不等式的基本性质
知识定位
本讲义从以下两方面展开：
熟悉不等式的基本性质，并会用其性质来判断不等关系
不等式的基本性质是不等式这部分内容的基础，是需要掌握的基本内容。
结合不等式的性质，会用比较法与综合分析法证明简单不等式
不等式的证明是比较有技巧性的一部分内容，在高考与会考中一般只要求利用一些不等式的基本性质来进行不等式的证明。
知识诊断
（★★★☆）已知，，，，且，比较与的的大小。
（★★★☆）已知，，
（1）求证：在与之间
（2）问这两个数哪一个更接近于
答案：
1.
作差：
分类讨论：
当时，
当时，，，
当时，，，
综上故知：，即有：
2.
（1）只需证明即可，将不等号左边通分相乘即可。
（2），
更接近于
知识梳理
知识点一：熟悉不等式的基本性质，并会用其性质来判断不等关系
不等式的性质主要有这样八条性质，需要加以掌握。
如果，，那么
如果，那么
如果，，那么
如果，，那么
如果，，那么
如果，，那么
如果，那么
如果，那么，（，）
如果，那么，（，）
知识点二：结合不等式的性质，会用比较法与综合分析法证明简单不等式
子知识点一：比较法。
比较法分为作差法与作商法。
作差法基于以下事实：如果
，那么；
而作商法基于以下事实：如果
，那么.
子知识点二：综合分析法。
所谓综合分析法，指的是从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，使得问题转化为判断那些条件是否具备。就像例题中一样，这实际上是一个逆推的过程。当然有些时候，光逆推可能也不是很有用，还需要正推，即两头挤的方法。也就是我需要从已知出发，推出一个不等式，同时再从结论出发，逆推到我从已知推出的不等式，就证明了问题。不过从本质上来讲，这都是一个从结论出发将现有不等式化简为一个比较容易证明的不等式的过程。
常见题型和方法解析
1.
熟悉不等式的基本性质，并会用其性质来判断不等关系
例1
（★☆☆☆）已知不等式①；②；③。以其中任意两个为条件，余下一个为结论，则可以得到几个真命题？
解：共可得到三个命题：
命题A：如果且，那么。
因为，则：
命题B：如果且，那么。
因为，则：
命题C：如果且，那么。
证明命题C要用反证法：
若，则与矛盾；
若，由，产生矛盾。
教学提示：此题本身是简单的，需要注意的一个小技巧是在证明命题C这种从正面比较难以说明的命题的时候，我们一般会采用反证法的技巧。另外，本题的主要目的实际上是让学生熟悉不等式的一些基本性质，这是最基本也是最重要的一点。关于不等式的基本性质，我们将在例2后做进一步探讨。
例2（★☆☆☆）
判断下列命题的真假，并说明理由。
①若，则
②若，则
③若，，则：
④若，，则：
⑤，则
解：真命题：①、⑤；
假命题：②、③、④。
具体理由略。
教学提示：本题跟例1一样，可以说是非常基础的题目，主要还是想让学生能熟悉不等式的基本性质。需要注意的一点是，由于我们生活中主要还是使用正数为主，所以很容易去不自觉的预设所考虑的数都是正数的条件，这在不等式的判断中是会发生严重的错误的。例如，②跟④当中，如果我们认为式子中的数都是正数，那么自然可以得到它们是真命题。
2.1结合不等式的性质，会用比较法证明简单不等式
例3
（★★☆☆）已知，，，比较与的大小。
解：作差：
分类讨论：
当时，且，故知：，
所以：
当时，且，故知：，
所以：
综上即知：
教学提示：在比较两个数的大小或者是证明不等式的时候，最自然（往往也是最有效）的想法就是作差法。作差法是比较法的一种，由例题也可以看出实际上作差法的关键之处就在于作差之后要想办法进行因式分解，然后在判定符号。当然，在本题中，我们还运用了一个很重要的分类讨论的思想。在解答含有参数的不等式的问题的时候，往往需要对参数的取值进行讨论。这一点也是需要向学生强调的。
例4（★★★☆）
已知，，比较与的的大小。
解：注意到：且，故作商：
分类讨论：
当时，，，根据指数函数性质：
当时，，，根据指数函数性质：
综上故知：，即有：
教学提示：本题采用的比较法中另一种重要的方法，作商法。作商法实际上就是运用了不等式的一条基本性质：
如果，，且，那么
注意到一点，作商法要求比较得两个数都是正数（或者都是负数），因此不是所有不等式都适用于这种方法，这一点跟作差法有很大区别。同时，也要向学生强调，有时候有些题目是作差法跟作商法都可以使用的。一般来说，如果可以明显地发现作差之后能因式分解，那么我们会考虑作差法，但是有时候，作差之后是不那么容易作因式分解的（例如本题），这时候适当使用作商法可能会更加简单。
例5（★★☆☆）
已知，，求证
。
解法1：作差：
故知：
解法2：作商：
（注意最后一个不等式利用了基本不等式）
故知：
教学提示：本题是一道比较简单的例题。放在这边的目的只是通过一个实例告诉学生，有的题目是既可以使用作差法又可以使用作商法的。当然在这道题当中，作差法跟作商法的区别并不大，但是在有些情况下作商法会比作差法简单一些。（参见例6）
例6
（★★★☆）已知，比较与的大小（其中且）。
解法1：我们要利用作差法。但是由于含有绝对值，因此第一步要进行分类讨论来去掉绝对值符号。
当时，由可知：
再注意到：，故知：
从而知道：
当时，由可知：
再注意到：，故知：
从而知道：
解法2：作商：
再注意到：，，故知：
从而：
（注意到，即）
综上，即知：
教学提示：本题给出了两种方法，各有优劣。作差法是比较容易想到的，但是需要进行一些分类讨论，比较繁琐。相比之下，作商法的形式更为统一、简洁。因此，这边需要再次向学生强调，当遇上比较两个正数（或者负数）时，要记得可以使用作商法。因为这种方法相比作差法来说，可能没有那么容易想到。
2.1结合不等式的性质，会用综合分析法证明简单不等式
例7
（★★☆☆）已知，，求证
解：要证，即证：，注意到：
，
由于，，故：
注意到是显然的，即得结论。
教学提示：所谓综合分析法，指的是从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，使得问题转化为判断那些条件是否具备。就像例题中一样，这实际上是一个逆推的过程。当然有些时候，光逆推可能也不是很有用，还需要正推，即两头挤的方法。也就是我需要从已知出发，推出一个不等式，同时再从结论出发，逆推到我从已知推出的不等式，就证明了问题。不过从本质上来讲，这都是一个从结论出发将现有不等式化简为一个比较容易证明的不等式的过程。实际上，这种方法也是我们证明不等式的一种极其常用的方法。需要让学生注意的地方在于逆推的时候，我们需要的是结论的充分（充要）条件，而不是必要条件。
例8
（★★☆☆）已知，，且，求证：
（1）
（2）
解：
要证，
只需证：，
即：
由于显然成立，故知
要证，
只需证：，
因为，
从而只需证：，即证
再注意到：，故知：，从而：
教学提示：本题是比较典型的利用综合分析法证明不等式的题目。不过，在第一问与第二问中，我们的处理方法有些不一样。第一问我们是直接把不等式化为关于变量的代数式，再进行逆推，而第二问我们实际上是考虑把与的乘积作为一个参变量来考虑。需要向学生指出这一点，并可以让学生思考，第二问能不能用第一问一样的方法进行化简。答案当然是可以的，但是分析过程会没有我们第二问的原始方法简单。原因在于，我们更好的运用了这个式子的对称性，而如果是采用第一问的方法，让，实际上是破坏了本来的对称性，让运算变得繁琐。
例9
（★★★☆）已知，，，且，求证：
（1）
（2）
解：
要证，由于，，，
因此只需证：，
即：
由条件，只需证明
而这是可以由得到的，
因此知原不等式成立。
由于，
并且在（1）中已经证得，
因此，要让原不等式成立，只需证：，
即：
而：，，，
故知：
从而知原不等式成立。
教学提示：相对与之前的例题来说，本题采用的逆推并不是从结论推到已知，而是说从结论推出一个更容易证明的不等式，再从已知将此不等式加以证明。这其中的区别是需要向学生说明的。并且注意到我们在解答第二问的时候用了第一小问的结论，这是非常关键的。需要向学生指出的是，在高考或者是会考中间，这种运用前面一小问的结论的事情是经常发生的，也是需要注意的。实际上，如果抛开第一问来证第二问，证明难度就可能不是在一个数量级上了。
例10 （★★★★）已知三角形三边长为，，，面积为，求证：
解：要证，
只需证：，
根据海伦公式（其中），知：
只需证：，
即证:
由基本不等式：，，，相加即知：
因此知原不等式成立，
教学提示：从难度上来讲，这道题其实是不难的。但是这道题具有较高的计算复杂性。这是需要学生注意的。很多不等式的题目其实证明方法非常基本，但是很多同学往往由于计算能力不过关而导致题目出错。就本题而言，解答中用了海伦公式，如果学生知道海伦公式的话，那么运用海伦公式是一件很自然的事情（因为我们要找三角形三边长与面积之间的关系）。当然，有些学生可能并不了解海伦公式，在讲课中可以适当提及一下。另外，本题当然也可以回避海伦公式，运用正弦定理跟余弦定理来做，也可以让学生进行思考。
试题演练
1．（★★☆☆）已知，，且，，则：的值
（
）
A．恒为正
B．恒为负
C．与，的大小有关
D．与的奇偶性有关
【答案】B
【解析】，又与必然同正或同负，即知恒为负。
2．（★★☆☆）已知，，比较与的大小是
．
【答案】
【解析】只需比较的大小，利用作差法展开后即得答案。
3．（★★☆☆）已知，，且，比较与的大小是
．
【答案】
【解析】利用作差法：
，注意到与同号，即得结论。
4．（★★☆☆），求证：
【答案】见解析
【解析】先证明，事实上，因此这是显然的。同理，，，相乘即得。
5．（★★☆☆），求证：
【答案】见解析
【解析】分析法，移项后平方即可。
6．（★★★☆）已知三角形三边长为，，，求证：
【答案】见解析
【解析】利用作差法，整理后得到：
7．（★★★☆）已知，，，且，求证：
【答案】见解析
【解析】，，注意到两个等号不能同时成立，故知：
8.
（★★★★）已知三角形三边长为，，，求证：
【答案】见解析
【解析】利用分析法逆推，作等价变形：
通分提取公因式即知上式等价于：
，
将最后一个式子乘开来，就容易证明不等式。不等式的基本性质
知识定位
本讲义从以下两方面展开：
熟悉不等式的基本性质，并会用其性质来判断不等关系
不等式的基本性质是不等式这部分内容的基础，是需要掌握的基本内容。
结合不等式的性质，会用比较法与综合分析法证明简单不等式
不等式的证明是比较有技巧性的一部分内容，在高考与会考中一般只要求利用一些不等式的基本性质来进行不等式的证明。
知识诊断
（★★★☆）已知，，，，且，比较与的的大小。
（★★★☆）已知，，
（1）求证：在与之间
（2）问这两个数哪一个更接近于
知识梳理
知识点一：熟悉不等式的基本性质，并会用其性质来判断不等关系
不等式的性质主要有这样八条性质，需要加以掌握。
如果，，那么
如果，那么
如果，，那么
如果，，那么
如果，，那么
如果，，那么
如果，那么
如果，那么，（，）
如果，那么，（，）
知识点二：结合不等式的性质，会用比较法与综合分析法证明简单不等式
子知识点一：比较法。
比较法分为作差法与作商法。
作差法基于以下事实：如果
，那么；
而作商法基于以下事实：如果
，那么.
子知识点二：综合分析法。
所谓综合分析法，指的是从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，使得问题转化为判断那些条件是否具备。就像例题中一样，这实际上是一个逆推的过程。当然有些时候，光逆推可能也不是很有用，还需要正推，即两头挤的方法。也就是我需要从已知出发，推出一个不等式，同时再从结论出发，逆推到我从已知推出的不等式，就证明了问题。不过从本质上来讲，这都是一个从结论出发将现有不等式化简为一个比较容易证明的不等式的过程。
常见题型和方法解析
1.
熟悉不等式的基本性质，并会用其性质来判断不等关系
例1
（★☆☆☆）已知不等式①；②；③。以其中任意两个为条件，余下一个为结论，则可以得到几个真命题？
例2（★☆☆☆）
判断下列命题的真假，并说明理由。
①若，则
②若，则
③若，，则：
④若，，则：
⑤，则
2.1结合不等式的性质，会用比较法证明简单不等式
例3
（★★☆☆）已知，，，比较与的大小。
例4（★★★☆）
已知，，比较与的的大小。
例5（★★☆☆）
已知，，求证
。
例6
（★★★☆）已知，比较与的大小（其中且）。
2.1结合不等式的性质，会用综合分析法证明简单不等式
例7
（★★☆☆）已知，，求证
例8
（★★☆☆）已知，，且，求证：
（1）
（2）
例9
（★★★☆）已知，，，且，求证：
（1）
（2）
例10 （★★★★）已知三角形三边长为，，，面积为，求证：
试题演练
1．（★★☆☆）已知，，且，，则：的值
（
）
A．恒为正
B．恒为负
C．与，的大小有关
D．与的奇偶性有关
2．（★★☆☆）已知，，比较与的大小是
．
3．（★★☆☆）已知，，且，比较与的大小是
．
4．（★★☆☆），求证：
5．（★★☆☆），求证：
6．（★★★☆）已知三角形三边长为，，，求证：
7．（★★★☆）已知，，，且，求证：
8.
（★★★★）已知三角形三边长为，，，求证：
