（3）
【名师点睛】：数列在日常经济生活中广为应用，如增长率问题、银行存款利率问题、贷款问题等，都是与等比数列有关．另外，有些实际问题，可转化为数列问题，注意是求项还是求和，是解方程还是不等式问题．
【金题热身】
11年高考试题及解析
一、选择题
1、（重庆理11）在等差数列中，，则
解析：74. ，故
2、（北京理11）.在等比数列中，若，，则公比_____；____.
【解析】由是等比数列得，又 所以，是以为首项，以2为公比的等比数列，。
3、（天津理4）.已知为等差数列，其公差为-2，且是与的等比中项，为的前n项和, ,则的值为
A．-110 　　 B．-90 　　 C．90 　 D．110
【答案】D
【解析】由题意知, ,即,解得,所以
=10=110.
4、（江苏13）、设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________
解析：考察综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，难题。
由题意：，
，而的最小值分别为1，2，3；。
5、（四川理8）.数列的首项为， 为等差数列且 .若则，，则( )
（A）0 （B）3 （C）8 （D）11
解析：由已知知由叠加法.
6、（广东理11）.等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则 .
【解析】10.由题得
7、（全国理4）设为等差数列的前项和，若，公差，，则
（A）8 （B）7 （C）6 （D）5
【解析】
故选D。
8、（江西理5）.已知数列{}的前n项和满足：，且=1．那么=
A．1 B．9 C.10 D．55
【解析】因为,所以令,可得;令,可得;同理可得,,,, =,故选A.
二、填空题
1、（湖南理12）.设是等差数列的前项和，且，，则 .
解析：因为，，所以，则.故填25
评析：本小题主要考查等差数列的基本量计算问题.
2、（陕西理13）、观察下列等式
照此规律，第个等式为
【答案】
【解析】：第个等式是首项为，公差1，项数为的等差数列，即
3、（湖北理13）.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，
上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升
答案：
解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，……，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得：.即第5节竹子的容积.
4、（陕西理14）、植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。
【答案】2000
【解析】：设树苗集中放置在第号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为
=即时
三、解答题
1、（全国理20）.设数列满足且
（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设
【解析】：（Ⅰ）由得，
前项为，
（Ⅱ）
2、（浙江理19）.（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小.
【解析】：（Ⅰ）
则 ，
（Ⅱ）
因为，所以
当时， 即；
所以当时，；当时，
3、（江苏20）、（本小题满分16分）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于M，当n>k时，都成立。
（1）设M=｛1｝，，求的值；（2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式。
解析：考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的能力，其中（1）是容易题，（2）是难题。
（1）即：
所以，n>1时，成等差，而，
（2）由题意：，
当时，由（1）（2）得：由（3）（4）得： 由（1）（3）得：由（2）（4）得：由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：
由（5）（6）得：
由（9）（10）得：成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：
4、（四川理20）、(本小题共12分) 设d为非零实数，an = [C1n d+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*).写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由；(II)设bn=ndan (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．
解析：（1）
因为d为常数，所以是以d为首项，d+1为公比的等比数列.
（2），
①
②
②①
5（辽宁理17）.（本小题满分12分）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8= -10（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列的前n项和.
解析：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得
解得故等差数列{an}的通项公式为an =2-n.
（II）设数列的前n项和为，即故，
所以，当n>1时，
所以.综上，数列的前n项和为.
6、（广东理20）、（本小题满分14分）设数列满足,求数列的通项公式；证明：对于一切正整数n,
【解析】法一：
法二：
7、（山东理20）.（本小题满分12分）等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3 2 10
第二行 6 4 14
第三行 9 8 18
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）由题意知,因为是等比数列,所以公比为3,所以数列的通项公式.
（Ⅱ）因为当为偶数时，设，
；
当为奇数时，设，
；所以
8、（陕西理19） （本小题满分12分）如图，从点做x轴的垂线交曲线于点曲线在点处的切线与x轴交于点，再从做x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点：
记点的坐标为.
（Ⅰ）试求与的关系
（ Ⅱ）求
解（Ⅰ）设，由得点处切线方程为
由得。
（ Ⅱ），得，
9、（湖北理19）. （本小题满分13分）已知数列的前n项和为，且满足：
(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)若存在，使得成等差数列，试判断：对于任意的，且，是否成等差数列，并证明你的结论.
本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想.
解析：（Ⅰ）由已知，可得，两式相减可得
即又，所以当时，数列为：；当时，由已知，所以于是由，可得，成等比数列，
当时，综上，数列的通项公式为
（Ⅱ）对于任意的，且成等差数列，证明如下：当r=0时，由（Ⅰ）知，∴对于任意的，且成等差数列；当时，
若存在，使得成等差数列，则，即，由（Ⅰ）知，的公比r+1=—2，于是对于任意的，且，从而，，即成等差数列.
综上，对于任意的，且成等差数列.
10、（北京理20）.若数列：，，…，满足（，2，…，），则称为E数列。记.（1）写出一个满足，且的E数列；（2）若，，证明：E数列是递增数列的充要条件是；（3）对任意给定的整数，是否存在首项为0的E数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。
【解析】：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。
（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5）
（Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列，所以.所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.所以a2000=12+（2000—1）×1=2011.充分性，由于a2000—a10001，a2000—a10001……a2—a11所以a2000—a19999，即a2000a1+1999.又因为a1=12，a2000=2011,所以a2000=a1+1999.故是递增数列.综上，结论得证。
（Ⅲ）令
因为……
所以
因为
所以为偶数,所以要使
为偶数,即4整除.
当
时，有
当的项满足，
当不能被4整除，此时不存在E数列An，使得
11、（天津理20）.（本小题满分14分）已知数列与满足：， ，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明：是等比数列；（Ⅲ）设证明：．
【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.
解：（I）由 可得又
（II）证明：对任意①
②③
②—③，得④将④代入①，可得
即又因此是等比数列.
（III）证明：由（II）可得，于是，对任意，有
将以上各式相加，得即，
此式当k=1时也成立.由④式得
从而
所以对任意，
对于n=1,不等式显然成立.
12（安徽理18（本小题满分13分）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【命题意图】：本题考察等比和等差数列，指数和对数运算，两角差的正切公式等基本知识，考察灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。
【解析】：（Ⅰ）构成递增的等比数列，其中，，则
① ②
①×②并利用等比数列性质得
，，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又
所以数列的前项和为
【解题指导】：做数列题时应优先运用数列的相关性质，本题考察的是等比数列前n项积，自然想到等比数列性质：，倒序相乘法是借鉴倒序相加法得到的，这样处理就避免了对n奇偶性的讨论。
第二问的数列求和应联想常规的方法：倒序相加法，错位相减法，裂项相消法。而出现时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合起来就可以创造性的把问题解决。
13、（江西理18）.（本小题满分12分）已知两个等比数列，满足
.（1）若，求数列的通项公式；（2）若数列唯一，求的值.
【解析】（1）设的公比为q，则
由成等比数列得即
所以的通项公式为
（2）设的公比为q，则由
得由，故方程（*）有两个不同的实根
由唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得
14、（重庆理21）（本小题满分12分。（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 设实数数列的前n项和满足 （Ⅰ）若成等比数列，求和 （Ⅱ）求证：对有。
解析：（I）由题意，由S2是等比中项知
由解得
（II）证法一：由题设条件有故
从而对有 ①
因，由①得
要证，由①只要证即证
此式明显成立.因此最后证若不然
又因矛盾.因此
证法二：由题设知，故方程（可能相同）.
因此判别式又由
因此，
解得因此由，得
因此
15、（上海理22）、（18分）已知数列和的通项公式分别为，（），将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列。
⑴ 求；⑵ 求证：在数列中、但不在数列中的项恰为；⑶ 求数列的通项公式。
解：⑴ ；
⑵ ① 任意，设，则，即
② 假设（矛盾），∴
∴ 在数列中、但不在数列中的项恰为。
⑶ ，，，
∵ ∴ 当时，依次有，……
∴ 。
16、（湖南理22）. （本小题满分13分）已知函数求函数的零点个数，并说明理由；设数列满足证明：存在常数使得对于任意的都有
解：由知，，而且，
，则为的一个零点，且在内由零点，因此至少有两个零点.
解法1 记则
当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，
又因为，，则在内有零点.所以在上有且只有一个零点，记此零点为，则当时，当时，
所以，当时，单调递减，而则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点，从而在上至多有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.
解法2 由，记则
当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，
从而在上至多有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.
记的正零点为，即
（1）当时，由得，而，因此.
由此猜测：.下面用数学归纳法证明.①当时，显然成立，②假设当时，成立，则当时，由知因此，当时，成立故对任意的成立
（2）当时，由知在上单调递增，则，
即，从而，即.
由此猜测：，下面用数学归纳法证明. ①当时，显然成立，
②假设当时，成立，则当时，由知因此，当时，成立故对任意的成立
综上所述，存在常数使得对于任意的都有
评析：本大题综合考查函数与导数、数列、不等式等数学知识和方法以及数学归纳法、放缩法等证明方法的灵活运用.突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力.
【核心突破】
2011年模拟试题
1、（2011镇江高三期末）在等比数列中,若,则的值是 4 .
2、（2011·泰安高三期末）等差数列{an}的前n项和Sn，若a3+ a7- a10=8, a11- a4=4,则S13等于( A )
A.152 B.154 C.156 D.158
3、（2011北京朝阳区期末）已知数列的前n项和为，且, 则等于 (A)
（A） 4 （B）2 （C）1 （D） -2
4、(2011东莞期末)等比数列中, ,且依次成等差数列，则的前项和等于 63 ．
5、（2011佛山一检）在等差数列中，首项公差，若，则(A)
A． B． C． D．
6、（2011广州调研） 等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则 126
7、（2011·湖北重点中学二联）已知数列是公差不为零的等差数列，成等比数列，则= 。
8、（2011巢湖一检）在等比数列中，，公比为q，前n项和为，若数列也是等比数列，则q等于(C)
A.2 B. C.3 D.
9、（ 2011广东广雅中学期末）已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则 ( C )
A． B． C． D．
10、(2011湖北八校一联)已知等比数列的各项都为正数，且当则数列 等于 。
11、（2011北京西城区期末）设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是(D)
（A）（B）（C）（D）
12、（2011哈尔滨期末）若两个等差数列和的前项和分别是和，已知，则（ D ）
A． B． C． D．
13、（2011北京朝阳区期末） 已知数列满足：，定义使为整数的数叫做企盼数，则区间内所有的企盼数的和为2026 .
14、 (2011承德期末)下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为，则等于（ C ）
A． B．
C． D．1
15、(2011承德期末)数列的前100项的和等于.
16、(2011东莞期末)设等差数列（）的前n项和为，该数列是单调递增数列，若，则的取值范围是(A)
A. B. C. D.
17、（2011镇江高三期末）已知等差数列首项为，公差为，等比数列首项为，公比为，其中都是大于1的正整数，且，对于任意的，总存在，使得成立，则 .
18、（ 2011·温州八校联考）数列满足，，记数列前n项的和为Sn，若对任意的 恒成立，则正整数的最小值为 （ A ）
A．10 B．9 C．8 D．7
19、（ 2011·温州八校联考）将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有__100___个。
20、（2011·温州十校高三期末）数列是等差数列，若，且，它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时， （ C ）
（A） （B） （C） （D）
21、（2011·温州十校高三期末）设是等差数列，从中取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列有 180 个
22、（2011福州期末）已知实数成等比数列，且函数时取到极大值，则等于 （ A ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
23、（2011哈尔滨期末）设是公比为的等比数列，其前项积为，并满足条件，给出下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）使成立的最小自然数等于，其中正确的编号为（1）（3）（4）.
24、（2011杭州质检）已知函数 若数列满足，且是递减数列，则实数a的取值范围是（ C ）
A． B． C． D．
25、（2011杭州质检）等比数列，，，…的第8项是 ．
26、（2011杭州质检）设n为正整数，，计算得，，，，观察上述结果，可推测一般的结论为 （nN*）．
27、(2011湖北八校一联)有下列数组排成一排：如果把上述数组中的括号都去掉会形成一个数列：则此数列中的第2011项是（ B ）
A． B． C． D．
28、 (2011·黄冈期末)已知数列中，是其前n项和，若=1，=2，且则_____6_____, =____4021___
29、(2011·锦州期末)设数列满足，它的前项和为，则的最小为下列何值时S>1025 ( C )
（A）9 （B）10 （C）11 （D）12
30、(2011·惠州三调)已知整数以按如下规律排成一列：、、、、，，，，，，……，则第个数对是（ ）
A． B． C． D．
【解析】C； 根据题中规律，有为第项，为第2项，为第4项，…，为第项，因此第项为．
31、（2011·温州十校高三期末）我国的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.则的表达式为
32、（2011·上海长宁区高三期末）如图，连结的各边中点得到一个新的，又的各边中点得到一个新的，如此无限继续下去，得到一系列三角形，，，， 这一系列三角形趋向于一个点。已知，则点的坐标是（A　　）
Ａ、　　　Ｂ、　　Ｃ、Ｄ、
33、（2011·上海长宁区高三期末）无穷等比数列中，公比为，且所有项的和为，则的范围是___
34、(2011·日照一调)（本小题满分12分） 等比数列中，已知. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若分别为等差数列的第4项和第16项，试求数列的通项公式及前项和.
解：（Ⅰ）设的公比为,由已知得，解得.所以. ………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，,
设的公差为，则有 解得 ……8分
……10分
且数列的前项和 ………12分
35、（2011烟台一调）（本小题满分12分）设数列的前项和为，且bn=2-2Sn；数列{an}为等差数列，且a5=14，a7=20.（1）求数列的通项公式；（2）若(=1,2,3…)，为数列的前项和.求.
解：（1）由，令，则，又 所以 当时，由，可得即 所以是以为首项，为公比的等比数列，于是
（2）数列为等差数列，公差,可得 从而，
，.
36、（2011福州期末）数列是首项为2，公差为1的等差数列，其前项的和为 （Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；（Ⅱ）设，求数列的通项公式及前项和
解：（Ⅰ）依题意： 2分=4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 5分
7分
9分 12分
37、（2011佛山一检）设数列是首项为，公差为的等差数列，其前项和为，且成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求.
解：（Ⅰ）∵，，，
由成等差数列得，，即，
解得，故；
（Ⅱ），
法1：， ①
①得，， ②
①②得，
，∴．
法2：，设，记，
则，
∴， 故．
38、（2011杭州质检）设数列的前n项和为，且，其中p是不为零的常数．（1）证明：数列是等比数列；（2）当p=3时，若数列满足，，求数列的通项公式．
（1）证：因为Sn=4an– p（nN*）,则Sn – 1 = 4an – 1 – p（nN*， n2）,
所以当n2时，，整理得． 5分
由Sn=4an– p，令，得，解得．
所以是首项为，公比为的等比数列． 7分
（2）：因为a1=1，则，由，得 ， 9分
当n2时，由累加得＝，
当n = 1时，上式也成立．
39、(2011·南昌期末)（本小题满分14分）已知各项均为正数的数列满足, 且,其中.(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足,是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的的值；若不存在，请说明理由.(3) 令,记数列的前项积为,其中,试比较与9的大小,并加以证明.
解:(1)因为,即………1分
又,所以有,所以
所以数列是公比为的等比数列……2分
由得,解得
故数列的通项公式为…………4分
(2) =，所以，
若成等比数列，则，即．……5分
由，可得，所以，…7分
从而，又，且，所以，
此时．故当且仅当，.使得成等比数列………………8分
(3) 构造函数则，…9分
当时，，即在上单调递减，
所以，……10分
所以，所以，…11分
记，则，……12分
所以：………13分
即，所以，所以………14分
40、（2011北京朝阳区期末）已知函数（，，为常数，）.（Ⅰ）若时，数列满足条件：点在函数的图象上，求的前项和；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，，（），证明：；
（Ⅲ）若时，是奇函数，，数列满足，，
求证：.
解：（Ⅰ）依条件有.因为点在函数的图象上，所以. 因为，
所以是首项是，公差为的等差数列.……… 1分
所以.
即数列的前项和. … 2分
（Ⅱ）证明：依条件有 即解得
所以.所以 3分
因为=
，又，所以.
即. … 5分
（Ⅲ）依条件.因为为奇函数，所以.即. 解得. 所以.又，所以.故.……6分
因为，所以. 所以时，有（）.
又，若，则. 从而. 这与矛盾.
所以.… 8分
所以.
所以.……10分
所以
.………12分因为，，所以. 所以.所以. …14分
41、（2011北京丰台区期末）已知函数，数列中，，．当取不同的值时，得到不同的数列，如当时，得到无穷数列1，3，，…；当时，得到常数列2,2,2，…；当时，得到有穷数列，0．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）设数列满足，．求证：不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列；（Ⅲ）如果当时，都有，求的取值范围．
解：（Ⅰ）因为 ，且，所以 ． 同理可得，即． …3分
（Ⅱ）证明：假设为数列中的第项，即；则
；；………
；， 即。
故不论取中的任何数，都可以得到一个有穷数列．
（Ⅲ）因为，且，所以 ．又因为当时， ，即，所以 当时，有．
42、（2011北京西城区期末）已知数列，满足，其中.（Ⅰ）若，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，且.（ⅰ）记，求证：数列为等差数列；（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求首项应满足的条件.
解：（Ⅰ）当时，有…2分.3分又因为也满足上式，所以数列的通项为.4分
（Ⅱ）（ⅰ）因为对任意的有，……5分
所以
，所以数列为等差数列.……7分
（ⅱ）设，（其中为常数且），所以
所以数列均为以7为公差的等差数列.……9分
设，（其中，为中的一个常数），当时，对任意的有； ……10分
当时，
…11分
①若，则对任意的有，所以数列为单调减数列；
②若，则对任意的有，所以数列为单调增数列；…12分
综上：设集合，
当时，数列中必有某数重复出现无数次.
当时， 均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14分
43、(2011东莞期末)已知数列（）的各项满足：,（，）．(1) 判断数列是否成等比数列；（2）求数列的通项公式；(3) 若数列为递增数列，求的取值范围.
解：（1） ，
．
当时，，则数列不是等比数列；
当时，，则数列是公比为的等比数列．
（2）由（1）可知当时，，
． 当时，，也符合上式，
所以，数列的通项公式为．
(3)
． ∵ 为递增数列，
∴恒成立．
①当为奇数时，有，即恒成立，
由得．
②当为偶数时，有，即恒成立，
由，得．故的取值范围是．
44、(2011湖北八校一联)已知数列 （I）李四同学欲求的通项公式，他想，如能找到一个函数 （A、B、C是常数），把递推关系变成后，就容易求出 的通项了，请问：他设想的的通项公式是什么？ （II）记都成立，求实数p的取值范围。
解：（Ⅰ） ,
所以只需,,
,.故李四设想的存在，.,
5分
（Ⅱ）
, 7分
由，得 .设，则
,
当时，
,（用数学归纳法证也行）
时， . 容易验证 ,时,,
, 的取值范围为 . 13分
45、（2011·湖北重点中学二联）（本小题满分13分）在数列 （I）若是公比为β的等比数列，求α和β的值。 （II）若，基于事实：如果d是a和b的公约数，那么d一定是a-b的约数。研讨是否存在正整数k和n，使得有大于1的公约数，如果存在求出k和n，如果不存在请说明理由。
解：（I）是公比的的等比数列…………2分
即又………………4分
、是方程的两根或…………6分
（II）假设存在正整数，使得与有大于1的公约数，
则也是即的约数
依题设，是的约数…………8分
从而是与的公约数同理可得是的约数依次类推，是与的约数……10分，故
于是 ， …12分又∵
是的约数和的约数是即的约数
从而是即1的约数，这与矛盾故不存在使与有大于1的公约数.
46、 (2011·惠州三调)（本题满分14分）,是方程的两根, 数列是公差为正的等差数列，数列的前项和为,且.(1)求数列,的通项公式;(2)记=,求数列的前项和.
解：(1)由.且得 … 2分
, …… 4分
在中,令得当时,T=,
两式相减得,… 6分. … 8分
(2),…… 9分
,,…… 10分
=2
=,…13分 …… 14分
47、（2011·九江七校二月联考）（本小题满分12分）已知数列中，，，其前项和满足（，（1）求数列的通项公式；（2）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．
解： (1）由已知，（，），…2分
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴……4分
（2）∵，∴，要使恒成立，
∴恒成立，
∴恒成立，∴恒成立．………6分
（ⅰ）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为1，∴……8分
（ⅱ）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，
∴ …10分即，又为非零整数，则．
综上所述，存在，使得对任意，都有．…
48、(2011·南昌期末)已知下面数列和递推关系：①数列{an}(an = n)有递推关系a n+2= 2an+1–an；②数列有递推关系：③数列有递推关系：请猜测出数列的一个类似的递推关系：______.
49、（2011·三明三校二月联考）（本题满分13分） 已知等差数列的首项，公差．且分别是等比数列的． （1）求数列与的通项公式；（2）设数列对任意自然数均有：成立．求的值。
解：（1）∵a2=1+d ，a5=1+4d ，a14=1+13d，且a2、a5、a14成等比数列
∴ ∴
又∵.　　∴
（2）∵ ① ∴　即
又②
①－②：　∴ ∴
∴
50、（2011·上海长宁区高三期末）（本题满分18分，第（1）小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知点，，…，（为正整数）都在函数的图像上，其中是以1为首项，2为公差的等差数列。（1）求数列的通项公式，并证明数列是等比数列；（2）设数列的前项的和，求；
（3）设，当时，问的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；
解：（1），（ ，……. 2分
，，是等比数列。…. 4分
(2)因为是等比数列，且公比，，。…. 6分
当时， ；…. 7分
当时，。……. 9分
因此，。……. 10分
（3），，………….12分
设，当最大时，则，………. 14分
解得，，。……. 16分
所以时取得最大值，因此的面积存在最大值。…. 18分
51、（2011·泰安高三期末）（本小题满分12分）已知数列{an}和{bn}满足： a1=，an+1=an+n-4，bn=（-1）n（an-3n+21），其中为实数，n为正整数.（Ⅰ）证明：对任意实数，数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）证明：当≠-18时，数列{bn}是等比数列.
解：（Ⅰ）证明 假设存在一个实数，使{an}是等比数列，则有a22= a1a3，…（2分）
即矛盾.
所以 对于任意，{an}不是等比数列. ………（6分）
(Ⅱ)证明 因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3（n+1）+21］=(-1) n+1
=-……（10分）又≠-18，所以b1=-(+18)≠0.…（11分）
由上式知bn≠0，所以故当≠-18时，数列{ bn}是以-(+18)为首项，-为公比的等比数列.…（12分）
52、（2011苏北四市二调）（本小题满分16分）已知数列的前项和为，且满足，，其中常数．（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求数列的通项公式；（3）对于（2）中数列，若数列满足（），在与 之间插入（）个2，得到一个新的数列，试问：是否存在正整数m,使得数列 的前m项的和 如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由.
解：（1）∵，∴，∴，
∴，∴， …4分
∵，∴，∴∴，∴数列为等比数列．
（2）由（1）知，∴ …8分
又∵，∴，∴，∴ …10分
（3）由（2）得，即， 数列中，（含项）前的所有项的和是：
……12分
当k=10 时，其和是当k=11 时，其和是
又因为2011-1077=934=4672，是2的倍数…14分所以当时，，所以存在m=988使得…16分
53、（2011镇江高三期末）已知公差大于零的等差数列的前项和，且满足：，．（1）求数列的通项公式；（2）若,是某等比数列的连续三项，求值；（3）是否存在常数，使得数列为等差数列，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.
解：（1）为等差数列，∵， 又，∴，是方程的两个根又公差，∴，∴，. ∴ ∴∴.……5分
（2）由,是某等比数列的连续三项，，即 ，解得.
（3）由(1)知，,假设存在常数，使数列为等差数列，
【法一】由， 得,
解得.,易知数列为等差数列.
【法二】假设存在常数，使数列为等差数列，由等差数列通项公式可知， 得恒成立，可得.
,易知数列为等差数列.
【说明】本题考查等差、等比数列的性质，等差数列的判定，方程思想、特殊与一般思想、待定系数法.
2010年模拟试题
2010年名校模拟题及其答案
一、选择题
1．（广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）等差数列的前项和为，那么值的是 （ ）
A．130 B．65 C．70 D．以上都不对
【答案】A
2．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，
它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端
的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数
的和，如，，，…，
则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
3．（2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题）如图3所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，
它们是由整数的倒数组成的，第行有个数且两端
的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数
的和，如，，，…，
则第7行第4个数（从左往右数）为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
4．（广东省深圳高级中学2010届高三一模理科）数列前项和为，已知，且对任意正整数，都有，若恒成立则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
5．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知点（，）（N*）都在函数（）的图象上，则与的大小关系是( )
A．＞
B．＜
C．＝
D．与的大小与有关
【答案】A
6．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）已知各项不为0的等差数列
数列是等比数列，且=（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】D
7．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）设是等差数列，= （ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
8．（山东省青岛市2010届高三一模理科）在数列中，（为常数），若平面上的三个不共线的非零向量满足，三点共线且该直线不过点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
9．（山东省青岛市2010届高三一模文科）已知为等差数列,若,则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
10．（山东省青岛市2010届高三一模文科）在中,,三边长成等差数列，且,则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
11．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题文科）在等差数列中，若，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
12．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟文科试题）正项等比数列的前n项和为，且则公比q等于 （ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
13．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题理）等差数列的前n项和等于 （ ）
A．152 B．154 C．156 D．158
【答案】C
14．（山东省泰安市2010年3月高三第一次模拟数学理科试题）某钢厂的年产量由1990年的40万吨增加到2000年的50万吨，如果按照这样的年增长率计算，则该钢厂2010年的年产量约为（ ）
A．60万吨 B．61万吨 C．63万吨 D．64万吨
【答案】C
15. (山东省济南外国语学校2010年3月高三质量检测理）设等比数列的公比，前项和为，则 （ ）
【答案】C
16．（北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题）已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为（ ）
A．3或 B．3或 C．3 D．
【答案】C
17. （北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试文科试题）已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
18．（北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题）已知数列具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项. 现给出以下四个命题：
①数列具有性质；
②数列具有性质；
③若数列具有性质，则；
④若数列具有性质，则.
其中真命题有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
19．（北京市丰台区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科）已知整数以按如下规律排成一列：（1，1）、（1，2）、（2，1）、（1，3）、（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）……，则第60个数对是 （ ）
A．（10，1） B．（2，10） C．（5，7） D．（7，5）
【答案】C
20．（北京市崇文区2010年4月高三年级第二学期统一练习理科）已知等比数列为递增数列，且，，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
21. （2010年4月北京市西城区高三抽样测试理科）设等差数列的前项和为，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
22．（北京市宣武区2010年4月高三第二学期第一次质量检测）若为等差数列，是其前n项和，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
23. （北京市东城区2010届高三第二学期综合练习理科）已知数列的通项公式，设其前项和为，则使 成立的最小自然数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
24. （湖北省黄冈市2010年3月份高三年级质量检测理科）向量=()，是直线y=x的方向向量，a=5,则数列的前10项的和（ ）
A 50 B 100 C 150 D 200
【答案】A
25. (湖北省赤壁一中2010届高三年级3月质量检测理科A试题)已知等差数列的前13项之和为，则等于（ ）
A.6　　　　　 B.9　　　　　 C.　12　　　　 D.18
【答案】B
26．（湖北省荆州市2010年3月高中毕业班质量检查Ⅱ理科）设等差数列前项和为,若且,则与的大小关系是（ ）
与的取值有关
【答案】A
27．（湖北省八校2010 届 高 三 第 二 次 联 考文科）等差数列的前项和为，若的值为 （ ）
A．10 B．20 C．25 D．30
【答案】D
28．（湖北省襄樊市2010年3月高三调研统一测试理科）在平面直角坐标系中，定义为点到点的一个变换，我们把它称为点变换，已知P1（0，1），P2是经过点变换得到的一列点。设，数列的前n项和为的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
29、（湖北省六校2010年2月高三第二次联考理科）已知等比数列中，，是方程的两个根，则=( )
A、1 B、-1 C、1或-1 D、以上都不正确
【答案】A
30、（湖北省六校2010年2月高三第二次联考理科）“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的( D )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
【答案】D
31．（江西省南昌市2010届高三第二次模拟考试文科)设是等差数列的前项和，，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
32、(江西省赣州市十一县市2010届高三下学期期中联考理科)已知无穷等比数列的前项和为，所有项的和为，且，则其首项的取值范围（　 ）
A．；　　　B．；　 C．；　　D．；
【答案】D
33．(江西省赣州市十一县市2010届高三下学期期中联考文科)已知、、是等差数列,、、是等比数列，则椭圆的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
34．（江西省九江市2010年高三第二次高考模拟理）在平面直角坐标系中，定义到点的一个变换为“”，已知是经过“”得到的一列点。设的值为 （ ）
A． B．2— C．2+ D．1+
【答案】C
35．（江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学、白鹭洲中学、南昌三中五校2010届高三联考理）已知函数规定：给出一个实数，赋值若，则继续赋值以此类推，若则，否则停止赋值，如果得到称为赋值了n次.已知赋值k次后停止，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
二、填空题：
1．（山东省东营市2010届高三一轮教学质量检测数学试题理科）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则S19=______________．
【答案】19
2．（北京市石景山区2010年4月高三统一测试文科试题）等差数列中，，此数列的通项公式为 ，设是数列的前项和，则等于
【答案】，-16
3．（北京市朝阳区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科）一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数生成两
个数，一个是－x，另一个是x+3，设第次生成的数的个数为，则数列的前项和 ；若，前次生成所有数中不同的数的个数为 .
【答案】
4．（北京市朝阳区2010年4月高三年级第二学期统一考试文科）一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数生成两个数，一个是x，另一个是，设第次生成的数的个数为，则数列的前项和 ；若，前次生成所有数中不同的数的个数为 .
【答案】 ，10
5．（北京市丰台区2010年4月高三年级第二学期统一考试文科）设等比数列的公比为前n项和为= .
【答案】15
6．（北京市崇文区2010年4月高三年级第二学期统一练习理科）若数列的前项和为，则若数列的前项积为，类比上述结果，则=_________；此时，若，则=___________．
【答案】；
7．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)若实数列1，a，b，c，4是等比数列，则b的值为 ▲ ．
【答案】2
8．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）若等差数列的公差为，前项的和为，则数列为等差数列，公差为．类似地，若各项均为正数的等比数列的公比为，前项的积为，则数列为等比数列，公比为 ▲ ．
【答案】
9．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）已知数列是等差数列，且，则＝ ▲ .
【答案】
10．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，，，则= ▲ .
【答案】4020
11、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）把数列{}的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k行有2k－1个数，第k行的第s个数（从左数起）记为(k，s)，则 可记为 ▲ ．
【答案】（10，494）
12、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）设，，…，是各项不为零的（）项等差数列，且公差．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为___▲_____．
【答案】
13. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数总有，且，则 ▲ .
【答案】
14、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）等比数列的公比﹥0，已知，则的前四项和是 。
【答案】
15. (湖北省赤壁一中2010届高三年级3月质量检测理科A试题)下列图形中，若黑色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为 　　 　.
【答案】
16．（湖北省八校2010 届 高 三 第 二 次 联 考理科）已知数列为等差数列，为其前项和 。
【答案】3
17．（湖北省襄樊市2010年3月高三调研统一测试理科）已知等差数列中，若 。
【答案】11
18．（湖北省襄樊市2010年3月高三调研统一测试文科）若的展开式中的系数为，则= 。
【答案】
19、（湖北省六校2010年2月高三第二次联考理科）在实数数列中，已知，，，…，，则
的最大值为___________．
【答案】2
20、（湖北省六校2010年2月高三第二次联考理科）给定项数为的数列，其中．若存在一个正整数，若数列中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等,则称数列是“k阶可重复数列” ．例如数列：因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列” ．假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，数列的最后一项= ．
【答案】1
三、解答题：
1．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）（本小题满分12分）
已知数列的各项为正数，前
（1）求证：数列是等差数列；（2）设
解：（1）…1分
…………3分
所以
，所以数列是等差数列……6分
（2）由（1） …8分
…………12分
2．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）（本小题满分12分）
已知：数列与—3的等差中项。
（1）求； （2）求数列的通项公式。
解：（1）由题知，与—3的等差中项。2分
………………6分
（2）由题知 ①
② ………………7分
②—①得
即 ③ …10分
也满足③式 即
是以3为首项，3为公比的等比数列。…………12分
3. （山东省青岛市2010届高三一模理科）(本题满分共12分)
已知各项均为正数的数列满足,且,其中.
(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设数列的前项和为,令,其中,试比较与的大小,并加以证明.
解:(Ⅰ)因为,即
又,所以有,所以
所以数列是公比为的等比数列…………2分
由得,解得
故数列的通项公式为…4分
(Ⅱ) 因，所以
即数列是首项为,公比是的等比数列
所以…………6分则
又猜想：…………8分
①当时，,上面不等式显然成立；②假设当时，不等式成立……9分当时，
综上①②对任意的均有…………11分
又
所以对任意的均有……12分
【核心预测】
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）
1、如果等差数列中，，那么
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
解：答案C
2、设为等比数列的前项和，已知，，则公比
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
解：两式相减得， ，.选B.
3、已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为
（A）或5 （B）或5 （C） （D）
解：显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和.答案C
4、已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则=
(A) (B) 7 (C) 6 (D)
解：由等比数列的性质知，10,所以,所以
5、已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则=
A．35 B.33 C.31 D.29
解：设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。由与2
的等差中项为知，，即 ．
∴，即．，即．
．答案C
6、设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于
A．6 B．7 C．8 D．9
解：设该数列的公差为，则，解得，
所以，所以当时，取最小值。
7、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是
A、 B、 C、 D、
解：取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。
8、等比数列中，，=4，函数，则（ ）
A． B. C. D.
解：考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。答案C
9、如图，在半径为r的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，
又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去.设为前个
圆的面积之和，则
A． B. C. D.
解：依题意可知，图形中内切圆半径分别为
即则面积依次为
所以
故C正确
10、已知数列的首项，其前项的和为，且，则
（A）0 （B） （C） 1 （D）2
解析：由,且作差得an＋2＝2an＋1又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 a2＝2a1故{an}是公比为2的等比数列Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1
则答案：B
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上）
11、在等比数列中,若公比,且前3项之和等于21,则该数列的通项公式 .
解：由题意知，解得，所以通项。
12、设为等差数列的前项和，若，则 。
解： ,解得，
13、在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 。
解：观察表中的数据可知，第行的第一个数是，公差也是，所以第n+1列的数是.
14、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____ _____
解：在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，
所以。
15、若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ，
解：因为，而，所以m=1,2,所以2.
所以＝1, ＝4，＝9，＝16，猜想
三、解答题（本大题6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16、记等差数列的前项和为，设，且成等比数列，求.
解析 设数列的公差为，依题设有即
解得或故或
17、设等差数列满足，。（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求的前项和及使得最大的序号的值。
解：（1）由 = a1 +（n-1）d及a1=5，=-9得解得数列{}的通项公式为an=11-2n。
(2)由(1) 知=na1+d=10n-n2因为=-(n-5)2+25. 所以n=5时，取得最大值。
18、已知等差数列满足：，.的前n项和为. （Ⅰ）求 及；（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和.
解（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，，所以有，
解得，所以；==。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，
所以==，即数列的前n项和=。
19、正实数数列中,,且成等差数列.(1) 证明数列中有无穷多项为无理数；(2)当为何值时，为整数，并求出使的所有整数项的和.
解：（1）由已知有：，从而，
方法一：取，则（）
用反证法证明这些都是无理数.假设为有理数，则必为正整数，且，
故.,与矛盾，
所以（）都是无理数，即数列中有无穷多项为无理数;
方法二：因为，当的末位数字是时，的末位数字是和，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时不是有理数，因这种有无穷多，故这种无理项也有无穷多．
(2) 要使为整数，由可知：同为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有或当时，有（）又必为偶数，所以（）满足即
（）时，为整数；同理有（）
也满足，即（）时，为整数；显然和（）是数列中的不同项；所以当（）和（）时，为整数；由（）有，由（）有.设中满足的所有整数项的和为，则
20、设,,…,,…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在轴的正半轴上，且都与直线相切，对每一个正整数,圆都与圆相互外切，以表示的半径，已知为递增数列.(Ⅰ)证明：为等比数列；
(Ⅱ)设，求数列的前项和.
解：(Ⅰ)将直线的倾斜角记为，则有，
.设的圆心为，则由题意知，得；同理.从而，将代入，解得.故为公比等比数列.
(Ⅱ)由于，，故，从而，
记，则有， ①
②
①-②，得
∴.
21、在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k.（Ⅰ）证明成等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）记，证明.
解：（I）由题设可知，，，，，。从而，所以，，成等比数列。
（II）解：由题设可得所以
.
由，得 ，从而.
所以数列的通项公式为或写为，。
（III）证明：由（II）可知，，以下分两种情况进行讨论：
当n为偶数时，设n=2m若，则，
若，则
.
所以，从而
当n为奇数时，设。
所以，从而
综合（1）和（2）可知，对任意有
_
O
_
1
_
2
_
3
_
4
_
5
_
6
_
6
_
5
_
4
_
3
_
2
_
1
………………………………………
图2
………………………………………
图2
eq \F(1,2)
eq \F(1,4) eq \F(1,6)
eq \F(1,8) eq \F(1,10) eq \F(1,12) eq \F(1,14)
eq \F(1,16) eq \F(1,18) eq \F(1,20) eq \F(1,22) eq \F(1,24) …
…
本卷第1页（共62页）2012考前90天突破——高考核心考点
专题七 直线与圆的方程
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读（1）直线与方程　① 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.　　② 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.　③ 能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.　　④ 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.　　⑤ 能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.　　⑥ 掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
　　（2）圆与方程　① 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.　　② 能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.③ 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.　　④ 初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
　　（3）空间直角坐标系　① 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.　　② 会推导空间两点间的距离公式.
近几年考点分布直线与圆的方程考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识。直线与圆的方程所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容.它们渗透到平面解析几何的各个部分，正是它们构成了解析几何问题的基础，又是解决这些问题的重要工具之一.这就要求我们必须重视对“三基”的学习和掌握，重视基础知识之间的内在联系，注意基本方法的相互配合，注意平面几何知识在解析几何中的应用，注重挖掘基础知识的能力因素，提高通性通法的熟练程度，着眼于低、中档题的顺利解决。
【考点pk】名师考点透析
考点一、直线的方程
例1.已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：
（1）过定点A（-3，4）；（2）斜率为.
解 （1）设直线l的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是--3，3k+4，
由已知，得（3k+4）（+3）=±6，解得k1=-或k2=-.直线l的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.
（2）设直线l在y轴上的截距为b,则直线l的方程是y=x+b,它在x轴上的截距是-6b,
由已知，得|-6b·b|=6，∴b=±1.∴直线l的方程为x-6y+6=0或x-6y-6=0.
【名师点睛】1直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；
(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则。
2.直线的方程a.点斜式：； b.斜截式：；c.两点式：； d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.
考点二、两直线的位置关系
例2.求过两直线l1:x+y+1=0,l2:5x-y-1=0的交点，且与直线3x+2y+1=0的夹角为的直线方程.
【名师点睛】1.直线l1与直线l2的的平行与垂直
（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：①l1//l2 k1=k2；②l1l2 k1k2=－1。
（2）若
若A1、A2、B1、B2都不为零。①l1//l2；②l1l2 A1A2+B1B2=0；③l1与l2相交；④l1与l2重合；
注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数.
2.夹角与到角：l1到l2的角：直线l1绕交点依逆时针旋转到l2所转的角θ∈有tanθ=（k1·k2≠-1）。l1与l2的夹角θ，θ∈有tanθ=||（k1·k2≠-1）。
3.距离
（1）两点间距离：若，则
特别地：轴，则、轴，则。
（2）平行线间距离：若，
则：。注意点：x，y对应项系数应相等.
（3）点到直线的距离：，则P到l的距离为：
考点三、曲线与方程
例3、已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程.
解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系.
设动圆圆心为M（x，y），⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|.
∵AB为⊙O的直径，∴MO垂直平分AB于O.由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，
而|MC|=|y+3|，∴=|y+3|.化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程.
【名师点睛】轨迹问题是高中数学的一个难点，常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题——直接法＋ 待定系数法；（2）双动点的轨迹问题——代入法；（3）多动点的轨迹问题——参数法 ＋ 交轨法。求轨迹的步骤是“建系，设点，列式，化简”，建系的原则是特殊化（把图形放在最特殊的位置上），这类问题一般需要通过对图形的观察、分析、转化，找出一个关于动点的等量关系。
考点四、圆的方程
例4.已知半径为5的动圆C的圆心在直线l:x-y+10=0上. (1)若动圆C过点(-5,0),求圆C的方程; (2)是否存在正实数r,使得动圆C中满足与圆O:x2+y2=r2相外切的圆有且仅有一个,若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.
解 (1)依题意,可设动圆C的方程为 (x-a)2+(y-b)2=25, 其中圆心(a,b)满足a-b+10=0. 又∵动圆过点(-5,0), 故(-5-a)2+(0-b)2=25.解方程组 可得或故所求圆C的方程为 (x+10)2+y2=25或(x+5)2+(y-5)2=25.
(2)圆O的圆心(0,0)到直线l的距离d=.
当r满足r+5＜d时，动圆C中不存在与圆O：x2+y2=r2相外切的圆；
当r满足r+5＞d时，r每取一个数值，动圆C中存在两个圆与圆O：x2+y2=r2相外切；
当r满足r+5=d,即r=5-5时，动圆C中有且仅有1个圆与圆O：x2+y2=r2相外切.
【名师点睛】（1）圆方程的三种形式
　　标准式：，其中点（a，b）为圆心，r>0，r为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小．
　　一般式：，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D、E、F．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．
　　参数式：以原点为圆心、r为半径的圆的参数方程是（其中θ为参数）．
　　以（a，b）为圆心、r为半径的圆的参数方程为（θ为参数），θ的几何意义是：以垂直于y轴的直线与圆的右交点A与圆心C的连线为始边、以C与动点P的连线为终边的旋转角，如图所示．
　　三种形式的方程可以相互转化，其流程图为：
　　
　　2．二元二次方程是圆方程的充要条件
　　“A=C≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程表示圆的必要条件．
　　二元二次方程表示圆的充要条件为“A=C≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．
　　3．参数方程与普通方程
　　我们现在所学的曲线方程有两大类，其一是普通方程，它直接给出了曲线上点的横、纵坐标之间的关系；其二是参数方程，它是通过参数建立了曲线上的点的横、纵坐标之间的（间接）关系，参数方程中的参数，可以明显的物理、几何意义，也可以无明显意义．
　　要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别，前者是利用参数将横、纵坐标间接地连结起来，
考点五、直线、圆的位置关系
例5.从点A（-3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.
解 方法一 如图所示，设l与x轴交于点B（b,0)，
则kAB=,根据光的反射定律，
反射光线的斜率k反=.
∴反射光线所在直线的方程为 y=(x-b), 即3x-(b+3)y-3b=0.
∵已知圆x2+y2-4x-4y+7=0的圆心为C（2,2）， 半径为1, ∴=1,解得b1=-,b2=1.
∴kAB=-或kAB=-. ∴l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
方法二 已知圆C：x2+y2-4x-4y+7=0关于x轴对称的圆为C1：(x-2)2+(y+2)2=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切. 设l的方程为y-3=k(x+3),则=1, 即12k2+25k+12=0. ∴k1=-，k2=-. 则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
方法三 设入射光线方程为y-3=k(x+3),反射光线所在的直线方程为y=-kx+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切. ∴消去b得=1. 即12k2+25k+12=0,∴k1=-,k2=-.
则l的方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
【名师点睛】1.直线与圆的位置关系有三种
（1）若，；（2）；（3）。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；
（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；
（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；
即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=rΔ＝0；相交d0；相离d>rΔ<0。
2.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。；
；；
； ；
外离 外切
相交 内切 内含
判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决
【金题热身】
11年高考试题及解析
1、（江苏14）、设集合, , 若 则实数m的取值范围是______
解析：综合考察集合及其运算、直线与圆的位置关系、含参分类讨论、点到直线距离公式、两条直线位置关系、解不等式，难题。当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间， ，因为此时无解；当时，集合A
是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，
必有 .又因为
2、（四川文3）.圆的圆心坐标是（ ）
(A) (-2，3) (B) (-2，-3) (C) (-2，-3) (D)(2，-3)
解析：把圆化为标准方程为，故圆的圆心 坐标为.本题也可以利用，计算可得. 答案：D
3、（全国文11).设两圆、都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离=
(A)4 (B) (C)8 (D)
【答案】C
【解析】设和两坐标轴相切圆的方程为：，将带入方程整理得：，
4、（浙江文12).若直线与直线与直线互相垂直，则实数=_______
【解析】：，即
5、（湖南文15）．已知圆直线（1）圆的圆心到直线的距离为 ．
(2) 圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为 ．
6、（湖北文14）. 过点(－1,－2)的直线被圆截得的弦长为,则直线的斜率为
解析： 依题意直线l斜率存在，设为k，则l方程为，圆方程化简为，由弦长为及几何图形，可知圆心（1，1）到直线l的距离，根据点到直线距离公式可计算得.
7、（辽宁文13）已知圆C经过A（5.1），B（1.3）两点，圆心在X轴上，则C的方程为___________。
答案：
解析：直线AB的斜率是kAB=，中点坐标是(3,2).故直线AB的中垂线方程，由得圆心坐标C（2,0），r=|AC|=,故圆的方程为。
8、（安徽文4). 若直线过圆的圆心,则a的值为
（A）1 (B) 1 (C) 3 (D) 3
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，属容易题.
【解析】圆的方程可变形为，所以圆心为（－1,2），代入直线得.
9、（重庆文13）．过原点的直线与圆相交所得弦的长为2，则该直线的方程为
10、（重庆理8）.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为
（A） （B） （C） （D）
解析：由题意，AC为直径，设圆心为F，则,圆的标准方程为，故，由此，易得：，又，所以直线BD的方程为，F到BD的距离为，由此得，所以四边形ABCD的面积为选B
11、（重庆理15）.设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为
解析：。 为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切，设圆的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得：
12、（上海文5）.直线过点，且是它的一个法向量，则的方程为
【解析】：则的方程为即
13、（安徽文17）.设直线（I）证明与相交；（II）证明与的交点在椭圆上.
【命题意图】：本题考察直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考察反证法的证明思路、推理论证能力和运算求解能力。
【解析】：（1）（反证法）假设与不相交，则与必平行， 代入得
，与是实数相矛盾。从而，即与相交。
（2）（方法一）由得交点p的坐标（x,y）为,
而
所以与的交点p的（x,y）在椭圆上
（方法二）与的交点p的（x,y）满足：，，从而
，代入得，整理得
所以与的交点p的（x,y）在椭圆上
【解题指导】：两直线的位置关系判定方法：
（1）（2）（3）
证明两数不等可采用反证法的思路。
点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可，或求出交点的轨迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可。本题属于中档题。
【核心突破】
2011年模拟试题及答案
一、选择题：
1．(福建省古田县2011年高中毕业班高考适应性测试文科)直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值是（ C ）
A． B． C． D．
2（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y2=1的位置关系是
A．相切 B．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离
答案 B.
3(福建省三明市2011年高三三校联考文科)已知直线经过坐标原点，且与圆相切，切点在第四象限，则直线的方程为( C )
A． B． C． D．
4（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是( )
答案 A.
5（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）两圆和恰有三条公切线，若，且，则的最小值为
A． B． C． D．
答案 C.
6（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）已知点是曲线C:上的一点，过点与此曲线相切的直线平行于直线，则切线的方程是（ ）
A． B．y=
C． D．或
答案 A.
7（福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理） 已知圆与抛物线的准线相切，则p＝ （ ▲ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
答案 B.
8（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）过点圆的切线,则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
答案 C.
9（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）已知圆关于直线
的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
答案 D.
10（广东省惠州三中2011届高三上学期第三次考试理）已知直线与圆交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足，则实数a的值是（ ）
（A）2 （B） （C）或 （D）2或
答案 D.
11（广东省清远市清城区2011届高三第一次模拟考试理）曲线处的切线方程为
A． B． C． D．
答案 C.
12（贵州省遵义四中2011届高三第四次月考理）若直线按向量平移后与圆相切，则的值为（ ）
A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8
答案 A.
13（黑龙江大庆实验中学2011届高三上学期期中考试理） 若直线是曲线的切线，则=（ ）
或
答案 D.
14．（重庆市南开中学2011届高三12月月考文）已知圆C与直线都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为 （ ）
A． B．
C． D．
答案 B.
二、填空题：
1（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知两点，则直线与轴的交点分有向线段的比为 　　．
答案 2.
2（甘肃省天水一中2011届高三上学期第三次月考试题理）设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则　　　　
答案 0.
3（黑龙江省哈尔滨市第162中学2011届高三第三次模拟理）已知函数的图象关于直线和都对称，且当时，.求=_____________。
答案 0.5
4（湖北省武汉中学2011届高三12月月考）设圆为常数）被轴所截得弦为AB，若弦AB所对圆心角为，则实数 。
答案
6(福建省厦门市2011年高三质量检查理科)已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则m的值是 -2 。
三、解答题：
1(福建省福州市2011年3月高中毕业班质量检查理科)（本小题满分13分）
已知点M(k,l)、P(m,n),(klmn≠0)是曲线C上的两点，点M、N关于轴对称，直线MP、NP分别交轴于点E(xE,0)和点F(xF,0)，（Ⅰ）用k、l、m、n分别表示和; （Ⅱ）当曲线C的方程分别为： 、时，探究的值是否与点M、N、P的位置相关；（Ⅲ）类比（Ⅱ）的探究过程，当曲线C的方程为时，探究与经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论.(只要求写出你的探究结论，无须证明).
解：（Ⅰ）依题意N(k,－l)，且∵klmn≠0及MP、NP与轴有交点知：……2分
M、P、N为不同点，直线PM的方程为，……3分
则，同理可得.……5分
（Ⅱ）∵M,P在圆C： x2+y2=R2上,
(定值).
∴的值是与点M、N、P位置无关.…8分同理∵M,P在椭圆C：上,
,(定值).
∴的值是与点M、N、P位置无关. ………11分
（Ⅲ）一个探究结论是：． ………13分
证明如下：依题意, ,.∵M,P在抛物线C：y2=2px(p>0)上,∴n2=2pm,l2=2pk.
.∴为定值.
2（河北省唐山一中2011届高三理）已知过点（1,1）且斜率为（）的直线与轴分别交于两点，分别过作直线的垂线，垂足分别为求四边形的面积的最小值.
解：设直线l方程为,则P（），…………2分
从而PR和QS的方程分别为，……5分又，又
四边形PRSQ为梯形………………………………9分
四边形PRSQ的面积的最小值为 ……………… 12分
3(福建省三明市2011年高三三校联考文科)（本小题满分12分）已知可行域的外接圆与轴交于点、，椭圆以线段为长轴，离心率（1）求圆及椭圆的方程（2）设椭圆的右焦点为，点为圆上异于、的动点，过原点作直线的垂线交直线于点，判断直线与圆的位置关系，并给出证明。
解：（ 1）由题意可知，可行域是以为顶点的三角形…………1分因为∴ 为直角三角形∴外接圆是以原点O为圆心，线段＝为直径的圆故其方程为…3分设椭圆的方程为∵ ∴又 ∴ ，可得故椭圆的方程为…5分
所以直线的方程为，因此点的坐标为（2, …9分
∵……10分
∴当，∴当， ∴
综上，当时，，故直线始终与圆相切……12分
2010年模拟试题及答案
一、选择题
1（2010·安徽省安庆市示范高中高三模拟联考（文））下列说法正确的是 （ D ）
A．是直线与直线互相垂直的充要条件
B．直线是函数的图象的一条对称轴
C．已知直线：与圆：，则圆心到直线的距离是
D．若命题P：“存在，”，则命题P的否定：“任意，
2．(福建省2010届5月模拟理)已知圆C:及直线，当直线截得弦长为时，则( C )
A． B． C． D．
3（福建省莆田市2010年质检理）经过圆2的圆心，且与直线垂直的直线的方程式（ B ）
A． B． C． D．
4. （福建省龙岩市2010年一次质检文） 已知直线，若直线，则直线的倾斜角为C
A. B. C. D.
5（2010届·安徽省安庆一中高三三模（理））8．直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是
A． B． C ． D．
6（福建省福州市2010年3月质检文）过点（1，2）且与圆相切的直线方程为 （ C ）
A．或 B．或 C． D．
7（2010届·江西省吉安市高三二模（理））12．圆C1的方程为圆C2的方程过C2上任意一点作圆C1的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，设PM与PN夹角的最大值为，则 （ B ）
A． B． C． D．的取值有关
8(福建省2010届5月模拟文)圆与圆关于直线对称，则与的值分别等于 （ B ）
A．， B．， C．， D．，
9（福建省宁德三县市二联文）若直线 被圆截得的弦长为4，则的最大值是（A ）
A． B． C．2 D．4
10．（福建省宁德三县市2010二联理）已知圆关于直线对称，则 的取值范围是（ A ）。
A． B. C. D. ( http: / / www. )
11（2010届·北京市丰台区高三二模（理））2．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y2=1的位置关系是（ ）
A．相切 B ．直线过圆心 C．直线不过圆心但与圆相交 D．相离
答案：B
12(福建省厦门市2010年3月质检查）若直线被圆截得的弦AB最短，则直线AB的方程是 （ ）
A． B． C． D．13（2010届·杭州五中高三下5月模拟（理））4．若圆上有且仅有两点到直线的距离等于１，则半径的取值范围是 （ A ）
A． B． C． D．
14（福建省福州市2010年3月质检理）若直线没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数是 （C ）
A．0 B．1 C．2 D．1或2
二、填空题
1（2010·安徽省安庆市示范高中高三模拟联考（文））13．圆上的点到直线的最大距离与最小距离之差是_____________
2．（泉州市2010年3月质检理）已知圆的半径是，则 。3
3（福建省泉州市2010年3月质检文）经过圆的圆心C，且与直线垂直直线的方程是 。
4（2010届·广东湛江市高三一模（文））14、（坐标系和参数方程选做题）已知圆O的方程是，则圆O上的点到直线 (t是参数) 的距离的最大值是 3
5（2010届·北京市朝阳区高三二模（理））（10）已知圆（为参数），直线，则圆心到直线的距离为 .
6（2010届·北京市朝阳区高三一模（理））（10）圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为　 　.
答案：
三、解答题
1（2010·安徽省安庆市示范高中高三模拟联考（文））18．（12分）求经过点，和直线相切，且圆心在直线上的圆方程．
解：由题意知：过A（2，－1）且与直线：x+y=1垂直的直线方程为:y=x－3,∵圆心在直线：y=－2x上，∴由 ,即且半径，∴所求圆的方程为：．
2 （福建省宁德三县市2010年4月高三第二次联考理）（本小题满分14分）
已知圆O：，点O为坐标原点,一条直线：与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A、B。 （1）设,求的表达式
（2）若，求直线的方程； （3）若，求三角形OAB面积的取值范围
解 （1）与圆相切,则,即,所以.………3分
（2）设则由，消去得:
又，所以 …………5分
则由, 所以所 7分
所以.…………8分
（3）由（2）知： 所以……10分
由弦长公式得
所以解得……14分
【核心预测】
1、直线y＝－x.与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是 (　　)
A．直线与圆相切 B．直线与圆相交但不过圆心C．直线与圆相离 D．直线过圆心
解析：圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝3.又圆心(2,0)到直线y＝－x的距离d＝＝＝r，∴直线与圆相切．答案：A
2、直线x＋y＝1与圆x2＋y2－2ay＝0(a>0)没有公共点，则a的取值范围是 (　　)
A．(0，－1) B．(－1，＋1)C．(－－1，＋1) D．(0，＋1)
解析：圆心(0，a)，半径r＝a.∴>a，∴03、若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB中点，则直线AB的方程是 (　　)
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
答案：A
4、圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有 (　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：圆的圆心(－1，－2)，半径R＝2，而圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为.
答案：C
5、若直线2x－y＋C＝0按向量a＝(1，－1)平移后与圆x2＋y2＝5相切，则C的值为 (　　)
A．8或－2 B．6或－4 C．4或－6 D．2或－8
答案：A
6、若直线与曲线，（）有两个不同的公共点，则实数的取值范围为
解析：选D如图所示，直线与圆相切之间的情形
符合题意，计算圆心（2，0）到直线的距离等于圆半径1，即，解得，所以.
7、过点A(4,1)的圆C与直线相切于点B(2,1)．则圆C的方程为 .
解析：圆心既在过点 B(2,1)且与直线垂直的直线上，又在点的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线垂直的直线为，的中垂线为，联立方程，解得，即圆心，半径，所以，圆的方程为.
【答案】
8、过点（2,3）作圆x2＋y2＝4的切线，则切线方程为_____ ___．
9、若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为 。16
10、一直线经过点P(－3，－)被圆x2＋y2＝25截得的弦长为8，求此弦所在直线方程．
解答：(1)当斜率k不存在时，过点P的直线方程为x＝－3，代入x2＋y2＝25，得y1＝4，y2＝－4.∴弦长为|y1－y2|＝8，符合题意．
(2)当斜率k存在时，设所求直线方程为y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0.由已知，弦心距|OM|＝ ＝3，∴＝3，解得k＝－.所以此直线方程为y＋＝－(x＋3)，即3x＋4y＋15＝0.所以所求直线方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.
11、已知m∈R，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0.(1)求直线l斜率的取值范围；(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？
解：(1)直线l的方程可化为y＝x－，直线l的斜率k＝，
因为|m|≤(m2＋1)，所以|k|＝≤，当且仅当|m|＝1时等号成立．所以斜率k的取值范围是[－，]．
(2)不能．由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤.圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.
圆心C到直线l的距离d＝.由|k|≤，得d≥＞1，即d＞.从而，若l与圆C相交，则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于.所以l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段弧．
12、已知圆C经过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，半径小于5.(1)求直线PQ与圆C的方程；(2)若直线l∥PQ，且l与圆C交于点A、B，∠AOB＝90°，求直线l的方程．
解：(1)直线PQ的方程为y－3＝×(x＋1)即x＋y－2＝0，
C在PQ的中垂线y－＝1×(x－)即y＝x－1上，
设C(n，n－1)，则r2＝|CQ|2＝(n＋1)2＋(n－4)2，由题意，有r2＝(2)2＋|n|2，
∴n2＋12＝2n2－6n＋17，∴n＝1或5，r2＝13或37(舍去)，∴圆C为(x－1)2＋y2＝13.
(2)设直线l的方程为x＋y＋m＝0，由，得2x2＋(2m－2)x＋m2－12＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1－m，x1x2＝，∵∠AOB＝90°，∴x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0，
∴m2＋m－12＝0，∴m＝3或－4(均满足Δ＞0)，∴l为x＋y＋3＝0或x＋y－4＝0.
本卷第23页（共23页）2012考前90天突破——高考核心考点
专题十三 复数、推理与证明
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读数系的扩充与复数的引入　
（1）复数的概念①理解复数的基本概念.②理解复数相等的充要条件.③了解复数的代数表示法及其几何意义.
（2）复数的四则运算　①会进行复数代数形式的四则运算.②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
推理与证明
（1）合情推理与演绎推理　① 了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.　② 了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.　③ 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
（2）直接证明与间接证明　① 了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.　② 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点.
　　（3）数学归纳法　　了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
近几年考点分布 复数问题在高考中年年必有,从近几年的高考试题来看,复数的概念及其代数形式的运算成为命题的热点,通常分两种题型,选择题和填空题,一是考查复数的概念,如纯虚数，两个复数相等；二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等知识.预测下一步的高考，仍会以考查复数的有关概念，包括实部与虚部、虚数与纯虚数以及复数的代数形式的运算为重点，继续稳定在一道选择题或填空题上,且属于中低档题.
推理与证明是数学的基础思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，推理一般包括合情推理与演绎推理，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。证明包括直接证明与间接证明，其中数学归纳法是将无穷的归纳过程，根据归纳原理转化为有限的特殊（直接验证和演绎推理相结合）的过程，要很好地掌握其原理并灵活运用。推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力，表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度，增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现。
【考点pk】名师考点透析
考点一、复数的基本运算
1. 复数加法与减法
复数减法是加法逆运算，那么复数减法法则为（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i，
　　（1）规定：复数减法是加法逆运算；
　　（2）法则：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（ ， ， ， ∈R）．
复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i．
复数减法几何意义是：两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．
2、复数的乘法与除法
复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把 换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式．
复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何 ， ， 及 ，有：， ， ；
例2.已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ）
A． B． C． D．
【解析】：由题意知，则，所以选A．
【答案】A
【名师点睛】：复数的最本质的运算方式是代数形式的运算，所以代数形式运算是试题考查的重点，其试题难度一般，试题活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力．
【备考提示】：本题主要考查了复数的基本运算，复数的四则运算是复数的一个重点考查热点，也是掌握复数的基础.
考点二 考查类比推理
例3观察下列等式： ，，
， ，………由以上等式推测到一个一般的结论：对于， ．
【解析】这是一种需类比推理方法破解的问题，结论由二项构成，第二项前有，二项指数分别为，因此对于，
【答案】：
【名师点睛】：类比推理:通过两类事物的相似性或一致性,用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论.常见的有结论类比和方法类比。
【金题热身】
11年高考试题及解析
1、（福建文2）．i是虚数单位，1＋i3等于
A．i B．－i C．1＋i D．1－i
【解析】因为，故选D.
2、（四川理2）．复数
（A） （B） （C）0 （D）
解析：，选A．
3、（重庆理1）复数
（A） （B） （C） HYPERLINK "http://www." （D）
解析： ，选B
4、（辽宁文2）．为虚数单位，
A．0 B．2 C． D．4
解析：。
5、（北京文、理2）复数
A. B. C. D.
【解析】：，选A。
6、（课标卷文2）.复数（ ）
A B C D
解析：因为，所以选C
点评：本题考查复数的概念和运算，注意除法运算的关键是分母实数化。
7、（天津文1）．是虚数单位，复数（　　）．
Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
【解】．故选Ａ．
8、（天津理1）．是虚数单位，复数（　　　）．
　Ａ．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．
【解】．故选Ａ．
9、（江西理1）. 设，则复数
A. B. C. D.
【解析】因为=，所以复数,选D.
10、（广东文1）．设复数满足，其中为虚数单位，则= （ ）
A． B． C． D．
【解析】A.由题得所以选A.
11、（广东理1）．设复数z满足(1+i)z=2，其中i为虚数单位，则Z=
A．1+i B．1-i C．2+2i D．2-2i
12、（课标卷理1）.复数的共轭复数是 C
（A） （B） （C） （D）
解析：因为=，所以，共轭复数为，选C
点评：本题考查复数的概念和运算，先化简后写出共轭复数即可。
13、（山东文、理2）.复数z=(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为
（A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
【解析】因为,故复数z对应点在第四象限,选D.
14、（全国理1）.复数，为的共轭复数，则
(A)-2 (B)- (C) (D)2
15、【命题意图】：本小题主要考查复数的运算及共轭复数的概念。
【解析】：，则
16、（浙江文2）.若复数，为虚数单位，则
A． B． C． D．3
【解析】：故选A
17、（浙江理2）.把复数的共轭复数记作，若，为虚数单位，则=
（A） （B） （C） （D）
【解析】： 故选A
18、（江苏3）、设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是_________
解析：法一：由得到
法二：设由得即
简单考察复数的运算和概念，容易题。
19、（湖南文２理1）．若为虚数单位，且，则
Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　Ｄ．
解析：因，根据复数相等的条件可知，答案：C
20、（湖北理1）.为虚数单位，则
A. B. C. D.
【答案】A
解析：因为，所以，故选A.
21、（福建理1）．是虚数单位，若集合，则
A． B． C． D．
【解析】：，故选B
22、(安徽文、理1) 设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为
（A）2 (B) 2 (C) (D)
【命题意图】本题考查复数的基本运算，属简单题.
【解析】设，则，所以.故选A.
23、（江西文1）.若，则复数=（ ）
A. B. C. D.
解析：
24、（辽宁理1）．为正实数，为虚数单位，，则
A．2 B． C． D．1
解析：,a>0,故a=
25、（上海理19）．（本大题满分12分）已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是实数，求．
解： ………（4分）
设，则，……（12分）
∵ ，∴ ………………（12分）
26、（陕西理13）．观察下列等式 1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
………
照此规律，第个等式为
【答案】
【解析】：第个等式是首项为，公差1，项数为的等差数列，
即
27、（江西文6）.观察下列各式：则，…，则的末两位数字为（ ）
A.01 B.43 C.07 D.49
【解析】，
28、（江西理7）.观察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，则的末四位数字为
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
【答案】D
【解析】观察发现幂指数是奇数的,结果后三位数字为125,故排除B、C选项;而,故A也不正确, 所以选D.
29、（湖南文16）、给定，设函数满足：对于任意大于的正整数，
（1）设，则其中一个函数在处的函数值为 ；
（2）设，且当时，，则不同的函数的个数为 。
30、（四川文16）.函数的定义域为A,若A，且时总有，则称为单函数.例如是单函数，下列命题：①函数是单函数；②函数是单函数，③若为单函数，且，则；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
答案：②③④
解析：，但，∴①不正确；与“若A，且时总有”等价的命题是“若A，且时总有，故②③④正确.
31、（四川理16）.函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：
①函数=（xR）是单函数；若为单函数，
②若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；
③函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）
解析：，但，∴①不正确；与“若A，且时总有”等价的命题是“若A，且时总有，故②③正确.函数在某个区间上具有单调性，但f（x）在整个定义域不一定是单函数，故④错. 答案：②③
32、（湖南理16）.对于，将表示为，当时，，当时，为或.记为上述表示中为的个数（例如：，
，故，），则（1） ；（2） .
解析：（1）由题意知，所以2；
（2）通过例举可知：，，，，，，，
，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律：
从而
.
评析：本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景，着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用.
33、（山东理15）. 设函数,观察:
根据以上事实，由归纳推理可得：
当且时， .
【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为,
即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，.
【核心突破】
2011年模拟试题
一、选择题:
1、（2011巢湖一检）复数（i为虚数单位）的虚部是(D)
A. B. C. D.
2、（2011·温州十校高三期末）
如果（，表示虚数单位），那么（ B）
（A）1 （B） （C）2 （D）0
3、（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研理科）已知，若（其中为虚数单位），则( )
A、 B、 C、 D、
4.C【解析】
5．（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研文科）复数（其中为虚数单位）在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
B【解析】因此在复平面上对应的点位于第二象限.
6. (2011承德期末)复数，则实数的值是（ B ）
A． B． C． D．
7．(2011东莞期末)已知，则实数分别为 (D)
A． B. C． D.
8．（广东省揭阳一中2011年高三一模理科）若复数（ A ）
A．—1 B．0 C．1 D．1005
9．(广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研理科)已知复数满足＝3，则复数的实部与虚部之和为( D )
A． B． C． D．
10、(广东省江门市2011年高考一模文科)在复平面内，点、对应的复数分别是、，则线段的中点对应的复数是( C )
A． B． C． D．
11、（广东省江门市2011年高考一模理科)已知集合
，若，则( C )
A． B． C． D．
12、（2011杭州质检）设z=1+i（i是虚数单位），则 （ D ）
A． B． C． D．
13、(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考文科)复数等于 （ C ）
A． B． C． D．
14、(2011·汕头期末)若复数是纯虚数，则实数的值为( )
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. -1
解：．由且得，选B；
15、(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考理科) 复数的虚部是（ C ）
A．0 B．i C．1 D．-1
16．(2011·南昌期末)已知复数的实部为，虚部为2，则=( A )
A． B． C． D．
17、(广东省东莞市2011年高三一模理科)复数的共轭复数是（ B ）
A. B. C. D.
18、（2011·湖北重点中学二联）已知复数为 （ C ）
A．1+i B．1-i C．i D．-i
19、 (2011·黄冈期末)若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ C ）
A.-2 B.4 C.-6 D.6
20、（2011·金华十二校一联）复数在复平面上对应的点位于（ B ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
21、（2011·九江七校二月联考）复数的虚部是（ C ）
A． B． C． D．
22、(2011·惠州三调)在复平面内，复数对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】答案：D z＝＝＝－i.故选D.
23、(广东执信中学2011年2月高三考试文科)已知复数，其中是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（ C ）
A． B． C． D．
24、(广东省遂溪县2011年高考第一次模拟数学文科)复数 ( D )
A． B． C． D．
25、(安徽省合肥市2011年高三第一次教学质量检测理科)在复平面内，复数(是虚数单位)对应的点在（B）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】,显然，其对应的点在第二象限.
26、(2011·锦州期末)设是虚数单位，则设是虚数单位，则 ( C )
（A） （B） （C） （D）
27、(安徽省合肥市2011年高三第一次教学质量检测文科)复数(是虚数单位，、)，则 （C）
A.， B. ， C. ， D. ，
【解析】，则，.
28、（2011广州调研）已知i为虚数单位, 则复数i的模等于(C)
A . B. C. D.
29、(安徽省2011年江南十校高三联考理科)是虚数单位，复数的虚部是（B ）
A．0 B． C． D．2
解析：∴虚部为－1，故选B.
30、(安徽省2011年江南十校高三联考文科) 是虚数单位，复数的虚部是（B ）
A．0 B． C． D．
解析： ∴虚部为-1，故选B.
31、(安徽省淮南市2011届高三第一次模拟考试文科)若将复数表示为（，是虚数单位）的形式，则 （C）
A． B． C． D．
【解析】，则
32、(安徽省安庆市2011年高三第二次模拟考试理科)已知复数z＝（i是虚数单位），则z在复平面上对应的点在( B )
A.第一象限　　　B.第一象限　　　C.第三象限　　　　D.第四象限
二、填空题:
33、（2011北京丰台区期末）复数= 1+i ．
34、（2011·上海长宁区高三期末）若复数，，其中i是虚数单位，则复数的虚部是 2 ．
35、（2011哈尔滨期末）若（为虚数单位），则 2
36、（ 2011·温州八校联考）复数= ____1-2i_______________．
37、(广东省东莞市2011年高三一模文科)设是实数，且是实数，则 -1 .38、(广东省广雅金山佛一中2011年2月高三联考文科)已知
，根据这些结果，猜想出一般结论是
39、广东省江门市2011年高考一模文科)观察下列各式：①；②；
③；④根据其中函数及其导函数的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是： 奇函数的导函数是偶函数
2010年模拟试题
一、选择题：
1. (山东省济南市2010年2月高三教学质量调研理科)复数
A. B. C. D.
【解析】
2 (山东省济南市2010年2月高三教学质量调研文科)设a是实数,且是实数,则a= ( B )
A. B. -1 C. 1 D. 2
3.(山东省青岛市2010年3月高考第一次模拟理科) 已知复数，则复数的共轭复数为( A )
. . . .
4. (山东省青岛市2010年3月高考第一次模拟文科)复数（为虚数单位）的虚部是（ D ）
A. B. C. D.
5．(山东省济宁市2010年3月高三第一次模拟理科)计算： （ ）
A．2 B． C． D．
．解：答案：A
6．(山东省济宁市2010年3月高三第一次模拟文科)复数的共轭复数是： （ A ）
A． B． C． D．
7、（广东省深圳市2010年3月高三第一次调研理科）已知，若（其中为虚数单位），则( )
A、 B、 C、 D、
【解析】
8．（广东省深圳市2010年3月高三第一次调研文科）复数（其中为虚数单位）在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限
【解析】因此在复平面上对应的点位于第二象限.
9（广东省揭阳一中2010年高三一模理科）若复数 （ A ）
A．—1 B．0 C．1 D．1005
10．(广东省珠海一中2010年2月高三第二学期第一次调研理科)已知复数满足＝3，则复数的实部与虚部之和为( D )
A． B． C． D．
11. (广东省珠海一中2010年2月高三第二学期第一次调研文科)是虚数单位，若，则的值是（ C ）
A． B． C． D．
12、(广东省江门市2010年一模文)在复平面内，点、对应的复数分别是、，则线段的中点对应的复数是( C )
A． B． C． D．
13、(江门市20100一模理)已知集合，若，则( C )
A． B． C． D．
14．(广雅金山佛一中2010年2月高三联考文0)复数等于0（ C ）
A． B． C． D．
15. (广雅金山佛一中2010年2月高三联考理科) 复数的虚部是（ C ）
A．0 B．i C．1 D．-1
16.(广东省东莞市2010年高三一模理科)复数的共轭复数是（ B ）
A. B. C. D.
17．(广东执信中学2010年2月高三考试文科)已知复数，其中是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为（ C ）
A． B． C． D．
18．(广东省遂溪县2010年高考第一次模拟数学文科)复数 ( D )
A． B． C． D．
二、填空题:
1(广东省江门市2011年高考一模文科)观察下列各式：①；②；
③；④根据其中函数及其导函数的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是： ．奇函数的导函数是偶函数
2．(广雅一中2010年2月联考文)已知，根据这些结果，猜想出一般结论是 ．
3．(东莞市2010年一模文)设是实数，且是实数，则 -1 4、观察下列等式：,……，根据上述规律，第五个等式为 ____________.
【解析】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：
即左边底数的和等于右边的底数。
故第五个等式为：
5、（高州长坡中学2010高三上期末考试）若复数为实数，则实数 2 。
6、（高州三中2010高三上期末考试试题）设i为虚数单位，则___－4_
【核心预测】
一、选择题
1 下面四个命题(1) 比大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3) 的充要条件为(4)如果让实数与对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是（ ）
A B C D
【解析】A (1) 比大，实数与虚数不能比较大小；
（2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；
（3）的充要条件为是错误的，因为没有表明是否是实数；
（4）当时，没有纯虚数和它对应
2 复数的虚部为( )
A B C D
【解析】D ，虚部为
3 使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )
A ( http: / / wxc. / ) B C ( http: / / wxc. / ) 为实数 D 为实数
【解析】B ；，反之不行，例如；为实数不能推出
，例如；对于任何，都是实数
4 设则的关系是( )
A B ( http: / / wxc. / ) C D ( http: / / wxc. / ) 无法确定
【解析】A
5 的值是( )
A B C ( http: / / wxc. / ) D
【解析】C
6 ( http: / / wxc. / ) 已知集合的元素个数是( )
A B ( http: / / wxc. / ) C D 无数个
【解析】 B
7．已知 （ ）
A． B． C． D．
【解析】选D.
8． 是虚数单位，若 ，则（　 ）
.　 　　 ．　　．　　　 ．
【解析】选A.
9、复数的值是
A．-1 B．0 C．1 D．i
【解析】B
10、已知复数z =1－i，则 =
A．－2 B．2 C．2－2i D．2+2i
【解析】B
二、填空题
11如果是虚数，则中是虚数的有 个，是实数的有 个，相等的有 组 ( http: / / wxc. / )
【解析】四个为虚数；五个为实数；三组相等
12 如果,复数在复平面上的对应点在 象限 ( http: / / wxc. / )
【解析】，
13 若复数是纯虚数,则= ( http: / / wxc. / )
【解析】
14 设若对应的点在直线上,则的值
是 ( http: / / wxc. / )
【解析】
15、 若,那么的值是
【解析】
三、解答题
16 设复数满足,且是纯虚数,求 ( http: / / wxc. / )
解：设，由得；是纯虚数，则，，
17 已知复数满足: 求的值 ( http: / / wxc. / )
解：设，而即
则
18、已知△ABC的三边长都是有理数。（1）求证：cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
【解析】方法一：（1）设三边长分别为，，∵是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴必为有理数，
∴cosA是有理数。
（2）①当时，显然cosA是有理数；当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数。
当时，，
，
，解得：
∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，
∴是有理数。即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。
方法二：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数。
（2）用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。
①当时，由（1）知是有理数，从而有也是有理数。
②假设当时，和都是有理数。
当时，由，
，
及①和归纳假设，知和都是有理数。
即当时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。
19、设数列满足为实数（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；（Ⅱ）设，证明：;（Ⅲ）设，证明：
【解析】（Ⅰ）必要性：∵，又∵，∴，即.
充分性：设，对任意用数学归纳法证明.
当时，.假设当时，，则，且，.由数学归纳法知，对任意成立.
(Ⅱ) 设，当时，，结论成立；
当时，∵，∴.
∵，由（Ⅰ）知，∴且，
∴，∴.
(Ⅲ)设,当时，，结论成立；当时，由(Ⅱ)知，
∴.
∴
.
20、已知数列：，，，（是正整数），与数列：，，，，（是正整数）．记．（1）若，求的值；（2）求证：当是正整数时，；
（3）已知，且存在正整数，使得在，，，中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100．
【解析】（1）
∵
（2）用数学归纳法证明：当
当n=1时，等式成立
假设n=k时等式成立，即那么当时，
等式也成立.根据①和②可以断定：当
（3）
… ∵ 4m+1是奇数，均为负数，
∴ 这些项均不可能取到100.此时，为100.
21、已知数列，，，．记．．
求证：当时，（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。
【解析】（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．
①当时，因为是方程的正根，所以．
②假设当时，，
因为，
所以．即当时，也成立．
根据①和②，可知对任何都成立．
（Ⅱ）证明：由，（），得．
因为，所以．由及得， 所以．
（Ⅲ）证明：由，得
所以，
于是，
故当时，，又因为， 所以．
本卷第24页（共24页）2012考前90天突破——高考核心考点
专题六 不等式
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读
不等式（1）不等关系　了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.
　　（2）一元二次不等式　① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.　　② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.　　③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
　　（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题　① 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.　　② 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.　③ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
　　（4）基本不等式： ① 了解基本不等式的证明过程.　② 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
不等式选讲1）理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：　①∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣；　②∣a－b∣≤∣a－c∣＋∣c－b∣；③会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：∣ax＋b∣≤c；∣ax＋b∣≥c；∣x－a∣＋∣x－b∣≥c.
　　（2）了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.　①柯西不等式向量形式：|α|·|β|≥|α·β|.　　② ≥ .
　　③ ＋ ≥
（通常称为平面三角不等式）.
近几年考点分布从近几年的高考试题来看，对不等式重点考查的有四种题型：解不等式、证明不等式、不等式的应用、不等式的综合性问题。这些不等式试题主要体现了等价转化、函数与方程、分类讨论等数学思想． 随着以培养创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，近年来高考命题越来越关注开放性、探索性等创新型问题，尤其是与函数、导数、数列综合的不等式证明问题以及涉及不等式的应用题等。考查的内容及其难度主要以有以下几点：1、不等式的性质、基本不等式和绝对值不等式的考查，大多出现在选择题或填空题中，一般属于容易题或中档题。因此，关于这一部分的知识，重在理解并深刻记忆基本公式. 2、含参的不等式问题是近几年考的较多的一种题型，特别是不等式恒成立问题中参数取值范围的求法。3、不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的导数（或向量）、不等式、函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题。问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高。
【考点pk】名师考点透析
考点一 不等式的概念和性质
例1设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围
解 M［1，4］有两种情况 其一是M=，此时Δ＜0；其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围
设f(x)=x2 －2ax+a+2，有Δ=(－2a)2－(4a+2)=4(a2－a－2)
(1)当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］
(2)当Δ=0时，a=－1或2 当a=－1时M={－1}［1，4］；当a=2时，m={2}［1，4］
(3)当Δ＞0时，a＜－1或a＞2
设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1＜x2，
那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4
即，解得 2＜a＜，∴M［1，4］时，a的取值范围是(－1，)
【名师点睛】：对二次不等式进行分类讨论，三种情况下分别计算，主要考查一元二次不等式的求解和集合的关系的综合
例2：不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为对任意x恒成立，
所以
【名师点睛】： 不等式的恒成立问题我们一般利用函数的最值问题来解决，也可以采用分离参数的思想进行求解，有关参数的取值范围。
考点二算术平均数与几何平均数
例3：设若的最小值为
A 8 B 4 C 1 D
【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力。
【解析】因为，所以，
，当且仅当即时“=”成立，故选择C
【名师点睛】：对于均值不等式的运用，我们一般要关注不等式求最值时满足的三点：一正，二定，三相等。需要从题目中挖掘有关定值的等式，考虑求最值时的方法：不等式法，单调性法，导数法等等来进行。最值问题使我们高频试题，要注意积累常用的方法。
考点三 线性规划
例4：已知实数x、y满足 则目标函数z=x-2y的最小值是_______.
【答案】－9
【解析】画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：－z，画直线及其平行线，当此直线经过点A时，－z的值最大，z的值最小，A点坐标为（3,6），所以，z的最小值为：3－2×6＝－9。
【名师点睛】：对于线性规划问题主要是作图，然后画图虚实要分，准确利用平移进行求解有关的最值。该类试题也有逆向问题，含有参数问题的求解运用，需要灵活运用。
例5：某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元
【答案】D
【解析】设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：
A原料 B原料
甲产品吨 3 2
乙产品吨 3
则有： 目标函数
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当＝3，＝5时可获得最大利润为27万元，故选D
【名师点睛】： 运用不等式解决现实生活中的最优解问题，比如材料最省，容积最大，面积最大，利润最大等等问题。抽象不等式，准确表示线性约束条件，然后结合图像求解。该类试题是高考中必考的知识点，我们要多加以练习。
考点四 实际应用
例6：某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台（x是正整数），且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值（不含运费）成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费（1）求该月需用去的运费和保管费的总费用（2）能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由.
【名师点睛】：本试题是创新题目，主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力，这也是高考的趋势，我们要主语创新能力的培养，数学建模思想的树立。
【金题热身】
11年高考试题及解析
1、（陕西文3）.设，则下列不等式中正确的是
（A） （B）
（C ） (D)
【答案】B
【解析】：，
又所以故选B
2、（陕西理）.若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是
【解析】：因为所以存在实数解，有或
3、（广东文5）．不等式的解集是（ ）
A． B
C． D．
【解析】D.由题得所以选D.
4、（广东理9）.不等式的解集是______.
【解析】由题得 所以不等式的解集为。
5、（山东理4）.不等式的解集为（ ）
A． B。 C. D。
【解析】法一：零点分段讨论（略）；法二：由不等式的几何意义，不等式表示数轴上的点与点5的距离和数轴上的点与点的距离之和，其距离之和的最小值为8，结合数轴，选项D正确。
6、（江西文15）．对于，不等式的解集为_ ____ __
7、（湖南理）.设，且，则的最小值为 .
解析：由，且可知：，则
（当且仅当
时，取到等号）。故填9评析：本小题主要考查不等式的性质和基本不等式求最值问题.
8、（重庆文7）．若函数=在处取最小值，则
A． B． C．3 D．4
【命题意图】本题考查利用均值不等式求最值，考查学生转化与化归能力、运运算求解能力，是中档题.
【解析】∵＞2，∴==≥=4，
当且仅当即=3时，即=3，=4，故选C.
9、（重庆文15）．若实数的最大值是
【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归思想，是难题.
【解析】∵=≥，∴≥4，
又∵=，∴=，∴=≥4，即≥4，即≥0，∴≤，∴≤=，∴的最大值为.【答案】
10、（重庆理7）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是
（A） （B）4 （C） （D）5
解析：选C。因为a+b=2，所以
11、（上海文16、理15）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A B C D
12、（浙江文16）若实数满足，则的最大值是_______。
【解析】：：
13、（浙江理16）设为实数，若则的最大值是 .。
【解析】：，
，故的最大值为
14、（湖北文8）．直线与不等式组表示平面区域的公共点有
A.0个B.1个C.2个 D.无数个
解析：画出可行域（如图示），可得B(0,2) , A(2,4),
C(5,0) ,D(0, ), E(0,10),故由图知有唯一交点，所以选B.
15、（安徽文6).设变量x,y满足,则的最大值和最小值分别为
（A） 1，1 (B) 2，2 (C ) 1，2 (D)2，1
【命题意图】本题考查线性目标函数在线性约束条件下的最大值与最小值问题.属中等难度题.
【解析】三条直线的交点分别为（0,1），（0，－1），（1,0），分别代入，得最大值为2，最小值为－2.故选B.
【解题指导】：线性规划问题不牵涉目标函数的斜率问题时，可以不画图，直接将交点坐标求出代入计算即可。
16、（山东文7）.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为
(A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5
【答案】B
【解析】画出平面区域表示的可行域如图所示,当直线平移至点A(3,1)时, 目标函数取得最大值为10,故选B.
17、（课标卷文14、理13）. 若变量满足约束条件则的最小值为_____
解析：如图可知最优解是（4，-5），所以，
点评：本题考查线性规划问题，求最优解事先要准确画出线性区域是关键。
18、（全国文4）若变量x、y满足约束条件，则的最小值为
（A）17 （B）14 （C）5 （D）3
【解析】作出可行域，分析可知当，【答案】C
19、（浙江文3）若实数满足不等式组 ,则的最小值是
(A)13 (B)15 (C)20 (D)28
【解析】：作出可行域，，
20、（天津文2）.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为
A.-4 B.0 C. D.4
【答案】D
【解析】画出不等式表示的平面区域,容易求出最大值为4,选D.
21、（陕西文11）.如图，点在四边形ABCD内部和边界上运动，那么的最小值为 .
【解析】：令，所以过时在轴上截距最大，即时有最小值为
22、（广东文6、理5）.已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【解析】由题得不等式组对应的平面区域D是如图所示的直角梯形OABC,
，所以就是求的最大值，表示数形结合观察得
当点M在点B的地方时，才最大。
,
所以，所以选择B
23、（浙江理5）.设实数满足不等式组若为整数，则的最小值是
（A）14 （B）16 （C）17 （D）19
【解析】：作出可行域，，为整数，所以，故选
24、（湖南文14）．设在约束条件下，目标函数的最大值为4，则的值为 ．
解析：画出可行域，可知在点取最大值为4，解得。
25、（湖南理7）.设在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为
A. B. C. D.
解析：画出可行域，或分别解方程组，，得到三个区域端点，，
，当且仅当直线过点时，取到最大值,解得。故选A
评析：本小题主要考查线性规划问题中，利用最值求参数的取值范围问题.
26、（湖北理8）．已知向量，且，若满足不等式，则z的取值范围为
A.[—2,2] B. [—2,3] C. [—3,2] D. [—3,3]
解析：因为，故，即，可得，又因为，其图像为四条直线所围成的正方形面，由线性规划可计算得当时，取到，当，取到，所以选D.
27、（福建理）设不等式的解集为M.（I）求集合M；（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小.
【解析】：本小题主要考查绝对值不等等基础知识，考查运算的解能力，考查化归与转化满分7分
（Ⅰ）由得解得所以集合M
（Ⅱ）由（I）和a，b∈M可知，，所以所以
28、（安徽理４）.设变量满足则的最大值和最小值分别为
（Ａ）１，－１　　（Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２　（Ｄ）２，－１]
【命题意图】本题考查线性规划问题.属容易题.
【解析】不等式对应的区域如图所示，当目标函数过点（0，－1），（0,1）时，分别取最小或最大值，所以的最大值和最小值分别为2，－2.故选B.
29、（江西理）.对于实数,若的最大值为
【答案】5
【解析】画出图象，很容易得出答案.
30、（四川理9）.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润( )
（A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元
解析：设当天派出x辆甲卡车和y辆乙卡车，获得的利润是，x和y需要满足的条件是当时，；当时，；当时，，越往下的临界值越小，故选C.
31、（江苏）解不等式：
解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。原不等式等价于：，解集为
32、（辽宁文、理） 已知函数= |x-2|-|x-5|。（I）证明：-3≤≤3；（II）求不等式≥x2-8x+15的解集。
解析：（I）
当时，，所以。
（II）由（I）知，当时，的解集为空集；
当时，的解集为；
当时，的解集为；
综上，不等式的解集是。
33、（安徽理19）（本小题满分12分）（Ⅰ）设证明，
（Ⅱ），证明.
【命题意图】：本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式恒定变形能力和推理论证能力。
【证明】：(Ⅰ)由于，所以要证明：
只要证明：只要证明：
只要证明：只要证明：
由于，上式显然成立，所以原命题成立。
（Ⅱ）设，，由换底公式得，，，，故要证：
只要证明：，其中，
由(Ⅰ)知所要证明的不等式成立。
【解题指导】：证明不等式常规的方法有分析法，综合法，作差法和作商法，无论哪种方法不等式性质和代数式恒定变形是处理这类问题的关键。
第二问的处理很有艺术性，借助第一问题的结论巧妙地解决了，这也是一题多问的问题解决常规思路，前面的问题结论对后面问题解决常常有提示作用。
【核心突破】
2011年模拟试题
一、选择题
1．（2011湖南嘉禾一中）已知实数，满足约束条件则的取值范围是 （ ）
A．[1，2] B．[0，2] C．[1，3] D．[0，1]
答案 A
2. （成都市玉林中学）设，不等式的解集是，则等于
（A） （B） （C） （D）
解：的解是：，
则 故选B
3．（广东省湛江一中2011届高三10月月考理）不等式的解集是
A． B．C． D．
答案 C.
4（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）若，则
A． B． C． D．
答案 D.
5.（湖北省黄冈市浠水县市级示范高中2011届高三12月月考）不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
答案 C.
6（河北省唐山一中2011届高三文）已知实数x、y满足，则z＝2x－y的取值范围是（ ）
A. [-5,7] B. [5,7] C. [4,7] D. [-5,4]
答案D.
7（湖北省南漳县一中2010年高三第四次月考文）已知0A．3b＜3a B．> C (lga)2<(lgb)2 D．()a<()b
答案 A.
8． (江苏省2011届数学理)若关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
A B C D
答案 D.
9 （福建省厦门外国语学校2011届高三11月月考理）已知满足约束条件，则的最小值是（）
A．15 B．－18 C．26 D．－20
答案 B.
10（甘肃省天水一中2011届第三次月考理）设满足约束条件：，则的最小值为（　　）
A．6 　B．－６　　　　　　 Ｃ．　　　　　　　Ｄ．－７
答案 B.
11．（四川省成都市玉林中学2011届高三理）在R上定义运算：xy=x(1－y).若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意实数x成立，则
A． B． C． D．
答案 C.
12（河北省唐山一中2011届高三理） 已知，若不等式恒成立，则的最大值等于
A.10 B.9 C.8 D.7
答案 B.
13．（湖北省武汉中学2011届高三12月月考理）设的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
答案 C.
二、填空题
1.（2011湖南嘉禾一中）已知函数是R 上的偶函数，且在（0，+）上有（x）> 0，若f（－1）= 0，那么关于x的不等式x f（x）< 0 的解集是 ．
答案 ，
2（江苏泰兴市重点中学2011届高三理）设f（x）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增，若f（a-2）-f（4-a2）<0，则a的取值范围为______________．
答案
3（江苏泰兴市重点中学2011届文）设函数，对任意的,恒成立，则实数的取值范围是____________．
答案 。
4、浙江省桐乡一中2011届高三文）已知变量x，y，满足，则的取值范围为　　
答案 [13，40]　
5、（江苏泰兴市重点中学2011届理）设f（x）是定义在（-1,1）上的偶函数在（0,1）上增，若f（a-2）-f（4-a2）<0，则a的取值范围为______________．
答案 ，
6、（银川一中2011届第五次月考理） 已知实数的最小值为 ．
【分析】画出平面区域，根据目标函数的特点确定其取得最小值的点，即可求出其最小值。
【解析】不等式组所表示的平面区域，如图所示。显然目标函数在点处取得最小值。
【点评】本题考查不等式组所表示的平面区域和简单的线性规划问题。在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答选择题或者填空题时，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可。
7（广东省河源市龙川一中2011届高三文）若变量x,y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为
答案 3.
8．(广东省湛江一中2011届高三10月月考理）在平面直角坐标系上，设不等式组所表示的平面区域为，记内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为. 则＝ ，经推理可得到＝ ．
答案： ．当时，区域内的整点个数分别为个，共．
9（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）若和是方程的两个实根，不等式 对任意实数恒成立，则的取值范围是
答案或
10（湖北省武汉中学2011届高三12月月考文）不等式的解集为 。
答案
11（湖北省武汉中学2011届高三12月月考文）区域D的点满足不等式组，若一个圆C落在区域D中，那么区域D中的最大圆C的半径为 。
答案
12、（湖北省武穴中学2011届高三12月月考理）若a+1>0,则不等式的解集为
答案
13（长沙第一中学2011届第五次月考理）已知函数f(x)＝|x－2|，若?a≠0，且a，b∈R，都有不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|·f(x)成立，则实数x的取值范围是　 　.
三、解答题
1（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
（I）已知都是正实数，求证：；（II）设函数，解不等式．
（1）证明：（Ⅰ）∵，
又∵，∴，∴，∴．……（5分）
法二：∵，又∵，∴，∴，展开得，移项，整理得． ………（5分）
解：令y=|2x+1|-|x-4|，则y=…2分作出函数y=|2x+1|-|x-4|的图象，它与直线的交点为和．…… 4分所以的解集为．…5分
2（宁夏银川一中2011届高三第五次月考理）（本小题满分12分）在交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离（米）与车速（千米/小时）需遵循的关系是（其中（米）是车身长,为常量）,同时规定．（1）当时，求机动车车速的变化范围；（2）设机动车每小时流量，应规定怎样的车速，使机动车每小时流量最大．
【解析】（1） =av2, v=25, ∴ 0（2） 当v≤25时, Q=, Q是v的一次函数，v=25，Q最大为，
当v>25时, Q=≤, ∴当v=50时Q最大为．……12分
【点评】本题考查函数建模和基本不等式的应用。本题中对车距有两个限制条件，这两个条件是在不同的车速的情况下的限制条件，解题中容易出现的错误是不能正确的使用这两个限制条件对函数的定义域进行分类，即在车速小于或等于时，两车之间的最小车距是，当车速大于时，两车之间的最小车距是。
3．（2011届第五次月考理）已知函数（I）求不等式的解集；（II）若关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围。
解（I）原不等式等价于或
解得即不等式的解集为 6分
（II） 8分 10分
【点评】本题考查带有绝对值的不等式的解法、不等式的恒成立问题。本题的不等式的解法也可以根据几何意义求解，不等式，等价于，其几何意义是数轴上的点到点距离之和不大于，根据数轴可知这个不等式的解区间是。
4 （甘肃省甘谷三中2011届第三次检）已知函数满足且对于任意, 恒有成立. (1) 求实数的值; (2) 解不等式.
解：（1） 由知, …① ∴…②又恒成立, 有恒成立,故．将①式代入上式得:, 即故 即, 代入② 得,．
（2） 即 ∴解得: ,
∴不等式的解集为．
5（黄冈市2011届12月考）（12分）某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：（1）仓库面积的最大允许值是多少？（2）为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解：设铁栅长为米，一堵砖墙长为米，则顶部面积为依题设，，由基本不等式得，
，即，故，从而所以的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是且，求得，即铁栅的长是15米。
2010年名校模拟题及其答案
一、选择题:
1．（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）已知函数，则不等式组表示的平面区域为
【答案】C
【解析】不等式组即或 故其对应平面区域应为图C．
2（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）已知函数，若存在实数，当时，恒成立，则实数的最大值是（ D ）。
A、1 B、2 C、3 D、4
3（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）若关于的不等式的解集为，则实数的值为（ A ）
A．2 B．1 C． D．
4（2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题）不等式的解集为（ D ）
A． B．
C． D．
5（广东省深圳高级中学2010届高三一模理科）设满足约束条件，则取值范围是（ D ）
二、填空题:
1 （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科） 已知
的最大值为8，则= .　
【解析】由可行域可知，目标函数的最大值在与的交点处取得，联立方程组可得交点，，填-6.
2（江门市2010届3月质检理）在三角形中，所对的边长分别为， 其外接圆的半径，则的最小值为___.
3（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）已知不等式的解集是R，则实数的取值范围是__________.
4（广东省深圳高级中学2010届高三一模理科）若直线始终平分圆：的周长，则的最小值为 。16
5（广东省深圳高级中学2010届高三一模理科）设，函数有最大值，则不等式
解集为 ．(2,3)
6(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)若不等式对任意的实数恒成立，则实数的取值范围是
．
三、解答题
【核心预测】
一、选择题（共12个小题，每题5分，共60分）
1.不等式＜0的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了不等式的解法.∵，∴ ，故选A.
2.设x,y满足约束条件则目标函数z=x+y的最大值是（ ）
A.3 B.4 C.6 D.8
【答案】C
【解析】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是，目标函数在取最大值6.
3.已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（ ）
A.3 B.4 C. D.
【答案】B
【解析】考察均值不等式.
，整理得
即，又，
4. 设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=的图象上存在区域D上的点，则a 的取值范围是（ ）
A.(1,3] B.[2,3] C.(1,2] D.[ 3, HYPERLINK " http://www./"]
【答案】A
5. 设，则的最
小值是（ ）
A.2 B.4 C. D.5
【答案】B
【解析】＝
＝≥0＋2＋2＝4
当且仅当a－5c＝0,ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立，
如取a＝,b＝,c＝满足条件.
6. 设则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.
解法一： a=2=HYPERLINK " http://www./", b=ln2=,而HYPERLINK " http://www./",所以ac==HYPERLINK " http://www./",而,所以c解法二：a=2=,b=ln2=, ，； c=，∴c7. 设，则的最小值是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】＝
＝≥2＋2＝4
当且仅当ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立.如取a＝,b＝满足条件.
8. 设不等式组所表示的平面区域是,平面区域是与关于直线对称,对于中的任意一点A与中的任意一点B, 的最小值等于( )
A. B.4 C. D.2
【答案】B
【解析】由题意知，所求的的最小值，即为区域中的点到直线的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示，
可看出点（1，1）到直线的距离最小，故的最小值为
，所以选B.
9. “”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，所以“”是“”的充分不必要条件，选择A.
10.已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足．若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：①；②；③；④中有可能成立的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在上单调减，值域为．又，，所以⑴若,．由知，，③成立；⑵若．此时，①②③成立．综上，可能成立的个数为．
11. 为互不相等的正数，，则下列关系中可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若，则，不符合条件，排除；又由，故与同号，排除；且当时，有可能成立，例如取，故选．
12.直线与直线互相垂直，、，则|ab|的最小值是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解析】由题意，则．
二、填空题（共4个小题，每题6分，共24分）
13. 不等式的解集是 .
【答案】
【解析】本小题主要考查无理不等式的解法.
由得，，两边平方解得，故不等式的解集是.
14.设x，y满足约束条件则目标函数的最大值为 .
【答案】5
【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当直线过点C（2,1）时，在y轴上截距最小,此时z取得最大值5.
15. 已知点P(x,y)在由不等式组确定的平面区域内，O为坐标原点，点A(-1,2)，则的最大值是 ．
【答案】
【解析】由题可知=(－1,2)，又||·cos∠AOP=||· EQ \F(·,||·||)=，于是问题转化为求z=2y－x的最大值，作出可行域如图所示，当直线经过点C(1，2)时，z=2y-x取得最大值，zmax=2×2－1=3，从而||·cos∠AOP的最大值为.
16.若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 .（写出所有正确命题的编号）
①；②；③ ； ④；⑤
【答案】①③⑤
【解析】令，排除②④；由,命题①正确；,命题③正确；,命题⑤正确.
三、解答题（共6个小题，第一题10分，其余各题12分。共66分）
17.某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
解：设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐，共花费元，则.可行域为
即作出可行域如图所示：
经试验发现，当x=4,y=3 时，花费最少，为=2.5×4+4×3=22元．
18.设函数.
⑴求不等式的解集；⑵求函数的最小值.
解：
⑴①由解得；
②解得 ③解得；综上可知不等式的解集为{x|x<-7或x>}.
⑵如图可知.
19.设对于任意实数，不等式≥m恒成立.(1)求m的取值范围;(2)当m取最大值时，解关于的不等式：．
解：（1）设，则有,当时，有最小值8；当时，有最小值8；当时，有最小值8.综上有最小值8 ，所以.
（2）当取最大值时，原不等式等价于： ，等价于：或，等价于：或，所以原不等式的解集为.
20.设函数，函数．
（1）求在上的值域；
（2）若对于任意,总存在,使得成立,求的取值范围．
解：（1）,
令，，当时，；当，，由对勾函数的单调性得，故函数在上的值域是;
（2）的值域是，要成立，则
①当时，，，符合题意；
②当时，函数的对称轴为，故当时，函数为增函数，则的值域是，由条件知，∴；
③当时，函数的对称轴为.当，即时，的值域是或,由知，此时不合题意；当，即时，的值域是，由知, 由知，此时不合题意.
综合①②③得.
21.已知对于任意非零实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：只要求恒成立时实数的取值范围.
，
只需
（1）当时，原式，即，
（2）当时，原式，即，
（3）当时，原式，即，，
综上的取值范围为.
22.设，若，求证:（1）；（2）方程在（0，1）内有两个实根．
证明：（1）∵所以由条件，消去b得；由条件a+b+c=0消去c，得故
（2）抛物线的对称轴为，
由得，即对称轴；
而且，
所以方程f(x)=0在区间（0，1）内有两个不等的实根.
（3，4）
（0，6）
O
（，0）
9
13
o
第13题图
O
x
y
1
3
A
3
B
C
0.5

x
y
本卷第1页（共30页）2012考前90天突破——高考核心考点
专题十二 极限与导数
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读1.导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景。（2）理解导数的几何意义。
2．导数的运算（1）能根据导数定义求函数的导数。（2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。（3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。
3．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题
5．定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。（2）了解微积分基本定理的含义。
近几年考点分布导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间。所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。
定积分是本章的另一个重要的概念，它可以看作是导数在某一区间上的逆运算。它是新课标新增加的内容之一，在以前的课本中没有出现定积分的概念，但随着新课标的实施与教育工作者对校本研究工作的开展，相信在2011年的高考试题中应该有所体现。
【考点pk】名师考点透析
考点一：利用导数研究曲线的切线
例1：曲线在点处的切线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
解 ：因为 ，所以，在点处的切线斜率，所以，切线方程为，即，故选A.
【名师点睛】求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。
注：①当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为；②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。
考点二：利用导数研究导数的单调性
例2：已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.
解（1） 当所以 因此,即曲线又所以曲线
（2）因为,所以 ,令当时，所以
当时，>0，此时，函数单调递减；
当时，<0，此时，函数单调递增.
当时，由，即，解得.
① 当时， ， 恒成立，此时，函数在（0，+∞）上单调递减;
② 当时， ，时，,此时,函数单调递减
时，<0,此时,函数单调递增时，，此时，函数单调递减
③ 当时，由于,时，,此时,函数单调递减：
时，<0,此时,函数单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递减;函数在上单调递增
当时,函数在上单调递减当时，函数在上单调递减；函数 在上单调递增； 函数在上单调递减.
【名师点睛】利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明）不等式＞0或＜0。②若已知的单调性，则转化为不等式≥0或≤0在单调区间上恒成立问题求解。
考点三：利用导数研究函数的极值与最值
例3：已知函数（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，证明当时，（III）如果，且，证明
解（Ⅰ）：f’，令f’(x)=0,解得x=1，当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
x () 1 ()
f’(x) + 0 -
f(x) 极大值
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),
即于是
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。
又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
(Ⅲ)证明：（1）若
（2）若
根据（1）（2）得由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内是增函数，所以>,即>2。
【名师点睛】1．利用导数研究函数的极值的一般步骤：（1）确定定义域。（2）求导数。（3）①或求极值，则先求方程=0的根，再检验在方程根左右值的符号，求出极值。（当根中有参数时要注意分类讨论）②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程=0的根的大小或存在情况，从而求解。
2．求函数的极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
考点四：利用导数研究函数的图象
例4： (Ⅰ)已知函数=x3-x，其图像记为曲线C.（i）求函数的单调区间； (ii)证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1（x1,f(x1）处的切线交于另一点P2（x2,f(x2).曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3 （x3 f(x3)），线段P1P2,P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1,S2，则为定值：（Ⅱ）对于一般的三次函数 =ax3+bx2+cx+d(a0)，请给出类似于(Ⅰ)(ii)的正确命题，并予以证明。
【命题立意】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想、特殊与一般的思想。
解（Ⅰ) (i)，令得到，令有，因此原函数的单调递增区间为和；单调递减区间为；
(ii)，，，
因此过点的切线方程为：，即，
由得，所以或，故，进而有，用代替，重复上面的计算，可得和，又，，因此有。
（Ⅱ）【命题】若对于任意函数的图像为曲线，其类似于(I)(ii)的命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另外一点，线段、与曲线所围成面积为，则。
【证明】对于曲线，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑的情形，，，，因此过点的切线方程为：，
联立，得到：，
化简：得到从而所以同样运用(i)中方法便可以得到所以。
【名师点睛】函数导数的内容在历届高考中主要切线方程、导数的计算，利用导数判断函数单调性、极值、最值等问题，试题还与不等式、三角函数、数列、立几、解几等知识的联系，类型有交点个数、恒成立问题等,其中渗透并充分利用构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要的思想方法，主要考查导数的工具性作用。
【金题热身】
11年高考试题及解析
1、江苏12、在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________
解析：综合考察指数函数、导数的几何意义、导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，难题。
设则，过点P作的垂线
，
，所以，t在上单调增，在单调减，。
2、四川理12.函数在 处取得极小值.
【解析】2.得
。所以函数的单调递增区间为，减区间为，所以函数在x=2处取得极小值。
3、山东理9. 函数的图象大致是
【答案】C
【解析】此为奇函数，排除A，又因为,所以令,得,此时原函数是增函数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.
4、全国理(8)曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为
(A) (B) (C) (D)1
【解析】： ，，切线方程为
由 则 故选A
5、课标卷理9. 由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为
（A） （B）4 （C） （D）6
解析：因为的解为，所以两图像交点为，于是面积
故选C
点评：本题考查定积分的概念、几何意义、运算及解决问题的能力。求曲线围成的图形的面积，就是要求函数在某个区间内的定积分。
6、湖南理6.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为
A. B. 1 C. D.
解析：由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=。故选D评析：本小题主要考查定积分的几何意义和微积分基本定理等知识.
7、福建理5.（+2x）dx等于
A.1 B.e-1 C.e D.e+1
【答案】C
【解析】：（+2x）dx=故选C
8、辽宁理（11）函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f’(x)＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
（A）（-1，1） （B）（-1，+） （C）（-，-1） （D）（-，+）
答案： B
解析：设g(x)= f(x)-(2x+4), g’(x)= f’(x)-2.因为对任意，f’（x）＞2，所以对任意，g’(x)>0，则函数g(x)在R上单调递增.又因为g(-1)= f(-1)-(-2+4)=0，故g(x)>0,即f(x)＞2x+4的解集为(-1，+).
9、安徽理(10) 函数在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m，n的值可能是
（A） (B) (C) (D)
【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.
【解析】由排除法易知A为二次函数类型不符合题意，代入验证，当，
，则，由可知，，结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由，
知a存在.故选B.
【解题指导】：排除法解决存在性问题和不确定性问题很有效。
10、江西理4.若，则的解集为
A. B. C. D.
【解析】因为,原函数的定义域为,所以由可得,解得,故选C.
11、重庆理（3）已知，则=
(A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6
解析：,
故选D
解答题
1、陕西理21、（本小题满分14分）设函数定义在上，，导函数
（Ⅰ）求 的单调区间的最小值；（Ⅱ）讨论 与 的大小关系；
（Ⅲ）是否存在，使得 对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在请说明理由。
【解析】：（Ⅰ）由题设易知 ， ，令 得，当 时，，故 是的单调减区间，当 时， 故 是的单调增区间，因此，是 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为。
（Ⅱ），设，则 当 时， 即 当 时 ，因此在内单调递减，当时 ，即 当 时， 即 。
（Ⅲ）满足条件的不存在。证明如下：
证法一 假设存在 ，使的任意 成立，即对任意 ，
有 ，（*）但对上述 ，取 时，有，这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在 使 对任意 成立。
证法二 假设存在 ，使 对任意的 成立，由（Ⅰ） 知 的最小值为，又 ，而 时，的值域为时，的值域为从而可取一个 ，使 ，即 ，故 ，与假设矛盾。不存在 使 对任意 成立。
2、（江苏17）、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
解析：考察空间想象能力、运用数学知识解决实际问题的能力、建模能力、导数的运用，中档题。
（1）（0（2），所以，
当时，，所以，当x=20时，V最大。
此时，包装盒的高与底面边长的比值为
3、（江苏19）（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。
解析：(1)考察单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，中档题；（2）综合考察分类讨论、线性规划、解二次不等式、二次函数、含参不等式恒成立问题、导数及其应用、化归及数形结合的思想，难题。
（1）因为函数和在区间上单调性一致，所以，即
即
（2）当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，
即，
设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为则；
当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即，
当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即而x=0时，不符合题意，
当时，由题意：
综上可知，。
4、四川理22．(本小题共l4分) 已知函数f(x)= x + , h(x)= (I)设函数F(x)=f(x)一h(x)，求F(x)的单调区间与极值；(Ⅱ)设a∈R，解关于x的方程log4 []=1og2 h(a-x)一log2h (4-x)； (Ⅲ)试比较与的大小.
解析：（1），令
，所以是其极小值点，极小值为.
（2）；
由
即，即，
方程可以变为，，
当，方程，，；
当，方程，；
当时，方程有一个解；当方程无解.
⑶由已知得，设数列的前n项和为，且,
从而有当，
又
对任意的有，
又因为，所以，故
5、广东理21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:．实数p，q满足，x1，x2是方程的两根，记。（1）过点作L的切线教y轴于点B．证明：对线段AB上任一点Q（p，q）有（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0．过M（a，b）作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a,b） X（3）设D={ （x,y）|y≤x-1,y≥（x+1）2-}．当点（p,q）取遍D时，求的最小值 （记为）和最大值（记为）．
解：（1）证明：切线的方程为
当
当
（2）的方程分别为
求得的坐标，由于，故有
1）先证：）设
当
当
（）设
当注意到
2）次证：（）已知利用（1）有
（）设，断言必有若不然，令Y是上线段上异于两端点的点的集合，由已证的等价式1）再由（1）得，矛盾。故必有
再由等价式1），综上，
（3）求得的交点而是Ｌ的切点为的切线，且与轴交于，由（１）线段Q1Q2，有
当
在（0，2）上，令由于在[0，2]上取得最大值
故
,
故
6、山东理21.（本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元.
（Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的.
【解析】（Ⅰ）因为容器的体积为立方米，所以,解得,
由，所以圆柱的侧面积为=,
两端两个半球的表面积之和为,所以+,定义域为.
（Ⅱ）因为+=,所以令得:; 令得:,，若，即时，可知米时, 该容器的建造费用最小；若时即，可知函数+在上是减函数，此时时， 该容器的建造费用最小；综上：⑴时，米时, 该容器的建造费用最小；⑵时， 该容器的建造费用最小；
7、全国理（22）（本小题满分12分）（Ⅰ）设函数，证明：当时，；
（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：
【解析】：（Ⅰ）
故
（Ⅱ）法一：第次抽取时概率为，则抽得的20个号码互不相同的概率
由（Ⅰ），当
即有故
于是即。故
法二：所以是上凸函数，
于是因此
故综上：
8、浙江理22（本题满分14分）设函数（Ⅰ）若为的极值点，求实数（Ⅱ）求实数的取值范围，，使得对任意恒有成立
注：为自然对数的底数
【解析】：（Ⅰ）因为所以因为为的极值点所以解得或经检验，符合题意，
所以或
（Ⅱ）①当时， 对于任意实数，恒有 成立
②当 时，由题意，首先有
解得 由（Ⅰ）知
令 则，
且
又在 内单调递增，所以函数 在内有唯一零点，记此零点为 ，则，从而，当 时， 当 时
当 时 即 在内单调递增，在内单调递减，
在 内单调递增。所以要使对恒成立，
只要成立，由，知 将（3）代入（1）得又。注意到函数在内单调递增，故
再由（3）以及函数在 内单调递增，可得 ，
由（2）解得 ，所以
综上，的取值范围为
9、课标卷理21. （本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。
分析：（1）利用导数的概念和性质求字母的值；（2）构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论确定参数的取值范围。
解：（Ⅰ），由题意知：即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，
设则，
⑴如果，由知，当时， ，而
故，由当得：
从而，当时，即
⑵如果，则当，时，
而；得：与题设矛盾；
⑶如果，那么，因为而，时，由得：与题设矛盾； 综合以上情况可得：
点评：本题综合考察导数的概念、性质、求导法则、导数的应用、分类讨论等概念、性质、方法和思想。要深入理解和把握并进行拓展。
10、湖南理22. （本小题满分13分）已知函数求函数的零点个数，并说明理由；设数列满足证明：存在常数使得对于任意的都有
解：由知，，而且，
，则为的一个零点，且在内由零点，
因此至少有两个零点.
解法1 记则
当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，
又因为，，则在内有零点.所以在上有且只有一个零点，记此零点为，则当时，当时，
所以，当时，单调递减，而则在内无零点；当时，单调递增，则在内至多只有一个零点，从而在上至多有一个零点.
综上所述，有且只有两个零点.
解法2 由，记则
当时，因此在上单调递增，则在上至多有一个零点，
从而在上至多有一个零点.综上所述，有且只有两个零点.
记的正零点为，即（1）当时，由得，而，因此.由此猜测：.下面用数学归纳法证明.
①当时，显然成立，②假设当时，成立，则当时，由
知
因此，当时，成立故对任意的成立
（2）当时，由知在上单调递增，则，
即，从而，即.
由此猜测：，下面用数学归纳法证明. ①当时，显然成立，②假设当时，成立，则当时，由知因此，当时，成立故对任意的成立综上所述，存在常数使得对于任意的都有
评析：本大题综合考查函数与导数、数列、不等式等数学知识和方法以及数学归纳法、放缩法等证明方法的灵活运用.突出考查综合运用数学知识和方法分析问题、解决问题的能力.
11、湖北理21. （本小题满分14分）(Ⅰ)已知函数，求函数的最大值；(Ⅱ)设均为正数，证明：（1）若，则；
（2）若，则
本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想.
解析：（Ⅰ）的定义域为，令，解得，当时，，在（0，1）内是增函数；当时，，在内是减函数；故函数在处取得最大值
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当时，有，即，
，从而有，得，
求和得,
,,即.
（2）①先证.令，则,于是
由（1）得，即
.
②再证.
记，令，则，
于是由（1）得.
即，
综合①②，（2）得证.
12、福建理18.（本小题满分13分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3本小题主要考查函数、导数等基础知识、考查运算求解能力、应用意识、考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分13分。
【解析】：（I）因为时，，所以
（II）由（I）可知，该商品每日的销售量，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
从而
于是，当变化时，的变化情况如下表：
（3，4） 4 （4，6）
+ 0 -
单调递增 极大值42 单调递减
由上表可得，是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，所以当时，函数取得最大值，且最大值等于42
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。
13、辽宁理(21)(本小题满分12分)已知函数f（x）=lnx-ax2+（2-a）x.(I)讨论f（x）的单调性；（II）设a＞0，证明：当0＜x＜时，f（+x）＞f（-x）；（III）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f’（ x0）＜0.
解析：(I)f(x)的定义域为(0,+∞),,
①若a≤0，，所以f(x)在(0,+∞)单调增加；
②若a>0，则由得，且当时，，当时，
，所以f(x)在单调增加，在单调减少.
（II）设，则，
，当时，而，所以.
故当时，
（III）由(I)可得，当时，函数y=f(x)的图象与x轴至多有一个交点，故.
从而f(x)的最大值为，且.不妨设A(x1,0), B(x2,0),0< x1< x2,则0< x1<< x2.
由（II）得，从而于是，由(I)知，f’（ x0）＜0.
14、北京理18.已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，，都有，求的取值范围。
【解析】：（Ⅰ），令，当时，的情况如下：
+ 0 0 +
0
所以，的单调递增区间是和：单调递减区间是，当时，与的情况如下：
0 + 0
0
所以，的单调递减区间是和：单调递减区间是。
（Ⅱ）当时，因为，所以不会有当时，由（Ⅰ）知在上的最大值是所以等价于， 解得故当时，的取值范围是[，0]。
15、天津理19.（本小题满分14分）已知，函数（的图像连续不断）
（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在，使；
（Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明．
【解析】本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
（Ⅰ）解:,令,解得.
当变化时, 的变化情况如下表:
+ 0 -
极大值
所以的单调递增区间是;的单调递减区间是.
（Ⅱ）证明: 当时，.由（Ⅰ）知在(0,2)内单调递增,在内单调递减.令,由在(0,2)内单调递增,故,即,
取,则,所以存在，使.
（Ⅲ）证明:由及（Ⅰ）的结论知,从而在上的最小值为.
又由,,知.故,即,从而.
16、安徽理（16）(本小题满分12分)设，其中为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。
【命题意图】：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。
【解析】：
当时，，由得解得
由得，由得，当x变化时与相应变化如下表：
x
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以，是函数的极大值点，是函数的极小值点。
因为为上的单调函数，而为正实数，故为上的单调递增函数恒成立，即在上恒成立，因此，结合解得
【解题指导】：极值点的判定一定要结合该点两侧导数的符号，不可盲目下结论。同时还要注意“极值”与“极值点”的区别避免画蛇添足做无用功。某区间（a,b）上连续可导函数单调性与函数导数符号之间的关系为：若函数在区间（a,b）上单调递增（递减），则（）
若函数的导数（），则函数在区间（a,b）上单调递增（递减）
若函数的导数恒成立，则函数在区间（a,b）上为常数函数。
17、江西理、设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．
解：（1）由当
令所以，当上存在单调递增区间
（2）令所以上单调递减，在上单调递增当在[1，4]上的最大值为
又所以在[1，4]上的最小值为
得，从而在[1，4]上的最大值为
18、（重庆理18）（本小题满分13分。（Ⅰ）小题6分（Ⅱ）小题7分。）设的导数满足其中常数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程。（Ⅱ）设求函数的极值。
解析：（Ⅰ）因，故，令，得，由已知，解得又令，得，由已知，解得
因此，从而又因为，故曲线在点处的切线方程为，即
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，从而有，
令，解得。当时，，故在为减函数，
当时，，故在为增函数，当时，，故在为减函数，从而函数在处取得极小值，在出取得极大值
【核心突破】
2011年名校模拟题及其答案
1（2011镇江高三期末）函数在处的切线方程是 .
2 （2011巢湖一检）求定积分．
3（2011杭州质检）已知函数，则函数的图像在处的切线方程是 27x + 27y +4 = 0 ．
4 (2011承德期末)曲线在点处的切线方程为（A ）
A. B. C. D.
5（ 2011广东广雅中学期末） （B ）
A． B. C. D.
6（2011北京朝阳区期末）已知函数 .（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，讨论的单调性.
解：（Ⅰ）当时，，.
所以，（求导、定义域各一分） 2分
因此. 即曲线在点处的切线斜率为1.… 3分又， 4分
所以曲线在点处的切线方程为. ……… 5分
（Ⅱ）因为，所以，
.… 7分令，，
①当时，，，当时，，此时，函数单调递减； 8分当时，，此时，函数单调递增. …… 9分
②当时，由即解得，. 此时，
所以当时，，此时，函数单调递减；…10分
时，，此时，函数单调递增；……11分
时，，此时，函数单调递减. …12分
综上所述：当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；在上单调递减.
7（2011北京丰台区期末）设函数．（I）求的单调区间；（II）当0解：（I）定义域为．．令，则，所以或． 因为定义域为，所以．令，则，所以．因为定义域为，所以． 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．…7分
（II） （）．．
因为0所以函数在上为减函数，在上为增函数．
①当，即时，在区间上，在上为减函数，在上为增函数．所以．
②当，即时，在区间上为减函数．
所以． 综上所述，当时，；
当时，．……14分
8. （2011北京西城区期末）已知函数.(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
解：.………2分（Ⅰ），解得.…………3分
（Ⅱ）. ……5分
①当时，，， 在区间上，；在区间上，
故的单调递增区间是，单调递减区间是.……………6分
②当时，， 在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是. …………7分
③当时，， 故的单调递增区间是. ………8分
④当时，， 在区间和上，；在区间上，
故的单调递增区间是和，单调递减区间是. ………9分
（Ⅲ）由已知，在上有. ………10分
由已知，，由（Ⅱ）可知，①当时，在上单调递增，
故，
所以，，解得，故.…11分
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
故.由可知，，
，所以，，，…13分综上所述，.
9（2011巢湖一检）已知．(Ⅰ)若在上为增函数，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当常数时，设，求在上的最大值和最小值.
解：(Ⅰ)∵在上为增函数，∴对恒成立.……2分
令，则对恒成立，∴，解得，
∴实数的取值范围是.…6分
(Ⅱ)当时，，∴，…8分
记，则对恒成立，
∴在上是减函数，∴，即，
∴当时，在上是减函数，得在上为减函数.
∴当时，取得最大值；当时，取得最小值.
10 (2011承德期末)已知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若关于的方程有三个不同实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）若函数的图象与坐标轴无交点，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）∵函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴为其极小值点，， …………… 3分
（Ⅱ）由（1）得
可得函数的极大值为，极小值为
∵关于的方程有三个不同实数解，令，即关于的方程在上有三个不同实数解，即的图象与直线在上有三个不同的交点，画出的图像，观察可得 综合①②得
11(2011东莞期末)已知函数(常数.(1)求证：无论为何正数，函数的图象恒过点；(2) 当时，求曲线在处的切线方程；(3)讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）
解：(1)∵∴无论为何正数，函数的图象恒过点． …2分
(2)当 时，，. . …3分又，∴曲线在点处的切线方程为．…4分
(3) ，所以.…5分因为，，于是当时，，当时，.……6分所以在上是增函数，在上是减函数.…7分所以，……8分
讨论函数的零点情况如下．①当，即时，函数无零点，在上也无零点；…9分②当，即时，函数在内有唯一零点，而 ，∴在内有一个零点； …10分
③当，即时，由于，，
，当时，即时，，，由单调性可知，函数 在内有唯一零点、在内有唯一零点满足，在内有两个零点；…11分当时，即时，，而且，由单调性可知，无论还是，在内有唯一的一个零点，在内没有零点，从而在内只有一个零点； …13分
（注：这一类的讨论中，若没有类似“来说明唯一零点在内”的这一步，则扣去这2分）综上所述，有：当时，函数无零点；
当或时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.
12（2011佛山一检）已知三次函数.（Ⅰ）若函数过点且在点处的切线方程为，求函数的解析式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；（Ⅲ）当时，，试求的最大值，并求取得最大值时的表达式.
解：（Ⅰ）∵函数过点，∴， ①
又，函数点处的切线方程为，
∴，∴， ②
由①和②解得，，，故 ； ----------------4分
（Ⅱ）由（Ⅰ），令，解得，
∵，，，，
∴在区间上，，
∴对于区间上任意两个自变量的值，，
∴，从而的最小值为20；------------8分
（Ⅲ）∵，则 ，可得．
∵当时，，∴，，，
∴，
∴，故的最大值为， 当时，，解得，，
∴取得最大值时． -----------14分
16（2011福州期末）已知函数在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数在R上有三个零点，且1是其中一个零点。 （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的取值范围； （Ⅲ）设，且的解集为（-∞，1），求实数的取值范围。
解: （Ⅰ）∵f（x）=－x3+ax2+bx+c，∴． 1分
∵f（x）在在（－∞,0）上是减函数，在（0,1）上是增函数，
∴当x=0时，f（x）取到极小值，即．∴b=0． 3分
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=－x3+ax2+c， ∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，∴c=1－a．
∵的两个根分别为，．∵f（x）在（0,1）上是增函数，且函数f（x）在上有三个零点，∴，即． 7分
∴．故f（2）的取值范围为． 9分
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，且．∵1是函数的一个零点，
∴，∵∴，∴点是函数和函数的图像的一个交点．
结合函数和函数的图像及其增减特征可知，当且仅当函数和函数的图像只有一个交点时，的解集为．即方程组（１）只有一个解． 11分由，得．
即．
即． ∴或． 12分
由方程（２）得．∵，
当，即，解得 13分
此时方程（２）无实数解，方程组（１）只有一个解．
所以时，的解集为． 14分
（Ⅲ）解法2：由（Ⅱ）知，且．
∵1是函数的一个零点
又的解集为，
10分
11分 12分
14分
14（ 2011广东广雅中学期末）某园林公司计划在一块为圆心,(为常数，单位为米)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形区域用于观赏样板地，区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.（1）设, ,用表示弓形的面积;（2）园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大 并求相对应的
(参考公式:扇形面积公式，表示扇形的弧长)
【解析】（1），, .………3分
(2)设总利润为元，草皮利润为元，花木地利润为，观赏样板地成本为
，，,
.
……8分设 .
，上为减函数；
上为增函数.……12分
当时，取到最小值,此时总利润最大.
答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润最大. ………14分
15．（2011哈尔滨期末）已知函数（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若且对任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：
解：（1），令，解得
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减
（2）为偶函数，恒成立等价于对恒成立
当时，，令，解得
（1）当，即时，在减，在增
，解得，
（2）当，即时，，在上单调递增，
，符合，综上，
（3）
。。。。。。
16（2011杭州质检）已知函数．（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；（2）如果函数，，，在公共定义域D上，满足，那么就称为为的“活动函数”．已知函数，．①若在区间上，函数是，的“活动函数”，求的取值范围；②当时，求证：在区间上，函数，的“活动函数”有无穷多个．
解：（1）当时，，； 对于[1, e]，有，∴在区间[1, e]上为增函数， ∴，． 3 分
（2）①在区间（1，+∞）上，函数是的“活动函数”，则
令<0，对（1，+∞）恒成立，
且h（x）=f1（x） – f（x）=<0对（1，+∞）恒成立， 5分
∵ （*）
1）若，令，得极值点，，当，即时，在（，+∞）上有，此时在区间（，+∞）上是增函数，并且在该区间上有∈（，+∞），不合题意； 当，即时，同理可知，在区间（1，+∞）上，有∈（，+∞），也不合题意； 7分
2） 若，则有，此时在区间（1，+∞）上恒有，从而在区间（1，+∞）上是减函数；要使在此区间上恒成立，只须满足，
所以a． 9分又因为h/（x）= –x+2a–= <0, h（x）在（1, +∞）上为减函数，h（x）另解：（接在（*）号后）先考虑h（x）, h`（x） = – x + 2a =,
h（x）在（1,+）递减，只要h（1） 0, 得，解得． 8分
而p`（x）=对x（1,+） 且有p`（x） <0．
只要p（1） 0, ，解得,所以． 12分
②当时，
则y=f2（x） –f1（x）=x2 –lnx, x（1，+∞）．因为y /=>0，y=f2（x） –f1（x）在 （1，+∞）为增函数，所以f2（x） –f1（x）> f2（1） –f1（1）= ．设R（x）=f1（x）+（0<<1）, 则 f1（x）其他如R（x）=f1（x）+f2（x）（ 0<,<1,且+=1）等也可以
17(2011湖北八校一联)已知函数 （I）若的一个极值点，求a的值；（II）求证：当上是增函数； （III）若对任意的总存在成立，求实数m的取值范围。
解：.
（Ⅰ）由已知，得 且，，，. 2分
（Ⅱ）当时，,
,当时，.又，
，故在上是增函数. 5分
（Ⅲ）时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为，
于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立.
记，（）
则，
当时，，在区间上递减，此时，，由于，时不可能使恒成立，故必有,.若，
可知在区间上递减，在此区间上，有，与恒成立矛盾，故，这时，，在上递增恒有满足题设要求，即，所以，实数的取值范围为.
18（2011·湖北重点中学二联）（本小题满分14分）设函数。 （I）求函数单调区间；（II）若恒成立，求a的取值范围； （III）对任意n的个正整数（1）求证：（2）求证：
解：（I）…1分当时，，在上是增函数当时，令得若则，从而在区间上是增函数若则，从而在区间上是减函数综上可知：当时，在区间上是增函数。当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数
（II）由（I）可知：当时，不恒成立又当时，在点处取最大值，且…8分令得故若对恒成立，则的取值范围是
（III）证明：（1）由（II）知：当时恒有成立即
（2）由（1）知：； ；……；
把以上个式子相乘得 故
19．(2011·黄冈期末)设函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，若方程在上有两个实数解，求实数t的取值范围；（Ⅲ）证明：当m>n>0时，.
解析：（Ⅰ）①时， ∴在（—1，+）上是增函数1分②当时，在上递增，在单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在上单调递增，在上单调递减
又 ∴
∴当时，方程有两解 ……8分
（Ⅲ）要证：只需证只需证：
设， 则………10分
由（Ⅰ）知在单调递减 …………12分
∴，即是减函数，而m>n∴，故原不等式成立。……14分
20(2011·惠州三调)已知函数,,和直线： .又. (1)求的值；(2)是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由.(3)如果对于所有的,都有成立，求k的取值范围.
解：（1）,因为所以=－2.……2分
(2)因为直线恒过点（0，9）.先求直线是 的切线.设切点为,…3分∵.∴切线方程为,将点（0，9）代入得.当时，切线方程为=9, 当时，切线方程为=.由得，即有当时，的切线，当时， 的切线方程为…6分 是公切线，又由得或，当时的切线为，当时的切线为，，不是公切线， 综上所述 时是两曲线的公切线 7分
(3).（1）得，当，不等式恒成立，.
当时，不等式为，……8分
而
当时，不等式为，
当时,恒成立，则 ……10分
（2）由得
当时，恒成立，，当时有
设=，
当时为增函数，也为增函数
要使在上恒成立，则 …12分
由上述过程只要考虑，则当时=
在时，在时在时有极大值即在上的最大值…13分又，即而当,时，一定成立，综上所述.…14分
21、(2011·锦州期末)（本题满分12分）已知函数，是的一个零点，又在处有极值，在区间和上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反．（I）求的取值范围；（II）当时，求使成立的实数的取值范围．
解：（Ⅰ）因为，所以又在处有极值，所以即……2分所以 令 所以或
又因为在区间上是单调且单调性相反所以
所以 …6分
（Ⅱ）因为，且是的一个零点，
所以，所以，从而
所以，令，所以或…………8分
列表讨论如下：
0 2
+ — 0 — + 0 + —
0
所以当时，若，则当时，若，则从而 或即或所以存在实数，满足题目要求。
22．（2011·金华十二校一联）（本题满分15分）已知函数．（I）讨论的单调性；（II）设 ．当时，若对任意，存在（），使，求实数的最小值．
解：（I）由题意函数的定义域为，
（1）若，从而当时，；当时，此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （3分）
（2）若，则①当时，，从而当或时，，当 时，此时函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；②当时，，此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为8分
（II）由（Ｉ）可得当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所以在区间上，由题意，对任意，存在（），使从而存在（）使，即只需函数在区间（）上的最大值大于－２，又当时，，不符，所以在区间（）上解得，所以实数的最小值为3．
23 (2011·南昌期末)（本小题满分12分）设函数，已知它们在处的切线互相平行.（1）求的值；（2）若函数，且方程有且仅有四个解，求实数的取值范围.
解：（1），，…2分
依题意：，所以；……4分
（2）时，，时，，………5分
所以当时，取极小值；………………………………………6分
当时，方程不可能有四个解；………7分
当时，时，，
时，
所以时，取得极小值=2，又，
所以的图像如下：从图像可以看出不可能有四个解。…10分
当时，时，，时，
所以时，取得极小值=2，又，所以的图像如下：
从图像看出方程有四个解，则，
所以实数的取值范围是。………………12分
24 （2011·三明三校二月联考）（本题满分14分）已知函数图像上点处的切线与直线平行（其中），（I）求函数的解析式； （II）求函数上的最小值；（III）对一切恒成立，求实数t的取值范围。
解：（I）由点处的切线方程与直线平行，得该切线斜率为2，即
又所以……4分
（II）由（I）知，显然当所以函数上单调递减.当时，所以函数上单调递增，
①②时，函数上单调递增，
因此……7分所以…………10分
（III）对一切恒成立，又
即设
则由
单调递增，单调递减，单调递增，所以因为对一切恒成立，故实数t的取值范围为…14分
25 （2011·泰安高三期末）（本小题满分14分）已知函数（Ⅰ）求f(x)在［-1，e］（e为自然对数的底数）上的最大值；（Ⅱ）对任意给定的正实数a，曲线y= f(x)上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？
解：（Ⅰ）因为f(x)=当-1≤x＜1时，f ′(x)=- x (3x -2)，
解f ′(x)＞0得0＜x＜：解f ′(x) ＜0得-1＜x＜0或＜x＜1
∴f(x)在（-1，0）和（，1）上单减，在（0，）上单增，
从而f (x)在x=处取得极大值f ()=……（3分）
又∵f(-1)=2，f(1)=0，∴f(x)在［-1，1)上的最大值为2.…（4分）
当1≤x≤e时，f(x)=alnx，当a≤0时，f(x)≤0；当a＞0时，f(x)在［1，e］单调递增；∴f(x)在［1，e］上的最大值为a.（6分）∴当a≥2时，f(x)在［-1，e］上的最大值为a；当a＜2时，f(x)在［-1，e］上的最大值为2. ……（8分）
（Ⅱ）假设曲线y= f(x)上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t, f(t)）(t＞0),则Q（-t，t3+t2），且t≠1……（9分）
∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形∴=0即- t2+f(t)（t3+t2）=0（*）
是否存在P，Q等价于方程（*）是否有解.若0＜t＜1，则f(x)=- t3+t2，代入方程（*）得：- t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，即：t4-t2+1=0，而此方程无实数解，当t＞1时，∴f(t)=alnt，代入方程（*）得：- t2+ alnt·（t3+t2）=0，即：设h(x)=(x+1)lnx(x≥1),则h′(x)=lnx++1＞0在［1,+∞)恒成立.∴h(x)在［1,+∞)上单调递增，从而h(x)≥h(1)=0，则h(x)的值域为［0,+∞).∴当a＞0时，方程=（t+1）lnt有解，即方程（*）有解.∴对任意给定的正实数a，曲线y=f(x)上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上.（14分）
2010年名校模拟题及其答案
一、选择题
1. （湖北省黄冈市2010年3月份高三年级质量检测理科）已知函数的反函数为，在上的导函数为，则=（ D ） A． B． C． D．
2. （湖北省黄冈市2010年3月份高三年级质量检测理科）已知为定义在上的可导函数,且对于恒成立,则（ A ）A. ,
B. , C. , D.,
3．（湖北省襄樊市2010年3月高三调研统一测试理科）若函数的导函数则函数的单调递减区间是 （ D ）
A．（2，4） B．（-3，-1） C．（1，3） D．（0，2）
4．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）曲线处的切线方程为 （ A ）
A． B． C． D．
5．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）直线相切于点（2，3），则b的值为（ C ）
A．—3 B．9 C．—15 D．—7
6．（山东省青岛市2010届高三一模理科）若，，则与的关系是（ A ）
A． B． C． D．
7．（山东省青岛市2010届高三一模文科）设，若，则（ D ）
A. B. C. D.
8．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题文科）已知函数，其导函数的图象如图所示，则 （ C ）
A．在（-∞，0）上为减函数
B．在0处取极小值
C．在（4，+∞）上为减函数
D．在2处取极大值
9．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题文）若函数有极值，则实数m的取值范围是 （ B ）
A．m>0 B．m<0 C．m>1 D．m<1
10．（山东省泰安市2010年3月高三第一次模拟数学理科试题）已知非零向量满足：，若函数在上有极值，设向量的夹角为，则的取值范围为（ D ）
A．[ B． C． D．
11．（烟台市2010年3月诊断文）曲线 在处的切线方程是( C )
A． B．
C． D．
12. (济南2010年3月质检文）已知函数，则其在点处的切线方程是（ C ）
( http: / / www. / )
13．（山东省日照市2010年3月高三一模理科）则大小关系是（ D ）
(A) (B) (C) (D)
14．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)
已知函数的导函数的图象如右图，
则的图象可能是( D )
A B
C D
15．（湖北省襄樊市2010年3月高三调研统一测试文科）对于R上的可导的任意函数，若满足则必有 （ A ）
A． B． C． D．
16．（北京市石景山区2010年4月高三统一测试理科试题）已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ A ）
二、填空题：
1．（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）曲线与所围成的图形的面积是 。
2、(湖北省赤壁一中2010届高三年级3月质量检测文科A试题)在上的可导函数，当时取得极大值，当时取得极小值，则的范围是___________
3．(福建省石狮石光华侨联合中学2010届高中毕业班5月份高考模拟文科)若函数，则＝__ __。
4. （福建省龙岩市2010年高中毕业班第一次质量检查理） 。
5．（北京市丰台区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科）函数图象上点P处的切线与直线围成的梯形面积等于S，则S的最大
值等于 ，此时点P的坐标是 .
6．（北京市怀柔区2010年3月第二学期高三期中练习理科）若函数，则、、的大小关系是 _.＞＞
三、解答题
1．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）（本小题满分14分）
已知，函数，（其中为自然对数的底数）．
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
（1）∵，∴．
令，得．
①若，则，在区间上单调递增，此时函数无最小值．
②若，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值．
③若，则，函数在区间上单调递减，
所以当时，函数取得最小值．
综上可知，当时，函数在区间上无最小值；
当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为．
（2）解：∵，，
∴
．
由（1）可知，当时，．
此时在区间上的最小值为，即．
当，，，∴．
曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．
而，即方程无实数解．
故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直．
2．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）（本小题满分14分）已知函数的导函数的图象关于直线对称。 （1）求b的值； （2）若函数无极值求c的取值范围；
（3）若在处取得极小值，记此极小值为的定义域和值域。
解：（1）………1分的图象关于直线对称，
…4分
（2）由（1）知，…6分
当无极值 ……8分
（3）当；
内为增函数；
所以处取极小值 ………………10分
因此，当且仅当处存在唯一极小值，
所以
于是由
于是…………12分
当，
所以函数内是减函数，故 ………………14分
3. （山东省青岛市2010届高三一模理科）(本题满分12分)
已知定义在正实数集上的函数,（其中为常数，）,若这两个函数的图象有公共点,且在该点处的切线相同.(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)当时,恒成立,求实数的取值范围.
解:(Ⅰ),………1分
设函数与的图象有公共点为
由题意得…3分解得: …5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以
即当时，，
当时，，且等号不能同时成立，
所以,则由(1)式可得在上恒成立……………………7分
设,又……9分
令得：又
所以，当时，；当时，；
所以，在上为减函数，在上为增函数…………11分
又故
所以实数的取值范围是……12分。
4．（江苏省南通市2010年高三二模）（本小题满分16分）设函数f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，当x＝t1时，f（x）有极小值．（1）若b＝－6时，函数f（x）有极大值，求实数c的取值范围；（2）在（1）的条件下，若存在实数c，使函数f（x）在闭区间［m－2，m＋2］上单调递增，求实数m的取值范围；（3）若函数f（x）只有一个极值点，且存在t2∈（t1，t1＋1），使f ′（t2）＝0，证明：函数g（x）＝f（x）－x2＋t1x在区间（t1，t2）内最多有一个零点．
解：（1）因为 f（x）＝x4＋bx2＋cx＋d，所以h（x）＝f ′（x）＝x3－12x＋c。……2分
由题设，方程h（x）＝0有三个互异的实根．考察函数h（x）＝x3－12x＋c，则h ′（x）＝0，得x＝±2．
x （－∞，－2） －2 （－2，2） 2 （2，＋∞）
h ′（x） ＋ 0 － 0 ＋
h（x） 增 c＋16 （极大值） 减 c－16（ 极小值） 增
所以 故－16（2）存在c∈（－16，16），使f ′（x）≥0，即x3－12x≥－c， （*）所以x3－12x>－16，
即（x－2）2（x＋4）>0（*）在区间［m－2，m＋2］上恒成立．……7分
所以［m－2，m＋2］是不等式（*）解集的子集．所以或m－2>2即－24．9分
（3）由题设，可得存在α，β∈R，使f ′（x）＝x3+2bx＋c＝（x－t1）（x2＋αx＋β），
且x2＋αx＋β≥0恒成立． ……11分又f （t2）＝0，且在x＝t2两侧同号，
所以f （x） ＝（x－t1）（x－t2）2………13分
另一方面，g ′（x）＝x3＋（2b－1）x＋t1＋c＝x3＋2bx＋c－（x－t1）＝（x－t1）［（x－t2）2－1］．
因为 t1 < x < t2，且 t2－t1<1，所以－1< t1－t2 < x－t2 <0．所以 0<（x－t2）2<1，所以（x－t2）2－1<0．
而 x－t1>0，所以g ′（x）<0，所以g（x）在（t1，t2）内单调减．从而g（x）在（t1，t2）内最多有一个零点． 16分
5．（湖北省荆州市2010年3月高中毕业班质量检查Ⅱ理科）(本小题满分13分)
已知.(1)求函数的图象在处的切线方程；(2)设实数,求函数在上的最小值；(3)证明:对一切,都有成立
解：（1） HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 定义域为 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 又 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3
函数 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 的在处的切线方程为： HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，即 ……3分
（2） HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 令得 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 当， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，单调递减，当 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 单调递增． …………5分
（i）当时， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 在单调递增， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，…………6分
（ii）当即 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 时，…………7分
（iii）当 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 即时， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 在单调递减， HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 …8分
(3)问题等价于证明，由(2)可知 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 的最小值是，当且仅当 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 时取得最小值……10分设，则 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，
当时 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 ，单调递增；当 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 时单调递减。故 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，当且仅当时取得最大值…………12分
所以 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.3 且等号不同时成立，即
从而对一切 HYPERLINK "http://www." EMBED Equation.DSMT4 ，都有成立．…………13分
【核心预测】
一、选择题
1．求曲线与所围成图形的面积，其中正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】两函数图象的交点坐标是，故积分上限是，下限是，由于在上，，故求曲线与所围成图形的面。
2．函数＝x3－6b2x＋3b在(0,1)内有极小值，则(　　)
A．b＞0 B．b＜ C．0＜b＜ D．b＜1
解析：＝3x2－6b2，令＝0，得x＝±b.∵在(0,1)内有极小值，∴0＜b＜1.
∴0＜b＜.选C.
3．已知函数的导数为f′(x)＝4x3－4x，且f(x)的图象过点(0，－5)，当函数f(x)取得极大值－5时，x的值应为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．±1
解析：选B.可以求出＝x4－2x2＋c，其中c为常数．由于过(0，－5)，所以c＝－5，又由＝0，得极值点为x＝0和x＝±1.又x＝0时，＝－5.故x的值为0.
4.函数＝ex(sinx＋cosx)在区间[0，]上的值域为(　　)
A．[，e] B．(，e)C．[1，e] D．(1，e)
解析：选A. ＝ex(sinx＋cosx)＋ex(cosx－sinx)＝excosx，当0≤x≤时，≥0，∴是[0，]上的增函数．∴的最大值为f()＝e，的最小值为f(0)＝.
5已知二次函数的图象如右图所示，
则其导函数的图象大致形状是（ ）
答案 B.
6．设、是R上的可导函数，，分别为、的导函数，且满足＋<0，则当aA．> B．>
C．> D．>
解析：选C.令y＝·，则y′＝·＋·，由于＋<0，所以y在R上单调递减，又x．
7、已知函数y＝ (x∈R)的图象如图所示，
则不等式x<0的解集为(　　)
A．(-∞，)∪(,2) B．(－∞，0)∪(，2)
C．(－∞，∪(，＋∞) D．(－∞，)∪(2，＋∞)
解析：选B.由图象单调性可得在(－∞，)∪(2，＋∞)大于0，在(，2)上小于0，∴x<0的解集为(－∞，0)∪(，2)．
8、已知函数在R上可导，且·，则与的大小关系是
A．= B．< C．> D．不能确定 （ ）
解：因，从而，得，所以原函数为，从而>，故选C。
9、已知函数在R上可导，当时，，且当，时有，若，则不等式解集为（ ）
A． B． C． D．
解：因当时，，所以在上单调递增；因当，时有，所以为偶函数，原不等式可化为，即
，得，故选C。
10、设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为 ( )
A ( ) 0 B 1 C ( ) D
解。∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,
令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值，
最大值fn()=n2()2(1－)n=4·()n+1?故选D。
二、填空题
11、＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．
解析：＝x3－2cx2＋c2x，＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0 c＝2或c＝6，若c＝2，＝3x2－8x＋4，令>0 x<或x>2，<0 12、直线y＝a与函数＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．
解析：令＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得的极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，如图所示，－2答案：(－2,2)
13、将长为52 cm的铁丝剪成2段，各围成一个长与宽之比为2∶1及3∶2的矩形，那么面积之和的最小值为________．
解析：设剪成2段中其中一段为x cm，另一段为(52－x) cm，依题意知：
S＝·＋·＝x2＋(52－x)2，S′＝x－(52－x)，令S′＝0，则x＝27.另一段为52－27＝25.此时Smin＝78.
14、已知函数是R上的奇函数，当时取得极值，
则的单调区间是 ；
解：∵为R上的奇函数，∴，
即，∴d=0.∴，.
∵当x=1时，取得极值.∴ ∴ 解得：.
∴，，令，则或，令，则.∴的单调递增区间为和，单调递减区间为.
15、已知函数在R上为减函数，则的取值范围是
解：由在R上恒成立得，从而。
三、解答题
16、设函数＝lnx－2ax.(1)若函数y＝的图象在点(1，)处的切线为直线l，且直线l与圆(x＋1)2＋y2＝1相切，求a的值；(2)当a>0时，求函数的单调区间．
解：(1)依题意有，＝－2a.因此过(1，)点的直线的斜率为1－2a，又＝－2a，所以，过(1，)点的直线方程为y＋2a＝(1－2a)(x－1)．即(2a－1)x＋y＋1＝0又已知圆的圆心为(－1,0)，半径为1，依题意，＝1，解得a＝.
(2)依题知＝lnx－2ax的定义域为(0，＋∞)，又知＝－2a因为a>0，x>0，令－2a>0，则1－2ax>0所以在x∈(0，)时，f(x)＝lnx－2ax是增函数；在x∈(，＋∞)时，f(x)＝lnx－2ax是减函数．
17、已知函数＝x3－ax2＋b(a，b为实数，且a>1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2.(1)求的解析式；(2)若函数＝－mx在区间[－2,2]上为减函数，求实数m的取值范围．
解：(1) ＝3x2－3ax，令＝0，得x1＝0，x2＝a，∵a>1，∴在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数．∴f(0)＝b＝1，∵f(－1)＝－a，f(1)＝2－a，∴f(－1)∴f(－1)＝－a＝－2，a＝.∴f(x)＝x3－2x2＋1.
(2) ＝x3－2x2－mx＋1，g′(x)＝3x2－4x－m.由在[－2,2]上为减函数，知g′(x)≤0在x∈[－2,2]上恒成立．∴，即∴m≥20.∴实数m的取值范围是m≥20.
18、已知函数＝ln(x＋1)＋ax.(1)当x＝0时，函数取得极大值，求实数a的值；(2)若存在x∈[1,2]，使不等式≥2x成立，其中为的导函数，求实数a的取值范围；(3)求函数f(x)的单调区间．
解：(1) ＝＋a由f′(0)＝0，得a＝－1，此时＝－1.当x∈(－1,0)时，>0，函数在区间(－1,0)上单调递增；当x∈(0，＋∞)时，<0，函数在区间(0，＋∞)上单调递减；∴函数在x＝0处取得极大值，故a＝－1.
(2)∵≥2x，∴＋a≥2x，∴a≥2x－.令g(x)＝2x－(1≤x≤2)，∴g′(x)＝2＋>0，∴在[1,2]上是增函数，∴a≥g(1)＝.
(3) ＝＋a.∵>0，∴当a≥0时，>0，函数在(－1，＋∞)上是增函数．当a<0时，令＝0，x＝－－1；若x∈(－1，－－1)时，>0，若x∈(－－1，＋∞)时，<0；综上，当a≥0时，函数递增区间是(－1，＋∞)；当a<0时，函数递增区间是(－1，－－1)，递减区间是(－－1，＋∞)．
19、设函数（1）当时，求的最大值；（2）令，（），其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．
【分析】（1）函数的定义域是，把代入函数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；（2）即函数的导数在小于或者等于恒成立，分类参数后转化为函数的最值；（3）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程有唯一实数解，得到所满足的方程，解方程求解。
解（1）依题意，知的定义域为（0，+∞），当时，，
（2′）令=0， 解得．（∵）
因为有唯一解，所以，当时， ，此时单调递增；
当时，，此时单调递减。所以的极大值为，此即为最大值…4分
（2），，则有≤，在上恒成立，
所以≥，（8′）当时，取得最大值， 所以≥…8分
（3）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解，
设，则．令，．
因为，，所以（舍去），，
当时，，在（0，）上单调递减，当时，，在（，+∞）单调递增 当时，=0，取最小值．（12′） 则
既所以，因为，所以（*）设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．因为，所以方程（*）的解为，即，解得．…12分
20、已知函数.(Ⅰ)若，求曲线在处切线的斜率；(Ⅱ)求的单调区间；（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
解：(Ⅰ)由已知，2分.故曲线在处切线的斜率为.
(Ⅱ).①当时，由于，故，
所以，的单调递增区间为.…6分②当时，由，得.
在区间上，，在区间上，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.……8分
（Ⅲ）由已知，转化为.…9分 …………10分
由(Ⅱ)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.) ………………11分
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，，…13分
所以，解得.…………14分
21、(1)已知，试求函数的最小值；
（2）若，求证：。
分析：求函数最值的常见方法是通过求导，确定函数的单调区间，从而求出其最值。
解：（1）对于函数，求导得
，由得，当时，，函数是递减函数；当时，，函数是递增函数；所以当时，函数。
（2）由第（1）题得：
从而，，，
三式相加得：
变化：由（1）知：，从而，，
，三式相加，结合得：
。
观赏样板地
花木地
草皮地
草皮地
x
o
y
y
o
y
x
x
o
y
x
o
y
x
o
y
本卷第63页（共63页）2012考前90天突破——高考核心考点
专题四 三角函数
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读
三角函数
　　（1）任意角的概念、弧度制　① 了解任意角的概念.　② 了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.
　　（2）三角函数　① 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.　　② 能利用单位圆中的三角函数线推导出 α ，π± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 ，，的图像，了解三角函数的周期性.　③ 理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等）.理解正切函数在区间内的单调性.　④ 理解同角三角函数的基本关系式： ，　⑤ 了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响.⑥ 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
三角恒等变换（1）和与差的三角函数公式　　① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.　　② 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.　　③ 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
（2）简单的三角恒等变换　　能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.
　解三角形（1）正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.（2）应用　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.
近几年考点分布 近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.
本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题　
【考点pk】名师考点透析
考点一 有关三角函数的概念和公式的简单应用
例1：若=，且.
求（1）；（2）的值．
例2：已知=2，则的值为 ．
解∵ tan=2, ∴ ;
所以==.
【名师点睛】①给角求值问题，利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值；②对于给值求值的问题的结构特点是“齐次式”，求值时通常利用同角三角函数关系式，常数化为正弦和余弦的性质，再把正弦化为正切函数的形式.
考点二 有关三角函数的性质问题
例3：已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（Ⅱ）若，求的值。
解：（1）由，得
所以函数的最小正周期为因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，
所以函数在区间上的最大值为2，最小值为-1
（Ⅱ）由（1）可知又因为，所以
由，得从而
所以
【名师点睛】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解．
(2)对于形如y＝asin ωx＋bcos ωx型的三角函数，要通过引入辅助角化为y＝sin(ωx＋φ)(cos φ＝，sin φ＝)的形式来求．
例4：设函数的图象经过点．（Ⅰ）求的解析式，并求函数的最小正周期和单调递增区间（Ⅱ）若，其中是面积为的锐角的内角，且，求和的长．
解：（Ⅰ）函数的图象经过点
……….4分函数的最小正周期….5分
由可得
的调递增区间为………………7分
（Ⅱ）因为 即 ∴…9分
∵是面积为的锐角的内角， ……….10分
…….12分
由余弦定理得： …………………….13分
【名师点睛】求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ))的单调区间
(1)将ω化为正．(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．
例5：已知函数.(Ⅰ)求函数的最小正周期；(Ⅱ)若函数在[-，]上的最大值与最小值之和为，求实数的值.
解：（Ⅰ）∵
……4分∴函数的最小正周期…………6分
(Ⅱ)∵，∴
∴当，即时，……8分
当，即时， ……10分
由题意，有∴ ……12分
【名师点睛】求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sin x，cos x的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解.
考点三 三角函数的图象变换
例6：为了得到函数的图像，只需把函数的图像
（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位
（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位
解=，=，所以将的图像向右平移个长度单位得到的图像，故选B.
【名师点睛】三角函数图象的变换规则是：平移时“左加右减，上加下减”，伸缩的倍数是，求三角函数的最值，一般要把三角函数化为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，有时还要注意ωx+φ的取值范围．
例7：已知函数的部分图象如下图所示：（1）求函数的解析式并写出其所有对称中心；（2）若的图象与的图象关于点 P（4，0）对称，求的单调递增区间．
解：（1）由图可得。A=，，所以，，…2分则此时，将点代入， 可得.…4分
∴； 对称中心为 ………7分
（2）由的图角与的图象关于点 P（4，0）对称，得,………9分
==,…11分
令.
即单调递增区间为……13分
【名师点睛】本题①三角函数图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离正好是半个周期，从而确定参数，由最高点和最低点可确定振幅，代入某一点的坐标到三角函数解析式可以确定初相；②求给定区间上的三角函数的最值（或值域）问题，一般思路是求的范围，并作为一个整体，借助基本函数解决.由图象求解析式时,“找准关键点”的确定很重要,尽量使A取正值.
考点四 三角恒等变换
例8：的值等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】原式=，故选A。
例9：若，是第三象限的角，则
(A) (B) (C) 2 (D) -2
解：由已知得，所以，又属于第二或第四象限，故由
解得：，从而．
另解：由已知得，所以
例10：（ ）
A． B． C． D．
解：
【名师点睛】给值求值、给值求角问题. ⑴发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”；⑵寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系；⑶合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.
例11：求值：
【解析】原式＝
＝＝
【名师点睛】合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.
例12：已知,,,(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 求的值.
解:（Ⅰ）因为,又,所以
（Ⅱ）根据（Ⅰ），得…8分
而,且,1
故=
【名师点睛】善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简化．角的常见变换：α＋2β＝(α＋β)＋β，(α－)－(－β)＝
考点五 解三角形及实际应用
例13：在等比数列。
（Ⅰ）求的值；(Ⅱ)若的值。
【名师点睛】正弦定理、余弦定理都体现了三角形的边角关系，解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用．
例14：如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
解：由题意知AB＝5(3＋)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得＝，
∴DB＝＝＝
＝＝10(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC
＝300＋1 200－2×10×20×＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．
答：救援船到达D点需要1小时．
【名师点睛】将所求问题归结为一个或多个三角形问题中．运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之．
例15：。，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
【解析】如图，由（1）得而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，
所以，解得，
从而值，且最小值为，于是
当取得最小值，且最小值为。
此时，在中，，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
【名师点睛】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．
【金题热身】
11年高考试题及解析
1、（江苏7）、已知 则的值为__________
解析：考察正切的和差角与倍角公式及其运用，中档题。
2、函数是常数，的部分图象如图所示，则
答案：
解析：考察三角函数的图像与性质以及诱导公式，中档题。由图可知：
由图知：
3、（四川文8）、理6.在△ABC中，sin2A ≤ sin2B+ sin2C-sinBsinC,则A的取值范围是
（A） （B） (C) （D）
解析：由正弦定理，得，由余弦定理，得，
则,,.
4、（山东文、理3）.若点（a,9）在函数的图象上，则tan=的值为
（A）0 (B) (C) 1 (D)
【解析】由题意知:9=,解得=2,所以,故选D.
5、（山东文、理6）.若函数 (ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω=
(A) (B) (C)2 (D)3
【解析】由题意知,函数在处取得最大值1,所以1=,则故选B.
6、（全国文7、理5）设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于
（A） （B） （C） （D）
【解析】即
则时故选C
7、（全国文14 ）已知，则
【解析】由又所以
8、（全国理14）已知∈(，)，sin=，则=
【解析】 ∈(，)，sin=
则 = 故=
9、（浙江文5）在中，角所对的边分.若，则
(A)- (B) (C) -1 (D) 1
【解析】：由余弦定理得：
则，故选D
10、（浙江理6）若，，，，则
（A） （B） （C） （D）【解析】：
故选C
11、（课标卷文7）、理5.已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线上，则，（ ）
A B C D
解析：B 因为该直线的斜率是，所以，；
点评：此题考查三角求值、直线的斜率、倾斜角等概念及其运算。把斜率转化成倾斜角的正切，就把问题有直线转化成了三角求值，然后用公式即可。
12、（课标卷文 11）.设函数，则（ ）
A 函数单调递增，其图像关于直线对称；
B 函数单调递增，其图像关于直线对称；
C 函数单调递减, 其图像关于直线对称；
D 函数单调递减,其图像关于直线对称；
解析：D 化简得，由余弦函数的图像知D正确。故选D
点评：该题考查三角函数的化简、正余弦函数的图像和性质，掌握好概念和性质，抓住图像不难求解。
13、（课标卷理11）. 设函数的最小正周期为，且
，则
（A）在单调递减 （B）在单调递减
（C）在单调递增 （D）在单调递增
解析：A.函数解析式可化为，
又因为该函数是偶函数，所以，，所以，该函数在上是减函数。故选A
点评：三角函数的图像和性质是此题考查的主要内容，要确定该函数的单调性一般是先化简再化一（化成一个角的正线性函数），然后借助图像解答。
14、（湖北文6、理3）已知函数，若，则的取值范围为
A. B.
C. D.
解析：由，即，解得，所以选A.
15、（辽宁理7）、设sin，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
解析：
16、（福建文9）.若∈（0， ），且，则的值等于
A. B. C. D.
【解析】因为∈（0， ），且，所以,
即,所以=或(舍去),所以,即,选D.
17、（重庆文12）．若,且，则
【命题意图】本题考查同角三角函数基本关系，是简单题.
【解析】∵=，且，∴，∴==.
18、（重庆理14）已知，且，则的值为
解析：由题设条件易得：，故，
，所以
19、（福建理9）.对于函数(其中，a,bR,cZ),选取a,b,c的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是
A.4和6 B.3和1 C.2和4 D.1和2
【解析】：，，
，又cZ，所以为偶数，所以同奇、偶。故选D
20、（辽宁文12)已知函数 =Atan()，
的部分图像如图，则=（ ）
（A）2+ (B) (C) (D)
解析：函数的周期是，故，由得.所以，故。
21、（辽宁理16）已知函数 =Atan（x+）（＞0，），y=的部分图像如下图，则 = .
解析：函数f(x)的周期是，故，由得.所以，故.
22、（天津文7）.已知函数其中若的最小正周期为,且当时, 取得最大值,则
A. 在区间上是增函数 B. 在区间上是增函数
C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数
【答案】A
【解析】由题意知,解得,又,且,所以,所以
,故A正确.
23、（安徽文15)设=，其中a，bR，ab0，若对一切则xR恒成立，则①②＜③既不是奇函数也不是偶函数④的单调递增区间是⑤存在经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交，以上结论正确的是 （写出所有正确结论的编号）.
【命题意图】本题考查辅助角公式的应用，考查基本不等式，考查三角函数求值，考查三角函数的单调性以及三角函数的图像.
【解析】，又
，由题意对一切则xR恒成立，
则对一切则xR恒成立，即，
恒成立，而，所以，此时.
所以.
①，故①正确；
②，
，
所以＜，②错误；③，所以③正确；
④由①知，，由知，所以③不正确；⑤由①知，要经过点（a，b）的直线与函数的图像不相交，则此直线与横轴平行，又的振幅为，所以直线必与图像有交点.⑤不正确.
【解题指导】：这类不定项多选题类型，难度非常大，必须每一个选项都有足够的把握确定其正误，解题时须耐心细致。
24、（上海文4）、函数的最大值为
【解析】所以最大值为
25、（上海理8）、函数的最大值为 。
【解析】
最大值为
26、（安徽理9）已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是
（A） （B）
（C） （D）
【命题意图】本题考查正弦函数的有界性，考查正弦函数的单调性.属中等偏难题.
【解析】若对恒成立，则，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，
由，得，故选C.
27、（安徽理14）已知 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则的面积_____
【命题意图】本题考查等差数列的概念，考查余弦定理的应用，考查利用公式求三角形面积.
【解析】设三角形的三边长分别为，最大角为，由余弦定理得
，则，所以三边长为6,10,14.△ABC的面积为.27、（江西文14）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且
，则y= .
【解析】根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该 角为第四象限角.=.
28、（重庆文8）．若△的内角，满足，则
A． B． C． D．
【命题意图】本题考查正余弦定理及其应用，是中档题.
【解析】由==得，：：=2:3:4，由正弦定理知，：：=2:3:4，设=2，=3，=4，（＞0），则==，故选D.
29、（重庆理6）若的内角所对的边满足，且，则的值为
（A） (B) (C)1 (D)
解析： 由得，由得，解得选A。
30、（福建文14）. 若△ABC的面积为，BC=2，C=，则边AB的长度等于__________.
【解析】由于△ABC的面积为，BC=2，C=，所以,所以AC=2, △ABC为正三角形,所以AB=2.
31、（福建理14）.如图，△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。
【解析】：过A作于E，AB=AC， E为BC中点，BC=所以CE，在中，，在中，∠ADC=45°，所以
32、（辽宁理4）△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos2A=则（ ）
(A) (B) (C) (D)
解析：由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA，故sinB=sinA，所以；
33、（北京文9）在中，若，则 .
【解析】：由正弦定理得又所以
34、（北京理9）.在中，若，，，则 ， .
【解析】由 ，又所以解得，正弦定理得则。
35、（天津理6）.如图，在△中，是边上的点，且，
则的值为（ ）
A．　　　 B． 　
C． 　　 D．
【解析】设,则由题意可得: ,在中,由余弦定理得：
=，所以=，在△中，
由正弦定理得，，所以，解得=，故选D.
36、（课标卷文15）.在中,,则的面积为________
.解析：由余弦定理得因此，
点评：本题考查解三角形的有关知识和面积公式，在解三角形时，要善于由正余弦定理创造条件来进行下面的运算。
37、（课标卷理16）. 在中，，则的最大值为 。
解析：在三角形ABC中，由正弦定理得
其中，，又因为，所以最大值为
点评：本题考查解三角形和三角函数求最值，其中，主要是用角A来表示所求的边长，人后求最值。同时也包含了利用基本公式化简，关键是在该条件下，三角形不确定，使得，从而由正弦函数的只有可求。
38、（上海文17）、若三角方程与的解集分别为和，则（ ）
A B C D
解：， 则故选A
39、（陕西文、理 18）.（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理。
解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有，
，.
证法一 如图，
即
同理可证，
证法二：已知 建立直角坐标系，则
同理可证
40、（江苏15）、（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边为（1）若 求A的值；（2）若，求的值.
解析：考察三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算能力，容易题。
（1）
（2）
由正弦定理得：，而。（也可以先推出直角三角形）
41、（四川文18）、理17.（本小题共13分）已知函数
（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，，求证：.
解析：（Ⅰ）∵
，∴的最小正周期是，当，
即时，函数取得最小值-2.
（Ⅱ），，
..
，
，所以，结论成立.
42、（广东文16）．（本小题满分12分）已知函数，．
（1）求的值；（2）设求的值．
【解析】
43、（广东理16）.（本小题满分12分）已知函数（1）求的值；
（2）设求的值.
【解析】
44、（山东文17）.（本小题满分12分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB=，
【解析】(1)由正弦定理得
所以=,即,
即有,即,所以=2.
(2)由(1)知=2,所以有,即c=2a,又因为的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：
，即，解得a=1，所以b=2.
45、（山东理17）.（本小题满分12分）在ABC中，内角的对边分别为.已知
.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，,求的面积.
【解析】（Ⅰ）由正弦定理得
所以=,即,
即有,即,所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知: ,即,又因为,所以由余弦定理得：，即,解得,所以,又因为，所以，故的面积为=
46、（全国文18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知 (Ⅰ)求B；（Ⅱ）若
【解析】：(Ⅰ)由正弦定理得
即
，故B=450
（Ⅱ）法一A=750，
由正弦定理得：，则
由，即
法二（Ⅱ）首先
由正弦定理同理
47、（全国理17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=b，求C.
【解析】：由正弦定理得，
由，即
A+B+C=1800 ，，
即，由A-C=900 得A=900+C
即
48、（重庆文18）．（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分）设函数
（1）求的最小正周期； （II）若函数的图象按平移后得到函数的图象，求在上的最大值。
解：（I）
故的最小正周期为
（II）依题意
当为增函数，所以上的最大值为
49、（重庆理16）（本小题满分13分）设满足
，求函数 在上的最大值和最小值
解析：
由得，解得：
因此当时，，为增函数，当时，，为减函数，
所以在上的最大值为又因为，所以在上的最小值为
50、（浙江文18）（本题满分14分）已知函数，，，.的部分图像，如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为.
（Ⅰ）求的最小正周期及的值；（Ⅱ）若点的坐标为，，求的值.
【解析】：（Ⅰ）
（Ⅱ）法一： 设点由题意可知所以，连结，在中
，由余弦定理得
解得又所以
法二：设点由题意可知所以，在中
，
51、（ 浙江理18）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为a,b,c.已知
且.（Ⅰ）当时，求的值；(Ⅱ)若角为锐角，求p的取值范围；
【解析】：（Ⅰ）由正弦定理得， ①
又 ②联立①②解得
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知，由余弦定理得
即由题设知
所以
52、（湖南文、理17）．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为且满足（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．
解析：（I）由正弦定理得
因为所以
（II）由（I）知于是
取最大值2．
综上所述，的最大值为2，此时
评析：本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，以及运用三角公式进行三角变换的能力以及三角函数的最值、求角问题.
53、（湖北文、理16）. （本小题满分10分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为，已知.(Ⅰ) 求△ABC的周长；(Ⅱ)求cos(A—C.)
本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力.
解析：（1）∵∴.∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.
（2）∵ ∴
∵∵，故A为锐角.∴
∴
54、（辽宁文17）（本小题满分12分）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， +b=a。（I）求；（II）若c2=b2+a2，求B。
解析：⑴由正弦定理得，+sinBcos2A=sinA，即sinB（sin2A+cos2A）=sinA，故sinB=sinA，所以；
⑵由余弦定理和c2=b2+a2，得cosB= 由⑴知，b2=2a2,故，可得,又cosB>0,故cosB=，所以B=450.
55、（北京文、理15）（本小题共13分）已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。
【解析】：（Ⅰ）因为
所以的最小正周期为
（Ⅱ）因为于是，当时，取得最大值2；当取得最小值—1．
56、（天津文16）.（本小题满分13分）在中,内角A,B,C的对边分别为.已知B=C, .(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.
【解析】(Ⅰ)由B=C,,可得,所以.
(Ⅱ)因为,,所以,,
故,所以.
【命题意图】本小题主要考查余弦定理、两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力.
57、（天津理15）.（本小题满分13分）已知函数（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设，若求的大小．
【解析】 本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式、正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.
（Ⅰ）由得所以的定义域为
.的最小正周期为.
（Ⅱ）由得即,
整理得: ,因为,所以可得
,解得,由得,所以,.
58、（安徽文16）(本小题满分13分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=，b=，，求边BC上的高.
（16）【命题意图】：本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的能力，考察综合运算求解能力。
【解析】：∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，又，∴，
即，，又0°∴BC边上的高AD＝AC·sinC＝
.
【解题指导】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可。本题属于中档题。
59、（江西文17）.(本小题满分12分）在中，的对边分别是，已知
.（1）求的值；(2)若，求边的值．
【解析】本题考查的主要知识三角函数及解三角形问题，题目偏难。第一问主要涉及到正弦定理、诱导公式及三角形内角和为180°这两个知识点的考查属于一般难度；第二问同样是对正弦定理和诱导公式的考查但形势更为复杂.
（1）由 正弦定理得：
及：所以。
（2）由,展开易得：
,正弦定理：
60、（江西理17）.（本小题满分12分） 在中，角的对边分别是，已知
.（1）求的值；（2）若，求边的值.
解：（1）由已知得即
由同边平方得：
（2）由，即
由
由余弦定理得
【核心突破】
2011年模拟试题
1、（2011杭州质检）已知，则 （ C ）
A． B． C． D．
2、（2011北京朝阳区期末）已知，，则.
3、（2011·淮南一模）设是第三象限角，，则 ；
4、(2011·日照一调)已知且，则等于(C )
(A) (B) (C) (D)7
5、（2011·温州十校高三期末）若，，则
6、（2011·上海普陀区高三期末）已知，其中是第四象限角，则 .
13．(2011东莞期末)在平面直角系中，以轴的非负半轴为角的始边，如果角、的终边分别与单位圆交于点和，那么等于 (B)
A． B. C． D.
7、（ 2011·温州八校联考）在中， （ B ）
A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
8、（ 2011·温州八校联考）函数为奇函数，该函数的部分图像如右图所表示，、分别为最高点与最低点，
并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（ C ）
A． B． C． D．
9、（2011烟台一调）函数的部分图象如图所示，则的值分别为( D )
A.2，0 B.2， C.2，- D.2，
10、（2011·温州十校高三期末）
中，“”是“为直角三角形”的 （ B ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分且必要条件 （D）既不充分也不必要条件
11、（2011·金华十二校一联）函数的最大值是（ B ）
A．8 B．7 C．6．5 D．5．5
12、（2011·金华十二校一联）在研究性学习中，我校高三某班的一个课题研究小组做“关于横波的研究实验”．根据实验记载，他们观察到某一
时刻的波形曲线符合函数的图像，
其部分图像如图所示，则= ．
13、(2011·南昌期末)已知函数
的最大值为4,最小值为0,最小正周期为，直线是
其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是 ( D )
A. B.
C. D.
14、(2011·锦州期末) “a=1”是“函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的（ A ）
（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件
（C）充要条件 （D） 既非充分条件也不是必要条件
15、（2011·上海长宁区高三期末）函数的最小正周期为2，则实数。
16、（2011·上海长宁区高三期末）函数f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)的图像关于原点对称的充要条件是（D ）
A、φ=2kπ－，k∈Z B、φ=kπ－，k∈Z
C、φ=2kπ－，k∈Z D、φ=kπ－，k∈Z
17、（2011·泰安高三期末）若把函数的图象向右平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( C )
A. B. C. D.
18、(2011·黄冈期末)已知函数y=Asin(x+)+b的一部分图象如图所示，如图A＞0，＞0，｜｜＜，则 （ D ）
A. = B. = C. = D.=
19、（2011福州期末）设函数的部分图象如图所示，直线是它的一条对称轴，则函数的解析式为（ D ）
A．
B．
C．
D．
20、（2011·湖北重点中学二联）函数
的图像如图所示，,则的值为 （ A ）
A． B． C． D．
21、（2011镇江高三期末）矩形中，轴，且矩形恰好能完全覆盖函数
的一个完整周期图象，则当变化时，矩形周长的最小值为 .
22、（ 2011广东广雅中学期末）已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则的取值范围是 （ A ）
A． B． C． D．
23、（2011广州调研）若把函数的图象沿轴向左平移个单位, 沿轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数的图象,则的解析式为(B)
A. +1 B.
C. D.
24、（2011北京朝阳区期末）要得到函数的图象，只要将函数的图象 (C)
（A）向左平移单位 （B）向右平移单位 （C）向右平移单位 （D）向左平移单位
25、(2011湖北八校一联)函数的最大值为M，最小正周期为T，则有序数对（M，T）为（ B ）
A． B． C． D．
26、（2011巢湖一检）要得到函数的图象，只要将函数的图象沿x轴(A)
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
27、（2011哈尔滨期末）将函数的图像按向量平移之后所得函数图像的解析式为（ A ）
A． B．
C． D．
28、（2011苏北四市二调）在△中，角的对边分别是，若，，，则△的面积是 ．
29、(2011湖北八校一联)在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则（ C ）
A． B． C． D．
30、（2011福州期末）在中，，则AB的长为 。
31、（2011镇江高三期末）设的三个内角,,所对边的长分别是,,，且，那么 .
32、(2011·惠州三调)若△ABC的周长等于20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是 (　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】答案：C 依题意及面积公式S＝bcsinA，得10＝bcsin60°，得bc＝40.
又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：
解得a＝7.
33、（2011北京丰台区期末）在△ABC中，如果，那么= ．
34、（2011·上海长宁区高三期末）在中，角所对的边分别是，若，且，则的面积等于 .
35、(2011·汕头期末)设直角三角形的两条直角边的长分别为，b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有①， ②， ③，④.其中正确结论的序号是 ；进一步类比得到的一般结论是 .
解：在直角三角形中，故
有，故填②④ 。
36、(2011·日照一调)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为_____海里/小时．
37、(2011·黄冈期末)满足A＝300，BC＝10的△ABC恰好有不同两个，则边AB的长的取值范围为 (10, 20)
38、（2011北京朝阳区期末）（本小题满分13分）已知△中，. （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）设向量，，求当取最小值时， 值.
解：（Ⅰ）因为，所以
. … 3分
因为，所以.所以.… 5分因为，所以.…… 7分
（Ⅱ）因为， 8分
所以. ……………… 10分
所以当时，取得最小值.此时（），于是.… 12分所以.………… 13分
39、（2011北京丰台区期末）已知函数（），相邻两条对称轴之间的距离等于．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值及相应的x值．
解：（Ⅰ）．
因为 ，所以 ，．所以 ．所以
（Ⅱ）当 时， ，
所以 当，即时，，当，即时，．
40、（2011北京西城区期末）已知函数.（Ⅰ）若点在角的终边上，求的值； （Ⅱ）若，求的值域.
解：（Ⅰ）因为点在角的终边上， 所以，，…2分
所以 ………………4分
. ………5分
（Ⅱ）……6分，……8分
因为，所以，………10分所以，…11分
所以的值域是. …
41、（2011巢湖一检）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是，且
（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若，求边．
解：(Ⅰ)∵，∴. 又∵，，∴，∴，
∴，∴．…………… 3分
∴，∴．…… 6分
(Ⅱ)由正弦定理得，，∴.
又∵，∴．………9分
又∵，∴.(用余弦定理也可) ……12分
42、(2011东莞期末)已知平面向量，，，其中，且函数的图象过点．（1）求的值；（2）将函数图象上各点的横坐标变为原来的的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的最大值和最小值．
解：（1）…………1分
……2分
……4分，即
∴，而，∴．
（2）由（1）得，，于是，
即．…9分当时，，所以，…11分即当时，取得最小值，当时，取得最大值．……12分
43、（2011佛山一检）在中，已知，. (Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若为的中点，求的长.
解：（Ⅰ）且，∴．
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
由正弦定理得，即，解得．在中，， ，所以．
44、（2011福州期末）已知函数的最小正周期为 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求函数在区间上的取值范围。
解：（Ⅰ） 2分
5分
因为函数的最小正周期为，且，所以，解得． 7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得因为，所以， 9分
所以， 因此，即的取值范围为．
45、（ 2011广东广雅中学期末）在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为且（１）求∠A；（２）若，求的取值范围。
解：①由余弦定理知：cosA＝＝　　∴∠A＝ ………………4分
②由正弦定理得：∴b＝2sinB，c＝2sinC…………6分
∴b2＋c2＝4(sin2B＋sin2C)＝2(1－cos2B＋1－cos2C)＝4－2cos2B－2cos2(－B)＝4－2cos2B－2cos(－2B)　＝4－2cos2B－2（－cos2B－sin2B）
＝4－cos2B＋sin2B ＝4＋2sin(2B－) …………10分
又∵＜∠B＜ ∴＜2B－＜∴＜2sin(2B－)≤2∴3＜b2＋c2≤6
46、（2011哈尔滨期末）在中，已知内角，设内角，周长为．（1）求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值．
解：（1）由正弦定理知
，
（2）即时，
47、（2011杭州质检）已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得到的图像再向左平移单位，得到的函数的图像，求函数在区间上的最小值．
解：（1）因为=, 4分
函数f（x）的最小正周期为=．由，，
得f（x）的单调递增区间为 ， ． 9分
（2）根据条件得=，当时，，
所以当x = 时，． 14分
48、(2011湖北八校一联)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，向量
。 （I）求的值； （II）若的面积为3，求a。
解： （Ⅰ） ，
，，
6分
（Ⅱ）由，得，
又，
，
当时，； 10分
当时，. 12分
49、(2011湖北八校一联)
在股票市场上，投资者常参考股价（每一股的价格）的某条平滑均线（记作MA）的变化情况来决定买入或卖出股票。股民老张在研究股票的走势图时，发现一只股票的MA均线近期走得很有特点：如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系，则股价y（元）和时间x的关系在ABC段可近拟地用解析式来描述，从C点走到今天的D点，是震荡筑底阶段，而今天出现了明显的筑底结束的标志，且D点和C点正好关于直线对称，老张预计这只股票未来的走势如图中虚线所示，这里DE段与ABC段关于直线l对称，EF段是股价延续DE段的趋势（规律）走到这波上升行情的最高点F。
现在老张决定取点点B（12，19），点D（44，16）来确定解析式中的常数，并且已经求得
（I）请你帮老张算出，并回答股价什么时候见顶（即求F点的横坐标）
（II）老张如能在今天以D点处的价格买入该股票5 000股，到见顶处F点的价格全部卖出，不计其它费用，这次操作他能赚多少元？
解：（Ⅰ）关于直线对称点坐标为即，
把、、的坐标代入解析式，得
②①，得 ，
③①，得 ，
，
，
，
， ， 代入②，得 ，
再由①，得 ， ，. 7分
于是，段的解析式为,
由对称性得，段的解析式为，
解得 ，当时，股价见顶10分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，故这次操作老张能赚元. 12分
50、（2011·湖北重点中学二联）（本小题满分12分） 已知的三内角A，B，C所对三边分别为a，b，c，且 （I）求的值。（II）若的面积求a的值。
解：（Ⅰ）∵ ∴ 由得…2分
∴=-=……4分
∴……5分 ∴……6分
（Ⅱ）得…8分∴ ∴…12分
51、(2011·惠州三调)（本题满分12分）已知函数
的图象的一部分如下图所示(1)求函数的解析式;(2)当时,求函数的最大值与最小值及相应的的值.
解:(1)由图像知,,∴,得.
由对应点得当时,.∴;……………5分
(2)
=,……9分∵,∴,………10分
∴当,即时,的最大值为;当,即时,的最小值.…12分
52、(2011·锦州期末)（本小题12分）已知A,B,C为锐角的三个内角，向量
,，且．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）求取最大值时角的大小．
解：（Ⅰ）， 2分
．………4分
是锐角三角形，．………6分
（Ⅱ）是锐角三角形，且，
………7分
……10分
当取最大值时，即．……12分
53、（2011·金华十二校一联）（本题满分14分）在中，分别为角的对边，已知，的面积为，又．（I）求角的大小；（II）求的值．
解：（I）,,
且为的内角，，从而． （7分）
（II）由，及得，
又，，．（１４分）
54、（2011·九江七校二月联考）根据三角恒等变换，可得如下等式：
， ，
，
依此规律，猜测，其中 -30
55、（2011·九江七校二月联考）（本小题满分12分）已知角A、B、C是的内角，分别是其对边长，向量，，。（1）求角A的大小；（2）若求的长。
解:(1)0
……4分……6分
∵……8分 .……9分
(2)在中，， ，……10分
由正弦定理知：……11分=.……12分
56、(2011·南昌期末)（本小题满分12分） 已知函数
（1）当时，求函数的值域； （2）若，且，求的值．
解：（1）由已知…2分
当时， ……………………4分
故函数的值域是（3，6] ………………………………………………………6分
（2）由，得，即……………8分
因为），所以………………………………………10分
故 ……………………………12分
57、(2011·日照一调)（本小题满分12分） 设函数．（Ⅰ）求的最
小正周期;（Ⅱ）若，当时, 求函数的最大值．
解：（Ⅰ）==
=. ……4分 故的最小正周期为T = =8. ………6分
(Ⅱ)由题设条件得==. 9分当时，，且是增函数，
因此在区间上的最大值为.……………12分
58、（2011·三明三校二月联考）（本题满分13分） 设锐角△ABC的三内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，向量 ， ，已知与共线 。（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若，，且△ABC的面积小于，求角B的取值范围。
【解】（Ⅰ）因为∥，则，即.……（2分）
所以，即，即. ……… （5分）
A是锐角，则，所以.…（6分）
（Ⅱ）因为，，则
.…（9分）
由已知，，即. （11分）因为B是锐角，所以，即，故角B的取值范围是.
59．(2011·汕头期末) (本题满分12分)已知向量，函数·， (Ⅰ)求函数的单调递增区间； (Ⅱ)如果△ABC的三边a、b、c满足，且边b所对的角为，试求的范围及函数的值域．
解：3分
令，解得，.
故函数的单调递增区间为.6分
8分
，
， 10分
即的值域为.
综上所述，的值域为. 12分
60.（2011·泰安高三期末）（本小题满分12分）已知（Ⅰ）求函数f(x)的单调增区间（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2,f(A)=，求△ABC的面积.
解：（Ⅰ）因为f(x)==
==…（3分）
所以函数f(x)的单调递增区间是〔〕（）………（5分）
(Ⅱ)因为f(x)=，所以又
从而…（7分）在△ABC中，∵a=1,b+c=2,A=∴1=b2+c2-2bccosA,即1=4-3bc.
故bc=1（10分）从而S△ABC=（12分）
61.（2011苏北四市二调）（本小题满分14分）已知函数.（1）求的值；（2）求的最大值及相应的值．
解：（1）
……2分
（1）
，当时，，
此时，即，
62、（2011·温州十校高三期末）（本题满分14分）已知向量，，函数f(x)=·。 （1）求函数f(x)的单调递增区间。 （2）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，且，求△ABC面积S的最大值。
解：（1）=---2分
=-----3分 ----5分
解得：的单调递增区间为-----7分
（2）---9分
又及得------12分
当且仅当时取“=”S的最大值为--14分
63.（2011烟台一调）（本小题满分12分）已知向量，其中A，B，C是△ABC的内角，a,b,c分别是角A，B，C的对边.（1）求角C的大小；（2）求的取值范围.
解：（1）由得 …………2分
由余弦定理得
（2）
即.
64.（2011镇江高三期末）如图, 单位圆（半径为1的圆）的圆心为坐标原点，单位圆与轴的正半轴交与点,与钝角的终边交于点,设.
（1）用表示;（2）如果,求点的坐标；
(3) 求的最小值.
解：(1)如图.
（2）由，又,得
. 由钝角，
知 .
（3）【法一】，又，
,的最小值为.
【法二】为钝角，, ，
,,的最小值为.
【说明】本题考查三角函数的定义、诱导公式、倍角公式，三角函数的图象和性质（基本不等式的应用.本题为原创题.
2010名校模拟题及其答案
一、选择题
1．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）将函数的图象向左平移个单位，所得图像的解析式是 （ B ）
A． B．
C． D．
2．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）函数的图像为 （ A ）
3．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）已知= （ D ）
A． B． C．— D．—
4．（山东省青岛市2010届高三一模理科）将奇函数的图象向左平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以为（ D ）
A． B． C． D．
5．（山东省青岛市2010届高三一模文科）在中,,三边长成等差数列，且,则的值是（ D ）
A． B． C． D．
6．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题理科）若把函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的图象关于轴对称，则的最小值是（ C ）
A． B． C． D．
7．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题文科）将函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（ B ）
A． B．
C． D．
8．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟理科试题）对于函数，给出下列四个结论：①函数的最小正周期为；②若③的图象关于直线对称；④上是减函数，其中正确结论的个数为（ D ）
A．2 B．4 C．1 D．3
9．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟文科试题）下列函数中，以为最小正周期的偶函数，且在上为减函数的是 （ B ）
A． B．
C． D．
10．（山东省东营市2010届高三一轮教学质量检测数学试题理科）函数的最小正周期为，且其图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象 （ B ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
11．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题理）在中，若则角B的大小为 （ B ）
A．30° B．45° C．135° D．45°或135°
12．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题理）若将函数的图象向左科移个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为 （ C ）
A． B． C． D．
13．（山东省泰安市2010年3月高三第一次模拟数学理科试题）已知非零向量满足：，若函数在上有极值，设向量的夹角为，则的取值范围为（ D ）
A．[ B． C． D．
14．（山东省泰安市2010年3月高三第一次模拟数学理科试题）在中，分别是三内角的对边，且，则角等于（ B ）
A． B． C． D．
15. （山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题理科）对于下列两个结论：
（1）把函数的图象向右平移得到的图象；
（2）在中，若，则是等腰三角形.
则下面的判断正确的是( A )
A．（1）（2）都正确 B．（1）（2）都错误
C．只有（1）正确 D．只有（2）正确
16．（山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题文科）在△ABC中，若tanA=－，则cosA=( A )
A． B． C． D．
17．（山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题文科）在中，的面积为，则边的值为( C )
A． B． C． D． 3
18．(山东省济南外国语学校2010年3月高三质量检测理）在中，（分别为角的对边），则的形状为 （ B ）
正三角形 直角三角形 等腰三角形 等腰三角形或直角三角形
19．(山东省济南外国语学校2010年3月高三质量检测理）已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为 （ A ）
， ， ， ，
20．(山东省济南外国语学校2010年3月高三质量检测文）要得到函数y=sin2x的图象，可以把函数y=sin(2x－)的图象 （ A ）
向左平移个单位 向右平移个单位
向左平移个单位 向右平移个单位
21．（山东省日照市2010年3月高三一模文科）已知，则的值为（ B ）
(A) (B) (C) (D)
二、填空题:
1．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）
在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，
若，那么c= 。
2．（山东省泰安市2010年3月高三第一次模拟数学理科试题）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 。
3．(山东省济南外国语学校2010年3月高三质量检测理）已知，则 .
4．（山东省日照市2010年3月高三一模理科）在中，三个内角所对的边分别是已知的面积等于则 4 。
5． （山东省日照市2010年3月高三一模文科）在中，则的值为 。
6．（山东省日照市2010年3月高三一模文科）给出下列四个命题：
①命题的否定是；
②线性相关系数的绝对值越接近于，表明两个随机变量线性相关性越强；
③若则不等式成立的概率是；
④在中，若则一定是等腰三角形。
其中假命题的序号是 。(填上所有假命题的序号) ①④
三、解答题
1．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）（本小题满分12分）已知 （1）求的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标； （2）当时，求函数的值域。
解：（1） ………………2分
………4分所以的最小正周期为 ………………5分
令
故所求对称中心的坐标为 ………………8分
（2） ………………10分
即的值域为 ………………12分
2．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）（本小题满分12分）
已知函数，且，又知函数 （1）求的解析式；
（2）若将的图象向右平移个单位得到的图象，求的单调递增区间。
解：（1） ………………1分
…………3分
………………5分
∵函数的周期
∴解析式为 ………………6分
（2）由题意知，函数的图象向右平移个单位得到的图象
………………8分
的单调递增区间为
解得， ……10分
∴的单调递增区间为 ………………12分
3．（山东省青岛市2010届高三一模理科）（本小题满分12分）
已知向量，，设函数.
(Ⅰ)若，且，求实数的值;(Ⅱ)在中,分别是角的对边,若,且的面积为,实数,求边长的值.
解: (Ⅰ)由题意得…………3分
所以…………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
由题意得所以…………………8分
因为，所以
解得因为的面积为,所以,即…………10分
由余弦定理得…………12分
4．（山东省青岛市2010届高三一模文科）(本小题满分共12分)
已知向量，，其中，且，又函数的图象任意两相邻对称轴间距为.(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)设是第一象限角,且,求的值.
解: (Ⅰ)由题意得,所以，
…4分根据题意知,函数的最小正周期为,又,所以…6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
所以解得………8分
因为是第一象限角,故………………………9分
所以,………………12分
5．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题理科）（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，直线AB的倾斜角为，设。 （1）用θ表示点B的坐标及|OA|。
（2）若的值。
解：（1）由三角函数的定义，得点B的坐标为 2分
在
由正弦定得，得 4分 即所以 6分
注：若用直线AB方程求得也得分。
（2）由（1）得
8分
因为所以 10分
又
所以 12分
6．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题文科）（本小题满分12分）在中，分别是角A、B、C的对边，且 （1）求角B的大小； （2）设函数，求函数的最小正周期，最大值及当取得最大值时的值。
解：（1）由，得由正弦定理，得
2分
即，， 4分
在中， 6分
（2）， 8分
所以的最小正周期为 10分
令得
即当时取最大值1 12分
7．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟文理科试题）（本小题满分12分）
已知向量
（1）若求x的值； （2）函数，若恒成立，求实数c的取值范围．
解：（1）
…………2分
由 …………4分
因此 …………6分
（2）
…………8分
则恒成立，得 ……12分
8．（山东省东营市2010届高三一轮教学质量检测数学试题理科）（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且A为锐角，
（1）求f（A）的最小值；
（2）若，求b的大小．
解：（1）
…………4分
∵A为锐角，∴，∴，
∴当时， …………6分
（2）由题意知，∴．
又∵，∴，∴， …………8分
又∵，∴， …………9分
由正弦定理得 …………12分
9．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题理）（本小题满分12分）
已知函数且对于任意实数恒成立。 （1）求a的值； （2）求函数的最大值和单调递增区间。
解：（1）由已知得
即
所以 …………4分
又因为 …………5分
（1）
…………8分
由此可知，函数的最大值为1。 …………10分
单调递增区间为： …………12分
10．（山东省泰安市2010年3月高三第一次模拟数学理科试题）(本小题满分12分)
已知函数
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)当时，求g的最大值和最小值。
解：（Ⅰ）
…………………………………4分
……………………………………6分
(Ⅱ) ……………………………………8分
………………………………………………………………10分
当时，
当时．……………………………………………………………12分
11． （山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题理科）（本小题满分12分）
已知向量a，b，∣a–b∣ .
（1）求的值；
（2）若，， 且， 求．
解：（1）∵∣a∣1 ，∣b∣1 ……1分
∣a－b∣∣a∣ －2a﹒b ∣b∣
∣a∣ ∣b∣－
∣a–b∣ . ……4分
……6分
（2） ……7分
由 得 ……8分
由 得 ……10分
……11分
……12分
12．（山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题文科）（本小题满分12分）
已知x∈R，>0，u=(，sin(x+))，v=（cosx，sinx），函数f(x)=1+u·v的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）求函数f(x)在区间[0，]上的值域．
解 (1)依据题意，有
=
=
=
=． …………4分
又，∴．　　　 …………6分
(2) 由(1)可知，．
当．　　　 　　　　…………8分
有，．
所以函数．　 ……………12分
13. (山东省济南外国语学校2010年3月高三质量检测理）已知向量,,设函数.
（1）若的最小正周期是，求的单调递增区间;
（2）若的图象的一条对称轴是，（），求的周期和值域.
解：（1）
则
由 得 为单调递增区间
（2）是函数的一条对称轴
又 当时，
周期为，值域为.
解：（Ⅰ）解：因为，
所以当时，，解得，
当时，，即，解得，
所以，解得；
则，数列的公差，
所以.
（Ⅱ）因为
.
因为，所以 .
14. (山东省济南外国语学校2010年3月高三质量检测文）在中，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求的面积．
解：（Ⅰ）由，得，
由，得．
又
所以．
（Ⅱ）由正弦定理得．
所以的面积．
15．（山东省日照市2010年3月高三一模理科）(本小题满分12分)
若函数的图象与直线相切，相邻切点之间的距离为。
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若点是图象的对称中心，且，求点的坐标。
解：(Ⅰ)
， ……………………………………3分
由题意知，为的最大值或最小值，所以或 …………………6分
(Ⅱ)由题设知，函数的周期为 ……………………………………8分
令，得
，由，得或
因此点的坐标为或 ……………………………………………12分
【核心预测】
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）
1、函数=2sinxcosx是
(A)最小正周期为2π的奇函数 （B）最小正周期为2π的偶函数
(C)最小正周期为π的奇函数 （D）最小正周期为π的偶函数
解：=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数
2、设向量,,则下列结论中正确的是
(A) (B) (C) (D) 与垂直
解：，，所以与垂直.
3、已知，则
（A）（B）（C）（D）
解：∵ ∴
4、已知函数的部分图象如题(6)图所示，则
（A） （B）
（C） (D)
解析：由五点作图法知，= -.
5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则
（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1
解：由＝16，得|BC|＝4＝4而故2
答案：C
6、E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
解法1：约定AB=6,AC=BC=,由余弦定理CE=CF=,再由余弦定理得，解得
解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得，解得。
7、设>0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是
（A） (B) (C) (D)3
解：将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为
，所以有=2k,即，又因为，所以k≥1,故≥，所以选C
8、设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是
（A） （B） （C） （D）
解：将的零点转化为函数的交点，数形结合可知答案选A
9、△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= , = , = 1 ，
= 2, 则=
（A） + （B） + （C） + （D） +
解∵ CD为角平分线，∴，∵，∴，
∴
10、已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为
(A) (B) (C) (D)
解1如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，
===，令，则，
即，由是实数，所以，，解得
或.故.此时.
【解析2】设，
换元：，
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上）
11、已知向量，若∥，则.
解∵，∴由∥得.
12、已知和的夹角为，，则　　　　．
解：，故
13、在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，，则角的大小为 ．
解：由得，即，因为，所以，又因为，，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。
14、在△ABC中，D为边BC上一点，BD=DC，ADB=120°，AD=2，若△ADC的面积为，则BAC=_______
解析：设，则，由已知条件有
，再由余弦定理分别得到，再由余弦定理得，所以．
15、已知平面向量 , (≠0， ≠ )满足||＝1，且与－的夹角为120°，则||的取值范围是________．
解：如图，数形结合知=，＝，|AB|＝1，C点在圆弧上运动，∠ACB＝60°，设∠ABC＝θ，由正弦定理知＝，∴||＝sin θ≤，
当θ＝90°时取最大值．∴||∈.答案：
三、解答题（本大题6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16、设函数，，且以为最小正周期．（1）求；（2）求的解析式；（3）若，求的值．
解：（1）由题设可知．
（2）的最小正周期为，． ．
（3）由， ．
17、中，为边上的一点，，，，求．
解：由cos∠ADC=＞0，知B＜.由已知得cosB=，sin∠ADC=.
从而 sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=
由正弦定理得，所以
18、的面积是30，内角所对边长分别为，。 (Ⅰ)求；(Ⅱ)若，求的值。
解：由，得.又，∴.
（Ⅰ）.
（Ⅱ），∴.
19、已知函数，其图象过点（,）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在[0, ]上的最大值和最小值．
解（Ⅰ）因为已知函数图象过点（,），所以有
，即有=，
所以，解得。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以
==，
所以=，因为x[0, ]，所以，
所以当时，取最大值；当时，取最小值。
20、在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.
解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
即由余弦定理得故，A=120°……6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。…12分
21、某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1），同理：，。
AD—AB=DB，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知，得，
，（当且仅当时，取等号）
故当时，最大。因为，则，所以当时，-最大。故所求的是m。
2
-2
x
y
O
20070316
角终边
P
A
B
O
本卷第1页（共71页）2012考前90天突破——高考核心考点
专题十 排列、组合、二项式定理
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理　①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.
（2）排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.
（3）二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
近几年考点分布排列、组合、二项式定理是高考数学相对独立的内容，也是密切联系实际的一部分。在高考中，注重基本概念，基础知识和基本运算的考查。试题难度不大，多以选择、填空的形式出现。排列组合的试题会以现实生活中的生产问题、经济问题为背景，不会仅是人或数的排列。以排列组合应用题为载体，考查学生的抽象概括能力，分析能力，综合解决问题的能力。将排列组合与概率统计相结合是近几年高考的一大热点，应引起重视。二项式定理的知识在高考中经常以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。
【考点pk】名师考点透析
考点一、计数原理
例1电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有封，乙箱中有封，现有主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？
解：分两类：（1）幸运之星在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有种；（2）幸运之星在乙箱中抽取，有种，共有不同结果种。
【名师点睛】.运用分步乘法计数原理时，也要确定分步的标准，分布必须满足：完成一件事情必须且只需完成这几步，即各个步骤是相互依存的，注意“步”与“步”的连续性。
例2.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，型血的共有人，型血的共有人，型血的共有人，型血的共有人。（1）从中任选人去献血，有多少种不同的选法？（2）从四种血型的人中各选人去献血，有多少种不同的选法？
解：从型血的人中选人有种不同的选法，从型血的人中选人共有种不同的选法，从型血的人中选人共有种不同的选法，从型血的人中选人共有种不同的选法。（1）任选人去献血，即不论选哪种血型的哪一个人，这件“任选人去献血”的事情已完成，所以用分类计数原理，有种不同选法。
（2）要从四种血型的人中各选人，即要在每种血型的人中依次选出人后，这件“各选人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理。有种不同的选法。
【名师点睛】.运用分类加法计数原理，首先要根据问题的特点，确定分类标准，分类应满足：完成一件事情的任何一种方法，必须属于某一类且仅属于某一类，即类与类的确定性与并列性。
例3、某城市在市中心广场建造一个花圃，花圃分为个部分如图，现要栽种种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种。（用数字作答）
解法一：先排区，有种方法，把其余五个分区视为一个圆环（如图），沿着圆环的一个边界剪开并把圆环拉直，得到如下图的五个空格，在五个空格中放三种不同的元素，且：①相同元素不相邻。②两端元素不能相同，共有种不同方法。然后再把下图粘成圆形即可，下面解决两端元素相同的情况。在这种情况下我们在下图六个空格中。要求：①相同元素不能相邻。②两端元素必须相同，共有种不同方法，然后再把最下图粘成圆环形，把两端的两格粘在一起看成一个格即可，综上，共有种方法。
解法二：先分类：五大类：第一类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。
第二类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。
第三类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。
第四类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。
第五类：区和区、区和区、区、区各栽一色花。每一类中其栽法为（分步进行），答案共有种。
【名师点睛】如何选用分类加法计数原理和分步计数乘法原理。在处理具体的应用问题时，必须先分清是“分类”还是“分步”，“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事情。
考点二、排列组合
例4、7名学生站成一排，下列情况各有多少种不同的排法？（1）甲乙必须排在一起；（2）甲、乙、丙互不相邻；（3）甲乙相邻，但不和丙相邻.
（1）解：捆绑法，=1440.点评：捆绑法应用于相邻问题.
（2）解：插空法，=1440.点评：插空法应用于不相邻问题.
（3）解：捆绑插空相结合，.点评：两种方法相结合的问题，综合考察知识方法的应用能力.
【名师点睛】1、解排列组合题的基本思路：将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；
例5、5个人排成一排.（1）甲不站在左端，乙不站在右端，有多少种不同的排法？（2）若甲、乙两人不站在两端，有多少种不同的排法？（3）若甲乙两人之间有且只有1人，有多少种不同的排法？
本题为特殊元素，也用到了分类，一类是甲站结尾，此时是；另一类是甲不站结尾，此时是，两类相加，结果为：3720. 基础知识聚焦：特殊位置或元素优先安排.
（2）提示或答案：甲乙先站，其他人再站，=1200. 基础知识聚焦：特殊位置或元素优先安排.
（3）提示或答案：从其他5人中选1人站在甲乙中间，然后把甲乙排列，然后把此三个人看作一个元素，和其他4人全排列，=1200.
【名师点睛】解排列组合题的基本方法：
（1）优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
（2）排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
（3）分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。
（4）分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。
（5）插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。
（6）捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。
（7）穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。
考点三、二项式定理
例6在的展开式中，含的项的系数是
（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274
解：本题可通过选括号（即5个括号中4个提供，其余1个提供常数）的思路来完成。故含的项的系数为
【名师点睛】求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；
例7已知在的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.⑴求n;⑵求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.
解：(1)因为展开式中只有第6项的二项式系数最大,所以n为偶数，第6项即为中间项，∴，得n=10.
(2) 展开式的通项是系数的绝对值是，
若它最大则.
∵,∴r=3，∴系数绝对值最大的项是第4项，即，
系数最大的项应在项数为奇数的项之内，即r取偶数0，2，4，6，8时，各项系数分别为,,，，.
∴系数最大的项是第5项，即
【名师点睛】求展开式中系数最大项的步骤是：先假设第r+1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式并求解此不等式组求得。
【金题热身】
11年高考试题及解析
1、（全国文9、理7）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有
（A）12种 （B）24种 （C）30种 （D）36种
【解析】分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有种。总的赠送方法有种。【答案】B
2、（广东理7）．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）
A．20 B．15 C．12 D．10
【解析】先从5个侧面中任意选一个侧面有种选法，再从这个侧面的4个顶点中任意选一个顶点有种选法，由于不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，所以除去这个侧面上、相邻侧面和同一底面上的共8个点，还剩下2个点，把这个点和剩下的两个点连线有种方法，但是在这样处理的过程中刚好每一条对角线重复了一次，所以最后还要乘以所以这个正五棱柱对角线的条数共有,所以选择A.
3、（北京理12）.用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有__个(用数字作答)
【解析】个数为。
4、给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑
色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
n=1
n=2
n=3
n=4
由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种.（结果用数值表示）
5、（陕西理4）、的展开式中的常数项是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】：令，于是展开式中的常数项是故选C
6、（四川文13）. 的展开式中的系数是 （用数字作答）
解析：的展开式中的系数是.
7、（广东文10）.的展开式中， 的系数是______ (用数字作答).
【解析】
8、（山东理14）. 若展开式的常数项为60，则常数的值为 .
【答案】4
【解析】因为,所以r=2, 常数项为60,解得.
9、（全国文、理13） (1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .
【解析】，令
所以x的系数为，故x的系数与的系数之差为-=0
10、（浙江理13）.若二项式的展开式中3的系数为，
常数项为，若，则的值是 .
【解析】：令
得则A令得
则B，由又B=4A得则
11、（课标卷理8）. 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为
（A）-40 （B）-20 （C）20 （D）40
解析：因为展开式各项系数和为2所以取得：，二项式即为：
，它的展开式的常数项为：点评：此题考查二项式定理、展开式的系数、系数和以及运算能力，正确的把握常数项的涞源和构成是解决问题的关键。
12、（湖北文12、理11）. 的展开式中含的项的系数为 （结果用数值表示）
解析：由 令，解得r=2，故其系数为
13、（福建理6）.(1+2x)3的展开式中，x2的系数等于
A.80 B.40 C.20 D.10
【解析】： ，x2的系数等于故选B
14、（天津理5）.的二项展开式中，的系数为（ ）
A． 　　　B． 　　　C． 　　　　D．
【解析】因为,所以容易得C正确.
15、（安徽理12）.设，则 .
【命题意图】本题考查二项展开式.难度中等.
【解析】，，所以.
16、（重庆文11）．的展开式中的系数是
17、（重庆理4）.（其中且）的展开式中与的系数相等，则
（A）6 (B)7 (C) 8 (D)9
解析： 的通项为，故与的系数分别为和，令他们相等，得：，解得7选B.
【核心突破】
2011年模拟试题及答案
1．（2011北京丰台区期末）有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有（B）
A．24种 B．48种 C．96种 D．120种
2. （2011北京西城区期末）在的展开式中，的系数为____80_.
3、 （2011巢湖一检）二项式的展开式中的第六项系数是（用数字作答）．
4. (2011承德期末)某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能分在同一部门，则不同的分配方案共有（ A ）
A．36种 B．38种 C．108种 D．24种
5．(2011东莞期末)
已知的展开式中所有系数的和为128，则展开式中的系数是 (C)
A. 63 B. 81 C. 21 D. -21
6、 （2011佛山一检） 如果展开式中，第四项与第六项的系数相等，
则= 8 ，展开式中的常数项的值等于 70 .
7．（2011福州期末）在二项式的展开式中，纱数是-10，则实数的值为 1 。
8．（ 2011广东广雅中学期末）在的展开式中，含项的系数是5　．（用数字作答）
9. （2011广州调研）展开式的常数项是 .（结果用数值作答）
10．（2011杭州质检）由a，b，c，d，e这5个字母排成一排，a，b都不与c相邻的排法个数为 （ A ）
A．36 B．32
11．（2011杭州质检）已知多项式，则a-b= 2 ．
12．（2011·湖北重点中学二联）某商场有四类商品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 （ C ）
A．4 B．5 C．6 D．7
13．（2011·湖北重点中学二联）有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为 （ D ）
A．42 B．48 C．54 D．60
14. (2011·黄冈期末) 若展开式中各项二项式系数之和为，展开式中各项系数之和为，则=（ B ）
A. B. C. D.
15. (2011·黄冈期末)由0到9这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中，满足千位、百位、十位上
的数字成递增等差数列的五位数共有（ D ）
A. 720个 B. 684个 C. 648个 D.744个
16. (2011·惠州三调)在二项式的展开式中， 的一次项系数是，
则实数的值为 1 ．
【解析】1；由二项式定理，．
当时，，于是的系数为，从而．
17、(2011·锦州期末)从装有个球（其中个白球，1个黑球）的口袋中取出个球（），共有种取法，在这种取法中，可以分为两类：一类是取出的个球全部为白球，另一类是取出的m个球中有1个黑球，共有种取法，即有等式：成立.试根据上述思想化简下列式子：__________________.
18．（2011·九江七校二月联考）安排6名演员的演出顺序时，要求演员甲不第一个出场，也不最后一个出场，则不同的安排方法种数是( C )
A．120 B．240 C．480 D．720
19．（2011·九江七校二月联考）在二项式的项的系数是 10
20． （2011·三明三校二月联考）已知的最小值为n，则二项式展开式中常数项是 (B ）
A．第10项 B．第9项 C．第8项 D．第7项
21．(2011·汕头期末)设为函数的最大值，则二项式的展开式中含项的系数是( )
A．192 B．182 C．-192 D．-182
解：因为，由题设知.
则二项展开式的通项公式为，令，得，含项的系数是，选 C；
22．(2011·汕头期末)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“ONE”，“WORLD”，“ONE”，“DREAM”的四张卡片随机排成一排，若卡片按从左到右的顺序排成“ONE WORLD ONE DREAM”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受奖励的概率为 ．
解：四张卡片排成一排一共有12种不同排法，其中只有一种会受奖励，故孩子受奖励的概率为。
23、（2011·上海长宁区高三期末）若的二项展开式中的第5项的系数是 280 （用数字表示）。
24、（2011温州十校高三期末） 展开式中的系数为10，则实数等于 （ C）
（A） （B） （C）2 （D）1
25. (2011承德期末)展开式中的常数项是 6 .
2010年模拟试题及答案
一、选择题:
1．(2010年 深圳二模理)设是的一个排列，把排在的左边且比小的数的个数称为的顺序数（）．如：在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0．则在1至8这八个数字构成的全排列中，同时满足8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( C )
A．48 B．96 C．144 D．192
2（宁德四县市2010年4月联考理）下面是高考第一批录取的一份志愿表。现有4所重点院校，每所院校有3 个专业是你较为满意的选择，如果表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有（ ）种不同的填写方法.
志 愿 学 校 专 业
第一志愿 A 第1专业 第2专业
第二志愿 B 第1专业 第2专业
第三志愿 C 第1专业 第2专业
【答案】D
3（江门市2010届3月质检理）展开式的第6项系数最大，则其常数项为（ C ）
A. 120 B. 252 C. 210 D. 45
4（深圳2010届一模理科）对任意的实数，有，则的值是（ B ）
A．3 B．6 C．9 D．2
5（宁德四县市中2010年4月一联理）若多项式，则（ 　　）
A．9 B．10 C． -9 D． -10
【解析】，题中故
6（福州市2010年3月质检理）设的展开式的常数项是（ B ） A．12 B．6 C．4 D．2
7（泉州市2010年3月质检理）已知，若对任意实数都有
则的值为 A
A． B． C． D．
二、填空题:
1（惠州市2010届三次调研理） HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 的展开式中含项的二项式系数为 .
【解析】因为，故时为展开式中含的项，该项的二项式系数为.
2．（龙岩市2010年第一次质检理）x2 (1－x) 6展开式中含x4项的系数为 。153 (2010年3月深圳市第一次调理)已知，
则= -8 ．
4（福州市2010年3月质检理）农科院小李在做某项实验中，计划从花生、大白菜、土豆、玉米、小麦、苹果这6种种子中选出4种，分别种植在四块不同的空地上（一块空地只能种一种作物），若小李已决定在第一块空地上种玉米或苹果，则不同的种植方案有 种（用数字作答）。1205(厦门市2010年3月质检理）2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2悠扬绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有 种。（用数字作答）24
6（龙岩市2010年第一次质检理） 现有5男5女共10个小孩设想做如下游戏：先让4个小孩（不全为男孩）等距离站在一个圆周的4个位置上，如果相邻两个小孩同为男孩或同为女孩，则在他（她）们中间站进一个男孩，否则站进一个女孩，然后让原来的4个小孩暂时退出，即算一次活动.这种活动按上述规则继续进行，直至圆周上所站的4个小孩都为男孩为止，则这样的活动最多可以进行 4 次。
7（泉州市2010年3月质检文）近几年来，在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏，游戏规则如下：　
①在的九宫格子中，分成个的小九宫格，用1，2，3
……，9这9个数字填满整个格子，且每个格子只能填一个数；
②每一行与每一列以及每个小九宫格里分别都有1，2，3，……
9的所有数字。
根据右图中已填入的数字，可以判断A处填入的数字是 。1
【核心预测】
1．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为（ ）
A．360 B．520 C．600 D．720
【答案】C
【解析】甲、乙两名同学只有一人参加时，有CCA=480；2）甲、乙两人均参加时，有CAA=120。共有600种，选C。
2．某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）
A． B．16 C．24 D．32
【答案】C
【解析】将三个人插入五个空位中间的四个空档中，有种排法．
3．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ）
A．1260 B．2025 C．2520 D．5040
【答案】C
【解析】C·C·A=2520.
4一排七个座位，甲、乙两人就座，要求甲与乙之间至少有一个空位，则不同的坐法种数是 （ ）
A．30 B．28 C．42 D．16
【答案】A
【解析】A－6A=30。故选A。
5设集合A={0,2,4}、B={1,3,5}，分别从A、B中任取2个元素组成无重复数字的四位数，其中能被5整除的数共有（ ）
A．24个 B．48个 C．64个 D．116个
【答案】C
【解析】(1)只含0不含5的有：CCA=12；(2)只含5不含0的有：CCA=12；(3)含有0和5的有：①0在个位时，有CCA=24；②5在个位时，有CCAA=16。共有12+12+24+16=64。选C。
6从中取一个数字，从中取两个数字，组成无重复数字的三位数，则所有不同的三位数的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从中取一个数字，从中取两个数字进行排列，然后在得到的排列中去掉首数字为的即满足题意，因此为所求
7身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ）
A．48种 B．72种 C．78种 D．84种
【答案】C
【解析】排除法：用五个人的全排列，除去相同颜色衣服的人相邻的情况：A－AAA－2 AAA=48。
8．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开了三个班．选课结束后，有四名选修英语的同学要求改修数学，但数学选修每班至多可再接收两名同学，那么安排好这四名同学的方案有（ ）
A．72种 B．54种 C．36种 D．18种
【答案】B
【解析】将四名同学分成三组：1，1，2，安排在三个数学班中：有 EQ \F(CC,2)A=36；２）分成两组2,2。安排在两个班里，有 EQ \F(CC,2)A=18。故一共有36＋18＝54种安排方案。
9 的展开式中的系数为（ ）
A．360 B．180 C．179 D．359
【答案】C
【解析】=，本题求的系数，只要求展开式中及的系数．，取得的系数为；的系数为= 1，因此所求系数为．
10．设展开后为，那么（ ）
A ．20 B．200 C．55 D．180
【答案】B
【解析】依题意，Tr+1= C错误！未定义书签。(2x)10-x，所以a1=10×2=20, a2=45×4=180,所以200，选择B；
11二项式（2－）6的展开式中，常数项是（ ）
A．20 B．－160 C．160 D．－20
【答案】B
【解析】设=为常数项，则=0， ，所以常数项为－160．
12设m、n是正整数，整式=（1－2x）+（1－5x）中含x的一次项的系数为－16，则含x项的系数是（ ）
A．－13 B．6 C．79 D．37
【答案】D
【解析】由题意得·（－2）+·（－5）=－16． 2m +5n=16．又 m、n是正整数， m=3、n=2．展开式中含x项的系数是·（－2）+·（－5）=12+15=37．
13的展开式中各项的二项式系数之和为( )
A.256 B.128 C.1 D.0
【答案】A
【解析】注意区分二项式系数和项的系数之间的区别．
14（x+1）（x－2）=a+a(x－1)+ a(x－1) +a(x－1) +…+a(x－1),则a+ a +a+…+ a的值为（ ）
A．0 B．2 C．255 D．－2
【答案】B
【解析】令x=1,得2×（－1）= a，令x=2,得（2+1）×0= a+ a+ a +a+…+ a，联立得：a+ a +a+…+ a=2
15．若，且，则（ ）
A.０ 　 B.１ 　C. 　　 D.
【答案】C
【解析】由=56，知，利用赋值法得C．
本卷第15页（共15页）2012考前90天突破——高考核心考点
专题九 立体几何
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读立体几何初步
　　（1）空间几何体　① 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.　② 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图.　③ 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.　④ 会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）.　⑤ 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.
　　（2）点、直线、平面之间的位置关系① 理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.　公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.　② 以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.　理解以下判定定理.如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.　如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.　如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直.
　　理解以下性质定理，并能够证明.　如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.　垂直于同一个平面的两条直线平行.　如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.③ 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
近几年考点分布立体几何在高考中占据重要的地位，通过近几年的高考情况分析，考察的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，是知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。高考对立体几何的考查侧重以下几个方面： 1．从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变 . 除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作——证——求”，强调作图、证明和计算相结合。2．从内容上来看，主要是：①考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题；②计算角的问题，试题中常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；③求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法；④简单的几何体的侧面积和表面积问题，解此类问题除特殊几何体的现成的公式外，还可将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；⑤体积问题，要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用。⑥三视图，辨认空间几何体的三视图，三视图与表面积、体积内容相结合。3．从能力上来看，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：①会画图——根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；②会识图——根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；③会析图——对图形进行必要的分解、组合；④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力。
【考点pk】名师考点透析
考点一、空间几何体的结构、三视图、直观图
例1：已知四棱锥的三视图如下图所示，其中主视图、侧视图是直角三角形，俯视图是有一条对角线的正方形.是侧棱上的动点．（Ⅰ）求证：（Ⅱ）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）若五点在同一球面上，求该球的体积.
(1)证明：由已知…2分,
又因为， ……4分
(2)连AC交BD于点O，连PO，由(1)知
则，为与平面所成的角. 8分
,则 …10分
(3)解：以正方形为底面，为高补成长方体，此时对角线的长为球的直径，
,.
【名师点睛】了解柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体的结构。能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图。能用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间几何体的三视图与直观图。了解空间几何体的不同表示形式。会画某建筑物的视图与直观图。
空间几何体的结构与视图主要培养观察能力、归纳能力和空间想象能力，能通过观察几何体的模型和实物，总结出柱、锥、台、球等几何体的结构特征；能识别三视图所表示的空间几何体，会用材料制作模型，培养动手能力。
考点二、空间几何体的表面积和体积
例2：已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主
视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视
图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形． (1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S
解: 由已知可得该几何体是一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD。(1)
(2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为
, 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,
AB边上的高为因此
【名师点睛】理解柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算方法，了解它们的侧面展开图，及其对计算侧面积的作用，会根据条件计算表面积和体积。理解球的表面积和体积的计算方法。
把握平面图形与立体图形间的相互转化方法，并能综合运用立体几何中所学知识解决有关问题。
考点三、点、线、面的位置关系
例3：如图1，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且＝＝，则（　　）
（A）EF与GH互相平行
（B）EF与GH异面
（C）EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上
（D）EF与GH的交点M一定在直线AC上
解：依题意，可得EH∥BD，FG∥BD，故EH∥FG，由公理2可知，E、F、G、H共面，因为EH＝BD，＝，故EH≠FG，所以，EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M，因为点M在EF上，故点M在平面ACB上，同理，点M在平面ACD上，即点M是平面ACB与平面ACD的交点，而AC是这两个平面的交线，由公理3可知，点M一定在 平面ACB与平面ACD的交线AC上。选（D）。
【名师点睛】理解空间中点、线、面的位置关系，了解四个公理及其推论；空间两直线的三种位置关系及其判定；异面直线的定义及其所成角的求法。
通过大量图形的观察、实验，实现平面图形到立体图形的飞跃，培养空间想象能力。会用平面的基本性质证明共点、共线、共面的问题。
考点四、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质
例4：在棱长为的正方体中,
是线段的中点,.(Ⅰ) 求证:；(Ⅱ) 求证:∥平面；(Ⅲ) 求三棱锥的体积.
解: (Ⅰ)证明：根据正方体的性质，……2分
因为，所以，又所以，，
所以∥平面…………10分
(Ⅲ)………12分
【名师点睛】掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定与性质定理，能用判定定理证明线面平行、面面平行，会用性质定理解决线面平行、面面平行的问题。
通过线面平行、面面平行的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。
考点五、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
例5：如图，已知⊥平面，∥，=2，且是的中点．
（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：平面BCE⊥平面； (III)求此多面体的体积．
解：（Ⅰ）取CE中点P，连结FP、BP，
∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP=
又AB∥DE，且AB=∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP． …3分
又∵AF平面BCE，BP平面BCE，
∴AF∥平面BCE ……5分
（Ⅱ）∵，所以△ACD为正三角形，
∴AF⊥CD∵AB⊥平面ACD，DE//AB∴DE⊥平面ACD又AF平面ACD∴DE⊥AF又AF⊥CD，CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE 8分又BP∥AF ∴BP⊥平面CDE又∵BP平面BCE∴平面BCE⊥平面CDE…10分
(III)此多面体是一个以C为定点，以四边形ABED为底边的四棱锥，，
等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高
【名师点睛】掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定与性质定理，能用判定定理证明线线垂直、线面垂直、面面垂直，会用性质定理解决线面垂直、面面垂直的问题。
通过线面垂直、面面垂直的证明，培养学生空间观念及及观察、操作、实验、探索、合情推理的能力。
考点六、空间中的夹角与距离
例6：如图，四面体ABCD中，O、E分别BD、BC的中点,
CA=CB=CD=BD=2（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点E到平面的距离.
本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所
成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
方法一：（I）证明：连结OC
在中，由已知可得 而 即 平面
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在中，
是直角
斜边AC上的中线， SKIPIF 1 < 0 EMBED Equation.DSMT4
异面直线AB与CD所成角的余弦值为
（III）解：设点E到平面ACD的距离为
在中，
而
SKIPIF 1 < 0 点E到平面ACD的距离为
方法二：（I）同方法一。
（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则
异面直线AB与CD所成角的余弦值为
（III）解：设平面ACD的法向量为则 令得是平面ACD的一个法向量。又 点E到平面ACD的距离
【名师点睛】空间中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为0°，90°、[0°，90°]和[0°，180°]。
（1）两条异面直线所成的角
求法：先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角
（2）直线和平面所成的角
求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”
（3）二面角的度量是通过其平面角来实现的
解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之，cos ＝，其中S 为斜面面积，S′为射影面积， 为斜面与射影面所成的二面角
空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。等体积法。
【金题热身】
11年高考试题及解析
1、（陕西文5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
（A） （B） （C） （D）
【解析】：由三视图可知该几何体为立方体与圆锥，立方体棱长为2，圆锥底面半径为1、高为2，所以体积为
故选A
2、（四川文6） ，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
（A）// （B）,//
（C）//// ，，共面（D），，共点，，共面
解析：若则有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对.虽然，
或共点，但是可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确. 答案：B
3、（浙江文4）若直线不平行于平面，且，则
(A) 内的所有直线与异面 (B) 内不存在与平行的直线
(C) 内存在唯一的直线与平行 (D) 内的直线与都相交
【解析】：直线不平行于平面，所以与相交，故选B
4、（全国文15）已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为
【解析】取的中点，为所求角，设棱长为2，则，
5、（全国文8、）已知直二面角，点为垂足，为垂足，若则到平面的距离等于
（A） （B） （C） （D）
【解析】如图，作于，由为直二面角，，
得平面，进而,又,,于是平面。故为到平面的距离。在中，利用等面积法得
6、（福建文15）.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于_________.
【解析】由于在正方体中,AB=2,所以AC=.又E为AD中点, EF∥平面AB1C，EF平面ADC,平面ADC平面AB1C=AC,所以EF∥AC,所以F为DC中点,所以EF==.
7、（广东文9）．如图1-3，某几何体的正视图（主视图），
侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、
等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）
A． B． C． D． 2
【解析】C.由题得该几何体是如图所示的四棱锥P-ABCD，
所以选择C.
8、（山东文、）.下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：
①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；
②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；
③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．
其中真命题的个数是
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
【答案】A
【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.
9、（浙江文7）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
【解析】：A，C与正视图不符，D与俯视图不符，故选B
10、（课标卷文8）.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，则相应的侧视图可以为（ ）
解析：D. 由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体，所以，左视图是D。
点评：本题考查三视图、直观图及他们之间的互化，同时也考查空间想象能力和推理能力，要求有扎实的基础知识和基本技能。
11、（湖南文４）.设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．　　　Ｂ． Ｃ．　　Ｄ．
解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，
其体积。答案：D
评析：本小题主要考查球与长方体组成的简单几何体的三视图以及几何体的体积计算.
12、（辽宁文 8）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为，
它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（ ）
（A）4 （B） （C）2 （D）
答案： B
解析：设正三棱柱的侧棱长和底面边长为a，则由，解得a=2，正三棱柱的左视图与底面一边垂直的截面大小相同，故该矩形的面积是。
13（北京文5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是
(A)32 (B)16+ (C)48 (D)
【答案】B
【解析】：由三视图可知几何体为底面边长为4，高为2的正四棱锥，则四棱锥的斜高为，表面积故选B。
14、（天津文10）. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 .
【解析】由三视图知,该几何体是由上、下两个长方体组合而成的,容易求得体积为4.
15、（安徽文8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（A） 48 (B)32+8 (C) 48+8 (D) 80
【命题意图】本题考查三视图的识别以及空间多面体表面积的求法.
【解析】由三视图可知几何体是底面是等腰梯形的直棱柱.底面等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，两底面积和为，四个侧面的面积为，所以几何体的表面积为.故选C.
【解题指导】：三视图还原很关键，每一个数据都要标注准确。
16、（江西文9）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）
【答案】D
【解析】左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案.
17、（四川文、理15）.如图，半径为4的球O中有一内接圆柱.
当圆柱的侧面积最大时，求球的表面积与圆柱的侧面积之差是 .
解析：设圆柱的底面半径是，母线为，则，
侧面积为.由，当且仅当，即，时等号成立，球的表面积为，圆柱的侧面积为，故所求答案为.
18、(全国文12、理11)已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成，二面角的平面截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为
(A) (B) (c) (D)
解：由圆的面积为得，
，在
故选D
19、（课标卷文16）.已知两个圆锥有公共的底面，且两个顶点和底面都在同一个球面上，如果圆锥的底面积是球面面积的，则这两个圆锥中，体积小的和体积大的对应高的比值是_________
解析：由已知得，又因为，球心到圆锥底面的距离，所以两圆锥的高的比为点评：此题考查旋转体的概念、性质及体积的计算，关键是要明确两圆锥的高于外接球半径的关系。
20、（辽宁文 10）已知球的直径SC=4。A.,B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为（ ）
（A） (B) (C) (D)
解析：取SC的中点D则D为球心，则AD=BD=DS=2。因为∠ASC=∠BSC=45°，所以∠SDB=∠SDA=900，即AD⊥SC,BD⊥SC,⊿ABD是等边三角形，故棱锥S-ABC的体积等于棱锥S-ABD和棱锥C-ABD的体积和，即。
21、（湖北文7）．设球的体积为V1,它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是
A. V1比V2大约多一半 B. V1比V2大约多两倍半
C. V1比V2大约多一倍 D. V1比V2大约多一倍半
答案：D
解析：设球半径为R，其内接正方体棱长为a，则，即由
，比较可得应选D.
解答题
1、（陕西文16）（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，
∠BAC=90°，AD，沿AD把是BC上的△ABD折起，使∠BDC=90°。（Ⅰ）证明：平面 ；（Ⅱ ）设BD=1，求三棱锥D—的表面积。
解（Ⅰ）∵折起前是边上的高，∴ 当折起后，
AD⊥，AD⊥，又＝，
∴AD，∵AD平面. ∴平面
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,,,
DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=,
，
三棱锥表面积：
2、（江苏16）、（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，
AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF‖平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
解析：简单考察空间想象能力和推理论证能力、线面平行和垂直的判定与性质，容易题。
（1）因为E、F分别是AP、AD的中点，
又直线EF‖平面PCD
（2） F是AD的中点，
又平面PAD⊥平面ABCD，
所以，平面BEF⊥平面PAD。
3、（四川文19）.（本小题共12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，
∠BAC=90°，AB=AC=A A1=1，延长A1C1至点,使C1= A1C1，
连结AP交棱C C1于点D.（Ⅰ）求证：P B1∥BDA1;
(Ⅱ)求二面角A- A1D-B的平面角的余弦值.
解析：（Ⅰ）连接AB1交A1B于E点.则AE=EB1.因为A1C1=C1P=AC，所以,故,，，,, ∴P B1∥BDA1.
(Ⅱ) 由题意,过B 作,连接，则,为二面角的平面角.在中，,
则.
4 、（广东文18）.如图5，在椎体中，
是边长为1的棱形，且,,
分别是的中点，（1） 证明：
（2）求二面角的余弦值。
【解析】
5、（山东文19）.（本小题满分12分）如图，在四棱台中，
平面，底面是平行四边形，，
，60°. （Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：.
【解析】（Ⅰ）证明：因为，所以设
AD=a,则AB=2a,又因为60°,所以在中,
由余弦定理得：,
所以BD=,所以,故BD⊥AD,又因为
平面，所以BD,又因为, 所以平面,故.
(2)连结AC,设ACBD=0, 连结,由底面是平行四边形得:O是AC的中点,由四棱台知:平面ABCD∥平面,因为这两个平面同时都和平面相交,交线分别为AC、，故，又因为AB=2a, BC=a, ，所以可由余弦定理计算得AC=，又因为A1B1=2a, B1C1=, ，所以可由余弦定理计算得A1C1=，所以A1C1∥OC且A1C1=OC，故四边形OCC1A1是平行四边形，所以CC1∥A1O，又CC1平面A1BD，A1O平面A1BD，所以.
6、（全国文20）(本小题满分12分)如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.
同理可证
（Ⅱ）过做平面，如图建立空间直角坐标系，
可计算平面的一个法向量是，
所以与平面所成角为
7、（浙江文20）（本题满分14分）如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上.
（Ⅰ）证明：⊥；（Ⅱ）已知，
，，.求二面角的大小.
【解析】：：（Ⅰ）
（Ⅱ）在平面内作得平面，所以，
在中，得
在中，，
在中，
所以得，在中，得
又从而故
同理，因为所以即二面角的大小为
8、（课标卷文18）. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，，，（1）证明：;
(2) 设求棱D-PBC锥的高.
分析：利用垂直的判定与性质证明并计算。
解：(1)证明：在三角形ABD中，因为
该三角形为直角三角形，所以
,
（2）如图，作，，
又，
由题设知而,即所求高为
点评：该题考查空间的垂直与平行关系的证明，要有一定的空间想象能力、推理论证能力。
9、（湖南文19）．（本题满分12分）如图3，在圆锥中，已知的直径
的中点．（I）证明：
（II）求直线和平面所成角的正弦值．
解析：（I）因为
又内的两条相交直线，所以
（II）由（I）知，又所以平面在平面中，过作则连结，则是上的射影，所以是直线和平面所成的角．
在，在
10、（湖北文18）. 如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且.(Ⅰ)求证：(Ⅱ)求二面角的大小.
本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力.
解析：（1）由已知可得
于是有所以又所以平面CEF.由CEF，故CF
（2）在△CEF中，由（1）可得于是有所以CF⊥EF.
又由（1）知，且，所以CF⊥平面C1EF.又平面C1EF，故CF⊥C1F.于是∠EFC1即为二面角E-CF-C1的平面角.由（1）知△CEF是等腰直角三角形，所以∠EFC1=450，即所求二面角E-CF-C1的大小为450.
11、（福建文20）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，
点E在线段AD上，且CE∥AB。（Ⅰ）求证：CE⊥平面PAD；（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积
【解析】(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CE平面ABCD,所以PA⊥CE,
因为AB⊥AD,CE∥AB,所以CE⊥AD,又PAAD=A,所以CE⊥平面PAD.
(2)解:由(1)可知CE⊥AD,在直角三角形ECD中,DE=CD,CE=CD.
又因为AB=CE=1,AB∥CE,所以四边形ABCE为矩形,所以
==,又PA⊥平面ABCD,PA=1,
所以四棱锥P-ABCD的体积等于.
【命题立意】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.
12、（辽宁文18）（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD。
（I）证明：PQ⊥平面DCQ；（II）求棱锥Q-ABCD的体积与棱锥P-DCQ的体积的比值。
解析：（I）由条件知，PDAQ是直角梯形，
因为AQ⊥平面ABCD,所以平面PDAQ⊥平面ABCD,交线是AD。
又四边形ABCD是正方形，DC⊥AD,所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC。
在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD.所以PQ⊥平面PCQ.
（II）设AB=a。由题设知AQ为棱锥Q-ABCD的高，所以棱锥Q-ABCD的体积。
由（I）知PQ为棱锥P-QCD的高，而PQ=a，⊿DCQ的面积为a2，
所以棱锥P-DCQ的体积，故棱锥Q-ABCD的体积和棱锥P-DCQ的体积的比值为1.
13、（北京文17）（本小题共14分） 如图，在四面体中，点分别是棱的中点。（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：四边形为矩形；（Ⅲ ）是否存在点，到四面体六条棱的中点的距离相等？说明理由。
【解析】：证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE//PC。又因为DE平面BCP，所以DE//平面BCP。
（Ⅱ）因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，
所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。所以四边形DEFG为平行四边形，
又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG，所以四边形DEFG为矩形。
（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：连接DF，EG，设Q为EG的中点
由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。
与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，且QM=QN=EG，所以Q为满足条件的点.
14、（天津文17）.（本小题满分13分）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,为PD的中点.(Ⅰ)证明PB∥平面;(Ⅱ)证明AD⊥平面PAC;(Ⅲ)求直线与平面ABCD所成角的正切值.
【解析】(Ⅰ)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点,又M为PD的中点,所以PB∥MO,因为PB平面,平面,所以PB∥平面.
(Ⅱ)证明:因为,AD=AC=1,所以AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD平面ABCD,所以PO⊥AD,而,
所以AD⊥平面PAC.
(Ⅲ)取DO点N,连接MN,AN,因为M为PD的中点,所以MN∥PO,且MN=PO=1,由PO⊥平面ABCD,得
MN⊥平面ABCD,所以是直线AM与平面ABCD所成的角.在中,AD=1,AO=,所以,从而.在中, ,即直线与平面ABCD所成角的正切值为.
【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
15、（安徽文19）（本小题满分13分）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，,△，△，△都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线∥；（II）求棱锥F-OBED的体积。
【命题意图】：本题考察空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考察空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力。
（1）【证法一】： 同理可证，
【证法二】：设G是线段DA与EB延长线的交点，
，同理设是线段DA与FC延长线的交点，有，又G与都在线段DA的延长线上，所以G与重合。又 和 ,可知B和C分别是线段GE和GF的中点，
【证法三】：（向量法）略
（2）【解析】：由OB=1，OE=2，,得，而是边长为2的正三角形，故，所以过点F作FQ⊥DG，交DG于Q点，由于平面ABED⊥平面ACFD，所以FQ⊥平面ABED所以FQ就是棱锥F-OBED的高，且,
所以
【解题指导】：空间线线、线面、面面位置关系的证明方法，一是要从其上位或下位证明，本题的第一问方法一，是从其上位先证明面面平行，再借助面面平行的性质得到线面平行，再借助线面平行的性质得到线线平行；二是借助中位线定理等直接得到；三是借助空间向量直接证明。求不规则的几何体体积或表面积，通常采用分割或补齐成规则几何体即可。求解过程要坚持“一找二证三求”的顺序和原则防止出错。
16、（江西文18）如图，在
交AC于 点D,现将
（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为
【解析】（1）设，则
令,则
单调递增 极大值 单调递减
由上表易知：当时，有取最大值.
(2)证明：作得中点F，连接EF、FP,由已知得：,为等腰直角三角形，,所以.
17、（重庆文20）．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）如题（20）图，在四面体中，平面ABC⊥平面， （Ⅰ）求四面体ABCD的体积； （Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。
解法一：（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F，
故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF
是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，
则由AC=AD，知AG⊥CD，从而
由
故四面体ABCD的体积
（II）如答（20）图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE。由（I）知DF⊥平面ABC。由三垂线定理知DE⊥AB，故∠DEF为二面角C—AB—D的平面角。
在
在中，EF//BC，从而EF：BC=AF：AC，所以
在Rt△DEF中，
解法二：（I）如答（20）图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM。因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系O—xyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，—1，0），C（0，1，0）。 设点B的坐标为，有
即点B的坐标为 又设点D的坐标为有
即点D的坐标为从而△ACD边AC上的高为
又
故四面体ABCD的体积
（II）由（I）知
设非零向量是平面ABD的法向量，则由有
（1）由，有 （2）
取，由（1），（2），可得
显然向量是平面ABC的法向量，从而
即二面角C—AB—D的平面角的正切值为
【核心突破】
2011年名校模拟题及其答案
1、（2011届·江西白鹭洲中学高三期中（文））4．已知m、n为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列四个命题中，错误的命题个数是（ A ）
①；②若
③； ④
A．1 B．2 C．3 D．4
2、（2011届·温州十校联合体高三期中（理））6．设是三个不重合的平面，是不重合的直线，下列判断正确的是(D )
A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
3、（2011届 温州十校联合期中（理））12．一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 ▲ ．2
4、（2011届·福州三中高三期中（理））6．m、n表示直线，表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ B ）
（1） （2）
（3） （4）
A．（1）、（2） B．（3）、（4） C．（2）、（3） D．（2）、（4）
5、（2011届·安徽省河历中学高三期中（理））5、三棱锥S—ABC中，SA⊥底面ABC，SA=4，AB=3，D为AB的中点∠ABC=90°，则点D到面SBC的距离等于 （ C ）
A． B． C． D．
6、（2011届 安徽省河历中学高三期中（理））6．空间四条直线a，b，c，d，满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，d⊥a，则必有 （ C ）
A．a⊥c B．b⊥d C．b∥d 或a∥c D．b∥d 且a∥c
7、（2011届 安徽省河历中学高三期中（文））8．设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是 （ C ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8、（2011届 安徽省河历中学高三期中（文））10．如图，已知球为棱长为1的正方体的
内切球，则平面截球的截面面积为（ A ）
A． B． C． D．
9、（2011届·台州中学高三期中（文））4．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为 （D）
A． B． C． D．3
10、（2011届 台州中学高三期中（文））6.如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为。则该几何体的俯视图可以是
答案：C
11、（2011届·嵊州一中高三期中（文））8.已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题 ①若，则 ②若
③若 ④若
其中正确命题的个数是 ( D )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12、（2011届·双鸭山一中高三期中（理））6.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （ B ）
（A）若，，则 （B）若，，则
13、（2011届 双鸭山一中高三期中（理））10．过正方体的顶点A作直线，使与棱AB，AD，
所成的角都相等，这样的直线可以作 ( D )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
14、（2011届 双鸭山一中高三期中（理））16．如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，分别经过三条棱，，作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，，则，，的
大小关系为 ．
15、（2011届·唐山一中高三期中（文））15．已知S、A、B、C是球O表面上的四个点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC， SA=2,AB=BC=，则球O的表面积为_______．
答案：三棱锥S—ABC是长方体的一角，它的外接球的直径和该长方体的外接球的直径相同．2R=，R=．
16、（2011届 安徽省河历中学高三期中（文））14．一个三棱锥的三视图如图所示，其正视图、
左视图、俯视图的面积分别是1， 2，4，
则这个几何体的体积为______4/3_____________。
17、（2011届 安徽省河历中学高三期中（理））11．已知正四面体的俯视图如左图所示,其中四边形是边长为2cm的正方形，则这个四面体的主视图的面积为 cm2
18、（2011届 温州十校联合体高三期中（理））16．如图，已知直线之间的一定点，并且A到之间的距离分别为3和2，B是直线上一动点，作且使AC与直线交于点C，则的面积的最小值是 ▲ 6
19、（2011届 温州十校联合体高三期中（理））下列四个命题：①圆与直线相交，所得弦长为2；②直线与圆恒有公共点；③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为108；④若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为其中，正确命题的序号为 (2) (4) 写出所有正确命的序号）
20、（2011届 江西白鹭洲中学高三期中（文））8．某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的表面积为（ B ）
A． B． C． D．12
21、（2011届 江西白鹭洲中学高三期中（文））9. 已知，与的夹角为，则以 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是（ A ）.
A.15 B. C. 4 D.
22、（2011届 安徽省河历中学高三期中（理））12．如图,在三棱锥中, 、、两两垂直,且．设是底面内一点,定义,其中、、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积．若,且恒成立,则正实数的最小值为_ 1
23、（2011届 江西白鹭洲中学高三期中（文））19. （本小题满分12分）如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长是2，D是棱BC的中点，点M在棱BB1上，且BM=B1M，又CMAC1. （Ⅰ）求证：A 1B//平面AC1D；（Ⅱ）求三棱锥B1-ADC1体积.
连接,交于点连接,则是的中位线，,又,.
在正三棱锥中，的中点，则,从而,又,则内的两条相交直线都垂直，,于是,则与互余，则与互为倒数，易得， 连结，,,三棱锥的体积为.
方法：以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，设，则,,,,，， ，，，，设平面的法向量，则，
，,，.平面的法向量为，点到平面的距离，..
24、（2011届 温州十校联合体高三期中（理））20（本小题满分14分） 已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点．
（I）求证：EF平面PAD；（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小；
解：方法1：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，，
∴平面PAD，……（4分）
∵E、F为PA、PB的中点，∴EF//AB，∴EF平面PAD；（6分）
（II）解：过P作AD的垂线，垂足为O，
∵，则PO 平面ABCD．
取AO中点M，连OG，,EO,EM, ∵EF //AB//OG,
∴OG即为面EFG与面ABCD的交线…………（8分）
又EM//OP,则EM平面ABCD．且OGAO,
故OGEO ∴ 即为所求（11分）
，EM＝ＯＭ＝１∴tan＝
故 ＝
∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是 （14分）
方法2：（I）证明：过P作P O　AD于O，∵，
则PO 平面ABCD，连OG，以OG，OD，OP为x、y、z轴建立空间坐标系，………（2分）
∵PA＝PD　，∴，
得，
，（4分）
故，
∵，∴EF　平面PAD； ……（6分）
（II）解：，
设平面EFG的一个法向量为
则， ， …………（11分）
平面ABCD的一个法向量为……（12分）
平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值是：，锐二面角的大小是；………（14分）
25、（2011届 台州中学高三期中（文））如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
E是BC的中点．
（1）求异面直线AE与A1C所成的角；
（2）若G为C1C上一点，且EG⊥A1C，试确定点G的位置；
（3）在（2）的条件下，求二面角C-AG-E的正切值．
解：（1）取B1C1的中点E1，连A1E1，E1C， 则AE∥A1E1，∴∠E1A1C是异面直线A
与A1C所成的角。设，则
中， 。
所以异面直线AE与A1C所成的角为。 -------5分
（2）．由（1）知，A1E1⊥B1C1, 又因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱
⊥BCC1B1,又EG⊥A1C CE1⊥EG．∠=∠GEC
~ 即得所以G是CC1的中点 --- --9分
（3）连结AG ,设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q,连EP,EQ,则EP⊥A C．
又平面ABC⊥平面ACC1A1 EP⊥平面ACC1A1
而PQ⊥AG EQ⊥AG．∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．
由EP=a,AP=a,PQ=,得
所以二面角C-AG-E的平面角正切值是 ------14分
26、（2011届 台州中学高三期中（理））19．（本小题满分14分）如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小；
（III）求点E到平面ACD的距离．
方法一：（I）证明：连结OC
EMBED Equation.DSMT4 在中，
由已知可得而
即
平面
（II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在中，
是直角斜边AC上的中线，
异面直线AB与CD所成角的大小为
（III）解：设点E到平面ACD的距离为
在中，
而
点E到平面ACD的距离为
方法二：（II）：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则
异面直线AB与CD所成角 的大小为
（III）解：设平面ACD的法向量为则
令得是平面ACD的一个法向量。
又 点E到平面ACD的距离
27、（2011届 嵊州一中高三期中（文））19．（本题14分）
如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥ABCD，四边形ABCD是矩形.
E、F分别是AB、PD的中点.若PA=AD=3，CD=.
（I）求证：AF//平面PCE；（II）求点F到平面PCE的距离；
（III）求直线FC与平面PCE所成角的大小.
解法一： （I）取PC的中点G，连结EG，FG，又由F为PD中点，
则FG//.又由已知有
∴四边形AEGF是平行四边形.
平面PCE，EG
…5分 （II）
.………10分
（III）由（II）知
…14分
解法二：如图建立空间直角坐标系，A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（，0，0），F（0，，），C（，3，0）……2分
取PC的中点G，连结EG， 则
………6分
（II）设平面PCE的法向量为
10分
（III），
直线FC与平面PCE所成角的大小为.…………14分
28、（2011届 唐山一中高三期中（文））（本题满分12分）已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD．异面直线PB与CD所成的角为45°．求：（1）二面角B—PC—D的大小；（2）直线PB与平面PCD所成的角的大小．
解：（1）∵AB∥CD，∴∠PBA就是PB与CD所成的角，即∠PBA=45°
于是PA=AB．作BE⊥PC于E，连接ED，
在△ECB和△ECD中，BC=CD，CE=CE，
∠ECB=∠ECD， △ECB≌△ECD，∴∠CED=∠CEB=90°∠BED就是二面角B—PC—D的
平面角．……4分
设AB=a，则BD=PB=，PC=，
BE=DE=, cos∠BED=,∠BED=120°二面角B—PC—D的大小为120°； …6分
（2）还原棱锥为正方体ABCD—PB1C1D1，作BF⊥CB1于F,
∵平面PB1C1D1⊥平面B1BCC1， ∴BF⊥平面PB1CD,……8分
连接PF,则∠BPF就是直线PB与平面PCD所成
的角． 10分BF=,PB=,sin∠BPF=,∠BPF=30°．
所以就是直线PB与平面PCD所成的角为30°．……12分
注：也可不还原成正方体,利用体积求出点B到平面PCD的距离，或用向量法解答．
2010年名校模拟题及其答案
一、选择题1．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）设表示三条直线，、表示两个平面，下列命题中不正确的是（ D ）
A． B．
C． D．
2．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）一个正三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的全面积为（ B ）
A． B． C． D．
3．（山东省青岛市2010届高三一模）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是直线和直线，给出下列四个命题： ①⊥⊥； ②⊥⊥；
③与相交与相交或重合； ④与平行与平行或重合；
其中不正确的命题个数是（ D ）
A. B. C. D.
4．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题）一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为（ B ）
A．24㎝3 B．48㎝3 C．32㎝3 D．28㎝3
5．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题）下列命题中为真命题的是 （ D ）
A．若
B．“是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．直线为异面直线的充要条件是直线不相交
D．若命题，则命题的否定为：“”
6．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟理科）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ D ）
A．1 B．
C． D．
7．（山东省东营市2010届高三一轮教学质量检测数学试题）
用单位正方体搭几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，
则符合条件的几何体体积的最小值与最大值分别是（ D ）
A．9，13 B．7，16
C．10，15 D．10，16
8．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题）已知直线，给出下列四个命题：
①若 ②若
③若 ④若
其中正确命题的个数是（ C ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题文科）如图，下列四个几何体中，它们的三视图（正视图、侧视图、俯视图）有且仅有两个相同的是 ( C )
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（4）
10．（山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题文科）如果直线与平面，满足：和，那么必有( B )
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
11. (山东省济南外国语学校2010年3月高三质量检测文）已知相异直线，和不重合平面，则∥的一个充分条件是 （ C ）
∥,∥ ∥，∥，∥
⊥，⊥，∥ ⊥，⊥，∥
12. （山东省日照市2010年3月高三一模）已知直线平面且给出下列四个命题：
①若则②若则③若则④若则
其中真命题是（ C ）
(A)①② (B)①③ (C)①④ (D)②④
13.（山东省日照市2010年3月高三一模）某器物的三视图如图所示，根据图中数据可知该器物的表面积为（ C ）
(A) (B) (C) (D)
14．（湖北省八校2010 届 高 三 第 二 次 联 考文科）等边三角形ABC的三个顶点在一个半径为1的球面上，A、B两点间的球面距离为，则的外接圆的面积为 （ C ）
A． B．2 C． D．
15．（湖北省襄樊市2010年3月高三调研统一测试文科）以下四个命题中的假命题是 （ B ）
A．“直线是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”
B．两直线“a//b”的充要条件是“直线a、b与同一平面所成角相等”
C．直线“”的充分不必要条件是“a垂直于b所在平面”
D．“直线a//平面”的必要不充分条件是“直线a平行于平面内的一条直线”
16．（湖北省武汉市2010年高三二月调研测试文理科）若直线a不平行于平面a，则下列结论成立的是 （ C ）
A．a内的所有直线均与直线a异面 B．a内不存在与a平行的直线
C．直线a与平面a有公共点 D．a内的直线均与a相交
17．（湖北省武汉市2010年高三二月调研测试文理科）将长宽分别为3和4的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，得到四面体A—BCD，则四面体A—BCD的外接球的表面积为 （ A ）
A．25π B．50π C．5π D．10π
二、填空题:
1．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），其中正视图是直角梯形，侧视图和府视图都是矩形，则这个几何体的体积是 cm3.
2．（山东省泰安市2010年3月高三第一次模拟）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积为 。
3．(山东省济南外国语学校2010年3月高三质量检测）已知一个几何体的三视图（单位：cm）如右图所示，则该几何体的侧面积为 80 _____cm.
三、解答题
1．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）（本小题满分12分）
如图：已知正方体ABCD—A1B1C1D1，过BD1的平面分别交棱AA1和棱CC1于E、F两点。
（1）求证：A1E=CF；
（2）若E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点，求证：平面EBFD1⊥平面BB1D1。
解：（1）由题知，平面EBFD1与平面BCC1B1交于
BF、与平面ADD1A交于ED1 …………1分
又平面BCC1B1//平面ADD1A1
∴D1E//BF …………2分
同理BE//D1F ………………3分
∴四边形EBFD1为平行四边形
∴D1E=BF ………………4分
∵A1D1==CB，D1E=BF，∠D1A1E=∠BCF=90°
∴≌Rt△CBF
∴A1E=CF ………………6分
（2）∵四边形EBFD1是平行四边形。AE=A1E，FC=FC1，
∴Rt△EAB≌Rt△FCB，
∴BE=BF，故四边形EBFD1为菱形。 ………………8分
连结EF、BD1、A1C1。∵四边形EBFD1为菱形，∴EF⊥BD1，
在正方体ABCD—A1B1C1D1中，有B1D1⊥A1C1，B1D⊥A1A
∴B1D1⊥平面A1ACC1。 ………………10分
又EF平面A1ACC1，∴EF⊥B1D1。又B1D1∩BD1=D1，
∴EF⊥平面BB1D1。
又EF平面EBFD1，故平面EBFD1⊥平面BB1D1。 ………………12分
2. （山东省青岛市2010届高三一模文科）（本小题满分12分）
如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的
直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，是
的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三
角形，有关数据如图所示.
(Ⅰ)求出该几何体的体积。
(Ⅱ)若是的中点，求证：平面；
(Ⅲ)求证：平面平面.
解：(Ⅰ)由题意可知：四棱锥中，
平面平面，
所以，平面………………………2分
又，
则四棱锥的体积为：…………4分
(Ⅱ)连接，则
又，所以四边形为平行四边形，…………6分
平面,平面,
所以，平面；………………………8分
(Ⅲ) ,是的中点,
又平面平面
平面………………………10分
由(Ⅱ)知：
平面
又平面
所以，平面平面.………………………12分
3．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题文科）（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC，AB=2BC，AC=AA1=BC。 （1）证明：平面AB1C1； （2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE//平面AB1C1？
若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由。
证明：（1），
为直角三角形且从而BCAC。
又AA1平面ABC，BCCC1 2分
从而BC面ACC1A1，BCA1C，B1C1A1C 4分
侧面ACC1A1为正方形，
又B1C1∩AC1=C1面AB1C1 6分
（2）存在点E，且E为AB的中点 8分
下面给出证明：取BB1的中点F，连接DF，则DF//B1C1。
AB的中点为E，连接EF，则EF//AB1。B1C1与AB1是相交直线，
面DEF//面AB1C1 10分而面DEF，DE//面AB1C1 12分
4．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟文科试题）（本小题满分12分）
如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，PA⊥AD，且PA=AD=2，
E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点。（1）求证：BC//平面EFG；
（2）求三棱锥E—AFG的体积。
证明：（1）分别是线段PA、PD的中点，
…………2分
又∵ABCD为正方形，
∴BC//AD，∴BC//EF。 …………4分
又平面EFG，EF平面EFG，
∴BC//平面EFG …………6分
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，即GD⊥平面AEF。 …………8分
又∵EF//AD，PA⊥AD，
∴EF⊥AE。 …………10分
又
…………12分
5．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题文）（本小题满分12分）
如图，在直角梯形ABEF中，将DCEF沿CD折起，使，得到一个空间几何体。（1）求证：BE//平面ADF； （2）求证：AF⊥平面ABCD；
（3）求三棱锥E—BCD的体积；
解（1）由已知条件可知BC//AD，CE//DF，折叠之后平行关系不变
又因为平面ADF，平面ADF，
所以BC//平面ADF；同理CE//平面ADF。
又平面BCE，
平面BCE//平面ADF。∴BE//平面ADF。 …………4分
（2）由于
即
平面ABCD。…………8分
（3）平面EBC，
又
……12分
【核心预测】
一、选择题
1.正三棱锥的底面周长为6，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
.解析：选D.由正三棱锥的性质，它的侧棱长为，且两两垂直，所以其体积为，故选D.
2.一个圆柱的轴截面为正方形，其体积与一个球的体积比是3：2，则这个圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为（ ）
A. 1:1 B . C . D. 3:2
解析：选A.设圆柱的底面半径为，球的半径为，由于圆柱的轴截面为正方形，因此圆柱的母线长为，所以,即,故选A.
3.已知两条不同的直线、，两个不同的平面、，则下列命题中的真命题是
若，，，则
B．若，∥，，则
C．若∥，∥，∥，则∥
D．若∥，，，则∥
解析：选A. A对，在B中有m与n不垂直的情况，在C中，还有m与n相交、异面的情况，在D中，还有m与n相交、异面的情况，故选A.
4、圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（ ）
A. B.18 C. D. 9
解析：选B.设截面等腰三角形的顶角为，
则截面面积为，因为，
所以，故选B.
5、某个数学活动小组为了测量学校操场上国旗旗杆DC的高度，在旗杆的正西方向的点A测得旗杆顶端D的仰角为30度，沿点A向北偏东60度前进18米到达B点，测得旗杆顶端D的仰角为45度，经目测AB小于AC,则旗杆的高度为（ ）
A.9米 B.16米 C.18米 D.9米或18米
解析：选C.如图，设,则，
,所以在中，
应用余弦定理得
，
解这个方程得，当时，,与已知矛盾，故舍去. 当时符合题意，所以选C.
6、如图是一个六棱柱的三视图，俯视图是一个周长为3的正六边形，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，那么这个球的体积为（ ）
A B C D
解析：选B.这是一个正六棱柱，上下两个底面的中心连线的中点就是球心，因为六棱柱的高为，所以球心到底面的距离为.因为底面正六边形的周长为3，所以底面正六边形的边长为，即底面外接圆的半径为，由球的截面性质得球半径，所以这个球的体积为,故选B.
7.等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A—MNCB的体积为 （ ）
A、 B、 C、 D、3
解析：选 A.在平面图中，过A作AL⊥BC，交MN于K，交BC于L.则AK⊥MN，KL⊥MN.
∴∠AKL是面AMN与面MNCB所成的二面角的平面角，即有∠AKL＝30°.
则四棱锥A—MNCB的高h＝＝.
＝.∴ ＝.故选 A.
8．由棱长为2的正方体表面的六个中心为顶点构成的新几何体的体积为（ ）
A.2 B.4 C. D.
解析：选D．构成的几何体是两个有公共底面的正四棱锥，它的底面边长为，高为1，所以一个正四棱锥的体积为，新几何体的体积为，故选D.
9.设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线．给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若，则,其中真命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4?
解析：选B.①也有相交的情况；②要保证相交，才有；③由面面平行的性质定理可知正确；④因，同样，从而，故④对．故选B．
10.矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E、F分别为AB、CD的中点，沿EF把BCFE折起后与ADFE垂直，P为矩形ADFE内一动点，P到面BCFE的距离与它到点A的距离相等，设动点P的轨迹是曲线L，则曲线L是（ ）
圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.双曲线的一部分
解析：选C.如图，过点P作PQ垂直于FE，则PQ垂直于平面BCFE，所以PQ=PA，
所以动点P的轨迹（即曲线L）为以A为焦点，以FE为准线的抛物线在矩形内的部分,故选C.
二、填空题
11.如图是一个几何体的三视图，俯视图是顶角为120度的等腰三角形，
则这个几何体的表面积为 .
解析：根据三视图的知识，这个几何体是底面边长分别为的等腰三角形，
高为2的直三棱柱.它的侧面积是，
其一个底面的面积为，
所以这个三棱柱的表面积为.
答案：
12用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，
放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图，则它的最高点到桌面的距离为 .
解析：要抓住两点：1.半圆纸片的半径成了圆锥的母线，2.半圆弧长成了圆锥的底面周长.设圆锥的底面半径为，母线为，则，，所以轴截面顶角的一半为，轴截面为正三角形，故圆锥的最高点离桌面的距离为厘米.答案：厘米
13在一个棱长为6厘米的密封正方体盒子中，放一个半径为1厘米的小球，任意摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间为G,则这个正方体盒子中的一点属于G的概率为 .
解析：在正方体盒子中，不能到达的八个角的空间即为图一中的内切于正方体的小球不能到达的空间，其体积为.小球沿每条棱运动不能到达的空间（除去两端的两个角）的体积，即为高为4的一个正四棱柱的体积与其内接圆柱体积差的四分之一（如图二），
即，正方体有12条棱，所以在盒子中小球不能到达的空间G的体积为，又正方体盒子的体积为63=216，所这以个正方体盒子中的一点属于G的概率为.答案：
14等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于
解：设，作，则，为二面角的
平面角，结合等边三角形与正方形可知此四棱锥为正四棱锥，则，
,故所成角的余弦值
15直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的高，则AB是BD与BC的等比中项.请利用类比推理给出：三棱锥P-ABC中，侧棱PA、PB、PC两两垂直，点P在底面上的射影为O，则 .
解析：连接CO，并延长交AB于D，连接PD，则PD⊥PC,CD⊥AB,所以PD2=DO×DC,所以.即三角形PAB的面积是三角形AOB的面积与三角形ABC的面积的等比中项.答案：三角形PAB的面积是三角形AOB的面积与三角形ABC的面积的等比中项.
三、解答题
16如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD.底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC.PA=AB=BC,点E在棱PB上，且PE=2EB.
(1)求证：平面PAB⊥平面PCB； (2)求证：PD∥平面EAC.
∴PD∥EM,又EM在平面EAC内，∴PD∥平面EAC.
17.在△ABC中，AB=CA=6，BC=8，点D、E、F分别是BC、AB、CA的中点，以三条中位线为折痕，折成一个三棱锥P-DEF，点M,N分别是PD,EF的中点.(1)求证:MN⊥PD,MN⊥EF；(2)求这个三棱锥P-DEF的体积.
解析:(1)连接DN、NM、PN，
因为DF=DE,PF=PE，所以PN⊥EF，DN⊥EF，PN=DN=，又PNDN=N，所以EF⊥平面PDN，所以EF⊥MN，PD⊥MN.
(2)由（1）知EF⊥平面PDN，在直角三角形PMN中，PM=2，PN =，由勾股定理得MN=1,所以△PDN的面积为，所以这个三棱锥P-DEF的体积.
18.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1=AD=1,点E,F,G分别是棱AA1、C1D1、BC的中点.(1)在直线A1D1上是否存在点Q，使得EQ∥平面FB1G；(2)求四面体EFGB1的体积.
解析：(1)如图取AD的中点M,连接A1M，则A1M∥B1G,
所以EQ∥平面FB1G的充要条件是A1M∥EQ，延长QE交AD于点N，因为E为AA1中点，所以N为AM的中点，所以4A1Q=AD,
所以在线段D1A1延长线上存在点Q，使得EQ∥平面FB1G；
(2)由(1)知
如图,,
所以.
19.如图是三棱柱ABC-A1B1C1的三视图，正（主）视图和俯视图都是矩形，侧（左）视图为等边三角形，D为AC的中点. (1)求证：AB1∥平面BDC1；(2)设AB1垂直于BC1，BC=2,求这个三棱柱的表面积.
解析：(1)由三视图画出直观图，如图，
这是一个正三棱柱，连接BC1和B1C，交点为O,则O为B1C的中点，
连接OD,因为D为中点，所以OD∥AB1,又OD在平面BDC1内，AB1不在平面BDC1内，所以AB1∥平面BDC1.
(2)过A作AF⊥BC,垂足为F,连接B1F，因为侧面垂直于底面，所以AF⊥侧面BCC1B1，所以AB1在侧面BCC1B1内的射影为B1F，因为AB1垂直于BC1，所以BC1⊥B1F，RtB1BF∽RtBCC1,B1B:BC=BF:C1C,所以B1B2=BC×BF=2，所以侧棱,所以表面积为.
20如图，平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=3. (1)求证：AC⊥BF； (2)求四面体BDEF的体积.
解析：(1)如图，
在ABC中，∵AB=1，BC=2，∠ABC=60°，
∴由余弦定理得=，
∴,∴∠BAC=90°，即AC⊥AB.
又在矩形ACEF中，AC⊥AF，且AFAB=A, ∴AC⊥平面ABF，
又∵BF平面ABF，∴AC⊥BF.
(2)设AC、BD交于点O,连接EO,FO,ED,EB,∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACEF平面ABCD=AC,FA⊥AC，∴FA⊥平面ABCD，又BA⊥AC，所以BA⊥平面ACEF,所以.
21.如图，AB为圆O的直径，点E,F在圆上，已知AB∥EF，AB=BC=4,AE=EF=BF=2，AD=2，直角梯形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直.
(1)求证：平面CBE⊥平面DAE；(2)在DB上是否存在一点G，使GF∥平面DAE 若不存在，请说明理由；若存在，请找出这一点，并证明之.
20.解析：(1)如图，
连结BE，因为四边形ABCD是直角梯形，所以AD⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABFE，所以AD⊥平面ABFE,所以AD⊥BE.因为AB为圆O的直径，所以AE⊥BE，又AEAD=A，所以BE⊥平面DAE.
又BE平面CBE，所以平面CBE⊥平面DAE.
(2)存在，点G是BD的中点.
证明：连结OG，OF,GF,则OG∥AD,又因为OG平面DAE,所以OG∥平面DAE,因为AB∥EF，AO=AB=2,EF=2,所以四边形AOFE是平行四边形，所以OF∥AE,又OF平面DAE，所以OF∥平面DAE，又OGOF=O,所以平面OGF∥平面DAE,所以GF∥平面DAE.
A
图1
A
B
C
D
E
F
(第5题图)
第8题图
E
A
B
C
2
3
第13题
M
HYPERLINK "http://www." EMBED PBrush
（1）棱长为2的正方体
（2）底面直径和高均为2的圆柱
（4）长、宽、高分别为2、3、4的长方体
（3）底面直径和高均为2的圆锥
侧视图
俯视图
直观图2012考前90天突破——高考核心考点
专题二 函数
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读（1）函数　① 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.③ 了解简单的分段函数，并能简单应用.④ 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.⑤ 会运用函数图像理解和研究函数的性质.
（2）指数函数　① 了解指数函数模型的实际背景.　② 理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.③ 理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点.④ 知道指数函数是一类重要的函数模型.
（3）对数函数　① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.② 理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点.　③ 知道对数函数是一类重要的函数模型；④ 了解指数函数 与对数函数互为反函数（）.
（4）幂函数　① 了解幂函数的概念.　② 结合函数，的图像，了解它们的变化情况.
（5）函数与方程　① 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.　② 根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解.
（6）函数模型及其应用　① 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征.知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.　② 了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.
近几年考点分布函数是高考数学的重点内容之一，基本函数：一次函数、二次函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查，也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点，应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.
考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。
高考命题以基本概念为考察对象，题型主要是选择题和填空题和大题为主，本节知识主要是帮助大家能体会实际生活中的数学知识的实用性和广泛性。
【考点pk】名师考点透析
考点一. 函数的解析式、定义域、值域求法
例．函数的定义域为
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
解：由.故选C
【名师点睛】：函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮助考生灵活掌握求定义域的各种方法，并会应用用函数的定义域解决有关问题.
例．用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值，设=min{, x+2,10-x} (x 0),则的最大值为
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
【解析】：利用数形结合，画出函数的大致图象，如图所示，
很容易的得到函数的最大值是当时，的最大值为6
【名师点睛】：解决本题的最好方法是数形结合，
本题考查学生对函数知识的灵活运用和对新定义问题的快速处理
考点二. 函数的零点
例．函数的零点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解:当时，令解得；
当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。
【名师点睛】：求函数的零点：①（代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
例．设a为常数，试讨论方程的实根的个数。
解：原方程等价于即构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：①当或时，原方程有一解；②当时，原方程有两解；③当或时，原方程无解。
【名师点睛】：：图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。
例．已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。
解：当a=0时，函数为=2x -3，其零点x=不在区间[-1，1]上。当a≠0时，函数在区间[-1，1]分为两种情况：①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时
或解得1≤a≤5或a=
②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时 或
解得a5或a<综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为(-∞, ]∪[1, +∞)
【名师点睛】：函数零点（即方程的根）的应用问题，即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，解决该类问题关键是用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.对于二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f(x)>0恒成立；f(x)<0恒成立.若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.
考点三.函数的单调性、奇偶性和周期性
例．已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
解：因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,
所以函数图象关于直线对称且,由知,
所以函数是以8为周期的周期函数,
又因为在区间[0,2]上是增函数,所以
在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,
那么方程=m(m>0)在区间
上有四个不同的根,不妨设由对称性知
所以答案:-8
【名师点睛】：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,
运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题
例已知函数若则实数的取值范围是
A B C D
解：由已知，函数在整个定义遇上单调递增的故 ，等价于，
解得答案C
【名师点睛】：在处理函数单调性时，可以充分利用基本函数的性质直接处理，显得更加简单、方便
例．已知以为周期的函数，其中。若方程
恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解：的图象为椭圆上半部分，的图象为两条线段
根据的周期T=4可知其图象，由方程恰有5个实数解，则有两解 即 有两解，所以解得； 无解即无解，所以
解得。故
【名师点睛】：函数的图象从直观上很好地反映出了函数的性质，所以在研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用，但要注意，利用图象求交点个数或解的个数问题时，作图要十分准确，否则容易出错.
考点四.函数的图象
例．单位圆中弧长为，表示弧与弦所围成弓形面积的2倍。
则函数的图像是（ ）
解：法一：定量分析。可列出，知时，，图像在下方；时，，图像在上方。选D
法二：定性分析。当从增至时，变化经历了从慢到快，从快到慢的过程，选D
法三：观察满足：，故图像以为对称中心。选D
【名师点睛】：函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，读者要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.此类题目还很好的考查了数形结合的解题思想.
考点五.函数综合问题
例．设为实数，函数.(1)若，求的取值范围；(2)求的最小值；(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
当时，解集为;
当时，解集为.
【名师点睛】：函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样.
例．设二次函数，方程的两个根满足. 当时，证明.
证明：由题意可知.，
∴ ，∴ 当时，.
又，
∴ ，综上可知，所给问题获证.
【名师点睛】：在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式.
例．已知函数x∈［-1，1］，函数g(x)=［f（x）］2-2af(x)+3的最小值为h(a). （1）求h(a); (2)是否存在实数m，n,同时满足以下条件： ①m>n>3;②当h(a)的定义域为［n,m］时，值域为？若存在，求出m，n的值，否则，说明理由.
解：（1）因为-1≤x≤1,
（2）因为m>n>3,故h(a)=12-6a,且h(a)在(3,+∞)上单调递减，假设h(a)定义域为［n，m］，值域为，则有 两式相减得6（m-n)=(m-n)(m+n),
又m>n>3,所以m+n=6. 这与“m>n>3?m+n>6”矛盾，故满足条件①②的实数m,n不存在.
【名师点睛】：（1）复合函数.可设t=f(x)并求出t的范围， 将g(x)化为关于新元t的二次函数，再求h(a).
（2）探索性问题，往往先假设成立，并依此探求，如能求出合适的值m,n，说明“假设成立”是正确的，否则，不成立.
例．设为实数，函数，．（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值．
解：（1）当时，函数，此时为偶函数；
当时，，，， ．
此时函数既不是奇函数，也不是偶函数；
（２）①当时，函数．
若，则函数在上单调递减，从而，函数在上的最小值为；若，则函数在上的最小值为，且；
②当时，函数；
若，则函数在上的最小值为，且．
若，则函数在上单调递增，从而，函数在上的最小值为．
综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，
当时，函数的最小值是．
【名师点睛】：函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大帮助.因为x∈R，=|a|+1≠0，由此排除是奇函数的可能性.运用偶函数的定义分析可知，当a=0时，是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。
考点六 抽象函数
例：已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有
，则的值是
A.0 B. C.1 D.
解：当时有，即 又∵是偶函数
∴ ∴∴当时有，∴
∴当时有，∴，又∵当时有，∴，∴ ，故选（ A ）
【名师点睛】：所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。
例：定义在R上的单调函数满足=log3且对任意x，y∈R都有= +．(1)求证为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)：= + (x，y∈R)，①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
R恒成立．
【名师点睛】：利用抽象条件，通过合理赋值(赋具体值或代数式)、整体思考、找一个具体函数原型等方法去探究函数的性质。如奇偶性、周期性、单调性、对称性等，再运用相关性质去解决有关问题，是求解抽象函数问题的常规思路。其中合理赋值起关键性的作用。对抽象函数问题的考查在近几年高考中有逐年增加数量的趋势。
【金题热身】
1、（安徽文13）函数的定义域是 .
【解析】由可得，即，所以.
2、（江西文3）若，则的定义域为( )
A. B. C. D.
解析： 故选C
3、（江西理3）若，则的定义域为
A. B. C. D.
【解析】要使原函数有意义,只须,即,解得,故选A.
4、（广东文4）．函数的定义域是 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由题得所以选C.
5、(广东理4)设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A．+|g(x)|是偶函数 B．-|g(x)|是奇函数
C．|| +g(x)是偶函数 D．||- g(x)是奇函数
【解析】设
，所以是偶函数，所以选A.
6、（安徽文11）设是定义在R上的奇函数，当x≤0时，=，则 .
【解析】.
7、(安徽理3) 设是定义在上的奇函数，当时，，则
（A） (B) （Ｃ）１　　　　　　（Ｄ）３
【解析】.故选A.
8、（陕西文11）．设，则______.
【解】∵，∴，所以，即．
【答案】
9、（陕西理11）．设，若，则 ．
【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从算起是解答本题的突破口.
【解】因为，所以，又因为，所以，
所以，．
10、（浙江文11）设函数 ,若,则实数=____
【解析】：
11、（浙江理1）（1）设函数,则实数=
（A）-4或-2 （B）-4或2 （C）-2或4 （D）-2或2
【解析】：当，故选B
12、（浙江理11）若函数为偶函数，则实数 。
【解析】：：，则
13、（江苏11）已知实数，函数，若，则a的值为________
解析：，
14、（湖南文8）．已知函数若有则的取值范围为
A． B． C． D．
解析：由题可知，，若有则，即，解得。故选B
15、（湖北文3）．若定义在R上的偶函数和奇函数满足，则=
A． B． C． D．
解析：因为①，则，即②，故由①-②可得，所以选D.
16、（湖北文15）15．里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅。假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的 倍。
解析：由当为9级地震时，则有
当为5级地震时，则有，故, ，则.
17、（湖北理6）.已知定义在R上的奇函数和偶函数满足
，若，则
A. B. C. D.
解析：法一：由条件，，即
，由此解得，，
所以，，所以选B.
法二：因为则，联立可得，又因为，故a=2.因为则，所以选B.
18、（安徽理5）若点(a,b)在 图像上，,则下列点也在此图像上的是
（A）（，b） (B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)
【解析】由题意，，即也在函数 图像上.
19、（全国文、10理9）设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=
(A) - (B) (C) (D)
解析：考查利用函数周期性和奇偶性基本知识求函数值的能力 故选D
20、（福建文8）．已知函数＝，若＋＝0，则实数a的值等于
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【解析】：当 时，＋＝，不成立；当 时，＋＝，解得。故选A
21、（辽宁文6）若函数为奇函数，则=
A． B． C． D．1
解析：因为=为奇函数，所以=即，解得。故选A
22、（辽宁理9）设函数=则满足≤2的x的取值范围是（ ）
（A）[-1，2] （B）[0，2] （C）[1，+） （D）[0，+）
解析：不等式等价于或解不等式组，可得或，即，故选D.
23、（江苏2）函数的单调增区间是__________
答案：
24、（全国新课标文、理2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是
（A） （B） （C） （D）
解析：由偶函数可排除A，再由增函数排除C,D,故选B；
25、(重庆理5)下列区间中，函数，在其上为增函数的是
（A） (B) (C) (D)
解析：用图像法解决，将的图像关于y轴对称得到，再向右平移两个单位，得到，将得到的图像在x轴下方的部分翻折上来，即得到的图像。由图像，选项中是增函数的显然只有D
26、（全国新课标文10）. 在下列区间中，函数 的零点所在的区间为（ ）
A B C D
解析： 由二分法判断零点知，，所以零点在故选C
27、（福建文6）．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
A．（－1，1） B．（－2，2） C．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
【解析】：或故选C
28、（四川理13）.计算 .
解析：
29、（重庆文6）．设的大小关系是
A． B． C． D．
解析：
30、（北京文3）如果那么
A．y< x<1 B．x< y<1 C．1< x【解析】：，，即故选D
31、（天津文5）.已知则
A. B. C. D.
【解析】因为,都小于1且大于0,故排除C,D;又因为都是以4为底的对数,真数大,函数值也大,所以,故选B.
32、（天津理7）．已知则（ ）
A．　　　　B． C．　　　 D．
【解析】因为所以,故选C.
33、（陕西文4）函数的图像是 （ ）
【解】取，，则，，选项B，D符合；取，则，选项B符合题意．
34、（陕西理3）设函数（R）满足，，则函数的图像是 （ ）
【解】选B 由得是偶函数，所以函数的图象关于轴对称，可知B，D符合；由得是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B．
35、（四川文4）函数的图象关于直线y=x对称的图象像大致是
解析图象过点，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点且单调递减，选A．
36、（四川理7）已知是R上的奇函数，且当时，，则的反函数的图像大致是
解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。
当，故选A
37、（全国新课标文12.）已知函数的周期为2，当时，，那么函数的图像与函数的图像的交点共有（ ）
A 10个 B 9个 C 8个 D 1个
解析： 由函数的周期性和对称性知在区间上有一个交点，在区间上有9个交点，故共有10个交点。故选A
38、（天津文、理8）.对实数和,定义运算“”: =,设函数,
.若函数的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是
A. B. C. D.
【解析】由题意知,若,即时, ;当,即或时, ,要使函数的图像与轴恰有两个公共点，只须方程有两个不相等的实数根即可,即函数的图像与直线有两个不同的交点即可,画出函数的图像与直线,不难得出答案B.
39、（全国文、理2）函数的反函数为
（A） （B）（C） （D）
解析：考查反函数的求法 选B
40、（陕西理6）．函数在内 （ ）
（A）没有零点 （B）有且仅有一个零点（C）有且仅有两个零点 （D）有无穷多个零点
【解】（方法一）数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；选B
（方法二）在上，，，所以；
在，，所以函数是增函数，又因为，，所以在上有且只有一个零点．选B
41、（山东理10） 已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为
（A）6 （B）7 （C）8 （D）9
【解析】因为当时, ,又因为是上最小正周期为2的周期函数，且,所以,又因为,所以,,故函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为6个,选A.
42、（山东文、理16）.已知函数=当2＜a＜3＜b＜4时，函数的零点 .
43、（湖南理8）设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为
A. 1 B. C. D.
解析：将代入中，得到点的坐标分别为，，从而
对其求导，可知当且仅当时取到最小。故选D
评析：本小题主要考查二次函数和对数函数的图像和性质，以及建立距离函数，用导数法求最值.
44、（北京文、理13）已知函数，若关于x的方程有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________.
【解析】单调递减且值域为(0,1]，单调递增且值域为，有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（0,1）。
45、(重庆理10)设m，k为整数，方程在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为
（A）-8 （B）8 （C）12 （D）13
解析：设，则方程在区间（0,1）内有两个不同的根等价于，因为，所以，故抛物线开口向上，于是，，令，则由，得，则，所以m至少为2，但，故k至少为5，又，所以m至少为3，又由，所以m至少为4，……依次类推，发现当时，首次满足所有条件，故的最小值为13
46、（四川文16）．函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数=2x+1()是单函数．下列命题：①函数（xR）是单函数；②指数函数（xR）是单函数；③若为单函数，且，则；
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号）
解析：对于①，若，则，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．答案：②③④
47、（上海理20、文21）（12分）已知函数，其中常数满足。
⑴ 若，判断函数的单调性；⑵ 若，求时的取值范围。
解：⑴ 当时，任意，则
∵ ，，
∴ ，函数在上是增函数。当时，同理，函数在上是减函数。
⑵ 当时，，则；
当时，，则。
48、（湖南理20.）如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为，雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。（Ⅰ）写出的表达式（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少。
解析：（I）由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为，
故.
（II）由(I)知，当时，
当时，故。
当时，是关于的减函数.故当时，。当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数；故当时，。
49、（湖北文19、理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米,/小时，研究表明：当时，车流速度v是车流密度的一次函数.(Ⅰ)当时，求函数的表达式；(Ⅱ)当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大，并求出最大值.（精确到1辆/小时）
本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.
解析：（Ⅰ）由题意：当时，；当时，设
再由已知得，解得故函数的表达式为
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得当时，为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；当时，当且仅当，即时，等号成立.所以，当时，在区间[20,200]上取得最大值.
综上，当时，在区间[0,200]上取得最大值.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.
50、（福建文21）设函数=，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x,y），且.（1）若点P的坐标为，求的值；
（II）若点P（x，y）为平面区域Ω：，上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数的最小值和最大值.
【解析】(1)由点P的坐标和三角函数的定义可得,
于是.
(2)作出平面区域(即三角形区域ABC)如图,其中A(1,0),B(1,1),C(0,1),则,又,且,故当,即时,取得最大值2;当,即时,取得最小值1.
【命题立意】本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.
【核心突破】
2011年模拟试题
1、（2011广州调研）函数的定义域为（A）
A． B． C． D．
2、(2011承德期末)函数的定义域是（ D ）
A. B. C. D.
3、(2011·南昌期末)函数f(x)= 的定义域为___[3,+∞]______.
4、（2011广州调研）设函数若，则的取值范围是 .
5、(2011·日照一调)函数(x>0)的零点所在的大致区间是( B )
(A) (B) (C) (D)
6、(2011·日照一调)已知函数 若，则a的取值范围是
_________．
7、（2011哈尔滨期末）奇函数在上的解析式是，则在上的函数解析式是 （ B ）
A． B．C． D．
8、（2011杭州质检）已知函数的图像如图所示，则的解析式可能是（ B ）
A． B．
C． D．
9、（2011福州期末）设是定义在R上的奇函数，且时，有恒成立，则不等式的解集为 （－∞,－2）∪（0,2）
10、(2011湖北八校一联)定义在区间上的函数有反函数，则最大为 （ A ）
A． B． C． D．2
11、(2011湖北八校一联)设二次函数的值域为的最大值为（ C ）
A． B． C． D．
12、(2011湖北八校一联)奇函数满足对任意，则的值为 -9 。
13、(2011东莞期末)已知函数是定义域为的奇函数，且的图象关于直线对称，那么下列式子中对任意恒成立的是 (D)
A. B. C. D.
14、（2011·湖北重点中学二联）三个数的大小顺序是 （ A ）
A． B．
C． D．
15、（2011淮南一模）若, , , ，则 （ D ）
A． B． C． D．
16、(2011·锦州期末)设0＜＜1，函数，则使的x的取值范围是( C )
（A） （B）（C） （D）
17、（ 2011·温州八校联考）已知函数是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，且x∈（-，0）时，=log2（-3x+1），则f（2011）=（ C ）
A．4 B． 2 C．-2 D．log27
18、（2011北京朝阳区期末）下列函数中，在内有零点且单调递增的是 (B)
（A） （B） （C） (D)
19、（2011·泰安高三期末）同时满足两个条件：①定义域内是减函数 ②定义域内是奇函数的函数是（ A ）
A. =-x｜x｜ B. = x3 C. =sinx D. =
20、(2011·黄冈期末)若集合，函数的定义域为，则（ A ）
A． B． C． D．
21、(2011·锦州期末)设函数，则使的取值范围是________.
22、（2011·三明三校二月联考）定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面五个关于的命题中：①是周期函数；②图像关于对称；③在上是增函数；④在上为减函数；⑤，正确命题的个数是 （ C ）
A． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
23、（2011·三明三校二月联考）已知函数，关于的方程，若方程恰有8个不同的实根，则实数k的取值范围是
24、（2011福州期末）设函数的定义域为实数集R，对于给定的正数，定义函数，给出函数，若对于任意的，恒有，则（ B ）
A．k的最大值为2 B．k的最小值为2 C．k的最大值为1 D．k的最小值为1
25、（2011·泰安高三期末）设函数=若＜，则实数m的取值范围是( D )
A.（-1，0）∪（0，1） B.（-∞，-1）∪（1，+∞）
C.（-1，0）∪（1，+∞） D.（-∞，-1）∪（0，1）
26、(2011·惠州三调)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组实验数据：
x 1.99 3 4 5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　)
A.y＝2x－2 B.y＝()x C.y＝log2x D.y＝(x2－1)
【解析】选D 直线是均匀的，故选项A不是；指数函数是单调递减的，也不符合要 求；对数函数的增长是缓慢的，也不符合要求；将表中数据代入选项D中，基本符合要求.
27、（2011·淮南一模）（本小题12分）
已知是上的单调函数，且对任意的实数，有恒成立，若
（Ⅰ）试判断在上的单调性，并说明理由；（Ⅱ）解关于的不等式：，其中且。
解：（Ⅰ）为上的减函数。理由如下：
是上的奇函数，，又因 是上的单调函数，
由,，所以为上的减函数。 ………………6分
（Ⅱ）由，得，
结合（I）得，整理得
当 时，； 当 时，；
当 时，； ………………12分
28、（2011北京朝阳区期末）已知函数（为实数，，），（Ⅰ）若，且函数的值域为，求的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）设，，，且函数为偶函数，判断是否大于？
解：（Ⅰ）因为，所以.因为的值域为，所以 2分
所以. 解得，. 所以.所以 4分
（Ⅱ）因为
=，… 6分所以当 或时单调.
即的范围是或时，是单调函数． …………… 8分
（Ⅲ）因为为偶函数，所以. 所以…… 10分
因为， 依条件设，则.又，所以.
所以. … 12分此时.
即．… 13分
29、(2011湖北八校一联)已知是偶函数。（I）求实常数m的值，并给出函数的单调区间（不要求证明）； （II）k为实常数，解关于x的不等式：
解：（Ⅰ）是偶函数, ,,
,. 2分,的递增区间为，递减区间为. 4分
（Ⅱ）是偶函数 ,,不等式即,由于在上是增函数,, ,
即, 7分
,时，不等式解集为；
时，不等式解集为；时，不等式解集为. 12分
30、(2011东莞期末)为了预防流感，某段时间学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 设药物开始释放后第小时教室内每立方米空气中的含药量为毫克．已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数）．函数图象如图所示.
根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）求从药物释放开始每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；（2）按规定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少时间，学生才能回到教室？
解: (1)：函数图象由两线段与一段指数函数图象组成，两曲线交于点（0.1，1），故t∈（0，0.1]时，由y（毫克）与时间t（小时）成正比，可设，…2分所以有，即，y=10t；…4分t∈[0.1，+∞）时，将（0.1，1）代入，得，
即得．……6分故所求函数关系为：．…8分
（2）令，…10分得，，，即小时以后．11分
答：至少30分钟后，学生才能回到教室.…12分
2010年名校模拟题及其答案
1．（广东省惠州市2010届高三第三次调研文科）方程的实数解的个数为( )　
A．2 B．3 C．1 D．4
【答案】A
2．（2010年广东省揭阳市高考一模试题文科）若函数的反函数的图象过点，则的最小值是A． B．2 C． D．
【答案】C
3．（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）函数的图象的大致形状是 ( D )
【答案】D
4．（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）函数的零点一定位于下列哪个区间( )
A. B. C. D.
【答案】B
5．（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）函数的值域是（ ）
A. B. R C. D.
【答案】D
6．（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）已知函数是偶函数，对应的图象如右图所示，则＝（ ）
A.　　　B.　　　C. 　　　D.
【答案】C
7．（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为，如图3.图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作.
则下列说法中正确命题的是（ ）
A.； B.是奇函数；C.在定义域上单调递增； D.的图象关于轴对称．
【答案】C
8．（2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题）已知函若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
9．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)已知函数，，的零点分别为，则的大小关系是( )
A． B． C． D．
【答案】A
10．(福建省石狮石光华侨联合中学2010届高中毕业班5月份高考模拟文科)若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
11．(福建省石狮石光华侨联合中学2010届高中毕业班5月份高考模拟文科)已知函数 则f［f()］的值是 （ ）
A．9 B． C．－9 D．－
【答案】B
12．(福建省石狮石光华侨联合中学2010届高中毕业班5月份高考模拟文科)定义在R上的偶函数y =f(x)满足f(x+2)=-f(x)对所有实数x都成立，且在[-2，0 ]上单调递增，则下列成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
13．(福建省石狮石光华侨联合中学2010届高中毕业班5月份高考模拟理科)函数，则下列结论正确的是( )
A．函数在上为增函数 B．函数的最小正周期为4
C．函数是奇函数 D．函数无最小值
【答案】A
14．（福建省宁德三县市一中2010年4月高三第二次联考理）若是偶函数，且当的解集是（ ）。
A．（－1，0） B．（－∞，0）∪（1，2） C．（1，2） D．（0，2）
【答案】D
15．（福建省宁德三县市一中2010年4月高三第二次联考文）已知是函数的零点，若，则的值满足（ ）
A． B． C． D．的符号不确定
【答案】C
16．（福建省福州市2010年3月高中毕业班质量检查理科）在同一坐标系内，函数与的图象可能是 （ ）
【答案】C
17．（福建省福州市2010年3月高中毕业班质量检查理科）已知函数的解，且的值 （ ）
A．恒为负 B．等于零 C．恒为正 D．不小于零
【答案】A
18．（福建省莆田市2010年高中毕业班教学质量检查文）下列各数中，与函数的零点最接近的是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
19．(福建省厦门市2010年3月高三质量检查文）已知函数是偶函数，函数 在内单调递增，则实数m等于 （ ）
A．2 B．-2 C． D．0
【答案】B
20．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）设函数定义在实数集上，，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
21．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①； ②；
③； ④的定义域是R，值域是；则其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【答案】B
22．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题理科）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到达终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）
【答案】B
23．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题文科）已知，则函数与函数的图象可能是 （ ）
【答案】B
24．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题文科）已知函数为偶函数，且时，，则（ ）
A．2010 B． C．-4 D．4
【答案】B
25．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟理科试题）已知函数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
26．（山东省东营市2010届高三一轮教学质量检测数学试题理科）函数与在同一坐标系的图象为 （ ）
【答案】A
27．（山东省东营市2010届高三一轮教学质量检测数学试题理科）函数y=f（x）是定义在[a，b]上的增函数，期中a，b∈R，且0其中正确的说汉的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
28．（山东省泰安市2010年3月高三第一次模拟数学理科试题）定义在上的函数满足则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】 A
29．（山东省泰安市2010年3月高三第一次模拟数学理科试题）定义在上的函数的图像如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：
①；②；③若，则；
④若，则。其中正确的命题是（ ）
A．②③ B．①④ C．②④ D．①③
【答案】B
30．（山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题理科）若函数 = ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
31． （山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题理科）已知图1是函数的图象，则图2中的图象对应的函数可能是( )
A． B． C． D．
【答案】 C
32．（山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题理科）若定义在R上的偶函数满足，且当时，，则函数的零点个数是( )
A．多于4个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
33．(山东省济南外国语学校2010年3月高三质量检测文）设且，则的值为 （ ）
6 8 5
【答案】B
34．（山东省日照市2010年3月高三一模文理科）定义在上的函数满足且时，则（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
35. (湖北省赤壁一中2010届高三年级3月质量检测文科A试题)函数的反函数是（ ）
A． B. C . D.
【答案】A
36. (湖北省赤壁一中2010届高三年级3月质量检测文科A试题)设R，是函数的单调递增区间，将的图象按向量平移得到一个新的函数的图象，则的一个单调递减区间是( )
A． B． C． D．
【答案】A
37．（湖北省荆州市2010年3月高中毕业班质量检查Ⅱ理科）已知函数是上的奇函数,且的图象关于对称,当时, ,则的值为（ ）
【答案】D
38．（湖北省八校2010 届 高 三 第 二 次 联 考理科）函数在区间[-1，1]上的最大值的最小值是 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
39．（湖北省八校2010 届 高 三 第 二 次 联 考文科）的图像是由F的图像按向量平移后得到的，若F的函数解析式为的反函数的解析式为 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
40．（湖北省襄樊市2010年3月高三调研统一测试理科）偶函数在区间[0,a]（a>0）上是单调函数，且满足，则方程 在区间[-a，a]内根的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
41. （2010届浙江省金华市高三四校联考试卷）是定义在R上的奇函数，对任意
总有，则的值为（ ）
A．0 B．3 C． D．
【答案】A
42．（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）.
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
43．（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注
水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（ ）
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
44、（浙江省金华地区2010年4月高考科目调研测试卷理科）已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的（ ）
A．函数在或内有零点， B．函数在内无零点
C．函数在内有零点， D．函数在内不一定有零点
【答案】C
45. （浙江省2010届高三下学期三校联考理科）若函数y=有最小值，则a的取值范围是 ( )
A.0【答案】C
46．（北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试试题）在同一坐标系中画出函数，，的图象，可能正确的是（ ）
【答案】D
47．（北京市石景山区2010年4月高三统一测试理科试题）已知函数，正实数是公差为正数的等差数列，且满足。若实数是方程的一个解，那么下列四个判断：
①;②③④中有可能成立的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
48．（北京市丰台区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科）奇函数上单调递增，若则不等式的解集是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
49．（北京市丰台区2010年4月高三年级第二学期统一考试文科）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
50.（北京市崇文区2010年4月第二学期统一练习理科）设定义在上的函数 若关于的方程有3个不同的实数解，，，则等于
（A） 3 （B） （C） （D）
【答案】A
51.（北京市崇文区2010年4月高三年级第二学期统一练习文科）已知幂函数的图象过（4，2）点，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
52.（北京市崇文区2010年4月高三年级第二学期统一练习文科）若，函数，，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
53. （2010年4月北京市西城区高三抽样测试文科）若，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
54．（北京市宣武区2010年4月高三第二学期第一次质量检测）设函数则其零点所在的区间为（ B ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
【答案】B
55．（辽宁省大连市2010届高三下学期双基测试文科）定义在R上的函数是偶函数，且，若时，，则的值为 （ ）
A．-1 B．3 C．1 D．-3
【答案】C
56．（辽宁省抚顺市2010年普通高中应届毕业生高考模拟考试文科）函数的零点所在的区间是 （ ）
A．（，） B．（，0） C．（0，） D．（，1）
【答案】D
57．（东北三省三校2010年高三第二次联合模拟考试文科）函数的定义域为R，且满足：是偶函数，是奇函数，若=9，则等于( )
A．9 B．9 C．3 D．0
【答案】B
58．（东北三省三校2010年高三第二次联合模拟考试文科）定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数的“新驻点”分别为，则的大小关系为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
59．（东北三省三校2010年高三第二次联合模拟考试文科）已知集合，定义函数。若点、、，的外接圆圆心为，且，则满足条件的函数有( )
A．6个 B．10个
C．12个 D．16个
【答案】C
60．(辽宁省沈阳市2010年高中三年级教学质量监测二理科)已知，关于的方程2sin有两个不同的实数解，则实数的取值范围为 （ ）
A．[－，2] B．[，2] C．（，2] D．（，2）
【答案】D
61．(辽宁省沈阳市2010年高中三年级教学质量监测二理科)已知实数满足，则下列关系式中可能成立的有 （ ）
①②log2=log3③
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
62．(辽宁省沈阳市2010年高中三年级教学质量监测二理科)已知函数，实数，b，c满足口A． B． C． D．
【答案】C
63．（东北三省四市2010年高三第二次联合考试理科）已知定义在(0，+)上的函数为单调函数，且，则（ ）
（A）1 （B）或
（C） （D）
【答案】B
64、（辽宁省鞍山一中2010届高三第六次模拟考试理科）已知偶函数对任意实数都有，且在[0,1]上单调递减, 则 ( )
A ＜＜ B ＜＜
C ＜＜ D ＜＜
【答案】B
65. （江西省八校2010年4月高三联考理科）已知定义域为R的函数对任意实数x、y满足，且.给出下列结论：
① ②为奇函数 ③为周期函数 ④内单调递减
其中正确的结论序号是（ ）
A. ②③ B .②④ C. ①③ D. ①④
【答案】A
66．（江西省八校2010年4月高三联考理科）函数定义域为D，若满足①在D内是单调函数②存在使在上的值域为，那么就称为“成功函数”，若函数是“成功函数”，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
67．（江西师大附中、鹰潭一中、宜春中学、白鹭洲中学、南昌三中五校2010届高三联考理）定义在R上的函数,若关于的方程恰有5个不同的实数解,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
二、填空题：
1．（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）已知函数则＝ ．
【答案】
2．（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）已知一系列函数有如下性质：
函数在上是减函数，在上是增函数；
函数在上是减函数，在上是增函数；
函数在上是减函数，在上是增函数；
………………
利用上述所提供的信息解决问题：
若函数的值域是，则实数的值是___________.
【答案】2
3．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围为 ．
【答案】
4．（福建省福州市2010年3月高中毕业班质量检查理科）函数的定义域为D，若对于任意，当时，都有，则称函数在D上为非减函数。设函数在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：
①；②；③则的值为 。
【答案】1
5．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题文科）已知函数，则函数的值为 。
【答案】
6．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）已知定义在R上的函数的图像关于点成中心对称，对任意实数x都有，且= 。
【答案】—2
7．（山东省青岛市2010届高三一模理科）已知函数，且关于的方程有且只有一个实根，则实数的范围是 ．
【答案】
8．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟文理科试题）若是奇函数，则a= ．
【答案】-1
9．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题文）已知则的值为 。
【答案】3
10．（山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题文科）设函数若，则的取值范围为 ．
【答案】
11．（湖北省八校2010 届 高 三 第 二 次 联 考理科）函数的反函数为，则 。
【答案】4
12．（湖北省武汉市2010年高三二月调研测试文科）函数的定义域为
【答案】
13．（湖北省武汉市2010年高三二月调研测试文科）如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于
直线左侧的图形的面积，则函数
的解析式为： 【答案】
14．（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考理科）已知函数，且）若实数使得函数在定义域上有零点，则的最小值为__________．
【答案】
15、（浙江省金华地区2010年4月高考科目调研测试卷理科）函数对一切实数都满足，并且方程有三个实根，则这三个实根的和为 。
【答案】
16．（浙江省温州市2010届高三下学期第一次适用性测试文理科）已知是奇函数，当时，则 ▲ .
【答案】-2
17. （浙江省2010届高三下学期三校联考理科）若关于x的方程x-+ k=0在x∈(0,1]没有实数根，则k的取值范围为 ▲ .
【答案】k<0
18、（浙江省舟山市2010年3月高三七校第一次调测理科）若函数 则
【答案】3
19、（浙江省舟山市2010年3月高三七校第一次调测理科）设二次函数，若（其中），则等于 _____.
【答案】
20．（北京市石景山区2010年4月高三统一测试文科试题）函数的定义域是
【答案】
21．（北京市丰台区2010年4月高三年级第二学期统一考试文科）已知函数= .
【答案】2
22.（北京市崇文区2010年4月高三年级第二学期统一练习理科）定义在上的函数满足，且当时，，则_________________．
【答案】
23. （2010年4月北京市西城区高三抽样测试理科）设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数.如果定义域是的函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是____________. 如果定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是____________.
【答案】；
24.. （2010年4月北京市西城区高三抽样测试文科）已知 若，则___________.
【答案】或
25．（江苏省南通市2010年高三二模）已知函数若函数有3个零点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
26．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）设是定义在上的奇函数，且，则_____________．
【答案】
27．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）已知函数，若，则实数的取值范围是_____．
【答案】
28．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)若函数有三个不同的零点，则实数k的取值范围为 ．
【答案】{k|或k>0}
27．（江苏省盐城市2010年高三第二次调研考试）设函数，则下列命题中正确命题的序号有 . （请将你认为正确命题的序号都填上）
①当时，函数在R上是单调增函数； ②当时，函数在R上有最小值；
③函数的图象关于点对称； ④方程可能有三个实数根.
【答案】①③④
28．（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）是偶函数，且在上是减函数，则_____________．
【答案】1或2
29. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）若函数的定义域和值域均为，则的取值范围是 ▲ ___.
【答案】
30、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）定义在R上的满足=则 。
【答案】
31、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）已知定义域为D的函数f(x),如果对任意x∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立，那么称函数f(x)是D上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)=2x②=；③=；④=，其中是“倍约束函数的是 。【答案】①③④
32、（辽宁省鞍山一中2010届高三第六次模拟考试理科）已知是偶函数，且在[0,+∞)上是增函数,如果≤在[]上恒成立,则实数的取值范围是__________
【答案】[ -2，0]
三、解答题：
1．（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）(本题满分14分)已知函数的图像过点，且对任意实数都成立，函数与的图像关于原点对称。 （Ⅰ）求与的解析式；（Ⅱ）若—在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围；
解：⑴由题意知：，
设函数图象上的任意一点关于原点的对称点为P（x,y）,
则， …4分因为点
⑵
连续，恒成立……9分
即，………………..10分
由上为减函数，…..12分当时取最小值0，…..13分
故
另解：，
，解得
2.．（湖北省襄樊市2010年3月高三调研统一测试文科）（本大题满分12分）
图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CMD是半圆，凹槽的横截面的周长是4。已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数，设AB=2x，BC=y。
（1）写出y关于x的函数表达式，并指出x的取值范围；
（2）当x取何值时，凹槽的强度最大？
解：（1）易知半圆CMD的半径为x，故半圆CMD的弧长为
∴4分依题意知：0 < x < y，∴
∴6分
（2）解：设凹槽的强度为T，则有8分10分
因为，∴当时，凹槽的强度最大
答: 当时，凹槽的强度最大． 12分
【核心预测】
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。）
1、已知函数 若 =
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析：+1=2，故=1，选B
2、函数的值域是
（A） （B）（C） （D）
解析：
3、若是方程式 的解，则属于区间 （ ）
（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2）
解：，知属于区间（1.75，2）4、设，且，则
（A） （B）10 （C）20 （D）100
解析：选A.又
5、函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）
解：。选C．
6、 某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为
（A）y＝[] （B）y＝[] （C）y＝[] （D）y＝[]
解：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B
法二：设，
，所以选B
7、若函数=,若>,则实数a的取值范围是
（A）（-1，0）∪（0，1） （B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞） （D）（-∞，-1）∪（0,1）
解 8、．设函数的图象关于直线对称，则的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
解：、在数轴上表示点到点、的距离，他们的和关于 对称，因此点、关于对称，所以（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以）
9、给出下列三个等式：，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
解：依据指、对数函数的性质可以发现A满足，
C满足，而D满足，B不满足其中任何一个等式. 答案 :B
10、给出下列三个命题：①函数与是同一函数；高☆考♂资♀源*网②若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；③若奇函数对定义域内任意x都有，则为周期函数。其中真命题是
A. ①② B. ①③ C.②③ D. ②
解：考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③, ,又通过奇函数得，所以f（x）是周期为2的周期函数，选择C。
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上）
11、若，则
解：1 – 23= - 5
12、设函数为偶函数，则　　　　．
解：答案-1
13、函数在上的最大值与最小值之和为 .
解：函数在上是增函数，所以最大值为2，最小值为1，它们之和为3
14、在R上为减函数，则 .
解：∵在R上为减函数 ∴
15、函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．
解：函数的图象恒过定点，，，，
（方法一）：， .
（方法二）：
三、解答题（本大题6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16、记函数的定义域为集合M，函数的定义域为集合N．求：（Ⅰ）集合M，N；（Ⅱ） 集合，
17、已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点（1，3），（1）求实数的值；（2）求函数的值域
解：（1）函数是奇函数，则
…（3分）又函数的图像经过点（1，3），
∴a=2 …（6分）
（2）由（1）知………（7分）
当时，当且仅当即时取等号…（10分）
当时，当且仅当即时取等号…（13分）综上可知函数的值域为………（12分）
18、函数的定义域为(0，1]（为实数）．⑴当时，求函数的值域；⑵若函数在定义域上是减函数，求的取值范围；⑶求函数在x∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值．
解：（1）显然函数的值域为；
（2）若函数在定义域上是减函数，则任取且都有
成立， 即只要即可，由，故，
所以，故的取值范围是；
（3）当时，函数在上单调增，无最小值，当时取得最大值；
由（2）得当时，函数在上单调减，无最大值，当x＝1时取得最小值2－a；
当时，函数在上单调减，在上单调增，无最大值，当 时取得最小值．
19、已知 是偶函数.（Ⅰ）求实常数的值，并给出函数的单调区间（不要求证明）；（Ⅱ）为实常数，解关于的不等式：．
解:（Ⅰ）是偶函数, ,
,,. 2分
,的递增区间为，递减区间为.
（Ⅱ）是偶函数 ,,不等式即,由于在上是增函数,, ,
即,, 7分
,时，不等式解集为；
时，不等式解集为；时，不等式解集为. 12分
20、设函数的图象为、关于点A（2，1）的对称的图象为，对应的函数为，（Ⅰ）求函数的解析式，并确定其定义域；（Ⅱ）若直线与只有一个交点，求的值，并求出交点的坐标.
解:（Ⅰ）设是上任意一点， ①
设P关于A（2，1）对称的点为
代入①得
（Ⅱ）联立
或当时得交点（3，0）；当时得交点（5，4）
21已知定义域为R的函数是奇函数．（I）求a的值，并指出函数的单调性（不必说明单调性理由）；（II）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
解：（I）函数的定义域为R，因为是奇函数，所以，
即，故 ……4分
（另解：由是R上的奇函数，所以，故．再由，通过验证来确定的合理性）…4分由知在R上为减函数6分
（II）解法一：由（I）得在R上为减函数，
又因是奇函数，从而不等式等价于
…9分在R上为减函数，由上式得：
即对一切从而…13分
解法二：由（1）知又由题设条件得：
即………9分
整理得，因底数4>1，故上式对一切均成立，从而判别式 …13分
y
X
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
f(x)=m (m>0)
A
D
B
C
(第17题图)
x
y
O
1
－1
(B)
x
y
O
1
－1
(A)
x
y
O
1
－1
(C)
x
y
O
1
－1
(D)
图1
图2
图3
x
y
O
图2
x
y
O
图1
本卷第1页（共55页）2012考前90天突破——高考核心考点
专题一 集合与简易逻辑
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读1．集合
　　（1）集合的含义与表示　① 了解集合的含义、元素与集合的属于关系.　② 能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.
　　（2）集合间的基本关系　① 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.　② 在具体情境中，了解全集与空集的含义.
　　（3）集合的基本运算　① 理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.　　② 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.③ 能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.
2．常用逻辑用语
　　（1）命题及其关系　① 理解命题的概念.　　②了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.　③ 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.
　　（2）简单的逻辑联结词　了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.
　　（3）全称量词与存在量词　① 理解全称量词与存在量词的意义.　② 能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
近几年考点分布 纵观近几年的高考情况，可以看出本专题高考考查的特点及规律；一般都是基础题，难度不大，综合题目少，大多出现在选择题及填空题的前三分之一位置，但也有少数年份出现在选择题的后两题。一是考查对集合概念的认识和理解，如集合与元素，集合与集合之间的关系及运算；二是以集合知识为依托考查其他知识，如不等式、解析几何等，在考查其他知识的同时，突出考查准确使用数学语言和能力和运用数形结合的思想解决问题的能力，定义新运算在集合方面是一个新型的集合问题，应予以重视。对简易逻辑的考查主要集中在命题的四种形式和充要条件的判定上，在考查知识的同时，还主要考查命题转化、逻辑推理和分析问题的能力。
【考点pk】名师考点透析
考点一 集合的概念与运算
1、集合问题的核心
一是集合元素的互异性；二是集合的交、并、补运算。空集是一个特殊的集合，在题设中若未指明某一集合为非空集合时，要考虑该集合为空集的情形，因此，空集是“分类讨论思想”的一个“命题点”。
2、解答集合问题的一般程序
首先认清集合中元素的属性，然后依据元素的不同属性采用不同的方法求解。一般规律表现为“若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；若给定的集合是点集，用数形结合法求解；若给定的集合是抽象集合，用图示法解之”。
3、运用“转化与化归思想”
解答集合问题，要把握好符号语言、文字语言和图形语言三者间的相互转化，这是“转化与化归思想”的具体体现，通过转化，可以揭开集合的“面纱”，洞察问题的“真面目”。
4、集合运算的两个重要性质
性质一：AB=AAB；AB=AAB。
性质二：［u（AB）=（［u A）（［u B）；［u（AB）=（［u A）（［u B）；
两个性质的作用在于化难为易，化生为熟，化繁为简。
例1、设向量集合M=N=则MN=
A、 B、 C、 D、
[解析] 法一：令由
得
同理得N=联立故 MN=。
法二：利用验证法，若MN=。则 即
若 MN= ，易确定不适合，故选C
【名师点睛】：本题以集合为载体考查向量、直线等知识，解答过程体现了消参数的方法（如消去得直线方程），数学的转化思想（如①向量与坐标的转化；②直线的交点坐标与方程组解的转化）。
若A= ，则这样的的不同取值有
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
解析：由已知得①=3，得，都符合；②=，得=0或=1而1=0，综合①②，共有3个值，故选B
例2、设集合，，若AB=B，求实数的取值范围。
[解] 由，
当即时，不等式无解。B=
当即时，不等式的解为=1，B=。
显然以上两种情况都不满足AB=B，所以必有。
此时不等式化为 即
①当时，其解为
②当时，其解集为R， B=R；
③当时，其解为
又AB=B，A，由上面的讨论可知。只有或
解得实数的取值范围为
【名师点睛】： 解答集合问题，必须弄清题目的要求，正确理解各个集合的含义，再对集合进行简化，进而借助数轴或韦恩图使问题得到解决。
2、已知集合M=，N=，若AN=R，求的值。
解：M== ，N==
①当时，有 即，此时
从而知=3符合题意。
②当>3时， 要使必须
③当<3 时，要使必须
综合以上情形，满足题意的取值范围为（2，4）
考点二 四种命题
四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：
（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；
（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；
（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。
例3、有下列四个命题（1）若“=1，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若AB=B，则”的逆否命题。其中真命题为（ ）
A、（1）（2） B、（2）（3） C、（4） D、（1）（3）
[解析] （1）的逆命题：“若，互为倒数，则=1”是真命题：（2）的否命题：“面积不相等的三解形不是全等三角形”是真命题；（3）的逆否命题：“若没有实数解，则”是真命题；命题（4）是假命题，所以它的逆否命题也是假命题，如A={1，2，3，4，5}，B={4，5}，显然是错误的，故选D。
【名师点睛】： 由原命题组成其他三种命题的方法是：先把原命题写成“若……，则……”的形式，然后交换命题的条件与结论便得到了逆命题；同时否定命题的条件与结论便得到了否命题；同时否定命题的条件与结论，并且交换条件与结论便得到了逆否命题，注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。
3、给出如下三个命题：①四个非零实数、、、依次成等比数列的充要条件是=；②设，且若，则③若.其中不正确命题的序号是
A、①② B、②③ C、①③ D、①②③
解析：①中、、、满足=时，其中可以有0，②中时，可以为负数，则不一定成立。③正确。答案：A
考点三 充要条件
1、用集合方法判断充要条件
设集合则有
从逻辑观点看 从集合观点看
是的充分不必要条件 A B
是的必要不充分条件 B A
是的充要条件（） A=B
是的既不充分也不必要条件 A与B 互不包含
2、充要条件的探求与证明
对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性。此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）。
例4设
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充要条件 D 、既不充分也不必要条件
[解析] 对于解之得
对于当时，即解<0，解之得，
当 时，即解，转化为，解之得
，综上可知
显然是的充分不必要条件，选A。
【名师点睛】： 对于充分条件与必要条件的判断，有如下结论：
若 ，则是的充分而不必要条件；若 ，则是的必要而不充分条件；若，则是的充要条件； 若 ，则是的既不充分也不必要条件。
4、设关于的方程有实根，则是的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件
解析：当时，方程有实根，
而有实根，则 是的充分不必要条件。
【金题热身】
11年高考试题及解析
1、（江苏1）、已知集合 则
【解析】：
2、（福建文、理1）．已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∩N＝
A. {0，1} B. {－1，0，1} C. {0，1，2} D. {－1，0，1，2}
【解析】：M∩N＝{－1，0，1}∩{0，1，2}={0，1}故选A
3、（浙江文1）若，则
（A） （B） （C） （D）
【解析】：，故选 C
4、(四川文1).若全集M=，N=，=（ ）
（A） (B) (C) (D)
【解析】：因为全集M=，N=，所以.选B
5、（全国新课标文科1）已知集合,,则集合P的子集有
A 2个 B 4个 C 6个 D 8个
【解析】： 因为，所以，子集共有个，选B
点评：此题考查集合的包含关系、集合的运算；要把握自己的个数与元素个数的关系。
6、（全国1文1 ）设集合U=,则
（A） （B） （C） （D）
【解析】，选D
7、（湖北文1）．已知则
A． B． C． D．
【解析】：因为，故，所以选A.
8、（天津文9）已知集合为整数集,则集合中所有元素的和等于 .
【解析】因为,所以,故其和为3.
9、（湖南文1）设全集则（ ）
A． B．　　　Ｃ．　　　 Ｄ．
【解析】：画出韦恩图，可知。选B
10、（山东文、理1.）设集合，，则（ ）
A． B. C. D.
【解析】解得，则，故选A。
11、（辽宁文1）已知集合A={x}，B={x}}，则AB=（ ）
（A） {x}} （B）{x} （C）{x}} （D）{x}
【解析】：利用数轴可以得到AB={x}。选D
12、（安徽文2）集合，,,则等于
（A） (B) (C) (D)
【命题意图】本题考查集合的补集与交集运算.属简单题.
【解析】，所以.故选B.
13、（重庆文2）．设，则=
A．[0，2] B．C． D．
【解析】或则[0，2]故选A.
14、（上海文1）、若全集，集合，则
【解析】：
15、（上海理2）、若全集，集合，则
【解析】：
16、（北京文1）．已知全集U=R，集合，那么
(A)() (B)() (C)（-1，1) (D)
【解析】：，，故选D
17、（湖北理2）．已知，则=
A. B. C. D.
【解析】：因为，故，所以选A.
18、（江西文2）.若全集,则集合等于（ ）
A. B. C. D.
【解析】：,,,
选D
19、（江西理2）.若2集合，则=
A. B. C. D.
【解析】：，，所以，选B．
20、（安徽理8）设集合则满足且的集合为
（A）57 （B）56 （C）49 （D）8
【解析】：集合A的所有子集共有个，其中不含4,5,6,7的子集有个，所以集合共有56个.故选B.
21、（辽宁理2）已知M,N为集合I的非空真子集，且M,N不相等，若（ ）
(A)M (B) N (C)I (D)
【解析】：因为且M,N不相等，得N是M的真子集，故答案为M.
22、(陕西文8.)设集合，，为虚数单位，R，则为（ ）
(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]
【解析】： ，所以；因为，即，所以，又因为R，所以，即；所以，故选C.
23、(陕西理7)设集合，，为虚数单位，R，则为（ ）
（A）（0，1） （B）， （C）， （D），
【解析】：，所以；因为，所以，即，又因为R，所以，即；所以，故选C.
24、(北京理1).已知集合，，若，则的取值范围是
A. B. C. D.
【解析】：，，选C。
25、(天津理13)．已知集合，则集合=
【解析】：, 则,即;由绝对值的几何意义可得:,
所以=.
26、（山东文5.）已知a，b，c∈R，命题“若=3，则≥3”，的否命题是
(A)若a+b+c≠3，则 (B)若a+b+c=3，则
(C)若a+b+c≠3，则≥3 (D)若≥3，则a+b+c=3
【解析】：命题“若,则”的否命题是“若,则”,故选A.
27、（安徽理7）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是
（A）所有不能被2整除的数都是偶数（B）所有能被2整除的数都不是偶数
（C）存在一个不能被2整除的数是偶数（D）存在一个能被2整除的数不是偶数
【答案】D
【命题意图】本题考查全称命题的否定.属容易题.
【解析】：把全称量词改为存在量词，并把结果否定.
【解题指导】：要注意命题否定与否命题之间的区别与联系。
28、(陕西文、理1．)设，是向量，命题“若，则”的逆命题是 （ ）
（A）若，则 （B）若，则
（C）若，则 （D）若，则
【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。
【解析】：原命题的条件是，作为逆命题的结论；原命题的结论是，作为逆命题的条件，即得逆命题“若，则”，故选D．
29、（北京文4）．若p是真命题，q是假命题，则
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题 C．﹁p是真命题 D．﹁q是真命题
【解析】：或（）一真必真，且（）一假必假，非（）真假相反，故选D
30、（辽宁文4）已知命题P：n∈N，2n＞1000，则p为（ ）
（A）n∈N，2n≤1000（B）n∈N，2n＞1000 （C）n∈N，2n≤1000 （D）n∈N，2n＜1000
【解析】：特称命题的否定是全称命题，“＞”的否定是“≤”，故正确答案是A.
31、(四川文5).“x=3”是“x2=9”的
（A）充分而不必要的条件 （B）必要而不充分的条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要的条件
解析：因为x=3，所以x2=9；但若x2=9，x=-3或3，故“x=3”是“x2=9”的充分不必要条件. 选A
32、（福建文、理3）．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】：a＝1 |a|＝1 充分，反之|a|＝1 a＝1 不必要 。故选A
33、（重庆理2） “”是“”的
（A）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【解析】：，故“”是“”的充分而不必要条件，选A.
34、（天津文4）设集合则
“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】：由两个集合并集的含义知,选项C正确.
35、（天津理2）.设则“且”是“”的
A. 充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件　 D．即不充分也不必要条件
【解析】：由且可得，但反之不成立，故选A.
36、（湖南文３）．的
A．充分不必要条件　Ｂ．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【解析】：因，反之，不一定有。选A
37、（湖南理2）.设集合M={1,2}，N={a2},则“a=1”是“NM”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
【解析】：当a=1时N={1} M，满足充分性；而当N={a2}M时，可得a=1或a=-1，不满足必要性，故选A
评析：本小题主要考查集合间的基本关系以及充分、必要条件的判定.
38、（山东理5.）对于函数,“的图象关于轴对称”是“=是奇函数”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要
【解析】：由奇函数定义,容易得选项C正确.
39、（浙江文6）若为实数，则“”是“”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【解析】：由可知a、b同号且均不为0，同正可得，同负可得，故充分性不成立； 或即或故必要性不成立；故选D
40、（天津理2）．设则“且”是“”的
A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件C．充分必要条件　　D．即不充分也不必要条件
【解析】：由且可得，但反之不成立，故选A.
41、（浙江理7）若为实数，则“”是的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
【解析】：由可知a、b同号且均不为0，同正可得，同负可得，故充分性成立；而由
42、(陕西文14．理12)．设，一元二次方程有整数根的充要条件是 ．
【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．
【解析】：，因为是整数，即为整数，所以为整数，且，又因为，取验证可知符合题意；反之时，可推出一元二次方程有整数根．
43、(四川理5)、函数在点处有定义是在点处连续的
(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件
【解析】：在点处有定义但在点处不一定连续，在点处连续一定有定义，故函数在点处有定义是在点处连续的必要而不充分的条件. 选B
44、（湖北文10理9）. 若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】：由，即，故，则，化简得，即ab=0，故且，则且，故选C.
45、(广东文、理2)．已知集合A={ (x，y)|x，y为实数，且}，B={(x，y) |x，y为实数，且y=x}， 则A ∩ B的元素个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】：方法一：由题得，，所以选C.
方法二：直接作出单位圆和直线，观察得两曲线有两个交点，所以选C.
46、（浙江理10）设a，b，c为实数，=.记集合S=若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是
（A）=1且=0 （B）（C）=2且=2 （D）=2且=3
【解析】：A 在a=b=0，c0下成立；B在a0，下成立；C 在a0，下成立；D 必须在和同时成立下才成立，故不可能。选D。
【核心突破】
2011年名校模拟题及其答案
1．（2011·朝阳期末）设全集，，，则=（ D ）
（A） （B） （C） （D）
2．(2011·丰台期末)已知命题：，，那么是( B )
A．， B．，
C．， D．，
3．(2011·丰台期末)若X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于．则称是集合X上的一个拓扑．已知集合X =，对于下面给出的四个集合： ①；
②；③；
④． 其中是集合X上的拓扑的集合的序号是 ②④ ．
4. (2011·东莞期末)已知集合，，则（ C ）
A. B. C. D.
5. (2011·东莞期末)已知命题，．若命题是假命题，则实数的取值范围是 (1,+∞) .（用区间表示）
6．(2011·佛山一检)已知集合，则等于( C )
A． B． C． D．
7．（2011·广东四校一月联考）设全集，集合，，则实数的值是 （ D ）
A．2 B．8 C．或8 D．2或8
8. (2011·广州期末)函数的定义域为( A )
A． B． C． D．
9.(2011·广州期末)“”是“”成立的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2011·哈九中高三期末）已知全集，，，则集合等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系和集合的运算规律进行，即不在结合中，也不在集合中，所以在集合且在中，根据并集的意义即可。
【解析】根据分析，。
【考点】集合
【点评】本题也可以直接进行检验，但在【分析】中说明的方法是最根本的，是从元素与集合的关系以及交集和交集的含义上进行的解答。
11．(2011·杭州一检)已知aR，则“”是“”的 （ B ）
A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
12．(2011·湖北重点中学二联)是的 （ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
13．(2011·湖北重点中学二联)已知 。
14、 (2011·淮南一模)已知，，，则
A． B． C． D．
1.B【解析】
15、(2011·黄冈期末)设，且，若，则实数P的值为（ B ）
A、-4 B、4 C、-6 D、6
16、(2011·黄冈期末)不等式1＜x＜成立是不等式成立的是（ A ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、非充分条件
17. (2011·锦州期末)设全集，则图中阴影部分表示的集合为 ( B )
（A） （B）
（C） （D）
18.(2011·锦州期末)“a=1”是“函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的（ A ）
（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件
（C）充要条件 （D） 既非充分条件也不是必要条件
19.(2011·锦州期末)某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把名使用血清的人与另外名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用列联表计算得，经查对临界值表知．对此，四名同学做出了以下的判断：：有的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”：若某人未使用该血清，那么他在一年中有的可能性得感冒：这种血清预防感冒的有效率为 ：这种血清预防感冒的有效率为 则下列结论中，正确结论的序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上）
①； ②； ③； ④
20．（2011·九江七校二月联考）设集合= （ D ）
A． B． C． D．
21．（2011·九江七校二月联考）命题“存在，使得 成立”的否定是___任意， 成立_____
22.(2011·日照一调)设全集=，集合，，则下列关系中正确的是( B )
(A) (B) (C) (D)
23.(2011·日照一调)二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( D )
(A) (B) (C) (D)
24．（2011·三明三校一月联考）已知全集
B= （ A ）
A．{1，2} B．{5} C．{1，2，3} D．{3，4，6}
25、（2011·三明三校一月联考）已知命题：，则( A)
A． B．
C． D．
26、(2011·上海长宁期末)已知集合，，若，则实数a的取值范围是 ．
27、(2011·上海长宁期末)“m<”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的（ A ）
A、充分非必要条件 B、充分必要条件 C、必要非充分条件 D、非充分非必要条件
28. （2011·上海普陀区期末）已知集合，，则 .
29. （2011·上海普陀区期末）“”是“”的 （ B ）
A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件.
30.（2011·泰安高三期末）已知全集U=R，则正确表示集合M={ x R｜0≤x≤2}和集合N={ x R｜x2-x=0}关系的韦恩（Venn）图是（ B ）
31.（2011·泰安高三期末）命题：“若-1＜x＜1，则x2＜1”的逆否命题是(D)
A若x≥1或x≤-1，则x2≥1 B。若x2＜1，则-1＜x＜1
C.若x2＞1，则x＞1或x＜-1 D。若x2≥1，则x≥1或x≤-1
32.（2011·温州十校期末联考）设全集为R，集合A={x||x|＜1}，B=，则（ D ）
（A）（B） （C） （D）
33、（2011·温州十校期末联考）“”是“直线与互相平行”的（ A ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
34．（2011·烟台一月调研）已知则（ D ）
A．空集 B． C． D．
35．(2011·中山期末)设集合，则等于( A )
A．{1，2} B．{3，4} C．{1} D．{－2，－1，0，1，2}
36．(2011·中山期末)有下列四个命题： ①命题“若，则，互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若，则有实根”的逆否命题；④命题“若，则”的逆否命题。其中是真命题的是 ①②③ （填上你认为正确的命题的序号）。
2010年名校模拟题及其答案
一、选择题
1、（安徽省2010年高三六校联考理科）若集合,则是
(A) (B) C) (D)
【答案】B
【解析】由,
∴=,故选B.
2、（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测理科）已知集合，则（ ）
A．{1} B．{3，6} C．{4，5} D．{1，3，4，5，6}
【答案】B
3、（安徽省马鞍山市2010年高三第二次教学质量检测理科）若集合，集合，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
4、（安徽省巢湖市2010届高三第二次教学质量检测理科）设全集，集合，，则集合( B ).
A. B. C. D.
【答案】B
5、（安徽省安庆市2010年高三第二学期重点中学联考文科）已知集合，则集合=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
6、（安徽省合肥市2010年高三第一次教学质量检测文科）集合M=，集台N=，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{-1，l} B.{-I} C. {1} D.
【答案】B
7、（安徽省安庆市2010年高三二模考试文科）已知集合，、，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
8、（北京市石景山区2010年4月高三统一测试理科试题）已知命题，那么命题为 A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由全称命题的否定可得为，故选B。
【考点定位】本题考查简易逻辑中全称命题的否定，高考中常常以选择题或填空题的形式出现。
9、（北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试文科试题）已知向量，则“a//b”是“a+b=0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
10、（北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试文科试题）给出下列四个命题:
①若集合满足 则； ②给定命题, 若“”为真，则“”为真；
③设 若则；④若直线与直线垂直，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
11、（北京市朝阳区2010年4月高三年级第二学期统一考试文科）命题，则
A． B．
C． D．
【答案】A
12、（北京市丰台区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科）设集合，则集合是（ ）
A．B． C． D．
【答案】C
13、（北京市丰台区2010年4月高三年级第二学期统一考试理科）在，的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
14、（北京市丰台区2010年4月高三年级第二学期统一考试文科）若集合，则Q中元素的个数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】B
15、（北京市崇文区2010年4月高三年级第二学期统一练习理科）已知全集，集合，，则集合
（A） （B）（C） （D）
【答案】D
16、（北京市崇文区2010年4月高三年级第二学期统一练习文科）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数. 例如，. 那么“”是“”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
17、（北京市宣武区2010年4月高三第二学期第一次质量检测）
设集合，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
18、（北京市东城区2010届高三第二学期综合练习理科）设全集，，，则等于（ D ）
A． B． C． D．
【答案】D
19、（北京市怀柔区2010年3月第二学期高三期中练习理科）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
20、（广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）已知R是实数集，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4 ，故，选B.
21、（广东省惠州市2010届高三第三次调研文科）已知集合，则=
A． 　B． 　C． D．
【答案】D
【解析】 ,,. ∴选D。
22、（广东省惠州市2010届高三第三次调研文理科）设条件；条件，那么是的什么条件 （ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分且必要条件 D．非充分非必要条件
【答案】A
23、（2010年广东省揭阳市高考一模试题文理科）已知集合若,则为.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，，故选D.
24、（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）有关命题的说法错误的是 ( )
命题“若 则 ”的逆否命题为：“若, 则”.
“”是“”的充分不必要条件.
若为假命题，则、均为假命题.
对于命题：使得. 则： 均有.
【答案】C
25、（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）巳知全集，是虚数单位，集合（整数集）和的关系韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A． ３个 Ｂ．２个
Ｃ．１个 Ｄ．无穷个
【答案】B
26、（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）在的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
27、（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）已知集合，，若，则实数的所有可能取值的集合为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
28、(山东省济南外国语学校2010年3月高三质量检测理）设或，或，则是的 （ A ）
充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
【答案】A
29、（山东省日照市2010年3月高三一模理科）若集合，则是的（ ）
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】A
30、（辽宁省大连市2010届高三下学期双基测试理科）已知全集U=R，集合，集合，则集合等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
31、（辽宁省大连市2010届高三下学期双基测试理科）已知是两个非零向量，给定命题，命题，使得，则是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
32、（辽宁省抚顺市2010年普通高中应届毕业生高考模拟考试理科）
已知全集，集合，则集合等于 （ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
33、（辽宁省抚顺市2010年普通高中应届毕业生高考模拟考试文科）已知集合={1，2，3，4}，={3，4，5，6}，={1，3，4，6}，则下列关系正确的是
A． B． C． D．
【答案】D
34、（辽宁省抚顺市2010年普通高中应届毕业生高考模拟考试理科）在下列给出的四个命题中，为真命题的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
35、（辽宁省抚顺市2010年普通高中应届毕业生高考模拟考试理科）对于直线，和平面，，的一个充分条件是 （ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
36、（辽宁省抚顺市2010年普通高中应届毕业生高考模拟考试文科）命题“，”的否定为 （ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
37、（东北三省三校2010年高三第二次联合模拟考试文科）集合，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
38、（东北三省三校2010年高三第二次联合模拟考试文科）设，则是的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
39、(辽宁省沈阳市2010年高中三年级教学质量监测二理科)下列说法中，正确的是 （ ）
A．命题“若am2B．命题“”的否定是“≤0”
C．命题“p V q”为真命题，则命题“P”和命题“q”均为真命题
D．已知，则“>1”是“>2”的充分不必要条件
【答案】B
40、（辽宁省大连市2010年高三第一次模拟考试理科）已知集合，集合= （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
41、（辽宁省大连市2010年高三第一次模拟考试文科）已知集合，全体，则集合中的元素共有 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
42、（辽宁省大连市2010年高三第一次模拟考试理科）平面平面β的一个充分条件是（ ） A．存在一条直线a，a//α，a//β B．存在一条直线a，
C．存在两条平行直线a、b，D．存在两条相交直线
【答案】D
43、（辽宁省大连市2010年高三第一次模拟考试理科）给出下列四个命题：
①的否定是；②对于任意实数x，有则③函数是偶函数；④若对函数f（x）满足，则4是该函数的一个周期，其中真命题的个数为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
44、（东北三省四市2010年高三第二次联合考试文理科）设集合A={1，2}，则满足，的集合B的个数是（ ）
(A)1 (B)3 (C)4 (D)8
【答案】C
45、（辽宁省鞍山一中2010届高三第六次模拟考试理科）设全集，若集合和满足∩=，（）∩=,()∩()=，则中元素的个数为
A 1 B 2 C 3 D 4
【答案】B
46、(上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科) 已知条件，条件，则是成立的 （ ）
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．既非充分也非必要条件.
【答案】A
47、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】B
48、（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的（ ）
　A．充分非必要条件　　B．必要非充分条件 　C．充分且必要条件　　D．既非充分也非必要条件
【答案】D
49、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）下列4个命题中：（1）存在 使不等式 成立（2）不存在 使不等式成立（3）任意的 使不等式成立（4）任意的 使不等式成立 真命题的是 -----( )
（A） （1）、（3） （B） （1）、（4） （C） （2）、（3） （D） （2）、（4）
【答案】A
50、(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)设，则“且”是“且”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
51、（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）“直线与平面没有公共点”是“直线与平面平行”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
52、（重庆八中2010届高三4月月考理科）设全集，集合，集合，则下列关系中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
53、（重庆八中2010届高三4月月考文科）已知集合，，则集合与集合的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】C
54、（重庆市一中2010届高三下学期3月月考理）设集合{小于7的正整数},则( )
A.{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,5}
【答案】C
55、（重庆八中高2010届高三4月月考理科）已知直线和平面，则的一个必要非充分条件是( )
A．且 B．且
C．且 D．与所成角相等
【答案】D
56、（重庆市西南师大附中2010届高三下学期3月月考理）设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
57、（天津市武清区2009～2010学年高三下学期第一次模拟理）若全集U=R，集合A=｛｝，B=｛｝，则CU(A∩B)为（ ）
A．｛|或｝ B．｛|或｝
C．｛|或｝ D．｛|或｝
【答案】B
58、（天津市武清区2009～2010学年高三下学期第一次模拟文）已知全集U={0，2，4，6，8，10}，集合A={2，4，6}，B＝{1}，则UA∪B为（ ）
A．{0，1，8，10} B．{1，2，4，6}
C．{0，8，10} D．Φ
【答案】A
59、（天津市六校2010届高三第三次联考理科）已知集合
，若集合，则实数a的取值范围是 （ ）
A． B． C．[-3，1] D．[0，2]
【答案】A
60、若集合则A∩B是（ ）
A. B.　　C. 　 D.【答案】D
61、设，，，则 ( ▲ )
A． B． C． D．
62、（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考理科）已知集合，则=（　 ）　
, 或
【答案】D
63、已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）.
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
64、已知是实数，则“且”是“”的 ( ▲ )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
65、已知集合，则中的元素个数为
A. 0 B.1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】A（0，0） B（-1，1） C（1，1）
66、若集合，则中元素个数为 （ ）
A .6个 B.4个 C . 2个 D. 0个
【答案】B
67、设全集为，集合，则(　 　)
A. B. C. D.
【答案】C
68、集合，则A∩B= （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
69、已知集合= （ ）
A． B． C． D．[2，4]
【答案】A
70、已知集合，
则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
71、设集合P＝{3，4，5}，Q＝{4，5，6，7}，定义P※Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P※Q中元素的个数为（ ）
A．3　　　 B．4　　　 C．7　 D．12
【答案】D
72、（江西省六校2010届高三下学期联考理）定义AB＝{z| z＝xy＋, x∈A, y∈B}，设集合A＝{0, 2}, B＝{1, 2}, C＝{1}, 则集合(AB)C的所有元素之和为（　　）
A．3 B．9 C．18 D．27
【答案】C
73、（湖南省师大附中2010届高三第七次月考理科）设集合，则满足条件的集合P的个数是（ C ）
A．1 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【解析】因为，由，得，且0∈P，这样的集合P共有4个，故选C.
74、（湖南省长沙一中、雅礼中学2010届高三3月联考理科）设U为全集，M、P是U的两个非空子集，且等于（ ）
A．M B．P C． D．
【答案】D
【解析】 由故选D．
75、（湖南省湘潭市2010届高三第三次模拟考试文科）已知全集U={—1，0，1，2}，集合A={—1，2}，B={0，2}，则 = （ ）
A．{0} B．{2} C．{0，1，2} D．
【答案】B
76、（湖南省长沙市四县2010届高三调研联考文科）已知全集U＝R，
集合，则集合M，N的关系用韦恩（Venn）图可以表示为（ ）
【答案】B
二、填空题
1、（北京市海淀区2010年4月高三第一次模拟考试理科试题）给定下列四个命题：
①“”是“”的充分不必要条件；②若“”为真，则“”为真；③若，则； ④若集合，则.其中为真命题的是 （填上所有正确命题的序号）.
【答案】①，④
2、（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）已知函数的定义域为，集合，若P：“”是Q：“”的充分不必要条件，则实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】，由右图易得.
3、（山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题文科）已知命题.则是 ．
【答案】
4、（山东省日照市2010年3月高三一模理科）给出下列四个命题： ①命题的否定是； ②线性相关系数的绝对值越接近于，表明两个随机变量线性相关性越强； ③若则不等式成立的概率是； ④函数恒成立，则实数的取值范围是。 其中真命题的序号是 。(填上所有真命题的序号)
【答案】②④
5、（江苏省南通市2010年高三二模）设全集U=R，，B={x | sin x≥}，则 ▲ ．
【答案】
解析：由=, B={x | sin x≥}画数轴知.
6、（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）已知集合，。则= 。
【答案】
解析：因,,则=.
7、（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）已知集合，则的所有非空真子集的个数是 。
【答案】510
解析：，共9个元素，所以非空真子集个数为=510
8、（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）已知集合，设函数（）的值域为，若，则实数的取值范围是 ▲ ．
【答案】[]
9、（江苏省泰州市2010届高三联考试题）已知集合，，若，则的值为______▲_______．
【答案】0
解析：由集合，，且则的值为0．
10、（江苏省连云港市2010届高三二模试题）若，则集合的元素个数为 ▲ ．
【答案】3
11、（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）已知全集，集合，则_____________．
【答案】
12、（江苏省南京市2010年3月高三第二次模拟）已知集合，，则=
【答案】
13、（江苏省南通市2010年高三二模）命题“，”的否定是 ▲ ．
【答案】.
14、（江苏省无锡市2010年普通高中高三质量调研）若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 。
【答案】
解析：因得或,又 “”是“”的必要不充分条件,知 “”可以推出“”,反之不成立. 则的最大值为.
15、（江苏省无锡市部分学校2010年4月联考试卷）已知：，：或”则是的 条件。
（填：充分非必要；必要非充分；充要；既非充分又非必要中的一个）
【答案】充要
16、（江苏省苏南六校2010年高三年级联合调研考试）已知，设在R上单调递减，的值域为R，如果“或”为真命题，“或”也为真命题，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
17、（江苏省洪泽中学2010年4月高三年级第三次月考试卷）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】[-1，3]
18、（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟理科）已知全集，若集合，，则 ．
【答案】
19、（上海市嘉定黄浦2010年4月高考模拟文科）方程的解集是 ．　
【答案】
20、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟文科）已知集合，若则实数的取值范围是
【答案】
21、(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)设集合，则集合 ▲ ．
【答案】B或
22、（上海市浦东新区2010年4月高考预测理科）已知集合，集合，则 .
【答案】
23、（重庆市西南师大附中2010届高三下学期3月月考文理）设集合，则= ．
【答案】
三、解答题
1、（广东省佛山市顺德区2010年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）（本小题满分12分）已知全集集合，，，若，求实数的取值范围.
2、(上海市普陀区2010年高三第二次模拟考试理科)（本题满分14分）已知，
命题实系数一元二次方程的两根都是虚数；命题存在复数同时满足且.试判断：命题和命题之间是否存在推出关系？请说明你的理由.
解：若命题为真，可得;若命题为真，可知复平面上的圆和圆有交点，于是由图形不难得到, 若令集合，集合，可知集合和集合之间互不包含，于是命题和命题之间不存在推出关系.
【核心预测】
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．原命题：“设a、b、c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有(　　)
A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个
解析：选B.逆命题与否命题为假命题，而逆否命题为真命题．
2．命题“ x∈R，x2－2x＋4＞0”的否定是(　　)
A． x∈R，x2－2x＋4＜0 B． x∈R，x2－2x＋4＞0
C． x∈R，x2－2x＋4≥0 D． x∈R，x2－2x＋4≤0
答案：D
3．若全集U＝{1,2,3,4}，且 UA＝{2}，则集合A的真子集共有(　　)
A．3个 B．5个 C．7个 D．8个
解析：∵U＝{1,2,3,4}，且 UA＝{2}，∴A＝{1,3,4}，∴集合A的真子集共有23－1＝7个．选C.
4．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．(p)∨q B．p∧q C．(p)∨(q) D．(p)∧(q)
解析：选C.由题意可知p为真命题，q为假命题，∴p为假命题，綈q为真命题，∴(p∨(q为真命题．
5．设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则(　　)
A．P Q B．Q P C．P RQ D．Q RP
解析：选B.Q＝{x|－2＜x＜2}，∴Q P.
6．已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B A，则实数a的所有可能取值的集合为(　　)
A．{－1} B．{1} C．{－1,1} D．{－1,0,1}
解析：选D.当B＝ 时，a＝0；当B≠ 时，有下面三种情况：
①B＝{1}，则x＝－＝1，a＝－1；②B＝{－1}，则x＝－＝－1，a＝1；③B＝{1，－1}，则x＝－，a不存在．故a的值为0,1，－1.
7．集合A＝{y∈R|y＝2x}，B＝{－1,0,1}，则下列结论正确的是(　　)
A．A∩B＝{0,1} B．A∪B＝(0，＋∞)
C．( RA)∪B＝(－∞，0) D．( RA)∩B＝{－1,0}
解析：选D.集合A为函数y＝2x的值域，即A＝{y|y＞0}，则A∩B＝{1}，故选项A不正确；A∪B＝{－1}∪[0，＋∞)，所以选项B不正确；( RA)∪B＝{y|y≤0}∪{－1,0,1}＝(－∞，0]∪{1}，所以选项C不正确；( RA)∩B＝{y|y≤0}∩{－1,0,1}＝{－1,0}，所以选项D正确．
8．下列命题中，真命题是(　　)
A． m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B． m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C． m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D． m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：选A.由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“ m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题，选A.
9．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数．例如[3.27]＝3，[0.6]＝0，那么“[x]＝[y]”是“[x－y]＜1”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若[x]＝[y]可得[x－y]＜1，反之若[x－y]＜1，则[x]有可能等于[y]＋1或[y]－1，故为充分而不必要条件，选A.
10．已知全集U为实数集R，集合M＝{x|＜0}，N＝{x||x|≤1}，则右图中阴影部分表示的集合是(　　)
A．[－1,1] B．(－3,1] C．(－∞，－3]∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)
解析：选D.∵M＝{x|＜0}＝{x|－3＜x＜1}，N＝{x||x|≤1}＝{x|－1≤x≤1}，
∴阴影部分表示的集合为M∩ UN＝{x|－3＜x＜－1}，故选D.
11．设A、B是两个非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B且x A∩B}，已知A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，则A×B＝(　　)
A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪(2，＋∞) C．[0,1] D．[0,2]
解析：选A.∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，∴A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)，故选A.
12．已知命题p：关于x的不等式＞m的解集为{x|x≠0且x∈R}；命题q：f(x)＝－(5－2m)x为减函数．若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．(1,2) B．[1,2) C．(－∞，1] D．(－∞，1)
解析：选B.∵不等式＞m的解集为{x|x∈R，x≠0}，
又x2＋－1≥1，∴m＜1.∵f(x)＝－(5－2m)x为减函数，∴5－2m＞1，即m＜2.
由p或q为真命题，p且q为假命题，命题p、q一真一假．(1)若p真q假，则即为空集；(2)若p假q真，则即m∈[1,2)．综上所述，m的取值范围为[1,2)．
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中横线上)
13．已知集合A＝{a－2,2a2＋5a,12}，且－3∈A，则a＝________.
解析：∵－3∈A，则－3＝a－2或－3＝2a2＋5a.∴a＝－1或a＝－.当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，∴a＝－1舍去，故a＝－.答案：－
14．已知命题p：“ x∈R， m∈R，4x－2x＋1＋m＝0”，若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________．
解析：若命题綈p是假命题，则命题p是真命题，即关于x的方程4x－2x＋1＋m＝0有实数解，而m＝－(4x－2x＋1)＝－(2x－1)2＋1，所以m≤1.
答案：(－∞，1]
15．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15－x＋x＋10－x＋8＝30 x＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.
答案：12
16．下列命题：①G2＝ab是三个数a、G、b成等比数列的充要条件；②若函数y＝f(x)对任意实数x都满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)是周期函数；③对于命题p： x∈R,2x＋3＞0，则綈p： x∈R,2x＋3＜0；
④直线(x＋y)＋1＋a＝0与圆C：x2＋y2＝a(a＞0)相离．其中不正确命题的序号为______(把你认为不正确的命题序号都填上)．
解析：命题①中，当G2＝ab＝0时，三个数不能构成等比数列；②由f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)为以4为周期的周期函数；③命题 x∈R,2x＋3＞0的否定为 x∈R,2x＋3≤0；④由于a＞0，故圆心到已知直线的距离为＝≥从而直线与圆相切或相离．故不正确的命题为①③④.答案：①③④
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17． (本小题满分12分)
【解析】
18、(本小题满分12分)设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a＜0}．(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；(2)当A∪B A，求实数a的取值范围．
解：A＝{x|2x2－7x＋3≤0}＝{x|≤x≤3}．
(1)当a＝－4时，B＝{x|x2＋a＜0}＝{x|x2－4＜0}＝{x|－2＜x＜2}，
所以A∩B＝{x|≤x＜2}，A∪B＝{x|－2＜x≤3}．
(2)由A∪B A知A∪B＝A，所以B A.①若B＝ ，此时a≥0，满足B A；
②若B≠ ，此时a＜0，B＝{x|－＜x＜}，所以有，无解．
综上，a的取值范围是a≥0.
19． (本小题满分12分)集合A＝{(x，y)|y＝－x2＋mx－1}，B＝{(x，y)|y＝3－x,0≤x≤3}，若A∩B是只有一个元素的集合，求实数m的取值范围．
解：集合A表示抛物线上的点，抛物线y＝－x2＋mx－1开口向下且过点(0，－1)．集合B表示线段上的点，要使A∩B只有一个元素，则线段与抛物线的位置关系有以下两种，如图：
图1图2
由图1知，在函数f(x)＝－x2＋mx－1中，只要f(3)≥0即可．即m≥.
由图2知，抛物线与直线在x∈[0,3]上相切，即 x2－(m＋1)x＋4＝0
Δ＝(m＋1)2－16＝0.∴m＝3或m＝－5.当m＝3时，切点为(2,1)，适合；
当m＝－5时，切点为(－2,5)，舍去．∴m＝3或m≥.
20． (本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|(a∈R且a≠－2)．(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，写出g(x)，h(x)的解析式(不需证明)；(2)命题p：函数f(x)在区间[(a＋1)2，＋∞]上是增函数，命题q：函数g(x)是减函数．如果p∨q为真，p∧q为假，求a的取值范围；(3)在(2)的条件下，比较f(2)与3－lg2的大小．
21．(本小题满分12分)设A＝{x|x2＋mx＋n＝0，x∈R}，M＝{x|x＝2k－1，k∈N}，Q＝{1,4,7,10}．若A∩M＝ ，A∩Q＝A，求m、n的值或m、n满足的条件．
解：∵A∩M＝ ，A∩Q＝A，∴A＝ 或A＝{4}或A＝{10}或A＝{4,10}．
(1)当A＝ 时，Δ＝m2－4n＜0，即m2＜4n.
(2)当A＝{4}时，满足，∴.
(3)当A＝{10}时，满足，∴.
(4)当A＝{4,10}时，满足，∴.
综上知m2＜4n或或或.
22．(本小题满分14分)设集合A的元素为实数，且满足条件：①－1 A,0 A,1 A；②若a∈A，则∈A.(1)若2∈A，求出集合A其它所有元素；(2)自己设计一个实数属于A，求出集合A其它所有元素；(3)根据已知条件和前面的(1)(2)你能悟出什么，并证明你的猜想．
解：(1)由2∈A，则＝－3∈A ＝－∈A ＝∈A ＝2∈A，所以集合A＝{2，－3，－，}；
(2)任取一常数，如3∈A，则同(1)可得A＝{3，－2，－，}；
(3)猜想任意的a≠±1，a≠0，a∈A，则集合A＝.下面作简要证明：a∈A，∈A ＝－∈A ＝∈A ＝a∈A.其中这四个元素互不相等，否则a＝±1或a＝0.所以集合A＝{a，，－，}．
本卷第1页（共44页）2012考前90天突破——高考核心考点
专题十一 概率与统计
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读统计
　　（1）随机抽样① 理解随机抽样的必要性和重要性.② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.
　　（2）用样本估计总体　① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.　　② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.　　③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.　　④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.　⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
（3）变量的相关性　① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系.　② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.
概率
（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.　　② 了解两个互斥事件的概率加法公式.
（2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式.　　②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.
（3）随机数与几何概型　　①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.　　②了解几何概型的意义.
概率与统计
　（1）概率① 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.　② 理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.　　③ 了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.　④ 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.⑤ 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
（2）统计案例　了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.　（1）独立性检验　了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.　（2）回归分析　了解回归的基本思想、方法及其简单应用.
近几年考点分布概率与统计问题是每年高考必考内容.理科考查等可能事件的概率计算公式,互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式,相互独立事件的概率乘法公式,事件在n次独立重复试验种恰好发生k次的概率计算公式、离散型随机变量分布列和数学期望、方差等基本公式的应用，‘试题多为课本例题,习题拓展加工的基础题或中档题.只要我们理解和掌握五个概率公式及其应用,夯实基础,借助排列组合知识和化归转化思想方法,就能顺利解答高考概率与统计试题.
概率统计试题在试卷中的题型逐年发生变化，2011年高考数学的19份理科试卷中，出现概率与统计解答题的有17套，占89.4%，其中有9份试卷中有一道客观题(选择题或填空题)和一道解答题，有2份试卷中只出现客观题。最多的概率与统计问题的分值占整个卷面分值的12%，且本部分题多为中低档题。从而可以看出近几年高考中概率与统计所占地位的重要性。
【考点pk】名师考点透析
考点一、随机事件的概率
例1：某条公共汽车线路沿线共有11个车站（包括起点站和终点站），在起点站开出的一辆公共汽车上有6位乘客，假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的．求：（I）这6位乘客在其不相同的车站下车的概率；（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率；
解：（I）这6位乘客在互不相同的车站下车的概率为．
（II）这6位乘客中恰有3人在终点站下车的概率为．
【名师点睛】等可能性事件的概率：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n个,即此试验由n个基本事件组成,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是.如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率P（A）=.使用公式P（A）=计算时,确定m、n的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式,可充分利用排列组合知识中的分类计数原理和分步计数原理,必须做到不重复不遗漏.求解等可能性事件A的概率一般遵循如下步骤：（1）先确定一次试验是什么,此时一次试验的可能性结果有多少，即求出A.（2）再确定所研究的事件A是什么,事件A包括结果有多少,即求出m.（3）应用等可能性事件概率公式P=计算.
例2：设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”，当a0,b0关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件是ab。试验的全部结果所构成的区域为，构成事件A的区域。所以关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的概率=。
【名师点睛】判断是否是几何概型，关键要判断试验的结果是不是无限个，每个试验的结果是不是等可能的。
考点二互斥事件有一个发生的概率
例3：例3：某市有A、B两所示范高中响应政府号召，对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动．经上级研究决定：向甲地派出3名A校教师和2名B校教师，向乙地派出3名A校教师和3名B校教师．由于客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区．（Ⅰ）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；（Ⅱ）求互换后A校教师派往甲地区人数不少于3名的概率．
解：（Ⅰ）记“互换后派往两地区的两校的教师人数不变”为事件E，有以下两种情况：
①互换的是A校的教师，记此事件为，则；
②互换的是B校的教师，记此事件为，则．则互换后派往两地区的两校的教师人数不变的概率为．
（Ⅱ）令“甲地区A校教师人数不少于3名”为事件F，包括两个事件：“甲地区A校教师人数有3名”设为事件；“甲地区A校教师人数有4名”设为事件，且事件、互斥．则； ．甲地区A校教师人数不少于3名的概率为
【名师点睛】事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的，因此当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥），且有P（A+）=P（A）+P（）=1.
当计算事件A的概率P（A）比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有P（A）=1－P（）.对于n个互斥事件A1，A2，…，An，其加法公式为P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.概率加法公式仅适用于互斥事件，即当A、B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），否则公式不能使用.如果某事件A发生包含的情况较多，而它的对立事件（即A不发生）所包含的情形较少，利用公式P（A）=1－P（）计算A的概率则比较方便.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.
考点三、相互独立事件同时发生的概率
例4：例4：一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分。没有击中记分0分，每次击中目标的概率乙每击中目标一次记20分，没有击中记0分，每次击中目标的概率为 （I）求此人得20分的概率； （II）求甲乙两人得分相同的概率。
解：（Ⅰ）甲得20分的概率为
（Ⅱ）甲、乙两人得分相同为甲乙两人均为0分或均为20分
【名师点睛】事件A与B的积记作A·B，A·B表示这样一个事件，即A与B同时发生.当A和B是相互独立事件时，事件A·B满足乘法公式P（A·B）=P（A）·P（B），还要弄清·，的区别. ·表示事件与同时发生，因此它们的对立事件A与B同时不发生，也等价于A与B至少有一个发生的对立事件即，因此有·≠，但·=.应用公式时，要注意前提条件，只有对于相互独立事件A与B来说，才能运用公式P（A·B）=P（A）·P（B）..在学习过程中，要善于将较复杂的事件分解为互斥事件的和及独立事件的积，或其对立事件.首先要搞清事件间的关系（是否彼此互斥、是否互相独立、是否对立），当且仅当事件A和事件B互相独立时，才有P（A·B）=P（A）·P（B）.A、B中至少有一个发生：A+B.（1）若A、B互斥：P（A+B）=P（A）+P（B），否则不成立.（2）若A、B相互独立（不互斥）.法一：P（A+B）=P（A·B）+P（A·）+P（·B）；法二：P（A+B）=1－P（·）；法三：P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）.某些事件若含有较多的互斥事件，可考虑其对立事件的概率，这样可减少运算量，提高正确率.要注意“至多”“至少”等题型的转化n次独立重复试验中某事件发生k次的概率Pn（k）=Cpk（1－p）n－k正好是二项式［（1－p）+p］n的展开式的第k+1项.
考点四、离散型随机变量的分布列
例5：在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为，求随机变量的分布列和期望.
解：设事件（）表示“该选手能正确回答第轮问题”，由已知，，，，
（Ⅰ）（Ⅱ）.………6分
（Ⅲ）的分布列为
……………12分
.…………………13分
【名师点睛】1.随机变量的概念如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，它常用希腊字母ξ、η等表示.（1）离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量.（2）若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
（1）概率分布（分布列）.设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率P（ξ=xi）=pi，则称表
ξ x1 x2 … xi …
P p1 p2 … pi …
为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.
（2）二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P（ξ=k）=Cpkqn－k.
其中k=0，1，…，n，q=1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ 0 1 … k … n
P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n，p），其中n、p为参数，并记Cpkqn－k=b（k；n，p）.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和.求离散型随机变量的分布列必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率.求一些离散型随机变量的分布列，在某种程度上就是正确地求出相应的事件个数，即相应的排列组合数，所以学好排列组合是学好分布列的基础与前提.
考点五、离散型随机变量的期望与方差
例6：2011年3月11日日本发生9.0级地震后，某国派遣了由9名医护人员和27名搜救人员组成的救援队到日本救援，谁知日本福岛核电站连续爆炸，使该救援队的医护人员和的搜救人员遭轻微核辐射.（Ⅰ）在该救援队中随机抽查3名救援队员，求恰有1名遭轻微核辐射的医护人员且至多1名遭轻微核辐射的搜救人员的概率；（Ⅱ）在该救援队中随机抽查3名医护人员，设其中遭轻微核辐射的人数为随机变量，求的分布列及数学期望．
解：（I）设“所抽查的3人中，恰有1名遭轻微核辐射的医护人员，至多1名遭轻微核辐射的搜救人员”为事件，“所抽查的3人中，恰有1名遭轻微核辐射的医护人员，0名遭轻微核辐射的搜救人员”为事件，“所抽查的3人中，恰有1名遭轻微核辐射的医护人员，1名遭轻微核辐射的搜救人员，1名正常的救援队员”为事件．则…4分 ．
∴在该救援队中随机抽查3名救援队员，恰有1名遭轻微核辐射的医护人员且至多1名遭轻微核辐射的搜救人员的概率是
（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3．, ，
，（每个1分）． 的分布列为：
0 1 2 3
　　　
∴ ．
【名师点睛】1.期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi（i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xi pi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.
2.方差：称Dξ=∑（xi－Eξ）2pi为随机变量ξ的均方差，简称方差.叫标准差，反映了ξ的离散程度.
3.性质：（1）E（aξ+b）=aEξ+b，D（aξ+b）=a2Dξ（a、b为常数）.
（2）若ξ～B（n，p），则Eξ=np，Dξ=npq（q=1－p）.
对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.
考点六、抽样方法、总体分布的估计
例7：为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2．
表1:男生身高频数分布表
表2：:女生身高频数分布表
（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；
（2）估计该校学生身高在的概率；
（3）从样本中身高在180190cm之间的男生中
任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间
的概率。
解：（1）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例
为10%可得全校男生人数为400．
频率分布直方图如右图示：
（2）由表1、表2知，样本中身高在的
学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，
所以样本中学生身高在的频率-
故由估计该校学生身高在
的概率．
（3）样本中身高在180185cm之间的男生有4人，
设其编号为①②③④ 样本中身高在185190cm之间
的男生有2人，设其编号为⑤⑥从上述6人中任取2人的树状图为：
故从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率．
【名师点睛】1.简单随机抽样：一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.
2.分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样. 分层抽样的步骤：（1）分层；（2）按比例确定每层抽取个体的个数；（3）各层抽样（方法可以不同）；（4）汇合成样本.
3.总体：在数理统计中，通常把被研究的对象的全体叫做总体.
4.频率分布：用样本估计总体，是研究统计问题的基本思想方法，样本中所有数据（或数据组）的频数和样本容量的比，就是该数据的频率.所有数据（或数据组）的频率的分布变化规律叫做样本的频率分布.可以用样本频率表、样本频率分布条形图或频率分布直方图来表示.解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计.
【金题热身】
11年高考试题及解析
1、（陕西理10）．甲乙两人一起去“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】：各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览有种，且等可能，最后一小时他们同在一个景点有种，则最后一小时他们同在一个景点的概率是，故选D
2、（江苏5）.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______
答案：
解析：简单考察古典概型的概率计算，容易题。
3、（广东理6）.甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A. B. C. D.
【解析】D.由题得甲队获得冠军有两种情况，第一局胜或第一局输第二局胜，所以甲队获得冠军的概率所以选D.
4、（浙江理9）.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率
（A） （B） （C） （D ）
【答案】 B
【解析】：5本不同的书并排摆放到书架的同一层上有，每种摆放方法等可能，同一科目的书都不相邻的摆放有，概率，故选B
5、（浙江理15）.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记为该毕业生得到面试得公司个数。若，则随机变量的数学期望
【答案】
【解析】：，的取值为0，1，2，3
，
，
故
6、（课标卷理4）. 有三个兴趣小组，甲乙两个同学各自参加其中一个小组、每个同学参加各小组可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ）
A B C D
4.解析：A,因为甲乙两位同学参加同一个小组有3种方法，两位同学个参加一个小组共有种方法；所以，甲乙两位同学参加同一个小组的概率为
点评：本题考查排列组合、概率的概念及其运算和分析问题、解决问题的能力。
7、（湖南理15）. 如图4，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1） ;（2） .
解析：（1）是几何概型：；（2）是条件概率：.
评析：本小题主要考查几何概型与条件概率的计算.
8、（湖北理5）．已知随机变量服从正态分布，且，则
A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2
解析：由正态分布规律可知，则，
故，所以选C.
9、（湖北理7）．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连成一个系统.
当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，
系统正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率
依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为
A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576
解析：系统正常工作概率为，所以选B.
10、（湖北理12）. 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为 （结果用最简分数表示）
解析：因为30瓶饮料中未过期饮料有30-3=27瓶，故其概率为.
11、（福建理4）.如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】：矩形ABCD的面积，△ABE的面积，点Q取自△ABE内部的概率等于故选C
12、（福建理13）.何种装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。
【解析】：随机取出2球有，取出的2个球颜色不同有，所取出的2个球颜色不同的概率
13、（辽宁理5）.从1.2.3.4.5中任取2各不同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P(B︱A)= （ ）
(A) (B) (C) (D)
解析：由题意，P(A)=, P(AB)=,故P(B︱A)=.
14、(辽宁理14) .调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：=0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_______万元.
答案： 0.254
解析：由线性回归直线斜率的几何意义可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.254万元.
15、（北京理6）.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（A，c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品时用时15分钟，那么c和A的值分别是
A. 75，25 B. 75，16 C. 60，25 D. 60，16
【答案】D
【解析】由条件可知，时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个
分段函数，即，，选D。
16、（天津理9）．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________
【答案】12
【解析】本题考查分层抽样,由题意知,抽取比例为,所以抽取
男运动员的人数为.
17、（江西理6）.变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5); 变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则
A. B． C． D．
【解析】由数据可以看出变量Y与X之间是正相关, 变量V与U之间是负相关,所以,选C.
18、（江西理12）.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书，则小波周末不在家看书的概率为
【解析】小波周末不在家看书包含两种情况:一是去看电影;二是去打篮球;所以小波周末不在家看书的概率为.
19、（重庆理13）.将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为
解析： 。硬币投掷6次，有三类情况，①正面次数比反面次数多；②反面次数比正面次数多；③正面次数而后反面次数一样多；，③概率为，①②的概率显然相同，故①的概率为
20、（陕西理9）．设，，， 是变量x和y的n个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是
（A）x和y相关系数为直线l的斜率
（B）x和y的相关系数在0到1之间
（C）当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
（D）直线过点
【答案】D
【解析】：由得又，所以则直线过点，故选D
21.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差
答案：
解析：考察方差的计算，可以先把这组数都减去6再求方差，，容易题。
22、（四川理1）.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是( )
(A) (B) (C) （D）
解析：大于或等于31.5的数据所占的频数为12+7+3=22，该数据所占的频率约为.
23、（广东理13）.某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm.
【解析】
24、（山东理7）. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用（万元） 4 2 3 5
销售额（万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
(A)63.6万元 (B)65.5万元 (C)67.7万元 (D)72.0万元
【解析】由表可计算,,因为点在回归直线上,且为9.4，所以, 解得,故回归方程为, 令x=6得65.5,选B.
25、（湖南理4）.通过随即询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计
爱好 40 20 60
不爱好 20 30 50
总计 60 50 110
由算得，.
附表：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
参照附表，得到的正确结论是
A.在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 在犯错的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
答案：C
解析：因为K2≈7.8>6.635, 由99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C
评析：本小题主要考查统计中独立性检验的基本思想和方法的应用.
26、（上海理9）.马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布律如下表
请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，
且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这两个“？”处的数值相同。
据此，小牛给出了正确答案 。
解析：令则，
27、（上海理12）随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是 （默认每月天数相同，结果精确到）。
解析：取9个同学不在同一月出生的概率，至少有2个同学在同一月出生的概率是
28、（全国理18).(本小题满分12分) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0．3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求的期望。
【解析】：设该车主购买乙种保险的概率为，由题：，解得
（Ⅰ）设所求概率为，则故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率为0.8.
(Ⅱ) 甲乙两种保险都不购买的概率为1-0.8=0.2.设甲乙两种保险都不购买的车主数为，则B（100，0.2），
答：该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率为0.8, 的期望值是20。
29、（四川理18）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有人独立来该租车点则车骑游.各租一车一次.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时.（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；
解析：（Ⅰ）所付费用相同即为元.设付0元为，付2元为，付4元为则所付费用相同的概率为
（Ⅱ）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为
分布列
0 2 4 6 8
30、（山东理18）.（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.
【解析】（Ⅰ）红队至少两名队员获胜的概率为=0.55.
（Ⅱ）取的可能结果为0,1,2,3,则=0.1;
++=0.35;
=0.4;=0.15.
所以的分布列为
0 1 2 3
P 0.1 0.35 0.4 0.15
数学期望=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.
31、（天津理16）.（本小题满分13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在一次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.
【解析】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.
（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件,则.
（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=,又
,且互斥,所以.
（Ⅱ）由题意可知的所有可能取值为0,1,,2,P(=0)=,
P(=1)=,P(=2) =,所以的分布列是
0 1 2
P
的数学期望=+=.
32、（江西理16）.某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则云工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的倍数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.（1）求X的分布列（2）求此员工月工资的期望
解：（1）X的所有可能取值为：0，1，2，3，4,即
X 0 1 2 3 4
P
（2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500
所以新录用员工月工资的期望为2280元.
33、（重庆理17）.（本小题满分13分。（Ⅰ）小问5分（Ⅱ）小问8分.）
某市公租房房屋位于A.B.C三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:（Ⅰ）若有2人申请A片区房屋的概率;（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的分布列与期望。
34、（陕西理20）.（本小题满分13分）如图，A地到火车站共有两条路径 和 ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：
时间（分钟）
的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1
现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望。
【解析】：（Ⅰ） 表示事件“甲选择路径时，40分钟内赶到火车站”， 表示事件“乙选择路径时，50分钟内赶到火车站”， 用频率估计相应的概率可得，。甲应选择
，乙应选择
（Ⅱ）A、B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知 又由题意知，A，B独立，
X的分布列为
X 0 1 2
P 0.04 0.42 0.54
35、（广东理17）.（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号 1 2 3 4 5
X 169 178 166 175 180
y 75 80 77 70 81
（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足≥175且y≥75，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.
【解析】（1）由题得 所以乙厂生产的产品数量为35件。
（2）由题得乙厂生产的优等品的数量为件。
（3）由题得
所以随机变量的分布列为
0 1 2
P
所以随机变量的均值=
36、（课标卷理19）. （本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表
指标值分组
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组
频数 4 12 42 32 8
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
分析：利用统计数据和概率的意义求概率；由已知的利润函数为随机变量的值和相应的概率求数学期望。
解：（Ⅰ）由试验结果知：使用A配方生产的优质品的概率为；
使用B配方生产的优质品的概率为
(Ⅱ) 使用B配方生产的产品中，质量指标落入在区间的频率分别是0.04,0.54,0.42，因此，利润X的概率分布为：
X -2 2 4
P 0.04 0.54 0.42
所以，X的数学期望是
点评：本题考查概率和统计的相关内容，主要把握统计的结果对应的是随机变量及其概率，运用概念求解，避免理解上的偏差。
37、（湖南理18）. （本小题满分12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件） 0 1 2 3
频数 1 5 9 5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）.设某天开始营业时由该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货.将频率视为概率.
求当天商店不进货的概率；记为第二天开始营业时该商品视为件数，求的分布列和数学期望.
解：=+
由题意知，的可能取值为2，3.
+
+故的分布列为
所以的数学期望为.
评析：本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法.求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法，以及互斥事件概率的求法.
38、（福建理19）.（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
5 6 7 8
P 0.4 a b 0.1
且的数字期望=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数的数学期望.
（Ⅲ）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：（1）产品的“性价比”=； （2）“性价比”大的产品更具可购买性.
【解析】：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识、考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。
解：（I）因为，所以，即又由的概率分布列得，即由解得
（II）由已知得，样本的频率分布表如下：
3 4 5 6 7 8
0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：
3 4 5 6 7 8
0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1
所以
=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8。
（Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为=1，因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为=1.2据此，乙厂的产品更其可购买性。
39、（辽宁理19）.（本小题满分12分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据x1，x2，…，xa的样本方差，其中为样本平均数.
解析：（I）X可能的取值为0,1,2,3,4,且
即X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
X的数学期望是：.
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：
，
.
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别是：
，
，
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.
40、（北京理17）.以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。
（1）如果，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
（2）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望。（注：方差，其中为，，…，的平均数）
【解析】：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，
所以平均数为
方差为
（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=
同理可得
所以随机变量Y的分布列为：
Y 17 18 19 20 21
P
==19
41、（安徽理20）.（本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。
【命题意图】：本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列，均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识。
【解析】：（Ⅰ）无论怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率为=
（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，所需派出人员数目的分布列为
1 2 3
P
所需派出人员数目的均值（数字期望）是
（Ⅲ）（方法一）由（Ⅱ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人时，所需派出人员数目的均值（数字期望）是 按常理，优先派完成任务概率大的人，可减少所需派出人员的数目的均值。下面证明：对于的任意组合，都有
…（＊）
事实上△==
= =
所以（＊）式成立。
（方法二）（i）可将（Ⅱ）中改写为，若交换前两人的顺序，则变为，由此可见，当时，交换前两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。
（ii）也可将（Ⅱ）中改写为，若交换后两人的顺序则变为，由此可见，保持第一个人不变，当时，交换后两人的顺序可减少所需派出人员的数目的均值。组合（i）（ii）可知，当时达到最小，即优先派完成任务概率大的人，可减少所需派出人员的数目的均值，这一结论也合乎常理。
【核心突破】
2011名校模拟题及其答案
一、选择题
1（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）一组抛物线，其中为2,4,6,8中任取的一个数，为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线交点处的切线相互平行的概率是（ ）
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．
答案 B.
2（成都市玉林中学2010—2011学年度）在重庆召开的“市长峰会”期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为
A. B. C. D.
答案 C.
3(福建省福州八中2011届高三文) 在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在正方形内切圆的上半圆（图中阴影部分）中的概率是
A． B． C． D．
答案 C.
4 （河北省唐山一中2011届高三文） 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡
片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为
（ ）
A． B． C． D．
答案 B.
5(广东省河源市龙川一中2011届高三理）在区间[0，]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案 C.
6（湖南省长沙市第一中学2011届高三第五次月考理）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为( )
A. B. C. D.
解：当十位与千位是4或5时，共有波浪数为AA＝12个.当千位是5，十位是3时，万位只能是4，此时共有2个波浪数.当千位是3，十位是5时，末位只能是4.此时共有2个波浪数.故所求概率P＝＝.
7（浙江省嘉兴一中2011届高三12月月考题文）国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后顺序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为　
　　　　　　　　　　　　　　　（　　）
答案 B.
8（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）抛掷两个骰子,则两个骰子点数之和大于4的概率为
A． B． C． D．
答案 D.
9（浙江省温州市啸秋中学2010学年第一学期高三会考模拟试卷）某人射击一次击中的概率为，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为
A． B． C． D．
答案 A.
二、填空题
1（河南省郑州市四十七中2011届高三第三次月考文）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60 km/h的汽车数量为_____ __ _。
答案 76.
2（2011嘉禾一中）某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10：8：7，从中抽取200 名职员作为样本，若每人被抽取的概率为0．2，则该单位青年职员的人数为____________．
答案 400，
3（成都市玉林中学2010—2011学年度）某校有高中生1200人，初中生900人，老师120人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本；已知从初中生中抽取人数为60人，那么= 。
答案．148。
解：
4（江苏省泰州中学2011年高三文）如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前个小组的频率之比为，第小组的频数为，则抽取的学生人数是 .
答案 40.
5(山东省实验中学2011届高三数学文理）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为_______.
分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
答案 。
6、（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研理科）设随机变量，且，则实数的值为 。
【解析】，由得
7．（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研文科）某机构就当地居民的月收入调查了1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）．为了深入调查，要从这1万人中按月收入用分层抽样方法抽出100人，则月收入在（元）段应抽出 人．
【解析】每个个体被抽入样的概率均为，
在内的频率为0.0005×（3000－2500）＝0.25，频数为10 000×0.25＝2 500人，则该范围内应当抽取的人数为2 500×＝25人.
8 (广东省佛山2011年2月联考理)一个总体分为A、B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为30的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都是，则总体中的个体数为 360 。
9(广东省江门市2011年高考一模理科)已知，，
，某次全市20000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布，则本次考试120分以上的学生约有 500 人．
三、解答题
1（浙江省杭州宏升高复学校2011届高三上学期第三次月考文）（本题14分）从装有编号分别为a,b的2个黄球和编号分别为 c,d的2个红球的袋中无放回地摸球，每次任摸一球，求：(Ⅰ)第1次摸到黄球的概率；(Ⅱ)第2次摸到黄球的概率.
解：(Ⅰ)第1次摸球有4个可能的结果：a，b，c，d，其中第1次摸到黄球的结果包括：a，b,故第1次摸到黄球的概率是. 4分
(Ⅱ)先后两次摸球有12种可能的结果：（a，b）（a，c）（a，d）（b，a）（b，c）（b，d）（c，a）（c，b）（c，d）（d，a）（d，b）（d，c），其中第2次摸到黄球的结果包括：（a，b）(b，a)（c，a）（c，b）（d，a）（d，b），故第2次摸到黄球的概率为. 10分
2（河北省唐山一中2011届高三文）(本题满分12分)甲、乙两位乒乓球选手，在过去的40局比赛中，甲胜24局.现在两人再次相遇. ⑴打满3局比赛，甲最有可能胜乙几局，说明理由； ⑵采用“三局两胜”或“五局三胜”两种赛制，哪种对甲更有利，说明理由.（注：计算时，以频率作为概率的近似值.“三局两胜”就是有一方胜局达到两局时，就结束比赛；“五局三胜”就是有一方胜局达到三局时，就结束比赛）
解：比赛一局，甲胜的概率约为p=.……1分
⑴甲胜k(k=0,1,2,3)局的概率为.……2分
则 ，…5分
因为甲P3(2)最大，所以甲最有可能胜两局；………6分
⑵三局两胜制：甲胜的概率为P1=，………………8分
五局三胜制：甲胜的概率为P2=，……11分
因为P2>P1，所以采用“五局三胜制”对甲有利. ……………12分
3（浙江省桐乡一中2011届高三文）（本小题满分14分）某高校最近出台一项英语等级考试规定；每位考试者两年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取证书，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。如果小明决定参加等级考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.9，（1）求小明在两年内领到证书的概率；　（2）求在两年内小明参加英语等级考试次数的分布列和的期望．
解：（1）小明在两年内领到证书的概率为P＝1－(1－0.5)(1－0.6)(1-0.7)(1－0.9)＝0.994.
　（2）的取值分别为1，2，3，4. ，表明小明第一次参加英语等级考试就通过了，故P（）=0.5.
，表明小明在第一次考试未通过，第二次通过了，故
ξ＝3，表明小明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
ξ＝4，表明小明第一、二、三次考试都未通过，故
∴小明实际参加考试次数ξ的分布列为：
ξ 1 2 3 4
P 0.5 0.30 0.14 0.06
∴ξ的期望Eξ=1×0.5+2×0.30+3×0.14+4×0.06=1.76.
4（浙江省杭州宏升高复学校2011届高三第一次模拟考试试题理）（本小题满分14分）某商场“十.一”期间举行有奖促销活动,顾客只要在商店购物满８00元就能得到一次摸奖机会.摸奖规则是:在盒子内预先放有5个相同的球,其中一个球标号是０，两个球标号都是４０，还有两个球没有标号。顾客依次从盒子里摸球，每次摸一个球（不放回），若累计摸到两个没有标号的球就停止摸球，否则将盒子内球摸完才停止.奖金数为摸出球的标号之和（单位：元），已知某顾客得到一次摸奖机会。（Ⅰ）求该顾客摸三次球被停止的概率；（Ⅱ）设（元）为该顾客摸球停止时所得的奖金数，求的分布列及数学期望.
解（Ⅰ）记“顾客摸球三次被停止”为事件A，则
（Ⅱ）
，
0 40 80
5（2011嘉禾一中）（本小题满分12 分）从甲地到乙地一天共有A、B 两班车，由于雨雪天气的影响，一段时间内A 班车正点到达乙地的概率为0．7，B 班车正点到达乙地的概率为0．75。 （1）有三位游客分别乘坐三天的A 班车，从甲地到乙地，求其中恰有两名游客正点到达的概率（答案用数字表示）。 （2）有两位游客分别乘坐A、B 班车，从甲地到乙地，求其中至少有1 人正点到达的概率（答案用数字表示）。
解：（1）坐A 班车的三人中恰有2 人正点到达的概率为P3（2）= C0．72×0．31 = 0．441……（6 分）
（2）记“A 班车正点到达”为事件M，“B 班车正点到达冶为事件N则两人中至少有一人正点到达的概率为P = P（M·N）+ P（M·）+ P（·N）
6（江苏泰兴2011届高三理）（本小题满分10分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x3，f4（x）=sinx，f5（x）=cosx，f6（x）=2．（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．
解：（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知4分
（2）ξ可取1，2，3，4．
，
；…… …8分
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
7（福建省三明一中2011届高三上学期第三次月考理）(本题满分13分) 某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动。（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数； （2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；（3）记表示抽取的3名学生中男学生数，求的分布列及数学期望。
的分布列为：
0 1 2 3
.……………13分
8（广东省中山市桂山中学2011届高三第二次模拟考试文） (13分) 今年国庆节期间,上海世博会中国馆和美国馆异常火爆，10月1日中国馆内有2个广东旅游团和2个湖南旅游团，美国馆内有2个广东旅游团和3个湖南旅游团 . 现从中国馆中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从美国馆中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换. （1）求互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率；（2）求互换后中国馆内广东旅游团数的期望.
答案 3.(本题满分13分) 解．（Ⅰ）令互换后中国馆恰有2个广东旅游团，
①互换的都是广东旅游团，则此时中国馆恰有2个广东旅游团事件的概率---2分
②互换的都是湖南旅游团，则此时中国馆恰有2个广东旅游团事件的概率 ----4分
又，互斥，则 ------5分
答：互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率为.--------------6分
（Ⅱ）设互换后中国馆内广东旅游团数为，则的取值为-------------7分
， ，
所以的分布列为：
1 2 3
P
所以 12分
答：互换后中国馆内广东旅游团数的期望-----13分
9（广西北海二中2011届高三12月月考试题理）（本题满分12分）在本次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：‘每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。’某考生每道题都给出一个答案。某考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：
（Ⅰ）选择题得60分的概率；（Ⅱ）选择题所得分数的数学期望
答案解：（1）得分为60分，12道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为，有1道题答对的概率为，还有1道答对的概率为，所以得分为60分的概率为： ，。5分
（2）依题意，该考生得分的范围为｛45，50，55，60｝. ，。。。。。。6分
得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，所以概率为 ，。。。。。。7分
得分为50分的概率为： ，。。。。。。8分
同理求得得分为55分的概率为： ，9分得分为60分的概率为： ，10分
所以得分的分布列为
45 50 55 60
数学期望。。。。。。12分
10（湖北省南漳县2010年高三第四次月考文）(本小题满分12分) 不透明盒中装有10个形状大小一样的小球，其中有2个小球上标有数字1，有3个小球上标有数字2，还有5个小球上标有数字3．取出一球记下所标数字后放回，再取一球记下所 标数字，共取两次．设两次取出的小球上的数字之和为ξ． (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列； (Ⅱ)求随机变量ξ的期望Eξ．
答案（Ⅰ）由题意知随机变量ξ的取值为2，3，4，5，6.
,,
, ，
所以随机变量ξ的分布列为
2 3 4 5 6
P
（Ⅱ）随机变量ξ的期望为
11（湖南省长沙市第一中学2011届高三第五次月考理）(本小题满分12分)若盒中装有同一型号的灯泡共12只，其中有9只合格品，3只次品.(1)某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡3次，每次取一只灯泡，求2次取到次品的概率；(2)某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原盒中)，求成功更换会议室的已坏灯泡前取出的次品灯泡只数X的分布列和数学期望.
解：(1)每次取到一只次品的概率P1＝＝，则有放回连续取3次，其中2次取得次品的概率P＝C()2·(1－)＝.
(2)依题知X的可能取值为0、1、2、3.(6分)且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝×＝，
P(X＝2)＝××＝，P(X＝3)＝×××＝.(8分)则X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P
EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(12分)
12．（江苏省南京市九校联合体2011届高三学情分析试卷）（本小题满分14分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:
日 期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日
昼夜温差x(°C) 10 11 13 12 8 6
就诊人数y(个) 22 25 29 26 16 12
该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验． (Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率； (Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程 (Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想
(参考公式: )
解：(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A．因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的 (2分)其中,抽到相邻两个月的数据的情况有5种 (3分)所以(5分)
(Ⅱ)由数据求得 ……(7分)由公式求得 ……(9分)
再由 ……(10分)所以关于的线性回归方程为…… (11分)
(Ⅲ)当时,, ；… (12分)同样, 当时,, (13分)所以,该小组所得线性回归方程是理想的．…………(14分)
2010名校模拟题及其答案
一、选择题
1．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）已知椭圆的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（ C ）
A． B． C． D．
2．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题理科）ABCD为矩形，AB=3，BC=1，O为AB的中点，在矩形ABCD内随机取一点P，点P到点O的距离大于1的概率为（ B ）
A． B． C． D．
3．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题理）若在区间（-1，1）内任取实数a，在区间（0，1）内任取实数b，则直线与圆相交的概率为 （ B ）
A． B． C． D．
4．（山东省泰安市2010年3月高三第一次模拟数学理科试题）如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域。在中随机取一点，则该点在中的概率为（ C ）
A． B． C． D．
5．（山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题理科）如图，在一个长为，宽为的矩形内，曲线与轴围成如图所示的阴影部分，向矩形内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是( A )
A． B. C. D.
6．(山东省济南外国语学校2010年3月高三质量检测理）从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为 （ D ）
7．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）
一次选拔运动员，测得7名选手的身高（单位cm）分布茎叶图如图，
记录的平均身高为177cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，那么x的值为（ D ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题理科）某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则（ C ）
A．80 B．90
C．100 D．110
9．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟理科试题）对某种电子元件进行寿命跟踪调查，所得样本频率分布直
方图如右图，由图可知：一批电子元件中，寿命在100~300
小时的电子元件的数量与寿命在300~600小时的电子元件的
数量的比大约是 （ C ）
A． B．
C． D．
10．（山东省东营市2010届高三一轮教学质量检测数学试题理科）甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计如右面的茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是X甲、X乙，则下列结论正确的是 A ）
A．X甲B．X甲>X乙；甲比乙成绩稳定
C．X甲>X乙；乙比甲成绩稳定
D．X甲11.（山东省日照市2010年3月高三一模理科）某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格。由于不小心，表格中A、C产品的有关数据己被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C产品的数量是（ B ）
产品类别 A B C
产品数量（件） 1300
样本容量（件） 1300
(A)900件 (B)800件 (C)90件 (D)80件
12. （江西省鹰潭市2010届高三第一次模拟考试理科）在三棱锥的六条棱中任意选择两条,则这两条棱是一对异面直线的概率为（ C ）
A． B． C． D．
13、（江西省六校2010届高三下学期联考理）某地举行一次民歌大奖赛，六个省各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者则选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一省份的歌手的概率为（　A　）
A． B． C． D．
14．（江西省于都县教研室2010届高三4月模拟理科）3黑3白共6个围棋子随意排成一行，其中恰有两个同色围棋子连在一起的概率为（ C ）
A． B． C． D．
15．（江西省重点中学协作体2010届高三第二次联考理科）将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设两条直线平行的概率为P1，相交的概率为P2，则P2-P1的大小为 （ A ）
A． B． C． D．
二、填空题:
1．（山东省青岛市2010届高三一模理科）已知区域，若向区域上随机投个点，则这个点落入区域的概率 ；
2．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟理科试题）设随机变量，且DX=2，则事件“X=1” 的概率为 （用数学作答）．
3．（山东省东营市2010届高三一轮教学质量检测数学试题理科）如图，平面上一长12cm，宽10cm的矩形ABCD内有一
半径为1cm的圆O（圆心O在矩形对角线交点处）．把一
枚半径1cm的硬币任意掷在矩形内（硬币完全落在矩形内），
则硬币不与圆O相碰的概率为_________________．
4.（山东省日照市2010年3月高三一模理科）给出下列四个命题：
①命题的否定是；
②线性相关系数的绝对值越接近于，表明两个随机变量线性相关性越强；
③若则不等式成立的概率是；
④函数恒成立，则实数的取值范围是。
其中真命题的序号是 。(填上所有真命题的序号) ②④
5．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟理科试题）设随机变量，且DX=2，则事件“X=1” 的概率为 （用数学作答）．
6．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟理科试题）某单位为了了解用电量y（度）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
气温（°C） 18 13 10 -1
用电量（度） 24 34 38 64
由表中数据，得线性回归方程当气温为-4°C时，预测用电量的度数约为
．14．68
7．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题理）
为了解学生参加体育活动的情况，我市对2009年下半年
中学生参加体育活动的时间进行了调查统计，设每人平均
每天参加体育锻炼时间为X（单位：分钟），按锻炼时间
分下列四种情况统计：
① ②
③ ④
有10000名中学生参加了此项活动，右图是此次调查中做某
一项统计工作时的程序框图，其输出的结果是6200，则平均
每天参加体育锻炼的时间不超过20分钟（20分钟）的频
率是 。0.38
三、解答题
1．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）（本小题满分12分）济南市有大明湖、趵突泉、千佛山、园博园4个旅游景点，一位客人浏览这四个景点的概率分别是0.3，0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。 （1）求=0对应的事件的概率； （2）求的分布列及数学期望。
解：（1）分别记“客人游览大明湖景点”，“客人游览趵突泉景点”，“客人游览千佛山景点”，“客人游览园博园景点”为事件A1，A2，A3，A4。由已知A1，A2，A3，A4相互独立，
……2分客人游览景点数的可能取值为0。1，2，3，4。相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为4，3，2，1，0，所以的可能取值为0，2，4。……3分
故
………………6分
（2）……8分
所以的分布列为
0 2 4
P 0.38 0.5 0.12
E=1.48. ……12分
2．（山东省青岛市2010届高三一模理科）（本小题满分12分）
某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从种服装商品, 种家电商品, 种日用商品中,选出种商品进行促销活动.(Ⅰ)试求选出的种商品中至多有一种是家电商品的概率;(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高元,同时,若顾客购买该商品,则允许有次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为元的奖券.假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是,若使促销方案对商场有利，则最少为多少元？
解: (Ⅰ)选出种商品一共有种选法,…2分选出的种商品中至多有一种是家电商品有种.…4分所以至多有一种是家电商品的概率为.…………5分
(Ⅱ)奖券总额是一随机变量,设为,可能值为, ,,.…………6分
…7分 ……8分
…9分 ……10分
0
所以.
所以,因此要使促销方案对商场有利，则最少为元. …………12分
3．（济宁市2010年3月一模试题科）（本小题满分12分）甲、乙两人进行摸球游戏，每次摸取一个球，一袋中装有形状、大小相同的1个红球和2个黑球，规则如下：若摸到红球，将此球放入袋中可继续再摸；若摸到黑球，将此球放入袋中则由对方摸球。 （1）求在前四次摸球中，甲恰好摸到两次红球的概率；（2）设随机变量表示前三次摸球中甲摸到红球的次数，求随机变量的分布列及数学期望E。
解：（1）设甲、乙两人摸到的球为红球分虽为事件A，事件B，前四次摸球中甲恰好摸到两次红球为事件C，则 2分则 4分
6分
（2）的所有取值分虽为0，1，2
的分布列为
0 1 2 3
P
12分
4．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟理科试题）（本小题满分12分） 袋中共有10个大小相同的编号为1、2、3的球，其中1号球有1个，2号球有m个，3号球有n个．从袋中依次摸出2个球，已知在第一次摸出3号球的前提下，再摸出一个2号球的概率是 （1）求m，n的值； （2）从袋中任意摸出2个球，设得到小球的编号数之和为，求随机变量的分布列和 数学期望E．
解：（1）记“第一次摸出3号球”为事件A，“第二次摸出2号球”为事件B，则
………4分 ……5分
（2）的可能的取值为3，4，5，6．………6分
…………10分
的分布列为
3 4 5 6
P
…………12分
5．（山东省东营市2010届高三一轮教学质量检测数学试题理科）（本小题满分12分）
甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道被选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是．
（1）求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；
（2）设甲答对题目的个数为ξ1，求ξ的分布列及数学期望．
解：（1）设甲、乙闯关成功分别为事件A、B，则，…………2分
,………4分
则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是
………6分
（2）由题知ξ的可能取值是1，2．………7分
,则ξ的分布列为
ξ 1 2
P
…………10分
∴．…………12分
6．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题理）（本小题满分12分）
某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可以继续参加科目B的考试。每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得该项合格证书，现在某同学将要参加这项考试，已知他每次考科目A成绩合格的概率均为，每次考科目B成绩合格的概率均为。假设他在这项考试中不放弃所有的考试机会，且每次的考试成绩互不影响，记他参加考试的次数为X。
（1）求X的分布列和均值； （2）求该同学在这项考试中获得合格证书的概率。
解：（1）设该同学“第一次考科目A成绩合格”为事件A，“科目A补考后成绩合格”为事件B，“第一次考科目B成绩合格”为事件B1，“科目B补考后成绩合格”为事件B2。
由题意知，X可能取得的值为：2，3，4…………2分
X的分布列为
X 2 3 4
P
故…………8分
（2）设“该同学在这项考试中获得合格证书”为事件C
则
故该同学在这项考试中获得合格证书的概率为 …………2分
7．（山东省泰安市2010年3月高三第一次模拟数学理科试题）(本小题满分12分)
某校举行了“环保知识竞赛”，为了解本次竞赛成 频率分布表
分组 频数 频率
[50,60) 5 0.05
[60,70) 0.20
[70,80) 35
[80,90) 30 0.30
[90,100) 10 0.10
合计 1.00
绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数，
满分100分)，进行统计，请根据频率分布表中所提供
的数据，解答下列问题：
(Ⅰ)求的值及随机抽取一考生其成绩不
低于70分的概率；
(Ⅱ)按成绩分层抽样抽取20人参加社区志愿者活
动，并从中指派2名学生担任负责人，记这2名学生中
“成绩低于70分”的人数为，求的分布列及期望。
解：(Ⅰ)
由频率分布表可得成绩不低予分的概率为：
……………………………………………………………4分
（Ⅱ)由频率分布表可知，“成绩低予分”的概率为
按成绩分层抽样抽取人时．“成绩低于分”的应抽取人………………6分
的取值为
的分布列为
8. （山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题理科） (本小题满分12分)
某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只选修甲的概率为，只选修甲和乙的概率是，至少选修一门的概率是，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积（1）记“函数 为上的偶函数”为事件，求事件的概率； （2）求的分布列和数学期望.
解：（1）设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为、、
依题意得 …………3分
若函数为上的偶函数，则=0
当=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.
∴事件的概率为…… 6分
（2）依题意知… 8分则的分布列为
0 2
P
∴的数学期望为 …………12分
9．(济南外国语学校2010年3月高三质量检测理）在一次数学考试中，第21题和第22题为选做题. 规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 设4名考生选做每一道题的概率均为.（1）求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；（2）设这4名考生中选做第22题的学生个数为，求的概率分布及数学期望.
解：（1）设事件表示“甲选做第21题”，事件表示“乙选做第21题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“”，且事件、相互独立.
∴=.
（2）随机变量的可能取值为0,1,2,3,4，且～.
∴
∴变量的分布列为：ks5u
0 1 2 3 4
（或）
10．（山东省日照市2010年3月高三一模理科）(本小题满分12分) 2010年亚冠联赛，山东鲁能、广岛三箭、阿德莱德联、浦项制铁分在同一组进行循环赛，已知规则为每轮胜得3分，平得1分，负得0分。第一轮在2月24日的比赛中，山东鲁能客场l:0战胜广岛三箭；第二轮主场对阵阿德莱德联；第三轮客场对阵浦项制铁。若山东鲁能主场胜的概率为，负的概率为，客场胜、平、负是等可能的。假定各场比赛相互之间不受影响。在前三轮中求：(Ⅰ)山东鲁能两胜一平的概率；(Ⅱ)山东鲁能积分的数学期望。
解：(Ⅰ)记山东鲁能两胜一平的事件为，由于第一轮已经取胜，则事件包含第二轮主场胜，第三轮客场平：或第二轮主场平，第三轮客场胜，从而 …………5分
所以山东鲁能两胜一平的概率为 …………6分
(Ⅱ)(法一)记山东鲁能在第二轮得分为随机变量，则的取值为由已知得的分布列为：
………9分
第三轮得分为随机变量，因胜、负、平概率相等，
故………11分
所以前二三轮山东鲁能积分的数学期望为 …………………………………12分
(法二)记山东鲁能在第二轮和第三轮得分为随饥变量，则的取值为
所以的分布列为：
所以前三轮山东鲁能积分的数学期望为
11．（江西省南昌市2010届高三第二次模拟考试理科)（本小题满分12分）
上海世博会即将开幕，某调查公司调查了南昌市某单位一办公室4位员工参观世博会意愿及消费习惯，得到结论如下表：
参观世博会的概率 参观世博会的消费金额（单位：元）
员工1 3000
员工2 3000
员工3 4000
员工4 4000
（1）求这4位员工中恰好有2位员工参观世博会的概率；（2）记这4位员工因参观世博会消费总金额为随机变量（元），求随机变量的分布列及数学期望。
解：（1）这4位员工中恰好有2位员工参观世博会的概率是：
；……6分
（2）所有可能取值是：0，3000，4000，6000，7000，8000，10000，11000，14000……7分
，
， ，
，
，，
。……10分的分布列是：
0 3000 4000 6000 7000 8000 10000 11000 14000
P
所以的期望值是
或………12分
【核心预测】
一、选择题
1．从2 011名学生中选出50名学生组成参观团，若采用下面的方法选取：现用简单随机抽样从2 011人中剔除11人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2 011人中，每人入选的概率
A．都相等，且为 B．都相等，且为 C．均不相等 D．不全相等
解析：每人入选的概率相等．概率为×＝，故选B.
2.设集合，，, 若，则 b = c的概率是（ C ）
A B C D
3．如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，
则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ D ）
A. 　 B. C. 　 D.
4．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)．若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝ (　　)
A．0.477 B．0.628 C．0.954 D．0.977
解析：P(－2≤ξ≤2)＝1－2P( ξ>2)＝1－0.046＝0.954.答案：C
5.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线y＝x2和曲线y＝围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC内随机投一点(该点落在正方形
AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是 (　　)
A. B. C. D.
解析：S阴＝(－x2)dx＝＝，S正＝1，∴P＝＝，故选B.
6. 某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 (　　)
A．90 B．75 C．60 D．45
解析：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，
已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为n，
则＝0.300，所以n＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.故选A.
7．在数1，2，3，4，5的排列中，满足的排列出现的概率为（ B ）
A、 B、 C、 D、
8．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为（ B ）
A． B． C． D．
9．已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
解析：本题考查随机变量的期望及有关的运算，由η＝12ξ＋7 Eη＝12Eξ＋7 34
＝12·Eξ＋7 Eξ＝ ＝1×＋2×m＋3×n＋4×，又＋m＋n＋＝1，联立求解可得m＝.
10．已知,若为满足的一随机整数，则是直角三角形的概率为（ C ）
A. B. C. D.
二、填空题：
1.某校举行2010年元旦汇演，七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为 ， ．
【答案】85，
【解析】由茎叶图知，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为所以由公式容易得出平均数为85，方差为。
2．已知随机变量服从正态分布，且方程x+2x+=0有实数解得概率为，若P（）=0.8，则P（0）=___________0.6
3.某中学高三年级共有学生1200人,一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100,δ2),统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的,则此次考试成绩不低于120分的学生约有 人;
【答案】200人
【解析】
,,
4．某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据
3 4 5 6
2.5 3 4 4.5
据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线的斜率为0.7，那么这组样本数据的问归直线方程是 。
5．已知随机变量，若，则 .
6．已知随机变量服从正态分布且，则 0.0882
7．有一个底面半径为1、高为2的圆柱，点为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点，
则点到点的距离大于1的概率为 ．
三、解答题：
（本小题满分14分）为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2．表1:男生身高频数分布表
表2：:女生身高频数分布表
（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高在的概率；（3）从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185190cm之间的概率。
17.（1）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400．----2分
频率分布直方图如右图示：---------------4分
（2）由表1、表2知，样本中身高在的学生人数为：5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在
的频率---6分故由估计该校学生身高在的概率．-----------8分
（3）样本中身高在180185cm之间的男生有4人，设其编号为①②③④ 样本中身高在185190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥从上述6人中任取2人的树状图为：
--12分
故从样本中身高在180190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率．---------------14分
2、(本小题满分12分) （本小题满分12分）雅山中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出20名学生作为样本，其选报文科理科的情况如下表所示。
男 女
文科 2 5
理科 10 3
（Ⅰ）若在该样本中从报考文科的学生中随机地选出3人召开座谈会，试求3人中既有男生也有女生的概率；（Ⅱ）用假设检验的方法分析有多大的把握认为雅山中学的高三学生选报文理科与性别有关？
参考公式和数据：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.07 2.71 3.84 5.02 6.64 7.88 10.83
解：（Ⅰ）设样本中两名男生分别为a,b,5名女生分别为c,d,e,f,g，则基本事件空间为；
（abc）(abd) (abe) (abf) (abg) (acd) (ace) (acf) (acg) (ade) (adf) (adg)
(aef) (aeg) (afg) (bcd) (bce) (bcf) (bcg) (bde) (bdf) (bdg) (bef) (beg)
(bfg) (cde) (cdf) (cdg) (cef) (ceg) (cfg) (def) (deg) (dfg) (efg)
共35种，……3分其中，既有男又有女的事件为前25种，…………4分
故P（“抽出的3人中既有男生也有女生”）＝＝。…………………………6分
（Ⅱ）＝4．43 …9分3．841，…10分对照参考表格，结合考虑样本是采取分层抽样抽出的，可知有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关。…12分
3．（本小题满分12分）第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm）：若身高在175cm以上
（包括175cm）定义为“高个子”， 身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，
且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。（1）如果用分层抽样的
方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人，
再从这5人中选2人，那么至少有一人是 “高个子”的
概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。
【解析】（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………1分
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是，…………2分
所以选中的“高个子”有人，“非高个子”有人．…………3分
用事件表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件表示“没有一名“高个子”被选中”，
　则 …5分因此，至少有一人是“高个子”的概率是．…6分
（２）依题意，的取值为．　………7分
， ， ， 9分
　因此，的分布列如下：
……10分
．………12分
【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力数据处理能力和应用意识．
4．（本小题满分12分）（本小题满分12分）由于当前学生课业负担较重，造成青少年视力普遍下降，现从湖口中学随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)如下：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“good sight”，求校医从这16人中随机选取3人，至多有1人是“good sight”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记表示抽到“good sight”学生的人数，求的分布列及数学期望．
解：（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75 …………2分
（2）设表示所取3人中有ｉ个人是“good sight”，至多有1人是“good sight”记为事件A，则 ……6分
（3）一 个人是“good sight”的概率 为 的可能取值为0、1、2、3 ……7分
分布列为
1 2
P
…………10分
. …12分
5．（本小题满分12分）在这个自然数中，任取个不同的数．（1）求这个数中至少有个是偶数的概率；（2）设为这个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为，则有两组相邻的数和，此时的值是）．求随机变量的分布列及其数学期望．
解：（1）记“这3个数至少有一个是偶数”为事件，则；. （4分）
（2）随机变量的取值为的分布列为
0 1 2
P
∴的数学期望为.（12分）
6．（本小题满分12分）某商场准备在元旦节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是,请问:商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利
解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有种, 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为……4分
(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, ,2,3.…5分
X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 6分同理可得…7分……8分…9分于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是10分
要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有,所以,… 11分故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利.… 12分
7.四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为、，记； (Ⅰ)求随机变量的分布列和数学期望； (Ⅱ)设“函数在区间上有且只有一个零点”为事件，求事件发生的概率．
解：（Ⅰ）由题意可知随机变量的可能取值为2，3，4，从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为， 2分
当时，摸出小球所标的数字为1，1，，
当时，摸出小球所标的数字为2，2，，
可知，当时，； 5分
得的分布列为：
2 3 4
； 7分
（Ⅱ）由“函数在区间上有且只有一个零点”可知，即，解得，又的可能取值为2，3，4，故，
事件发生的概率为。12分
8、 (12分)某工厂每月生产某种产品三件，经检测发现，工厂生产该产品的合格率为，已知生产一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将会亏损10万元，假设该产品任何两件之间合格与否相互没有影响。(1)求工厂每月盈利额ξ(万元)的所有可能取值；(2)若该工厂制定了每月盈利额不低于40万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率。(3)求工厂每月盈利额ξ的分布列和数学期望。
解：(1)工厂每月生产的三种产品中，合格产品的件数的所有可能结果是：0, 1, 2, 3, 则相应的月盈利额ξ的取值量ξ＝－30, 5, 40, 75 ……3分
(2)月盈利额ξ的分布量：P(ξ＝－30)＝C()3＝, P(ξ＝5)＝C()2·＝,
P(ξ＝40)＝C()2·＝, P(ξ＝75)＝C()3＝,
所以P(ξ≥40)＝P(ξ＝40)＋P(ξ＝75)＝ ………8分
即
ξ －30 5 40 75
P
(3)Eξ＝(－30)×＋5×＋40×＋75×＝54 …………12分
9．（本小题满分12分）挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”,要想通过需要过五关:目测、初检、复检、文考（文化考试）、政审,若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关,根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是,能通过文考关的概率分别是,由于他们平时表现较好,都能通过政审关,若后三关之间通过与否没有影响． （1）求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； （2）设只要通过后三关就可以被录取,求录取人数的分布列和期望．
解：（1）
易知甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为，故可看成是独立重复实验，即，，
10．甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.
解：(1)是“个人命中,个人未命中”的概率.其中的可能取值为0，1，2，3.
,
,
,
.
所以的分布列为
的数学期望为
. ……………5分
(2) ,
,
.
由和，得,即的取值范围是. …… 10分
20090401

A
B
C
O
A
y
y=sinx
2
0 1
0 3 x 8 9
本卷第57页（共57页）2012考前90天突破——高考核心考点
专题十五 选修系列
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
选考内容由各省市自行选择内容和数量，选修系列包括几何证明选讲（选修4-1）、矩阵与变换（选修4-2）、坐标系与参数方程（选修4-4）、不等式选讲（选修4-5）等几部分内容。纵观近几年来的全国卷与各省市的试卷，试题在选择题、填空题、解答题中都有可能出现，题目不难；通常与其它数学内容联系而构成组合题，主要考查数形结合与分类讨论等数学思想与方法的灵活应用能力。从各地的高考试卷看，考生在备考时，应从下列考点夯实基础，做到以不变应万变：（1）理解三角形和圆的知识．（2）理解直线、圆和圆锥曲线的参数方程及应用．（3）了解矩阵与变换的内容．（4）掌握绝对值不等式、数学归纳法等证明方法。
【考点pk】名师考点透析
考点一、几何证明选讲
例1：如图，直线AB过圆心O，交圆O于A、B，直线AF交圆O于F（不与B重合），直线与圆O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．
求证：（Ⅰ）； （Ⅱ）．
证明：（Ⅰ）连结，是直径，
，．
切圆于，．
．
（Ⅱ）连结， 切圆于，
．又∽． ．
【名师点睛】1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.两个推论：经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.
2．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.
3. 判定两个三角形相似的方法有: （1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例、夹角相等,两三角形相似；（3）三边对应成比例,两三角形相似.
4．相似三角形的性质：（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例；(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；(3)相似三角形的周长比等于相似比；(4)相似三角形的面积比等于相似比的平方；(5)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方，利用这些关系，可以进行各种各样的求值和证明.
5．在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.
6．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
7．圆的内接四边形对角互补；圆的内接四边形的外角等于它的内角的对角. 如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆.
考点二、矩阵与变换
例2：求矩阵的特征值及对应的特征向量.
( http: / / www. )【名师点睛】1．二阶矩阵：矩阵的概念和表示方法，及其矩阵的相关知识，如行、列、元素，零矩阵的意义和表示；
二阶矩阵与平面列向量的乘法规则及其几何意义；矩阵对应着向量集合到向量集合的映射。
2．几种常见的平面变换：以映射和变换的观点认识矩阵与向量乘法的意义；矩阵变换把平面上的直线变成直线（或点），即；通过大量具体的矩阵对平面上给定图形（如正方形）的变换，认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影。
3．变换的复合与矩阵的乘法：通过变换的实例，了解矩阵与矩阵的乘法的意义；变换的复合——二阶方阵的乘法；通过具体的几何图形变换，说明矩阵乘法不满足交换律与消去律，验证二阶方阵乘法满足结合律。
4．逆变换与逆矩阵：通过具体图形变换，理解逆矩阵的意义；通过具体的投影变换，说明逆矩阵可能不存在；会证明逆矩阵的唯一性和等简单性质，并了解其在变换中的意义；二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵；能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义；会用系数矩阵的逆矩阵解方程组；会通过具体的系数矩阵，从几何上说明线性方程组解的存在性，唯一性。
5．特征值与特征向量 矩阵的简单应用：矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义；会求二阶方阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）；了解三阶或高阶矩阵；矩阵的应用。
考点三、坐标系与参数方程
例3：（1）已知点c极坐标为，求出以C为圆心，半径r=2的圆的极坐标方程（写出解题过程）；
（2）P是以原点为圆心，r=2的圆上的任意一点，，M是PQ中点，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹的参数方程。
（2）依题意
例4：已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．
解：（1）由得
∴曲线的普通方程为∵
∴∵∴，
即曲线的直角坐标方程为（５分）
（2）∵圆的圆心为，圆的圆心为∴
∴两圆相交设相交弦长为，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段
∴∴∴公共弦长为……（10分）
【名师点睛】1.平面直角坐标系：需要了解解析几何中的基本知识，如两点间距离公式，椭圆，双曲线，抛物线方程的建立以及一般的求轨迹方程的方法. 求轨迹方程的一般步骤.(1)建立恰当的直角坐标系,设动点M(x,y);(2)根据题目条件,找出动点M所适合的等量关系式;(3)列方程,即利用x,y表示上述等量关系式;(4)化简上述方程为最简形式;(5)检验.验证所得到的方程与曲线是否满足一一对应关系.
求轨迹方程的常用方法有:定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等.
2．极坐标与极坐标方程：会在极坐标系中刻画点的位置，体会在极坐标系和直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。
3．柱坐标与球坐标：借助具体的实例（如圆形体育台场的座位、地球的经纬度等）了解在柱坐标系中，球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画空间中点的位置的方法相比较，体会它们的区别.会进行柱坐标,球坐标与直角坐标的互化.
考点四、不等式选讲
例5：已知函数，．（Ⅰ）解关于的不等式（）； （Ⅱ）若函数的图象恒在函数图象的上方，求的取值范围．
解：（Ⅰ）不等式即为，当时，解集为，
即； 当时，解集为全体实数；当时，解集为
（Ⅱ）的图象恒在函数图象的上方，即为对任意实数恒成立，即恒成立，又对任意实数恒有，于是得，即的取值范围是
例6：已知对于任意非零实数，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解：即恒成立
只需
（1）当时，原式，即
（2）当时，原式，即
（3）当时，原式，即综上的取值范围为
例7求函数的最大值.
提示：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为的形式就能利用柯西不等式求其最大值.
解：函数的定义域为且，
当且仅当时，等号成立，即时函数取最大值.
例8：已知，，…，，且，求证.
分析：观察要证明的结论，左边是个因式的乘积，右边是2的次方，再结合，发现如果能将左边转化为，，…，的乘积，问题就能得到解决.
证明：因为，所以，即.
同理，，…….因为，，…，，由不等式的性质，
得.因为时，取等号，
所以原式在时取等号.
【名师点睛】
1．基本不等式
定理1: 设，则，当且仅当时，等号成立.
定理2：如果，为正数，则，当且仅当时等号成立.
定理3：如果，，为正数，则，当且仅当时等号成立.
一般结论：如果，，…，为个正数，则，
当且仅当…时，等号成立.
2．要熟记简单绝对值不等式解法，它是解较复杂的绝对值不等式的基础，即要记住：
一般地，如果，则有： ，因此，不等式的解集是；
或，因此，不等式的解集是.
（1） 和型不等式的解法求解这类绝对值不等式，只要将看成一个整体，然后套用或的不等式的解法即可.
（2）和型不等式的解法求解这类绝对值不等式，主要的方法有如下三种：⑴ 利用绝对值的几何意义；⑵ 分区间讨论法；⑶ 构造函数来利用函数的图象求解.
求解这类绝对值不等式时，可根据题目的不同而适时选用不同的方法求解.
3．柯西不等式与排序不等式：
定理1、（二维形式的柯西不等式）已知a1，a2，b1，b2，则，当且仅当时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式：对于任何实数a1，a2，b1，b2，以下不等式成立：
；
定理2、（柯西不等式的向量形式）设是两个向量，则，当且仅当是零向量，或存在实数，使时，等号成立
定理3、（二维形式的三角不等式）设，那么
二维形式的三角不等式的变式：用代替，用代，用代替，用代，代入定理3，得
一般形式的柯西不等式定理 设则
当数组a1，a2，…，an ,b1，b2，…，bn不全为0时，等号成立当且仅当.
即
等号成立的条件是
【金题热身】
2011高考试题及解析
一、选择题:
1（2011年安徽理5）在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为
（A）2 (B) (C) （D)
【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离.
【解析】极坐标化为直角坐标为，即.圆的极坐标方程可化为，化为直角坐标方程为，即，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式.故选D.
2（2011年北京理5）5.如图，AD、AE、BC分别与圆O切于点D、E、F，
延长AF与圆O交于另一点G，给出下列三个结论：
①；②；
③.其中正确的结论的序号是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【解析】：①正确。由条件可知，BD=BF，CF=CE，
可得。
②正确。通过条件可知，AD=AE。由切割定理可得。
③错误。连接FD（如下图），若，则有。通过图像可知
，因而错误。答案选A.
二、填空题：
1．（2011年广东理9）.不等式的解集是______.
【解析】。由题得 所以不等式的解集为
。
2（2011年广东文、理14）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为
和，它们的交点坐标为 .
【解析】（0≤ 消去参数后的普通方程为，消去参数后的普通方程为 联立两个曲线的普通方程得 ,所以它们的交点坐标为
3（2011年广东理15）（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于。且，是圆上一点使得，，则 .
【解析】由题得～
4（2011年广东文15）（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 ．
【解析】由题得EF是梯形的中位线，
5(2011年湖南文理9).在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为 .
答案：2
解析：首先将曲线和的方程化为圆:，和直线：，可以用代数法
（）或几何法（）得到两曲线与相交。故有2个交点。
评析：本小题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程的方法以及直线与圆的位置关系的讨论方法.
6(2011年湖南理10).设，且，则的最小值为 .
解析：方法一：由，且可知：，则
（当且仅当时，取到等号）
方法二：利用柯西不等式：≥2＝9，当且仅当4x2y2＝时，等号成立．
评析：本小题主要考查不等式的性质和基本不等式求最值问题.
7(2011年湖南理11) 如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，
直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则的AF长为 .
解析：如图2中，连接EC，AB,OB,由A,E是半圆周上的两个三等分点可知：∠EBC=30°,且⊿ABO是正三角形，所以EC=2,BE=,BD=1,且AF=BF=.故填
评析：本小题主要考查平面几何中直线与圆的位置关系问题，涉及与圆有关的定理的运用.
8（2011年陕西文15）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A.（不等式选做题）若不等式对任意恒成立，则的取值范围是______。
【答案】
【解析】：因为，对任意恒成立，所以有
B.（几何证明选做题）如图，且，，则=_______.
【答案】
【解析】：所以，即
C. （坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B分别在曲线 （为参数）和曲线上，则的最小值为________.
【答案】1
【解析】：由得圆心为，由得圆心为，由平几知识知当为连线与两圆的交点时的最小值，则的最小值为
9（2011年陕西理15）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A、（不等式选做题）若关于x的不等式存在实数解，则实数的取值范围是
【解析】：因为所以存在实数解，
有或
B、（几何证明选做题）如图
【答案】
【解析】：
又所以，即
C、（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线 为参数）和曲线上，则的最小值为
【答案】3
【解析】：由得圆心为，由得圆心为，由平几知识知当为连线与两圆的交点时的最小值，则的最小值为
10（2011年江西理15）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为
极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为
【答案】
【解析】因为，所以曲线的极坐标方程为
可以化为，即。
11（2011年江西理15）（不等式选做题）对于实数,若的最大值为
【答案】5
【解析】，当且仅当且时取等号．考查绝对值不等式的性质．
12（2011年江西文15）15．对于，不等式的解集为_ ____ __
【答案】
【解析】方法一：分三段，当x<-10时， -x-10+x-2,
当时， x+10-x+2, 当x>2时， x+10-x+2,x>2,
方法二：用绝对值的几何意义，可以看成到两点-10和2的距离差大于等于8的所有点的集合，画出数轴线，找到0到-10的距离为10，到2的距离为2，，并当x往右移动，距离差会大于8，所以满足条件的x的范围是.
13．(2011年天津理11)．已知抛物线的参数方程为（为参数），若斜率为1的直线经过抛物线的的焦点，且与圆相切，则=_____
【答案】
【解析】由抛物线的参数方程 消去t，得y2＝8x，∴焦点坐标为(2,0)．∴直线l的方程为y＝x－2.又∵直线l与圆(x－4)2＋y2＝r2相切，∴r＝＝.
14(2011年天津文13理12).如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且DF=CF=,AF:FB:BE=4:2:1.若CE与圆相切,则线段CE的长为 .
【答案】
【解析】法一：设AF=4x,BF==2x,BE=x,则由相交弦定理得:,
即,即,由切割线定理得:,所以.
法二：由，不妨设，则，；由相交弦定理得：
；∴，，；由切割线定理得：
。
三、解答题：
1．（2011年福建理21）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设矩阵（其中＞0，＞0）.（I）若=2，=3，求矩阵的逆矩阵；（II）若曲线：在矩阵所对应的线性变换作用下得到曲线：，求，的值.
【命题意图】本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想
【解析】（I）设矩阵M的逆矩阵，则又，
所以，∴
故所求的逆矩阵
（II）设曲线C上任意一点，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点，
则又点在曲线上， ∴.
则为曲线C的方程，又已知曲线C的方程为
又
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）.
（I）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系；
（II）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值.
【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.
【解析】（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，所以点P在直线上，
（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，从而点Q到直线的距离为
，
由此得，当时，d取得最小值，且最小值为
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
设不等式的解集为.（I）求集合；（II）若，∈，试比较与的大小.
【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.
【解析】（I）由所以
（II）由（I）和，所以故
2．（2011年高考江苏卷试题21）本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答， 若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A、选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）
如图，圆与圆内切于点，其半径分别为与，
圆的弦交圆于点（不在上），
求证：为定值。
解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。
证明：由弦切角定理可得
B、选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵，向量，求向量，使得．
解析：考察矩阵的乘法、待定系数法，容易题。
设，由得：，
C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点且与直线（为参数）平行的直线的普通方程。
解析：考察参数方程与普通方程的互化、椭圆的基本性质、直线方程、两条直线的位置关系，中档题。
椭圆的普通方程为右焦点为（4，0），直线（为参数）的普通方程为，斜率为：；所求直线方程为：
D．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：
解析：考察绝对值不等式的求解，容易题。
原不等式等价于：，解集为
3. (2011年课标）选修4-4：坐标系与参数方程
22. （本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲
如图，D，E分别是AB,AC边上的点，且不与顶点重合，已知为方程的两根，证明 C,B,D,E四点共圆；若，求C,B,D,E四点所在圆的半径。
分析：（1）按照四点共圆的条件证明；（2）运用相似三角形与圆、四边形、方程的性质及关系计算。
解：（Ⅰ）如图，连接DE，依题意在中，
,
由因为
所以，∽,四点C、B、D、E共圆。
（Ⅱ）当时，方程的根
因而，取CE中点G，BD中点F,分别过G,F 做AC,AB的垂线，两垂线交于点H，连接DH, 因为四点C、B、D、E共圆，所以，H为圆心，半径为DH.
,,所以,
点评：此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。注意把握判定与性质的作用。
23. （本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)
M是曲线上的动点，点P满足，（1）求点P的轨迹方程；（2）在以D为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与曲线，交于不同于原点的点A,B求
分析：（1）求曲线的参数方程和求轨迹方程是类似的，即，“建系、设点、列式、化简”。（2）求极坐标系下的两点间的距离除了转化成直角坐标方程，在同一个极角下两点间的距离，可以用极径的差来计算。
解：（Ⅰ）设动点，则依题意：，因为点M在曲线上，
所以所以，曲线的参数方程为（为参数）
（Ⅱ）曲线的极坐标方程为曲线的极坐标方程为，它们与射线交于A、B两点的极径分别是，因此，
点评：本题考查坐标系与参数方程的有关内容，求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解（关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系）
24. （本小题满分10分）选修4-5不等选讲
设函数（1）当时，求不等式的解集；(2)如果不等式的解集为，求的值。
分析：解含有绝对值得不等式，一般采用零点分段法，去掉绝对值求解；已知不等式的解集要求字母的值，先用字母表示解集，再与原解集对比可得字母的值；
解：（Ⅰ）当时，不等式，可化为，
，所以不等式的解集为
（Ⅱ）因为，所以，，可化为，
即
因为，所以，该不等式的解集是，再由题设条件得
点评：本题考查含有绝对值不等式的解法，以及解法的应用，注意过程的完整性与正确性。
4．（2011年辽宁文理）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.
（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED.
（I）证明：CD//AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆.
解析：（I）因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD.因为A,B,C,D四点在同一个圆上，所以∠EDC=∠EBA，故∠ECD=∠EBA.所以CD//AB.
（II）由（I）知，AE=BE.因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC，从而∠FED=∠GEC.
连接AF,BG,则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180O，故A,B,G,F四点共圆.
（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）曲线C2的参数方程为（，为参数）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点.当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合.
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；(II)设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1,当=-时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积.
解析：（I）C1为圆，C2为椭圆.
当=0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别是(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2，所以a=3.
当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别是(0,1),(0,b),因为这两点重合，所以b=1.
（II）C1，C2的普通方程分别为，
当时，射线l与C1交点A1的横坐标是，与C2交点B1的横坐标是；
当时，射线l与C1 、C2的两个交点A2 、B2的分别与A1、B1 关于x轴对称，因此，四边形与A1 A2B2B1 为梯形.故四边形与A1 A2B2B1 的面积为.
（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）证明：-3≤f（x）≤3；（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集.
解析：（I）
当时，，所以.
（II）由（I）知，当时，的解集为空集；
当时，的解集为；当时，的解集为；综上，不等式的解集是.
【核心突破】
2011名校模拟题及其答案
1．(2011豫南九校四联)
（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲在中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交
于点P，交BC延长线于点D。（1）求证： ； （2）若AC=3，求的值。
解：（1）， ～，
又（5分）
（2）～，
2．(2011豫南九校四联)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知对于任意非零实数，不等式恒成立，求实数的取值范围。
解：即恒成立
（2分）只需
　（1）当时，原式，即　　　　（5分）
　（2）当时，原式，即　（7分）
（3）当时，原式，即　　　　　（9分）
综上的取值范围为 （10分）
3．（2011北京朝阳区期末）
如图，是⊙的直径，切⊙于点，切⊙于
点，交的延长线于点.若，，则
的长为___3_____.
4．（2011北京朝阳区期末）曲线（为参数）与曲线的直角坐标方程分别为，两条曲线的交点个数为 2 个.
5．（2011北京西城区期末）
在极坐标系中，过点并且与极轴垂直的直线方程是(C)
（A）（B）（C）（D）
6. （2011北京西城区期末）如图所示，过圆外一点做一条直线与圆交于两点，，与圆 相切于点.已知圆的半径为，,则___3__.
7．(2011东莞期末) (几何证明选做题) 如图，在中，，，，
以点为圆心，线段的长为半径的半圆交所在直线于点、，交线段于点，则线段的长为 .
8．(2011东莞期末) (坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线与圆C的公共点的直角坐标为 ．
9．（2011佛山一检）（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy中，点的直角坐标为.若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以是 ．
10．（2011佛山一检）（几何证明选讲）如图，在中， //，
//，若，
则的长为___________．
11．（ 2011广东广雅中学期末）《坐标系与参数方程》选做题：
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，则的最大值为.
12．（ 2011广东广雅中学期末）《几何证明选讲》选做题：
如图，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆
的切线，过作直线的垂线，为垂足，与圆交于
点，则线段的长为　4 　．
13．（2011广州调研）（几何证明选讲选做题）如图3，四边形内接于，是直径，与相切, 切点为，, 则 .
14．（2011广州调研）（坐标系与参数方程选讲选做题）已知直线的参数方程为：（为参数），圆的极坐标方程为，则直线与圆的位置关系为 相交
15．（2011哈尔滨期末）极坐标方程表示的图形是 （ C ）
A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
16、（2011哈尔滨期末）已知直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系
的点为极点，方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（1）求直线的倾斜角；（2）若直线与曲线交于两点，求．
解：（1）
（2）的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离，
17. (2011·惠州三调)（坐标系与参数方程选做）
在极坐标系中，点到直线的距离为 ．
【解析】直角坐标方程 x+y﹣2=0，d==
18. (2011·惠州三调)（几何证明选讲选做题）
如图，点B在⊙O上， M为直径AC上一点，BM的延长线交⊙O于N，
，若⊙O的半径为，OA=OM ，则MN的长为 2 ．
【解析】∵∴,∵OM=2,BO=∴BM=4,
∵BM·MN=CM·MA=(+2)(-2)=8，∴MN=2
19、 (2011·锦州期末)（本小题10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，设为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，是⊙O与l的公共点,
⊥l，⊥l，垂足分别为，，且，求证：
（I）l是⊙O的切线；
（II）平分∠ABD．
证明：（Ⅰ）连结OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC//BD． 又OA=OB，PC=PD，
所以OP//BD，从而OP⊥l．因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．……5分
（Ⅱ）连结AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD=∠BAP．又∠BPD+∠PBD=90°，
∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD．………10分
（第二问的证明也可：连结OP，角OPB等于角DBP；而等腰三角形OPB中，角OPB等于角OBP；故PB平分角ABD）
20、(2011·锦州期末)（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知某圆的极坐标方程为（I）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（II）若点在该圆上，求的最大值和最小值．
解（Ⅰ）； ……3分
（为参数）………5分
（Ⅱ）因为，所以其最大值为6，最小值为2……………10分
21、(2011·锦州期末)（本小题10分）选修4－5：不等式选讲
设，试比较的大小．
解： 当…（3分）
当时，…（6分）
当时，……（9分） 综上，当
当， ．……（10分）
22．（2011·九江七校二月联考）已知= （ B ）
A． 2008 B．—2008 C．2010 D．—2010
23．（2011·九江七校二月联考）
（1）（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为，则该圆的圆心到直线的距离是 。
(2) （不等式选讲选做题）若，且，则的最小值为 4 。
24、（2011·上海长宁区高三期末）不等式的解集为___________。
25. （2011苏北四市二调）
选修4－1：几何证明选讲
(本小题满分10分)如图，与⊙相切于点，
为的中点，过点引割线交⊙于，两点，
求证: ．
【证明】因为与圆相切于， 所以，
因为D为PA中点，所以，
所以DP2=DB·DC，即 ．…5分因为， 所以∽，
所以．… 10分
26、（2011苏北四市二调）选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.
解：矩阵M的特征多项式为=……分
因为方程的一根，所以……3分
由得，………5分
设对应的一个特征向量为,
则得………8分令,
所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为………10分
27、（2011苏北四市二调）选修4—4：坐标系与参数方程 (本小题满分10分)
在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），判断直线和圆的位置关系．
解：消去参数，得直线的直角坐标方程为；…………… 2分
即，两边同乘以得，
得⊙的直角坐标方程为：, …… 6分
圆心到直线的距离，所以直线和⊙相交．… 10分
28、（2011苏北四市二调）选修4—5：不等式选讲
(本小题满分10分)求函数的最大值．
D. 因为≤…6分∴ ≤…8分，
当且仅当时取“”号，即当时，……10分
2010名校模拟题及其答案
一、选择题
1．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）关于、的二元一次方程组的系数行列式是该方程组有解的（ D ）．
　 　A．充分非必要条件　　　　 　　　B．必要非充分条件
　 　C．充分且必要条件　　　　　　　　　D．既非充分也非必要条件
2．(上海市松江区2010年4月高考模拟理科)将函数的图像向右平移个单位，所得图像的函数为偶函数，则的最小值为 ( D )
A． B． C． D．
3. （重庆市一中2010届高三下学期3月月考理）曲线与曲线关于直线对称,则的方程为( D )
A. B. C. D.
4．（天津市武清区2009～2010学年高三下学期第一次模拟理）在方程（为参数且∈R）表示的曲线上的一个点的坐标是（ C ）
A．（2，-7） B．（1，0）
C．（，） D．（，）
二、填空题：
1．（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）以知圆的直径是圆周上一点（不同于点）， .
2．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）（几何证明选讲选做题）如图5,是半圆的直径,点在
半圆上,，垂足为，且,设,
则的值为 .
3．（安徽省马鞍山市2010年高三第二次教学质量检测理科）已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（为参数），则圆M上的点到直线的最短距离为 。
4、（上海市奉贤区2010年4月高三质量调研理科）已知一个关于的二元线性方程组的增广矩阵是，则=_____6____。
5、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）函数图像的顶点是，且成等比数列，则14
6．（上海市卢湾区2010年4月高考模拟考试理科）在极坐标系中，圆的圆心与点的距离为 ．向下的抛物线，uxz
7、（上海市长宁区2010年高三第二次模拟理科）已知圆的极坐标方程为，则该圆的面积为
8．(天津十二区县重点中学2010年高三联考一理)在极坐标系下，圆的圆心到直线 的距离是 ．
三、解答题
1．（江苏省南通市2010年高三二模）选修4－1　几何证明选讲
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC， DE交AB于点F．求证：△PDF∽△POC．
证明：∵AE=AC，∠CDE＝∠AOC，…………3分
又∠CDE＝∠P+∠PDF，∠AOC＝∠P+∠OCP，
从而∠PDF＝∠OCP．………………………………8分
在△PDF与△POC中，∠P＝∠P，∠PDF＝∠OCP，
故△PDF∽△POC．……………10分
2． (江苏通州市2010年3月高三素质检测)选修4—1 几何证明选讲
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF·EC（Ⅰ）求证：P=EDF；
（Ⅱ）求证：CE·EB=EF·EP．
证明：（1）∵DE2=EF·EC，∴DE CE=EF ED．
∵DEF是公共角，
∴ΔDEF∽ΔCED． ∴EDF=C．
∵CD∥AP， ∴C= P．
∴P=EDF．
（2）∵P=EDF， DEF=PEA，
∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE PE=EF EA．即EF·EP=DE·EA．
∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP．
3．（2010年3月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）选修4—1：几何证明选讲
如图，在梯形中，∥BC，点，分别在边，
上，设与相交于点，若，，，四点共圆，
求证：．
证明：连结EF．∵四点共圆,
∴．∵∥，∴180°．
∴180°∴四点共圆．
∵交于点G，∴．
4．（江苏省苏南六校2010年联合调考）（本小题为选做题，满分10分）
如图，是的直径，为圆上一点，，垂足为，点为上任一点，交于点，交于点．
求证：（1）；
（2）．
证明：（1）∵，∴，
∴∽，∴；（5分）
（2）延长与⊙O交于点N，由相交弦定理，
得，且，
∴，由（1）∴。（10分）
5. （2010年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）选修4－1：几何证明选讲
如图，在中，D是AC中点，E是BD三等分点，
AE的延长线交BC于F，求的值．
证明：过D点作DM∥AF交BC于M，因为DM∥AF，
所以，……２分
因为EF∥DM，所以，即…４分
又，即，８分
所以，因此．…10分
6．（江苏省泰州市2010届高三联考试题）（本小题为选做题，满分10分）
如图，点分别是正的边的中点，
直线与的外接圆的一个交点为．设正外接圆半径为．
（1）求线段的长；（2）求线段的长．
解：（1）设边长为，由正弦定理知=； （5分）
（2）延长交圆于，设，可得. （10分）
7．如图，四边形ABCD内接于，弧AB=弧AD，过A点的切线交CB
的延长线于E点．求证：．
证明：连结AC．因为EA切于A， 所以∠EAB＝∠ACB．
因为弧AB=弧AD，所以∠ACD＝∠ACB，AB＝AD．
于是∠EAB＝∠ACD．又四边形ABCD内接于，所以∠ABE＝∠D．所以∽．于是，即所以．
8．（江苏省南通市2010年高三二模）选修4－2　矩阵与变换
已知矩阵A＝，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝，属于特征值1的一个特征向量为α2＝．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．
解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝可得， ＝6，即c＋d＝6；…3分
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝，可得 ＝，
即3c－2d＝－2，…6分解得即A＝， ……8分A逆矩阵是eq \b\bc\[(\a\al\vs4( －, － ))
9．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)选修4—2　矩阵与变换
求将曲线绕原点逆时针旋转后所得的曲线方程．
解：由题意得旋转变换矩阵，………3分
设为曲线上任意一点，变换后变为另一点，则
，即所以又因为点P在曲线上，所以，故，即为所求的曲线方程．…10分
10．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)选修4—4　参数方程与极坐标
自极点O作射线与直线 ( http: / / www. )相交于点M，在OM上取一点P，使得，求点P的轨迹的极坐标方程．
法一：将直线方程 ( http: / / www. )化为4分 ( http: / / www. )……6分
设动点P，M ( http: / / www. )，则 ，…8分又 ( http: / / www. )，得；……10分
法二：以极点为坐标原点建立直角坐标系，将直线方程 ( http: / / www. )化为……4分
设P ( http: / / www. )，M，，………6分
又MPO三点共线，，…8分转化为极坐标方程．10分
11．(江苏通州市2010年3月高三素质检测)选修4—4　不等式证明
已知，，是正数，求证.
证明：
12．（辽宁省大连市2010届高三下学期双基测试理科）设函数
（1）当时，求函数的定义域； （2）若函数的定义域为R，试求的取值范围。
解：（1）由题设知：，在同一坐标系中作出函数和的图象,
知定义域为．
（2）由题设知，当时恒有，即，
又由（1），∴ 10分
13．（辽宁省大连市2010届双基测试理科）如图10，已知⊙O和⊙M
相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，
点G为BD中点，连结AG分别交⊙O、BD于点E、F连结CE。（1）求证：； （2）求证：
证明：（1）连结，，
∵为的直径，∴，
∴为的直径, ∴,
∵，∴,
∵为弧中点，∴，
∵,∴,
∴∽，∴， ∴。5分
（2）由（1）知，,∴∽,∴,
由（1）知，∴． 10分
【核心预测】
一、选择题：
1．若是任意的实数,且,则( )
(A) (B) (C) (D)
D.提示：注意函数的单调性；
2．不等式的解集是( )
(A) (B) (C) (D)
B.提示：先移项，再通分，再化简；
3．不等式的解集为( )
(A) (B) (C) (D)
D.提示：当≤－2时，原不等式可以化为≥5，
解得≤－3，即不等式组的解集是.
当时，原不等式可以化为≥5，即3≥5，矛盾.所以不等式组，的解集为，当≥1时，原不等式可以化为≥5，解得≥2，即不等式组的解集是.综上所述，原不等式的解集是;
4．若,则的最小值为 ( )
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
C. 提示：;
6、设曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，则曲线上到直线距离为的点的个数为
A、1 B、2 C、3 D、4
【解析】化曲线的参数方程为普通方程：，圆心到直线的距离，直线和圆相交，过圆心和平行的直线和圆的2个交点符合要求，又，在直线的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B.
【方法总结】解决这类问题首先把曲线的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线上到直线距离为，然后再判断知，进而得出结论.
7．在极坐标系中，圆心坐标是（），半径为的圆的极坐标方程是…（ A ）
A．（）．　B．（）．
C．（）． D．（）．
8．在极坐标系中，与点关于极点对称的点的坐标是 ( D )
A． B． C． D．
二、填空题：
1.如图，平行四边形中，, 的面积为6,
则的面积为 .
【答案】18
【解析】由题意可得∽, 且相似比为，
由的面积为6，得的面积为54,又︰=,所以。
2．（几何证明选做题）如图，已知是外一点，为的切线，为切点，割线PEF经过圆心，若,则的度数为 ．
【答案】
【解析】由切割线定理得
,,∵,∴,
.
3.（坐标系与参数方程选做题）若P是极坐标方程为的直线与参数方程为（为参数，且）的曲线的交点，则P点的直角坐标为 .
【答案】P
【解析】直线的方程为曲线的方程为，联立解方程组得根据的范围应舍去,故点的直角坐标为P。
4.（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，则的最大值为 .
【解析】设，，最大值为2
5. 已知平面直角坐标系xOy内直线l的参数方程式为（t为参数），以Ox为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位），圆C的极坐标方程为，则直线l的圆C的位置关系是　相切　
解析：直线l的方程为，圆C的方程为，
6.（不等式选讲选做题）若不等式的解集为 ．
7.（选修4—4坐标系与参数方程）（坐标系与参数方程）在极坐标系中，设是直线上任一点，是圆上任一点,则的最小值是 。
【解析】则到直线的距离为，所以
8.设，则方程的解集为 . 9．三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为，则____________．
10．如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知，圆O的半径r=AB=4，则圆心O到AC的距离为 .
三、解答题：
1．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵 ,向量. (1)求的特征值、和特征向量、；(2)计算的值.
2．选修4-1：几何证明选讲
如图，直线经过⊙O上的点，并且， ，直线交⊙O 于点，连接．（1）试判断直线与⊙O的位置关系，并加以证明；
（2）若，⊙0的半径为3，求的长。
解：（I）证明：如图，连接． ，，．
∴是⊙O的切线．……3分
（II），∴．
，∴．设，则． ………… 6分
又BC2=BD·BE，∴．…………… 8分
解得，．，∴．
．…………10分
3．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线的方程，
设，为参数，求曲线的参数方程．
解：将代入，得，即．………4分
当 x=0时，y=0； 当时， ．……6分 从而．……8分
∵原点也满足， ∴曲线C的参数方程为（为参数）．……10分
4.选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P的直角坐标.
解：因为直线的极坐标方程为所以直线的普通方程为，……３分
又因为曲线的参数方程为（为参数）所以曲线的直角坐标方程为，…６分联立解方程组得或，…８分根据的范围应舍去,故点的直角坐标为．…10分
5．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知关于的不等式。(1)当时，解上述不等式；(2)如果关于的不等式
的解集为空集，求实数的取值范围。
解：（1）原不等式|x-3|+|x-4|＜2当时，原不等式化为7-2x＜2，解得，∴
当时，原不等式化为1＜2，∴
当x＞4时，原不等式化为2x-7＜2，解得 ，∴
综上，原不等式解集为；（5分）
（2）法一、作出y=|x-3|+|x-4|与y=a的图象，
若使|x-3|+|x-4|＜a解集为空集只须y=|x-3|+|x-4|图象在y=a的图象的上方，或y=a与y=1重合，∴a≤1
所以，a的范围为（-∞，1]，（10分）
法二、：y=|x-3|+|x-4|= 当x≥4时，y≥1当3≤x＜4时，y=1当x＜3时，y＞1综上y≥1，原问题等价为a≤[|x-3|+|x-4|]min∴a≤1（10分）
法三、：∵，当且仅当时，上式取等号∴
6．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数．（I）当=2时，求函数的最小值；（Ⅱ）当函数的定义域为R时，求实数的取值范围．
解：函数的定义域满足，即
设则 3分
5分
（2）由（1）知，的最小值为4. ，的取值范
围是（-∞，4） 10分
7．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图所示，AB为的直径，BC、CD为的切线，B、D为切点。
(1)求证：AD//OC； (2)若的半径为1，求AD·OC的值。
解：(1)如图，连接BD、OD.
∵CB、CD是⊙O的两条切线,∴BD⊥OC，∴∠2+∠3=90°……2分
又AB为⊙O直径，∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°,
∴∠1=∠3，∴AD∥OC ……5分
(2)AO=OD，则∠1=∠A=∠3,
∴Rt△BAD∽Rt△ODC,AD OC=AB OD=2 ……10分
F
E
D
C
B
A
第22题图
B
A
C
T
P
第15题图
20090602
P
A
D
B
C
O
·
第21－A题
图5
A
B
C
D
O
（第21-A题）
A
B
P
F
O
E
D
C
·
·
P
E
O
D
C
B
A
F
BA
EA
MAA
FA
AA
CA
DA
OA
AA
BA
CA
DA
EA
FA
MAA
NA
OA
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
M
A
P
M
N
B
C
A
E
B
C
D
O
·
⌒
D
C
B
A
E
F
本卷第36页（共36页）2012考前90天突破——高考核心考点
专题五 平面向量
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读
近几年考点分布平面向量在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用．平面向量的考查要求：第一，主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查学生掌握平面向量的和、差、数乘和数量积的运算法则，理解其直观的几何意义，并能正确地进行运算；第二，考察向量的坐标表示，及坐标形势下的向量的线性运算；第三，经常和函数、曲线、数列等知识结合，考察综合运用知识能力．
在近几年的高考中，每年都有两道题目．其中小题以填空题或选择题形式出现，考查了向量的性质和运算法则，数乘、数量积、共线问题与轨迹问题．大题则以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题
【考点pk】名师考点透析
考点一、向量的概念、向量的基本定理
例1、如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，|| ＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为 .
解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，=得平行四边形的边长为2和4，2+4=6
【名师点睛】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数λ1、λ2，使=λ1+λ2. 注意：若和是同一平面内的两个不共线向量
本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。
考点二、向量的运算
例2、已知平面向量，且∥，则=（　 ）
A．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）
解：由∥，得m＝－4，所以，＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8），故选（C）。
【名师点睛】掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。
例3、已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则是（ ）
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
解：由于
∴，即，选Ａ
【名师点睛】本题考查简单的向量运算及向量垂直的坐标运算，注意不要出现运算出错，因为这是一道基础题，要争取满分。
例4、已知向量和的夹角为，，则　　　　．
解：=，7
【名师点睛】向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。
考点三、向量与三角函数的综合问题
例5、已知向量 ,函数
(1)求的最小正周期; (2)当时, 若求的值．
解：(1) .
所以，T＝.
(2) 由得∵∴　∴ ∴
【名师点睛】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点.
例6、在中，角的对边分别为．
（1）求；（2）若，且，求．
解：（1） 又 解得．
，是锐角． ．
（2）由， ， ． 又．
． ． ．
　【名师点睛】本题向量与解三角形的内容相结合，考查向量的数量积，余弦定理等内容。
考点四、平面向量与函数问题的交汇
例7已知向量＝(cosx，sinx)，＝()，且x∈[0，]．
（1）求（2）设函数+，求函数的最值及相应的的值。
解：（I）由已知条件： ， 得：
（2）
因为：，所以：
所以，只有当： 时， ，或时，
【名师点睛】本题考查向量、三角函数、二次函数的知识，经过配方后，变成开口向下的二次函数图象，要注意sinx的取值范围，否则容易搞错。平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。
考点五、平面向量在平面几何中的应用
例8如图在RtABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时， 的值最大？并求出这个最大值。
解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建
立如图所示的平面直角坐标系。设|AB|=c，|AC|=b，则A（0，0），B（c，0），C（0，b）.且|PQ|=2a，|BC|=a.设点P的坐标为
（x，y），则Q（-x，-y），
∴cx-by=a2cos.∴=- a2+ a2cos.故当cos=1，即=0（方向相同）时，的值最大，其最大值为0.
【名师点睛】本题主要考查向量的概念，运算法则及函数的有关知识，平面向量与几何问题的融合。考查学生运用向量知识解决综合问题的能力。向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示．在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起．因此，许多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟悉的代数运算的论证．也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，赋予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决
【金题热身】
11年高考试题及解析
1、（四川文7理4）.如图，正六边形ABCDEF中，=
(A)0 (B) (C) (D)
答案：D
解析：.
2、（福建文 13.） 若向量=（1,1）， （-1,2），则____________.
【解析】因为向量=（1,1），（-1,2），所以
3（江苏10）、已知是夹角为的两个单位向量， 若，则k的值为 。
答案：
解析：考察向量的数量积及其相关的运算，中档题。由得：
4（广东文3）．已知向量，若为实数，，则= （ ）
A． B． C． D．
【解析】，
所以选B.
5（广东理3）．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a+2b)=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【解析】当时，显然；当时， ，所以选D.
6（全国文3）设向量满足||=||=1, ,则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】
故选B
7（课标文13）.已知向量为不共线的单位向量，，如果垂直，那么
解析：由于垂直，，又不共线，所以，
点评：此题考查平面向量的概念、运算、性质，要熟练掌握。
8（湖北文2）．若向量，则与的夹角等于
A. B. C. D.
解析：因为,设其夹角为r，故，即，所以选C.
9（辽宁文 3）已知向量a=（2,1），b=（-1，k），a·（2a-b）=0，则k=（ ）
（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12
解析：由题意，得2a-b =（5，2-k），a·（2a-b）=2×5+2-k=0，所以k=12. 答案： D
10（湖南文130．设向量满足且的方向相反，则的坐标为 ．
解析：由题，所以
11（安徽文14、理13）已知向量a，b满足且，，则a与b的夹角为 .
【命题意图】本题考查向量的数量积，考查向量夹角的求法.属中等难度的题.
【解析】，则，即，，所以，所以.
12（江西文11）．已知两个单位向量，的夹角为，若向量，，则=___.
【答案】-6
【解析】要求*，只需将题目已知条件带入，得：*=（-2）*（3+4）=
其中=1，==1*1*=，，带入，原式=3*1—2*—8*1=—6.
13（江西理11）.已知,·=-2，则与的夹角为
【解析】设与的夹角为,则·=,解得,即
,所以,故与的夹角为.
14（重庆文5）．已知向量共线，那么的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【命题意图】本题考查向量共线的充要条件、向量数量积的计算，是简单题.
【解析】=(3,) ∵与 ∴解得=1∴==4故选D.
15（北京文11、理10）已知向量。若与，共线，则= .
【解析】：由与共线得
16（重庆理12）已知单位向量的夹角为，则
解析：
17（湖南理14）.在边长为1的正三角形ABC中，设则 .
解析：设则且
，所以=，故填
18（福建理15）.设V是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量
以及任意∈R，均有则称映射具有性质P。现先给出如下映射：①
②
③
其中，具有性质P的映射的序号为________。（写出所有具有性质P的映射的序号）【答案】①③
【解析】：，
①：，
，
则 故①正确
③：，
则 故③正确
19（浙江文15、理140若平面向量、 满足，且以向量、 为邻边的平行四边形的面积为，则、 的夹角θ取值范围是 。
【解析】：，又
20（辽宁理10）若、、 均为单位向量，且=0，（）·（）≤0，则的最大值为
（A） （B）1 （C） （D）2
解析：由=0，（）·（）≤0，得-·-·≤-2=-1，2+ 2+ 2+2·-2·-2·=3+2（-·-·）≤3-2=1，故的最小值为1.
21（课标卷理10）. 已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题
其中的真命题是
（A） （B） （C） （D）
解析：由可得，
故选D
点评：该题考查平面向量的的概念、数量积运算以及三角函数值与角的取值范围，要熟练把握概念及运算。
22（山东文、理12）设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (λ∈R)，(μ∈R)，且,则称，调和分割， ,已知点C(c，o),D(d，O)(c，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是
(A)C可能是线段AB的中点 (B)D可能是线段AB的中点
(C)C，D可能同时在线段AB上 (D) C，D不可能同时在线段AB的延长线上
【解析】由 (λ∈R)，(μ∈R)知:四点，，，在同一条直线上,
因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,且, 故选D.
23（全国理12）设向量满足||=||=1, ,，=，则的最大值等于
(A)2 (B) (c) (D)1
【答案】A
【解析】如图，构造, , ,
，所以四点共圆，
可知当线段为直径时，最大，最大值为2.
24（天津文、理14）.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为 .
【答案】5
【解析】画出图形,容易得结果为5.
【核心突破】
2011年模拟试题及答案
1．（2011北京朝阳区期末）在中，是的中点，，点在上且满足，则等于 (A)
（A） （B） （C） (D)
2．（2011北京丰台区期末）如果向量与共线且方向相反，那么的值为（A）
A．-3 B．2 C． D．
3. （2011西城期末）已知点，点，向量，若，则实数的值为(C)
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
4. （2011巢湖一检）在中，,,,则的面积是(A)
A. B. C. D.1
5. (2011东莞期末)
如图， 已知点在上，，
用和来表示向量，则等于.
6．（2011佛山一检）已知向量，则向量的夹角的余弦值为(C)
A． B． C． D．
7．（ 2011广东广雅中学期末）
如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，若N 为正方形内（含边界）任意一点，则·的最大值为　6 　
8．（2011哈尔滨期末）
已知，则与夹角的取值范围是 （ C ）
A． B． C． D．
9．（2011杭州质检）已知a，b是平面内的两个单位向量，设向量c=b，且|c|1，a（b-c）=0，则实数的取值范围是 （– 1，1） ．
10．(2011湖北八校一联)
如图，在，P是BN上的一点，
若，则实数m的值为（ C ）
A． B．
C． D．
11．（2011·湖北重点中学二联）已知A、B、C是= 。
12、（2011·淮南一模）已知点是的重心，( , )，若，，则的最小值是（ C ）
A． B． C． D．
13．(2011·黄冈期末)在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记、 分别为a、b，则=（ B ）
A．a－b B．a+b C．－a+b D．－a－b
14. (2011·惠州三调)已知△ABC中，点A、B、C的坐标依次是A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，则的坐标是：_(-1,2)______．
【解析】设D(x，y)，则＝， ＝，＝，
∵⊥，∥，∴得，所以＝.
答案：(－1,2)
15．（2011·金华十二校一联）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点 （ D ）
A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度
C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度
16．（2011·金华十二校一联）已知为的外心，，则= （ B ）
A．18 B．10 C．-18 D．-10
17．（2011·金华十二校一联）已知向量，如果，则 ．
8．(2011·南昌期末)已知为坐标原点，点，若满足不等式组，则 的最大值为______12____.
19、 (2011·日照一调)若是夹角为的单位向量，且=2，=,则a·b等于( C )
(A)1 (B)－4 (C) (D)
20、(2011·日照一调)已知O是所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么( A )
(A) (B) (C) (D)
21、 （2011·三明三校二月联考）如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点是的中点. 若， ，且，则 .
22、(2011·汕头期末)已知方程，其中、、是非零向量，且、不共线，则该方程( )
A．至多有一个解 B．至少有一个解 C．至多有两个解 D．可能有无数个解
解：由于，不共线，所以，则
；
23. （2011·上海普陀区高三期末）设平面向量，，则 -4 .
24. （2011·泰安高三期末）在△ABC中，AB=2，AC=1，=，则的值为 ( C )
A.- B. C.- D.
25. （2011·泰安高三期末）已知A(1,2)，B(3,4)，C(-2,2)，D(-3,5)，则向量在向量上的投影为 .
26．（2011中山期末）已知向量，向量，且，则x = （C）
A．1 B．5 C．6 D．9
27. （2011苏北四市二调）设是单位向量，且，则向量的
夹角等于 ．
28．（ 2011·温州八校联考）已知为内一点，若对任意，恒有则一定是（A ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
29．（ 2011·温州八校联考）如图，在正方形ABCD中，已知AB＝2，M为BC的中点，
若N为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为　　6　
30、（2011·温州十校高三期末）在△ABC中，，其面积，则夹角的取值范围是
31. （2011烟台一调）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，( C )
A.（2，4） B.（3，5） C.（—3，—5） D.（—2，—4）
32. （2011烟台一调）在等腰直角三角形ABC中，D是斜边BC的中点，如果AB的长为2，则的值为___4_____
33．（2011镇江高三期末）若,,若，则向量与的夹角为 .
34．（2011镇江高三期末）直角三角形中，斜边长为2，是平面内一点，点满足,则= 1 .
35．（2011镇江高三期末）已知向量，,，，，为正实数.(1) 若，求的值;(2) 若，求的值;(3) 当时，若,求的最小值.
36．（本题满分14分）已知向量a=，b=，设m=a+tb（t为实数）．
（1）若，求当|m|取最小值时实数t的值；（2）若ab，问：是否存在实数t，使得向量a-b和向量m的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．
解：（1）因为=，b =（），，
则====
所以当时，取到最小值，最小值为． 7分
（2）由条件得cos45=，又因为
==,==,，
则有=，且，整理得，所以存在=满足条件．
2010年模拟试题及答案
一、选择题：
1．（福建宁德四县市一中2010年4月高三第一次联考理）的三个内角的对边分别为，已知，向量， 。若，则角的大小为（　　）A． 　　B． 　　C． 　　　　D．
【答案】Ｂ
【解析】由，
∥，故
2．(福建省石狮石光华侨联合中学2010届高中毕业班5月份高考模拟理科)已知向量，若，则实数的值为( D )
A．-3 B．2 C．4 D．-6
3(福建省石狮石光华侨联合中学2010届高中毕业班5月份高考模拟文科)已知向量＝(，0)，＝(，)，＝(cosα，sinα)(α∈R)，则与夹角的取值范围是 （ B ）
A． B． C． D．
4（福建省宁德三县市一中2010年4月高三第二次联考文）若 的夹角为 ，则（ B ）
A． B． C． D．
5．（福建省福州市2010年3月高中毕业班质量检查理科）如图为互相垂直的单位向量，向量可表示为 （ C ）
A． B．
C． D．
6（泉州市2010年3月高三质量检查文科试题）已知向量，若则 D
A． B． C．1 D．3
7(福建省厦门市2010年3月高三质量检查理）已知向量，则函数的最小正周期是（ B ）
A． B． C． D．
8（福建省莆田市2010年高中毕业班教学质量检查理）已知a、b、c为非零的共面向量，,,则是的（A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
9．（福建省莆田市2010年高中毕业班教学质量检查文）若、是两个非零向量，则是的（C ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
10（福建省龙岩市2010年高中毕业班第一次质量检查理）设向量，若是实数，则的最小值为B
A. B. C. 1 D.
11（福建省龙岩市2010年高中毕业班第一次质量检查文）已知向量a，b，向量c满足（cb）a，（ca）//b，则c A.
A. B. C. D. 1.
12（池州市七校元旦调研）设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为 ( )
（A） （B） （C） (D)
答案 D
解: 是单位向量
故选D.
13（肥城市第二次联考）（天津市武清区2009～2010学年高三下学期第一次模拟文）已知非零向量、，若+2与-2互相垂直，则等于（ B ）
A． B．2 C． D．4
14（马鞍山学业水平测试）已知向量与向量平行,则x,y的值分别是
A. 6和-10 B. –6和10 C. –6和-10 D. 6和10
答案 A
15（肥城市第二次联考）自圆x2+y2－2x－4y+4=0外一点P（0，4）向圆引两条切线，切点分别为A、B，则等于( )
(A) (B) (C) (D)
答案 A
解析：设、的夹角为，则切线长，结合圆的对称性，，，所以=。
16（马鞍山学业水平测试）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若,，，　 则下列向量中与相等的向量是
A． B． C． D．
答案 D
17．（天津市六校2010届高三第三次联考理科）已知点，O为坐标原点，点P（x，y）的坐标x，y满足则向量方向上的投影的取值范围是 （ B ）
A． B．[-3，3] C． D．
18（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）已知，，，则向量在向量方向上的投影是（　 ）
A． B． C． D．
答案A
19 （三明市三校联考）若是夹角为的单位向量，且,，则 （ ）
A.1 B. C. D.
答案C
20（昆明一中三次月考理）已知向量，实数m，n满足，则的最大值为A．2 B．3 C．4 D．16
答案：D二、填空题：
1(福建省石狮石光华侨联合中学2010届高中毕业班5月份高考模拟文科)若平面向量，则满足的向量共有 个。2
2（安庆市四校元旦联考）已知圆和直线交于A,B两点,O是坐标原点, 若,则 .
答案
3（祥云一中三次月考理）若向量，满足且与的夹角为，则=
答案：
4(天津十二区县重点中学2010年高三联考一理)在中，，，为边上的点，且，若，则 ．2
5．（天津市武清区2009～2010学年高三下学期第一次模拟理）已知非零向量、，满足⊥，且+2与-2的夹角为1200，则等于
6．（天津市六校2010届高三第三次联考文科）设点P为的重心，若AB=2，AC=4，则
= .4
7（天津市天津一中2010届高三第四次月考理科）在棱长为2的正方体中,正方形所在平面内的动点到直线的距离之和为,则有最大值 ．
8（天津市天津一中2010届高三第四次月考文科）如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是__________．
【核心预测】
一、选择题
1．向量i=（1，0），j=（0，1），下列向量中与向量垂直的是（ ）
A． B． C． D．
解：()()=0所以选B
2．已知向量a，若向量与垂直，则的值为 （ ）
A． B．7 C． D．
解： ()()=答案：A
3．设，，则满足条件，的动点P的
变化范围（图中阴影部分含边界）是 （ ）
A． B． C． D．
解：设P点坐标为，则.由，得，在平面直角坐标系中画出该不等式组表示的平面区域即可，选A．
4．如图，非零向量 （ ）
A． B．
C． D．
解：即
即可得答案A
5．在四边形ABCD中，=a+2b，=－4a－b，=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（ ）
A.平行四边形 B.矩形 C.梯形 D.菱形
解∵==－8a－2b=2，∴.∴四边形ABCD为梯形. 答案： C
6．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb (λ，μ∈R)那么A，B，C三点共线的充要条件为( )
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1
解： A，B，C三点共线即存在实数使得=即λa＋b=（ a＋μb）
所以有λa=a ， b=μb，即λ=， 1=μ 故选D
7．已知向量，，其中.若，则当恒成立时实数的取值范围是 （ ）
A．或 B．或
C． D．
解：由已知得，所以，因此
，由于恒成立，所以，解得或.答案：B
8．点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）．设开始时点的坐标为（－１０，１０），则５秒后点的坐标为（　　）
A　（-2，4）　B　（-30，25）　C　（10，-5）　D　（5，-10）
解：设5秒后点P运动到点A,则,
∴=(10,-5). 答案：C　
9．已知，，，点在直线上的射影为点，则的最大值为 （ C ）
10.若=a，=b， m则∠AOB平分线上的向量为（ B ）
A. B.()，由确定 C. D.
二、填空题
11．已知在平面直角坐标系中，，（其中为原点，实数满足），若N（1，0），则的最小值是________.
12．已知直线交于不同的两点A、B，O是坐标原点，的取值范围是 。
13．设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则的值等于
14已知是的中线，，那么 ；
若，，则的最小值是 ．答案 1
15
三、解答题（解答应有证明过程或演算步骤）
16．如图,ABCD是一个梯形,, M、N分别是的中点,已知a,b,试用a、b表示和
解：∵||=2||∴∴a,
b－a , =a－b
17．设向量，向量垂直于向量，向量平行于，试求的坐标．
解：设 ，∴，∴①
又 即：②
联立①、②得 ∴ ．
18．已知M＝(1+cos2x，1)，N＝(1，sin2x+a)(x，a∈R，a是常数)，且y=· (O是坐标原点)⑴求y关于x的函数关系式y=f(x)；⑵若x∈[0，]，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象经过怎样的变换而得到．
解：⑴y=·＝1+cos2x+sin2x+a，得f(x) =1+cos2x+sin2x+a；
⑵f(x) =1+cos2x+sin2x+a化简得f(x) =2sin(2x+)+a+1，x∈[0，]。
当x＝时，f(x)取最大值a＋3＝4，解得a＝1，f(x) =2sin(2x+)+2。
将y=2sin(x+)的图象的每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度可得f(x) =2sin(2x+)+2的图象。
19．已知A（－1，0），B（1，0）两点，C点在直线上，且，
成等差数列，记θ为的夹角，求tanθ．
解：设
又∵三者，成等差数列．
当 ，同理
20．已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中 ＝（1，2）
⑴若||，且，求的坐标；⑵若||=且与垂直，求与的夹角θ.
解：⑴设
由 ∴　或
∴
⑵
……（※）
代入（※）中,
21．已知向量⑴; ⑵（理科做）若（文科做）求函数的最小值。
解：⑴
⑵（理科）
①当时，当县仅当时，取得最小值－1，这与已知矛盾；
②当时取得最小值，由已知得；
③当时，取得最小值，由已知得
解得，这与相矛盾，综上所述，为所求.
（2）（文科）
∴当且仅当取得最小值。
O
x
A
C
B
a
y
A
C
B
a
Q
P
A
B
C
D
N
M
第11题图
P
A
D
C
M
B
HYPERLINK "http://www."
A
B
N
M
D
C
本卷第1页（共24页）2012考前90天突破——高考核心考点
专题八 圆锥曲线
【考点定位】2012考纲解读和近几年考点分布
2012考纲解读　圆锥曲线与方程　① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.　　② 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.　　③ 了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.　④ 理解数形结合的思想.　⑤ 了解圆锥曲线的简单应用.
近几年考点分布圆锥曲线在高考试题中占有稳定的较大的比例，且选择题、填空题和解答题都涉及到，客观题主要考察圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2012年高考对本讲的考察，仍将以以下题型为主.
1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；
2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。
【考点pk】名师考点透析
考点一 ：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等.利用待定系数法求出相应的a，b，p等.
1.椭圆的方程以及性质
标准方程 简 图 中心坐标 顶点坐标 焦点坐标 对称轴方程 准线方程 范围
+=1(a>b>0) O(0,0) A1(-a,0)A2(a,0)B1(0,-b)B2(0,b) F1(-c,0)F2(c,0) x=0y=0 x=± |x|≤a|y|≤b
+=1(a>b>0) O(0,0) A1(0,-a)A2(0,a)B1(-b,0)B2(b,0) F1(0,-c)F2(0,c) x=0y=0 y=± |y|≤a|x|≤b
2.双曲线的标准方程与几何性质
标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
简图
中心 O(0,0) O(0,0)
顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,a),A2(0,-a)
范围 |x|≥a |y|≥a
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
准线 x=± y=±
渐近线 y=±x y=±x
3抛物线的方程以及性质
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
顶点 (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
轴 对称轴y=0 对称轴y=0 对称轴x=0 对称轴x=0
焦点 F(,0) F(-,0) F(0,) F(0,-)
准线 x=- x= y=- y=
离心率 e=1 e=1 e=1 e=1
M(x0,y0)焦半径 |MF|=x0+ |MF|=-x0+ |MF|=y0+ |MF|=-y0+
例1．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，　一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为－4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.
解析：设所求椭圆方程为或.根据题意列出关于a,b,c方程组，从而求出a,b,c的值，再求离心率、准线方程及准线间的距离.
解：设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为或，离心率；准线方程，两准线的距离为16.
【名师点睛】：充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.
考点2：圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质.
例2：设F1、F2为椭圆 的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，求的值.
思路分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.
解法1：由已知，｜PF1｜＞｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6，｜F1F2｜＝，
若∠PF2F1为直角，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，这时.
若∠F2PF1为直角，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，可解得：｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时.
解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x,y)（其中x>0,y>0），.若∠PF2F1为直角，则P（），这时｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，这时.若∠PF2F1为直角，则由，解得：.于是｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，这时.
【名师点睛】：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用｜PF1｜＝a+ex,｜PF2｜=a-ex来求解.
考点3：有圆锥曲线的定义的问题
利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.
1、椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.
椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(02、.双曲线的定义
第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.
即||MF1|-|MF2||=2a(<|F1F2|).
M为动点，F1、F2为定点，a为常数.
第二定义：平面内到定点F的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即=e(e>1).
F为直线l外一定点，动点到定直线的距离为d，e为大于1的常数.
3、 1.抛物线的定义
平面内到一定点和到一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线.
例3：已知某椭圆的焦点F1（－4,0），F2（4,0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且＝10，椭圆上不同两点A（x1,y1）,C(x2,y2)满足条件｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标.
思路分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手.
解：（1）由椭圆的定义及已知条件知：2a＝｜F1B｜＋｜F2B｜＝10，所以a=5,又c＝3，故b=4.故椭圆的方程为.
由点B（4，y0）在椭圆上，得｜F2B｜＝｜y0|＝，因为椭圆的右准线方程为，离心率.所以根据椭圆的第二定义，有
.因为｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列，＋，所以：x1+x2=8,从而弦AC的中点的横坐标为
【名师点睛】：涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.
考点4：直线与圆锥曲线位置关系问题
1 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法
2 当直线与圆锥曲线相交时 涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化 同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍
　　利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.
例4：
【名师点睛】： 在以直线与双曲线的知识为背景前提下，结合相应的平面几何知识点到直线距离、两直线的交点问题等来解决有关的三角形面积，交点坐标问题。深刻体会代数法来解决解析几何的思想实质。
考点5：轨迹问题 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法
(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求 (3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程 (4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念
根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.
例5. 设是单位圆的直径，是圆上的动点，过点的切线与过点的切线分别交于两点. 四边形的对角线和的交点为，求的轨迹．
解：以圆心O为原点，直径为x轴建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0），单位圆的方程为设N的坐标为
，则切线DC的方程为：，
由此可得 AC的方程为
BD的方程为 将两式相乘得：，即
当点N恰为A或B时，四边形变为线段AB，这不符合题意，所以轨迹不能包括A、B两点，所以的轨迹方程为，（）．
【名师点睛】： 对于解析几何问题，首先要建系设点然后结合几何中的性质进行求解运算。同时要注意圆的参数方程的运用，对于轨迹方程的求解要注意查漏补缺。
考点6：与圆锥曲线有关的定值、最值问题 建立目标函数，转化为函数的定值、最值问题.
例6：已知A（－2，0），B（2，0），动点P与A、B两点连线的斜率分别为和，且满足·=t (t≠0且t≠－1).（１）求动点P的轨迹C的方程；（２）当t＜0时，曲线C的两焦点为F1，F2，若曲线C上存在点Q使得∠F1QF2=120O，求t的取值范围．
解：(１) 设点P坐标为(x,y),依题意得=ty2=t(x2－4)+=1
轨迹C的方程为+=1（x≠2）.
(２) 当－1＜t＜0时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，设=r1，= r2, 则r1+ r2=2a=4.
在△F1PF2中，=2c=4,∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，得4c2=r+r－2r1r2= r+r+ r1r2
= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2, ∴16（1+t）≥12, ∴t≥－.
所以当－≤t＜0时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O 当t＜－1时，曲线C为焦点在y轴上的椭圆，
设=r1，= r2，则r1+r2=2a=－4 t,在△F1PF2中， =2c=4.
∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，得4c2=r+r－2r1r2= r+r+ r1r2= (r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－()2=3a2, ∴16（－1－t）≥－12tt≤－4. 所以当t≤－4时，曲线上存在点Q使∠F1QF2=120O　
综上知当t＜0时，曲线上存在点Q使∠AQB=120O的t的取值范围是
w.w.w.
【名师点睛】：本试题先直接发球轨迹方程，然后运用一问的结论进一步研究第二问，充分利用圆锥曲线的定义和余弦定理，结合不等式的思想来得到不等式关系，从而得到相关的结论。主要是体会焦点三角形的运用。
【名师点睛】：设椭圆上动点坐标为(x,y)，用该点的横坐标将距离d表示出来，利用求函数最值的方法求d的最小值.
考点7：与圆锥曲线有关的对称问题利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.
例7：过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程
解法一 由e=,得,从而a2=2b2,c=b 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,设AB中点为(x0,y0)，则kAB=－，又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是－=－1，kAB=－1，设l的方程为y=－x+1. 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2= ∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1
解法二 由e=,从而a2=2b2,c=b 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－ 直线l y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=－1 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一
【名师点睛】： 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解；解法二，用韦达定理
【金题热身】
11年高考试题及解析
1、（陕西文理2）.设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是
（A） （B） (C) (D)
【解析】：设抛物线方程为，则准线方程为于是故选C
2、（湖南文6、理5）．设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。答案：C
3、（安徽理2） 双曲线的实轴长是
（A）2 (B) (C) 4 (D) 4
【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.
【解析】可变形为，则，，.故选C.
4、（湖南） 设双曲线的渐近线方程为，则的值为
A.4 B. 3 C. 2 D. 1
解析：由双曲线的方程可知其渐近线为，对比可知。故选C
评析：本小题主要考查双曲线的方程及其渐近线方程与性质.
5、（福建文理7）. 设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足：：= 4:3:2，则曲线I’的离心率等于
A. B. C. D.
【解析】由：：= 4:3:2，可设,,,若圆锥曲线为椭圆,则
,,;若圆锥曲线为双曲线,则,,,故选A.
6、（辽宁文理3）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）
（A） （B）1 （C） （D）
解析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m++n+= m+n+=3，故m+n=，，故线段AB的中点到y轴的距离为。答案： C
7、（课标卷理7）. 设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为
（A） （B） （C）2 （D）3
解析：B. 由题意知，为双曲线的通径，所以，，
又，故选B
点评：本题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的4倍的关系可以计算出离心率的关键的值，从而的离心率。
8、（四川理10）.在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为，的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与该抛物线和圆相切，则抛物线的顶点坐标是（ ）
（A） (-2,-9) （B）(0,-5) (C) (2,-9) （D）(1,6)
答案：A
解析：横坐标为x1=-4,x2=2的两点坐标分别是，，经过这两点的直线的斜率为
，设直线方程为，则 ①.
因为直线和圆相切，所以 ② .因为直线和抛物线相切，由得
，所以③，由①③得，
把代入②，得，即
，故抛物线方程为，顶点坐标为.
9、（山东理8）.已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为
(A) (B) (C) (D)
【解析】由圆C:得:,因为双曲线的右焦点为圆C的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线均和圆C相切,所以,即,又因为c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为,故选A.
10、（全国理10）已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】：，准线方程为，由
则，由抛物线的定义得
由余弦定理得 故选D
11、（浙江理8）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与的长度为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分，则[Com]
（A） （B） （C） (D)
【解析】：由恰好将线段AB三等分得由
又，故选C
12、（湖北理4）．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则
A. B. C. D.
解析：设满足条件的正三角形的三顶点为A、B、F，依题意可知，A、B必关于x轴对称，故设 ，则，则，故由抛物线定义可得，则由，解得，由判别式计算得△>0，故有两个正三角形，可知选C.
13、（江西理9）．若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m的取值范围是
A．(，) B．(，0)∪(0，) c．[，] D．(，)∪(，+)
【解析】因为直线y=0与曲线有两个不同的交点,要使曲线和曲线有四个不同的交点,只须直线与曲线：有两个不同的交点即可,而曲线是一个圆,所以圆心(1,0)到直线的距离为,解得且,故选B.
二、填空题
1、（辽宁理13）已知点（2,3）在双曲线C：（a＞0，b＞0）上，C的焦距为4，则它的离心率为
答案： 2
解析：由题意得，，，，解得a=1，故离心率为2.
2、（课标卷理14）. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在 轴上，离心率为。过的直线 交于两点，且的周长为16，那么的方程为 。
解析：由椭圆的的定义知，，又因为离心率，
因此，所求椭圆方程为：；
点评：本题考查椭圆的定义、标准方程以及简单的几何性质。要注意把握
3（四川理14）.双曲线P到左准线的距离是 .
解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得，解得.
4、（全国理15）已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2| = .
【解析】：，由角平分线的性质得
又
5、（浙江理17）设分别为椭圆的焦点，点在椭圆上，若，则点的坐标是 .
【解析】：设，则由得，
则由椭圆第二定义得
于是即①；由得即②联立①②解得则故点的坐标是
6、（江西理14）.若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别
为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
【答案】
【解析】因为一条切线为x=1,且直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即,设点P（1，）,连结OP,则OP⊥AB,因为,所以,又因为直线AB过点(1,0),所以直线AB的方程为,因为点在直线AB上,所以
,又因为,所以,故椭圆方程是.
三、解答题
1、（陕西理17）、（本小题满分12分）如图，设是圆珠笔上的动点，点D是在轴上的投影，M为D上一点，且（Ⅰ）当的在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度。
【解析】：（Ⅰ）设M的坐标为，的坐标为
由已知得在圆上，即C的方程为
（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为 的直线方程为，设直线与C的交点为
，将直线方程代入C的方程，得，
即。
线段AB的长度为
注：求AB长度时，利用韦达定理或弦长公式求得正确结果，同样给分。
2、（江苏18）、（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k
（Ⅰ）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（Ⅱ）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB
解析：（1）（2）两题主要考察直线的斜率及其方程、点到直线距离公式、
解方程组，是容易题；（3）是考察学生灵活运用共线问题、点在曲线上、
直线斜率、两条直线位置关系的判断、运算能力，是难题。
（Ⅰ）M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),所以
（Ⅱ）由得，，AC方程：即：
所以点P到直线AB的距离
（3）法一：由题意设，
A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，
，两式相减得：
法二：设,
A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,,两式相减得：,,
3、（四川理21）.(本小题共l2分) 椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．（Ⅰ）当|CD | = 时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值.
解析：本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力
（Ⅰ）因椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，由已知得，，所以，则椭圆方程为．直线垂直于x轴时与题意不符．设直线的方程为，联立得，
设，，则，，，
．由已知得，解得，
所以直线的方程为或．……6分
（Ⅱ）直线垂直于x轴时与题意不符．设直线的方程为（且），所以P点的坐标为．设，，由（Ⅰ）知，，直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，
方法一：联立方程设，解得，
不妨设，则
因此Q点的坐标为，又，
∴．故为定值．………12分
方法二：联立方程消去y得，因为，
所以与异号．
又
∴与异号，与同号，∴，解得．
因此Q点的坐标为，又，∴．故为定值．…12分
4、（广东理19）.设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.
（Ⅰ）求C的圆心轨迹L的方程. （Ⅱ）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.
【解析】（Ⅰ）设
设圆C与圆内切，与圆外切，由题得
设圆C与圆外切，与圆内切，由题得
所以，由双曲线的定义知点C在以点为焦点的双曲线上，
设双曲线的方程为
5、（山东理22）.（本小题满分14分）已知动直线与椭圆C: 交于，两不同点，且的面积=,其中为坐标原点.（Ⅰ）证明和均为定值;（Ⅱ）设线段的中点为，求的最大值；（Ⅲ）椭圆上是否存在点，使得？若存在，判断的形状；若不存在，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）⑴当直线的斜率不存在时，设直线，由得：
首先……（*）且，，
则
由得，则，整理得：，
即，解得：，满足（*），
则有，
所以，
⑵当直线的斜率存在时，设直线由得：，即：.
首先……（*）
且，；原点到直线的距离为，
由得，可得：，
又，所以，
所以即，
整理得：，解得：，
所以：；
所以：；综上：；
（Ⅱ）有（Ⅰ）得：当直线斜率不存在时，易求，
当直线斜率存在时，由（Ⅰ）知，；
所以
所以线段的中点为的坐标为即：，
所以
即，（当且仅当，即时取等号）验证符合题意，综合可知的最大值为。
（Ⅲ）假设存在满足条件的点，设，，
由得：，；由得：，；
由得：，；联立上式解得： ，；可知点均在取到，而任意三点的两两连线均过原点，则构不成三角形。所以椭圆上是不存在点，使得。
6、（全国理21）(本小题满分12分)已知O为坐标原点，F为椭圆
在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，
点P满足(Ⅰ)证明：点P在C上；
（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
【解析】(Ⅰ)证明：由，，
由设
，，
故点P在C上
（Ⅱ）法一：点P，P关于点O的对称点为Q，，
，即，同理即， A、P、B、Q四点在同一圆上.
法二：由已知有则的中垂线为：设、的中点为
∴∴则的中垂线为：
则的中垂线与的中垂线的交点为∴
到直线的距离为
∴即
∴、、、四点在同一圆上。
7、（浙江理21）.（本题满分15分）已知抛物线:，圆
:的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，
交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程
【解析】：（Ⅰ）由得准线方程为，由得M，点M到抛物线的准线的距离为
（Ⅱ）设点 ，， 由题意得设过点的圆的切线方程为即① 则
即设，的斜率为（）则是上述方
程的两个不相等的根，将代入①得
由于是方程的根故，所以，
，由得
解得点的坐标为
直线的方程为
8、（课标卷理20）. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA AB = MB BA，M点的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。
解：（Ⅰ）设动点M的坐标为，则依题意：
，由此可得，即曲线C的方程为：
(Ⅱ)设点是曲线C上任一点，又因为，所以，直线L的斜率，其直线方程为：即，所以原点到该直线的距离，又因为，，，所以，当且仅当时，所求的距离最小为2.
点评：此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。要把握每一个环节的关键。
9、（湖南理21）.（本小题满分13分）如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.
求，的方程；设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，，直线，分别与相交于点，.(ⅰ)证明： ;(ⅱ)记,的面积分别为，问：是否存在直线，使得？请说明理由.
解：由题意知，从而，又，解得，故，的方程分别为，
（ⅰ）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为
由得设，，则是上述方程的两个实根，于是
又点，所以
故即
（ⅱ）设直线的斜率为，则直线的方程为，由，
解得或则点又直线的斜率为，同理可得点
于是
由，得，解得或
则点又直线的斜率为，同理可得点
于是因此
由题意知，，解得或
又由点的坐标可知，所以
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和
评析：本大题主要考查抛物线、椭圆的标准方程的求法以及直线与抛物线、椭圆的位置关系，突出解析几何的基本思想和方法的考查：如数形结合思想、坐标化方法等.
10、（湖北理20）（本小题满分13分）平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.(Ⅰ)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想.
解析：（1）设动点为M，其坐标（x, y）.当时，由条件可得
即又的坐标满足
故依题意，曲线C的方程为 当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆； 当时，曲线C 的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆； 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线.
（2）由（1）知，当时，C1的方程为；
当时，C2的两个焦点分别为.对于给定的，C1上存在点使得的充要条件是
由①得，由②得
当即，或时.
存在点N, 使 当即，或时，
不存在满足条件的点N. 当时，
由，
可得 令
则由可得，
从而于是由
可得，即
综上可得： 当时，在C1上，存在点N，使得，且
当时，在C1上，存在点N，使得，且；
当时，在C1上，不存在满足条件的点N.
11、（福建理17）.（本小题满分13分）已知直线l：y=x+m，m∈R。（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。
本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，化归与转化思想、分类与整合思想，满分13分。
【解析】：法一：（I）依题意：点的坐标为，因为所以，解得，即点的坐标为（0，2）。从而圆的半径故所求圆的方程为。
（II）因为直线的方程为所以直线的方程为
由得，
（1）当=1，即=0时，直线与抛物线C相切；
（2）当，即时，直线与抛物线C不相切；
综上，当=1，直线与抛物线C相切；当，直线与抛物线C不相切；
法二：（I）设所求圆的半径为，则圆的方程可设为，依题意，所求圆与直线相切于点，则，解得
所以所求圆的方程为
（II）同解法一。
12、（辽宁理20）.(本小题满分12分) （20）（本小题满分12分）
如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.
（I）设，求与的比值； （II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由
解析：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设
。
设直线分别和C1，C2联立，求得。
当时，，分别用yA，yB表示A、B的纵坐标，可知|BC|:AD|=
（II）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即
，解得。因为，又，所以，解得。所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；
当时，存在直线l使得BO//AN。
13、（北京理19）已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将表示为m的函数，并求的最大值。
【解析】：：（Ⅰ）由已知得 所以所以椭圆的焦点坐标为 ，离心率为
（Ⅱ）（Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=－1时，同理可得
当时，设切线l的方程为由
设A、B两点的坐标分别为，则又由l与圆所以
由于当时，
所以.因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2
14、（天津理18）.（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，点为动点，分别为椭圆的左右焦点．已知△为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．
【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.
（Ⅰ）解:设,,由题意,可得,即,整理得
,得(舍)或,所以.
（Ⅱ）解:由（Ⅰ）知,可得椭圆方程为.直线方程为
,A,B两点的坐标满足方程组,消去y并整理,得,解得
,得方程组的解,,不妨设,,
设点的坐标为,则,.由得
,于是,由，即
,化简得,将代入
,得,所以,
因此,点的轨迹方程是.
15、（安徽理21）.（本小题满分13分）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。
【命题意图】：本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养。
【解析】：由知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设，，，则，即 ①
再设,由，即，解得
②将①代入②式，消去得 ③
又点B在抛物线上，所以，再将③式代入得 ，即，即
，因为，等式两边同时约去得
这就是所求的点的轨迹方程。
【解题指导】：向量与解析几何相结合时，关键是找到表示向量的各点坐标，然后利用相关点代入法或根与系数关系解决问题，此外解析几何中的代数式计算量都是很大的，计算时应细致加耐心。
16、（江西理20）.（本小题满分13分）是双曲线上一点，M,N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM,PN的斜率之积为（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足,求的值.
解：（1）点在双曲线上，有
由题意又有可得
（2）联立设
则……（1）设
又C为双曲线上一点，即有
化简得： …………（2）
又在双曲线上，所以
由（1）式又有
得：
17、（重庆理20）.（本小题满分12分。（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。
解析：（Ⅰ）由解得故椭圆的标准方程为
（Ⅱ）设，,则由得，即，因为点M,N在椭圆上，所以
故
，
设分别为直线OM，ON的斜率，由题意知，，因此，所以，所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左右焦点为，则由椭圆的定义，为定值，又因，因此两焦点的坐标分别为
【核心突破】
2011名校模拟题及其答案
选择题
1（2011·三明三校二月联考）已知点F为抛物线y 2 ＝ －8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且
|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为 （C ）
A. 6 B. C. D.4＋2
2（2011苏北四市二调）双曲线的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围是 ．
3、 （ 2011·温州八校联考）F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是，则双曲线的离心率是 （ C ）
A．2 B． C．3 D．
4．（ 2011·温州八校联考）点P在椭圆上运动，Q、R分别在两圆和上运动，则的取值范围为 ______[2,6] 。
5（2011·温州十校高三期末）已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2为钝角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 （ D ）
（A）（1，）（B） （C） （D）
6. （2011烟台一调）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( D )
A. B. C. D.
7（2011烟台一调）椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为________________
8（2011·泰安高三期末）已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为( D )
A.5x2- y2=1? B. C. D. 5x2-y2=1
9．（2011北京朝阳区期末）已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 .
10．（2011丰台区期末）过点且与圆相切的直线方程为
11（2011北京西城区期末）双曲线的渐近线方程为； 若双曲线的右顶点为，过的直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且，则直线的斜率为.
12 (2011湖北八校一联)已知点的左准线与x轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为 。
13．（2011·湖北重点中学二联）已知定点，N是圆上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是 （ B ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆
14．（2011·湖北重点中学二联）设F为抛物线的焦点，与抛物线相切于点P（-4，-4）的直线轴的交点为Q，则 。
15（2011·淮南一模）等腰中，斜边，一个椭圆以为其中一个焦点，另一焦点在线段上，且椭圆经过，两点，则该椭圆的离心率是 。
16. (2011·黄冈期末) 已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M、N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线l的方程是 ( A )
A.6x－5y－28=0 B.6x+5y－28=0 C.5x+6y－28=0 D.5x－6y－28=0
17 (2011·黄冈期末)过双曲线(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线上，则双曲线的离心率为 _____
18. (2011承德期末)椭圆的右焦点到直线的距离是（ A ）
A． B． C．1 D．
19. (2011承德期末)双曲线的一个焦点为，顶点为，，P是双曲线上任意一点，则分别以线段为直径的两圆一定（ B ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上情况都有可能
20．（2011佛山一检）已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为，若，则双曲线的渐近线方程为(B)
A．　 B． C． D．
20（2011福州期末）若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为
（ A ）
A． B．5 C． D．2
21．（2011哈尔滨期末）抛物线上一点到直线的距离最短，则该点的坐标是（ C ）
A． B． C． D．
22．（2011哈尔滨期末）双曲线的离心率为2，则的最小值为（ A ）
A． B． C． D．
23．（2011哈尔滨期末）椭圆上有一点，是椭圆的左、右焦点，为直角三角形，则这样的点有 （C ）
A．个 B．个 C．个 D．个
24．（2011哈尔滨期末）已知是椭圆上一点，两焦点为，点是的内心，连接并延长交于，则的值为 （ A ）
A． B． C． D．
25．（2011哈尔滨期末）是抛物线的一条焦点弦，若，则的中点到直线的距离为
26、(2011·锦州期末)设斜率为2的直线过抛物线的焦点,且和轴交于点A,若△（为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为( B )
（A） （B） （C） （D）
27、(2011·锦州期末)已知直线相交于A，B两点，且则= .
28、(2011·锦州期末)双曲线=1（b∈N）的两个焦点、，为双曲线上一点，成等比数列，则=____1_____
29．（2011·金华十二校一联）若，则方程表示的曲线只可能是（ C ）
A B C D
30．（2011·金华十二校一联）设分别为双曲线的左右焦点，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为 ．
31．(2011·南昌期末)设圆的圆心在双曲线的右焦点上，且与此双曲线的渐近线相切，若圆被直线截得的弦长等于2，则( C )
A． B． C． D．
55．（2011·九江七校二月联考）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则与的面积之比=（ D ）
A． B． C． D．
解答题
1．（2011北京朝阳区期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，若过，，三点的圆恰好与直线：相切. 过定点的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线的斜率，在轴上是否存在点
，使得以，为邻边的平行四
边形是菱形. 如果存在，求出的取值范围，
如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若实数满足，求的取值范围.
解：（Ⅰ）因为，所以为中点.设的坐标为，
因为，所以，，且过三点的圆的圆心为，半径为. …… 2分因为该圆与直线相切，所以.
解得，所以，.故所求椭圆方程为.…… 4分
（Ⅱ）设的方程为（）， 由 得.
设，，则. ……5分
所以.
=，.
由于菱形对角线互相垂直，则. …6分
所以.
故.
因为，所以. 所以
即.所以
解得. 即.因为，所以.
故存在满足题意的点且的取值范围是. ……… 8分
（Ⅲ）①当直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程
得.由，得.…… 9分
设，，则，.
又，所以. 所以. …… 10分
所以，.所以. 所以. 整理得 11分因为，所以. 即. 所以.解得. 又，所以.……… 13分
②又当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时，，，，，所以.所以，即所求的取值范围是.…… 14分
2. （2011北京丰台区期末）已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于两点．（Ⅰ）若，求直线的方程；（Ⅱ）若与的面积相等，求直线的斜率．
解：（Ⅰ）依题意，直线的斜率存在，因为 直线过点，可设直线：．
因为 两点在圆上，所以 ，因为 ，所以 所以 所以 到直线的距离等于．所以 ， 得，所以 直线的方程为或．
（Ⅱ）因为与的面积相等，所以，
设 ，，所以 ，．
所以 即　　（*）；
因为　，两点在圆上，所以 把（*）代入，得 ，
所以 所以 直线的斜率， 即．
3 （2011北京西城区期末）已知椭圆（）的右焦点为，离心率为.（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.
解：（Ⅰ）由题意得，得. …2分结合，解得，.…3分
所以，椭圆的方程为…4分
（Ⅱ）由 得. 设.所以
，……6分依题意，，易知，四边形为平行四边形，
所以，…7分因为，，
所以. …8分
即 ，…9分将其整理为 .10分
因为，所以，.11分所以，即.
4（（2011巢湖一检）已知直线，椭圆E：．（Ⅰ）若不论k取何值，直线与椭圆E恒有公共点，试求出m的取值范围及椭圆离心率e关于m的函数式；（Ⅱ）当时，直线与椭圆E相交于A、B两点，与y轴交于点M，若,求椭圆E方程．
解：(Ⅰ)∵直线恒过定点M(0，1)，且直线与椭圆E恒有公共点，∴点M(0，1)在椭圆E上或其内部，得，解得.(联立方程组，用判别式法也可)当时，椭圆的焦点在轴上，；当时，椭圆的焦点在轴上，.∴
(Ⅱ)由，消去得.
设，，则①，②.
∵M(0，1)，∴由得 ③. 由①③得 ④.
将③④代入②得， ，解得(不合题意，舍去).
∴椭圆E的方程为.
5 (2011承德期末)椭圆的方程为，斜率为1的直线与椭圆交于两点.Ⅰ）若椭圆的离心率，直线过点，且，求椭圆的方程；（Ⅱ）直线过椭圆的右焦点F，设向量，若点在椭圆上，求 的取值范围.
解：（Ⅰ）∵， ∴. ∴.
∵ ∴ .
∴椭圆的方程为. …… 5分
（Ⅱ）得
，.
=（，）, .
∵点在椭圆上 ，将点坐标代入椭圆方程中得.
∵ ,
∴ ,. …………… 12分
6．（2011佛山一检）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆上的动点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；（Ⅲ）为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为，
∵直线与圆相切，∴，即， 又，即，，解得，， 所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设， ，，则，即，
则，，即，
∴为定值．
（Ⅲ）设，其中．
由已知及点在椭圆上可得，
整理得，其中．
①当时，化简得，所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；
②当时，方程变形为，其中，
当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分；
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；
当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆．
7．（2011福州期末） 如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。 （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值。
解：（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，
O为原点，建立平面直角坐标系，∵动点P在曲线C上运动
且保持|PA|+|PB|的值不变．且点Q在曲线C上,
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2＞|AB|=4．∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1．∴曲线C的方程为+y2=1
（Ⅱ）证法1：设点的坐标分别为，
又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．∵，∴．∴ ，． 7分
将M点坐标代入到椭圆方程中得：，去分母整理，得． 10分同理，由可得：．
∴ ，是方程的两个根，∴ ． 12分
（Ⅱ）证法2：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．显然直线 的斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的方程是 ．将直线 的方程代入到椭圆 的方程中，消去 并整理得． 8分∴ ，．又 ∵，则．∴，同理，由，∴10分 ∴． 12分
8（ 2011广东广雅中学期末）已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点 在直线上。（1）求椭圆的标准方程（2）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值。
【解析】（1）又由点M在上，得
故， 从而 …2分所以椭圆方程为 或 4分
（2）以OM为直径的圆的方程为即
其圆心为,半径……6分因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2所以圆心到直线的距离 …8分所以，解得所求圆的方程为…10分
（3）方法一：由平几知：直线OM：，直线FN：…12分由得
所以线段ON的长为定值。……14分
方法二、设，则
………12分
又
所以，为定值 …14分
9（2011哈尔滨期末）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
解：（1）椭圆的标准方程为
（2）设，得:
，
以为直径的圆过椭圆的右顶点，，
，
，，且均满足，
当时，的方程为，则直线过定点与已知矛盾
当时，的方程为，则直线过定点
直线过定点，定点坐标为
10．(2011湖北八校一联) 已知双曲线的左、右顶点分别为A1、A2，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为
（I）求k的取值范围，并求的最小值；
（II）记直线是定值吗？证明你的结论。
解： （Ⅰ）与圆相切, ………… ①
由 , 得 ,
,
,故的取值范围为.
由于，
当时，取最小值. 6分
（Ⅱ）由已知可得的坐标分别为，
，
，
由①，得 ， 为定值. 12分
11．（2011·湖北重点中学二联）（本小题满分12分）已知点是椭圆上任意一点，直线的方程为 （I）判断直线与椭圆E交点的个数； （II）直线过P点与直线垂直，点M（-1，0）关于直线的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。
解：（1）由消去并整理得……2分
，…………4分
故直线与椭圆只有一个交点…………5分
（2）直线的方程为即………………6分
设关于直线的对称点的坐标为
则 解得……8分
直线的斜率为
从而直线的方程为
即从而直线恒过定点…………12分
12. (2011·惠州三调)（本题满分14分）已知椭圆：的离心率为，过坐标原点且斜率为的直线与相交于、，．⑴求、的值；⑵若动圆与椭圆和直线都没有公共点，试求的取值范围．
解：⑴依题意，：……1分，不妨设设、（）
由得，……3分，所以……5分，
解得，……6分．
⑵由消去得……7分，动圆与椭圆没有公共点，当且仅当或……9分，解得或……10分。动圆与直线没有公共点当且仅当，即……12分。解或……13分，得的取值范围为……14分．………………14分
13、(2011·锦州期末)（本小题12分） 如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线. （I）求曲线的方程； （II）若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围.
【解】（Ⅰ）∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.……2分
又∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为焦距2c=2. ……………5分
∴曲线E的方程为………6分
（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为
得
设……………8分
，
………10分
又当直线GH斜率不存在，方程为
…
14．（2011·金华十二校一联）（本题满分15分）已知椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上，且满足，直线与圆相切，与椭圆相交于两点．（I）求椭圆的方程； （II）证明为定值（为坐标原点）．
解：（I）由题意，，
解三角形得，由椭圆定义得，
从而又，则，所以椭圆的方程为 （6分）
（II）设交点，联立消去得
由韦达定理得 （9分）又直线与圆相切，
则有 （11分）
从而
（14分）
所以，即为定值． （15分）
15．（2011·九江七校二月联考）（本小题满分13分）已知抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．（1）求椭圆的方程；（2）经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：；（3） 椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、（、为切点），使得直线过点？若存在，求出抛物线与切线、所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．
解：（1）设椭圆的方程为 ，半焦距为.由已知条件，得，
∴ 解得 .所以椭圆的方程为：.……分
（2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意， 故可设直线的方程为 ，， 由 消去并整理得 ， ∴ .…分∵抛物线的方程为，求导得，∴过抛物线上、两点的切线方程分别是， ，即 ， ，解得两条切线、的交点的坐标为，即，
∴∴.
（3）假设存在点满足题意，由（2）知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点.令得，， 解得或 ……10分 故不妨取，即直线过点. 综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、 （、为切点），能使直线过点.
此时，两切线的方程分别为和. ……11分
抛物线与切线、所围成图形的面积为
.
16. (2011·南昌期末)（本小题满分13分）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点是椭圆的右顶点，是椭圆的上顶点，且.(1)求该椭圆的离心率；(2)若过右焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，求椭圆的方程.
解：（1）令，得，所以点P的坐标为，……2分
由得到：，…4分所以，即离心率………5分
（2）设直线的方程为：，与椭圆方程
联立得到：即：…6分
记，，则…7分
由A关于轴的对称点为，得，
则直线的方程是：，过点得到：
……9分
即：所以：………11分
得到：，所以：……12分所以所求椭圆方程为：……13分
17、 （2011·三明三校二月联考）（本题满分14分） 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且（I）求椭圆C1的方程； （II）已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆C1上，顶点B、D在直线上，求直线AC的方程。
解：（I）设由抛物线定义，
…………3分， M点C1上，
舍去.
椭圆C1的方程为…………6分
（II）为菱形，，设直线AC的方程为 在椭圆C1上，设，则 …………10分
的中点坐标为，由ABCD为菱形可知，点在直线BD：上，
∴直线AC的方程为…………14分
18. （2011·泰安高三期末）（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为e=，且过点（）（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m(k≠0，m＞0)与椭圆交于P，Q两点，且以PQ为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ面积的最大值及此时直线l的方程.
.解：（Ⅰ）∵e= ∴c= a ∴b2=a2-c2= a2
故所求椭圆为：又椭圆过点（） ∴ ∴a2 =4. b2 =1 ∴
(Ⅱ)设P（x1,y1）, Q（x2,y2）,PQ的中点为（x0,y0）
将直线y=kx+m与联立得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0
①又x0=
又点［-1，0）不在椭圆OE上，依题意有整理得3km=4k2+1 ②…
由①②可得k2＞，∵m＞0, ∴k＞0,∴k＞…分）设O到直线l的距离为d，则
S△OPQ =
=…分）
当的面积取最大值1，此时k= ∴直线方程为y=
19. （2011苏北四市二调）（本小题满分16分）如图，椭圆过点，其左、右焦点分别为，离心率，
是椭圆右准线上的两个动点，且．
（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值；
（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．
解：（1），且过点， 解得 椭圆方程为。
设点 则，
， 又， 的最小值为．
圆心的坐标为，半径.圆的方程为，
整理得：. ，
令，得，. 圆过定点.…
20 （2011苏北四市二调）（本小题满分10分）已知动圆过点且与直线相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.
解：（1）根据抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹C的方程为
证明：设， ∵， ∴ ，∴ 的斜率分别为，故的方程为，的方程为即，两式相减，得，又，
∴ 的横坐标相等，于是
2010名校模拟题及其答案
一、选择题
1．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ A ）
A． B． C． D．
2．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）已知椭圆的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则使得的M点的概率为（ C ）
A． B． C． D．
3．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）设斜率为2的直线l过抛物线的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ B ）
A． B． C． D．
4．（山东省青岛市2010届高三一模理科）已知抛物线的焦点恰好为双曲线的上焦点，则的值为（ C ）
A． B． C． D．
5．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题理科）以抛物线的焦点为圆心，且与双曲线的两斩近线都相切的圆的方程为（ C ）
A． B．
C． D．
6．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题文科）已知一正方形的两顶点为双曲线C的两焦点，若另外两个项点在双曲线C上，则双曲线C的离心率 （ D ）
A． B． C． D．
7．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟理科试题）设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足的值为 （ A ）
A．2 B． C．4 D．
8．（山东省东营市2010届高三一轮教学质量检测数学试题理科）
已知椭圆x2+2y2-4=0，则以M（1，1）为中点的弦所在的直线方程是 （ A ）
A．x+2y-3=0 B．2x+y-3=0 C．x-2y+3=0 D．2x-y+3=0
9．（山东省东营市2010届高三一轮教学质量检测数学试题理科）抛物线的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一次相切，则t等于 （ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题理）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ D ）
A． B． C． D．
11．（山东省聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题理）已知A、B为抛物线上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若则直线AB的斜率为（ D ）
A． B． C． D．
12．（山东省泰安市2010年3月高三第一次模拟数学理科试题）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ A ）
A． B． C． D．
13．(山东省济南外国语学校2010年3月高三质量检测文）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为（ B ）
3
14. （山东省日照市2010年3月高三一模理科）设是双曲线右支上一点，其一条渐近线方程是分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（ A ）
(A) (B) (C)或 (D)或
15.（山东省日照市2010年3月高三一模理科）从一块短轴长为的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其而积的取值范围是，则这一椭圆离心率的取值范围是（D ）
(A) (B) (C) (D)
16. （山东省日照市2010年3月高三一模文科）以双曲线的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是（ D ）
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题:
1．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟文科试题）若椭圆的左、右焦点分别为，抛物线的焦点为F。若，则此椭圆的离心率为 。
2．（山东省东营市2010届高三一轮教学质量检测数学试题理科）已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为__________．
3．（山东省泰安市2010年3月高三第一次模拟数学理科试题）
如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及其准线
与点，若，且，则抛物线的方程
是 。
4．（山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题理科）如图，在中，，、边上的高分别为、，则以、为焦点，
且过、的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 .
5．（山东省烟台市2010年3月高三诊断性试题文科）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 4 ．
三、解答题
1．（山东省济南市2010年3月高三一模试题理科）（本小题满分12分）已知定点和直线，过定点F与直线相切的动圆圆心为点C。 （1）求动点C的轨迹方程； （2）过点F在直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求的最小值。
解：（1）由题设点C到点F的距离等于它到的距离，∴点C的轨迹是以F为焦点，为准线的抛物线
∴所求轨迹的方程为 ………………4分
（2）由题意直线的方程为，与抛物线方程联立消去
记 ……6分
因为直线PQ的斜率，易得点R的坐标为
……8分
，当且仅当时取到等号。…11分
的最小值为16 ……12分
2．（山东省济南市2010年3月高三一模试题文科）（本小题满分12分）已知椭圆的长轴长为4。 （1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线相切，求椭圆焦点坐标；
（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为，当时，求椭圆的方程。
解：（1）由……2分 ……4分
………………6分
（2）由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N交于坐标原点对称
不妨设：M，N，P在椭圆上，则它们满足椭圆方程，即有两式相减得：……8分
由题意它们的斜率存在，则 …………10分
故所求椭圆的方程为 ………………12分
3. （山东省青岛市2010届高三一模理科）(本题满分14分)
已知椭圆的左右两焦点分别为，是椭圆上的一点，且在轴的上方，是上一点，若，（其中为坐标原点）.(Ⅰ)求椭圆离心率的最大值;(Ⅱ)如果离心率取(Ⅰ)中求得的最大值, 已知，点，设是椭圆上的一点，过、两点的直线交轴于点,若, 求直线的方程.
解:(Ⅰ)由题意知则有与相似所以…2分
设,则有,解得
所以根据椭圆的定义得:…4分,即所以……6分
显然在上是单调减函数当时,取最大值
所以椭圆离心率的最大值是…8分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,解得
所以此时椭圆的方程为……10分由题意知直线的斜率存在,故设其斜率为,
则其方程为设,由于,所以有……12分又是椭圆上的一点,则解得所以直线的方程为或……14分
4．（山东省青岛市2010届高三一模文科）（本题满分12分）已知椭圆的离心率是,若点到椭圆上的点的最远距离为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过椭圆的左焦点作直线交椭圆于点、,且等于椭圆的短轴长,求直线的方程.
解：(Ⅰ)因为,解得……2分
则椭圆的方程化为设是椭圆上的一点,则有，所以…4分
当且即时,则当时,取最大值,
解得,显然均不符合题意,应舍去;当即时,则当时,取最大值,
解得,符合题意;所以椭圆的方程为……6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知当直线垂直于轴时,此时直线的方程为把它代入解得不妨设,则,显然不满足题意…7分
当直线不垂直于轴时,此时可设直线的方程为设
由得: …………9分
则所以解得…11分综上,直线的方程为或……12分
5．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题理科）（本小题满分14分）已知椭圆C1的中心在坐标原点O，焦点在轴上，离心率为，P为椭圆上一动点。F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且面积的最大值为 （1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆短轴的上端点为A，M为动点，且成等差数列，求动点M的轨迹C2的方程；（3）作C2的切线交C1于O、R两点，求证：
解：（1）设椭圆C1的方程为， 2分
由椭圆的几何笥质知，当点P为椭圆的短轴端点时，的面积最大。
，由 解得
故椭圆C1的方程为 5分
（2）由（1）知A（0，1），，
设则
7分
整理得M的轨迹C2的方程为 10分
（3）①当切线的斜率存在时，设，代入椭圆方程得：
，
设，则 11分
，则
又与C2相切，即，故 13分
②当切线的斜率不存在时，直线或此时综合①②得， 14分
6．（山东省济宁市2010年3月高三一模试题文科）（本小题满分14分）设椭圆C1和抛物线C2的焦点均在轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：
3 -2 4
0 -4
（1）求曲线C1，C2的标准方程； （2）设直线与椭圆C1交于不同两点M、N，且。请问是否存在直线过抛物线C2的焦点F？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意（-2，0）一定在椭圆C1上。 设C1方程为，则 2分
椭圆C1上任何点的横坐标所以也在C1上，从而
C1的方程为4分从而，（4，-4）一定在C2上，设C2的方程为
即C2的方程为 6分
（2）假设直线过C2的焦点F（1，0）。 当的斜率不存在时，则
此时，与已知矛盾。 8分
当的斜率存在时设为，则的方程为代入C1方程并整理得：
10分设，
则
， ， 12分
存在符合条件的直线且方程为 14分
7．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟理科试题）（本题满分14分）
抛物线D以双曲线的焦点为焦点．
（1）求抛物线D的标准方程；
（2）过直线上的动点P作抛物线D的两条切线，切点为A，B．求证：直线AB过定点Q，并求出Q的坐标；
（3）在（2）的条件下，若直线PQ交抛物线D于M，N两点，求证：|PM|·|QN|=|QM|·|PN|
解：（1）由题意，所以，抛物线D的标准方程为……3分
（2）设由
抛物线D在点A处的切线方程为…………4分
而A点处的切线过点
即同理，
可见，点A，B在直线上．
令所以，直线AB过定点Q（1，1）………6分
（3）设
直线PQ的方程为
由
得
由韦达定理， …………9分
而
…12分
将代入方程（*）的左边，得
（*）的左边
=0．因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|．…………14分
8．（山东省枣庄市2010年3月高三第一次模拟文科试题）（本题满分12分）
如图，斜率为1的直线过抛物线的焦点F，与抛物线交于两点A，B。
若|AB|=8，求抛物线的方程； （2）设C为抛物线弧AB上的
动点（不包括A，B两点），求的面积S的最大值； （3）设P是抛物线上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交抛物线的准线于M，N两点，证明M，N两点的纵坐标之积为定值（仅与p有关）
解：设
（1）由条件知直线由消去y，得………1分
由题意，判别式（不写，不扣分）由韦达定理，
由抛物线的定义，从而所求抛物的方程为………3分
（2）设。由（1）易求得
则…4分点C到直线的距离
将原点O（0，0）的坐标代入直线的左边，得
而点C与原点O们于直线的同侧，由线性规划的知识知
因此……6分由（1），|AB|=4p。
由知当…8分
（3）由（2），易得设。
将代入直线PA的方程
得同理直线PB的方程为
将代入直线PA，PB的方程得
9．（山东省东营市2010届高三一轮教学质量检测数学试题理科）（本小题满分12分）已知可行域的外接圆C与x轴交于点A1、A2，椭圆C1以线段A1A2为长轴，离心率． （1）求圆C及椭圆C1的方程； （2）设椭圆C1的右焦点为F，点P为圆C上异于A1、A2的动点，过原点O作直线PF的垂线交直线于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明．
解：（1）由题意可知，可行域是以及点为顶点的三角形，
∵，∴为直角三角形，………2分
∴外接圆C以原点O为圆心，线段A1A2为直径，故其方程为．
∵2a=4，∴a=2．又，∴，可得．∴所求椭圆C1的方程是．6分
（2）直线PQ与圆C相切．设，则．当时，，∴；
当时，∴直线OQ的方程为．……8分
因此，点Q的坐标为．
∵…10分
∴当时，，；当时候，，∴．
综上，当时候，，故直线PQ始终与圆C相切．…12分
10．（聊城市2010 年 高 考 模 拟数学试题理）（本小题满分14分） 已知椭圆的离心率为其左、右焦点分别为，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）。 （1）求椭圆C的方程； （2）过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标和面积的最大值；若不存在，说明理由。
解：（1）设则由由得
即所以c=1 2分
又因为……3分因此所求椭圆的方程为：…4分
（2）动直线的方程为：由得
设则……6分
假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则
由假设得对于任意的恒成立，即解得m=1。
因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1）……10分
这时，点M到AB的距离
设则
得所以
当且仅当时，上式等号成立。因此，面积的最大值是……14分
11．（山东省泰安市2010年3月高三第一次模拟数学理科试题）（本小题满分12分)
已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与构成正三角形。 (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若过点的直线与椭圆交于不同两点，试问在轴上是否存在定点，使恒为定值 若存在，求出的坐标及定值；若不存在，请说明理由。
解：(Ⅰ)由题意知抛物线的焦点…1分 又椭圆的短轴的两个端点与构成正三角形 椭圆的方程为……3分
(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设其斜率为，则的方程为：
，
则
…7分
……9分
当 即时为定值…10分当直线的斜率不存在时，由可得
综上所述当时，为定值………12分
【核心预测】
一、选择题：
1．已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则的周长是（ C ）.
A. B. 6 C. D. 12
2.已知双曲线的一条准线方程为，则该双曲线的离心率为（ D ）
A． B． C． D．
3．抛物线y=2x2的焦点坐标为（ D ）
A．（，0） B．（，0） C．（0，） D． （0，）
4．已知双曲线中心在原点且一个焦点为,点位于该双曲线上，线段的中点坐标为，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【解析】所以双曲线的方程为
5．抛物线的准线与双曲线的右准线重合,则的值是
A. B. C. D.
.【解析】的右准线为，所以抛物线的开口向左，
6．已知双曲线(a >0,b >0).它的两条渐近线截直线 所得线段的长度恰好为它的一个焦点到一条渐近线的距离，则该双曲线的离心率为（ C ）
A. B. C. 2 D 3
7.已知倾斜角的直线过椭圆的右焦点Ｆ交椭圆于Ａ、Ｂ两点，Ｐ为右准线上任意一点，则为　（ A 　）
Ａ．锐角　　　　　　Ｂ．直角　　　　 Ｃ．钝角　　　　Ｄ．都有可能
8. 设F是抛物线的焦点，与抛物线相切于点(-4,-4)的直线l与x轴的交点为Q,则等于（ D ）
A.300; B.450; C.600; D.900.
9、椭圆=1上一点P与椭圆的两个焦点的连线互相垂直，则的面积为 （ C）
A.20 B.22 C.24 D.28
10、设e1.e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为(C )
A. B. 1 C. 2 D. 4
二、填空题：
11.来以椭圆的右焦点为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为
【解析】椭圆的右焦点为，所求圆的半径为，所以.: [
12．设是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且，则的值等于 2 ；
13双曲线上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦源点距离的等差中项，则P点到左焦点的距离为 ．
【答案】13
【解析】由得设左焦点为，右焦点为,则，
由双曲线的定义得：.
14．设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则|PM|＋|PF1|的最大值为 .15
解析：|PF1|＋| PF2|＝10，|PF1|＝10－| PF2|，|PM|＋|PF1|＝10＋|PM|－| PF2|
易知M点在椭圆外，连结MF2并延长交椭圆于P点，此时|PM|－| PF2|取最大值|MF2|，
故|PM|＋|PF1|的最大值为10＋|MF2|＝.
15.已知函数的图象恒过定点A. 若点A在直线mx+ny+1=0上，其中
mn>0，当有最小值时，椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】由题意知：定点A（-2，-1），所以，所以=
，当且仅当时取等号，所以椭圆的方程变为
，所以椭圆的离心率为=。
三、解答题：
16．（本小题满分13分）已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆m的中心，且．[来（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围．
解（1）∵过（0，0）则
∴∠OCA=90°， 即 又∵[来
将C点坐标代入得 解得 c2=8，b2=4 ∴椭圆m：
（2）由条件D（0，－2） ∵M（0，t） 1°当k=0时，显然－22°当k≠0时，设 消y得
由△>0 可得 ① 设
则 ， ∴
由 ∴② [来∴t>1 将①代入②得117. (本小题满分12分) 已知椭圆中心为，右顶点为，过定点作直线交椭圆于、两点.（1）若直线与轴垂直，求三角形面积的最大值；（2）若，直线的斜率为，求证：；（3）直线和的斜率的乘积是否为非零常数？请说明理由.
解：设直线与椭圆的交点坐标为.
（1）把代入可得：， （2分）
则，当且仅当时取等号 （4分）
（2）由得，，（6分）
所以
（3）直线和的斜率的乘积是一个非零常数. 当直线与轴不垂直时，可设直线方程为：，由消去整理得
则 ① 又 ②
所以
当直线与轴垂直时，由得两交点，
显然.所以直线和的斜率的乘积是一个非零常数.
18. (本小题满分12分) 已知：椭圆（），过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（1）求椭圆的方程； （2）斜率大于零的直线过与椭圆交于，两点，若，求直线的方程；（3）是否存在实数，直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由， ，得，，所以椭圆方程是：
（2）设EF：（）代入，得，
设，，由，得．
由，
得，，（舍去），（没舍去扣1分）
直线的方程为：即
（3）将代入，得（*）
记，，PQ为直径的圆过，则，即，又，，得．
解得，此时（*）方程，存在，满足题设条件．
19已知椭圆：()过点，其左、右焦点分别为，且．（1）求椭圆的方程；（2）若是直线上的两个动点，且，则以为直径的圆是否过定点？请说明理由．
解：（1）设点的坐标分别为，则
故，可得，
所以，
故，所以椭圆的方程为．
（2）设的坐标分别为，则，
又，可得，即，
又圆的圆心为半径为，故圆的方程为，
即，也就是，令，可得或2，故圆必过定点和．
（另法：（1）中也可以直接将点坐标代入椭圆方程来进行求解；（2）中可利用圆C直径的两端点直接写出圆的方程）
20在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆的左、右顶点分别为，椭圆的右焦点为，过作一条垂直于轴的直线与椭圆相交于，若线段的长为。
（1）求椭圆的方程；（2）设是直线上的点，直线与椭圆分别交于点，求证：直线必过轴上的一定点，并求出此定点的坐标；（3）实际上，第（2）小题的结论可以推广到任意的椭圆、双曲线以及抛物线，请你对抛物线写出一个更一般的结论，并加以证明。
（1）依题意，椭圆过点，故，解得。
椭圆的方程为。（2）设，
直线的方程为，
代入椭圆方程，得，
设，则，
，故点的坐标为。
同理，直线的方程为，代入椭圆方程，得，
设，则，。
可得点的坐标为。①若时，直线的方程为，与轴交于点；②若，直线的方程为，令，解得。综上所述，直线必过轴上的定点。
（3）结论：已知抛物线的顶点为，为直线上一动点，过点作轴的平行线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，则直线必过定点。………（14分）
证明：设，则，
直线的方程为，代入，得，可求得。…（16分）
直线的方程为，
令，得，即直线必过定点。
21 (本小题满分13分) 如图，已知过的动直线与抛物线交于，两点，点．
（I）证明：直线与直线的斜率乘积恒为
定值；（II）以为底边的等腰三角形有几个？
请说明理由．
解：（I）设直线的方程为
由得
设，则
（II）的中点坐标为，即，
，
所以的中点坐标为，
由已知得，即．
设，则，
在上是增函数，又，，故在内有一个零点，
函数有且只有一个零点，即方程有唯一实根．
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．
N
M
P
A
x
y
B
C
①
②
x
O
y
Q
A
·
·
F2
F1
O
M
N
F2
F1
y
x
（第18题）
O
F
x
y
·
·
P
第22题
A
B
C
D
E
A
B
Q
O
M
N
x
y
9
P
O
M
N
x
y
本卷第81页（共81页）