一元二次不等式的解法
知识定位
本讲义从以下两方面展开：
一元二次不等式的基本解法
有关一元二次方程与一元二次不等式的求解，是高考与会考考察内容的基础之一。该部分内容或许不会独立形成题目，却是求解其他问题的基本工具。这一部分内容，相对来说比较简单，却是最基本与最基础的，需要熟练掌握。
利用一元二次函数的性质求解一元二次不等式的问题
一元二次函数是在高考以及会考当中是十分常考的一种函数，原因在于其性质比较容易研究，也相对简单。因此，这部分内容也是基础的内容。其主要问题大多在于一些含参数不等式（等式）恒成立（有解）条件的研究。
知识诊断
（★★★☆）已知函数，，对于任意的，不等式恒成立，证明当时，
（★★☆☆）已知不等式恒成立，求实数的取值范围。
知识梳理
知识点一：一元二次不等式的基本解法
根据一元二次函数的图像可以得到相应的一元二次不等式的求解方法。
一般地，对于一元二次不等式，
如果对应的一元二次方程有根
那么，当，，
当，
如果对应的一元二次方程没有实根，
那么，当，，
当，
综上，可以参见以下表格：
对于一元二次不等式，其解集有如下形式：
这个表格是求解一元二次不等式问题的基础，是需要学生牢牢掌握的。
知识点二：利用一元二次函数的性质求解一元二次不等式的问题
子知识点一：要学会利用一元二次方程的解与相应的一元二次不等式的解集之间的内在联系。具体可以参见知识点一中的表格。
子知识点二：一元二次方不等式的恒成立问题。
一元二次不等式恒大于0，那么可知对应的二次函数开口向上且无实数零点；
类似地，一元二次不等式恒小于0，那么可知对应的二次函数开口向下且无实数零点。
不过需要注意的是，该不等式虽然形如一元二次不等式，但是不一定就是一元二次不等式。我们需要先对二次项系数进行讨论。这一点是非常重要的，往往学生会想当然地认为是一元二次不等式，而导致漏解。
常见题型和方法解析
1.
一元二次不等式的基本解法
例1
（★☆☆☆）解不等式：
例2
（★★☆☆）解关于的不等式：
（1）
（2）
例3
（★★☆☆）解关于的不等式：
2.
利用一元二次函数的性质求解一元二次不等式的问题
例4
（★★★☆）已知的解集为，求解不等式
例5
（★★★☆）已知，，，试求的取值范围。
例6（★★★★）设二次函数，已知和是二次方程的两个实根，求：
求证：和也是四次方程的两根；
令，求的解析式；
假定四次方程的另外两根为和且，，试比较，，，的大小关系。
试题演练
1．1．（★☆☆☆）不等式的解集是
（
）
A．
B．
C．
D．
2．（★★☆☆）若关于的方程的两根均为正数，则实数的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
3．（★★☆☆）若关于的不等式的解集是，则等于
（
）
A．
B．
C．
D．
4．（★★☆☆）若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为：
（
）
A．
B．
C．
D．
5．（★★☆☆）对实数和
定义运算“
”：,设函数．若函数的图像与轴恰好有两个共公点，则实数的取值范围是（???
）
A．????
?
B．
C．
D．
6．（★★★☆）设函数在区间上的值域是[－6,2]，则的取值所组成的集合为( )
A．[0,3]
B．[0,4]
C．[－1,3]
D．[1,4]
7．（★★☆☆）不等式组的解集是
．
8．（★★★☆）已知，解关于的不等式
9．已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______
10．（★★★☆）若不等式组
的整数解只有，求的取值范围。
11．（★★★☆）已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，.若函数在区间上有10个零点(互不相同)，求实数的取值范围。
12．（★★★☆）已知不等式的解集为，求不等式的解集
13．（★★★☆）已知函数，若对于任意，都有成立，则实数
的取值范围是???
．
14.（★★★☆）已知不等式的解集为，求使得的实数（）的取值范围。
15．（★★★☆）已知，，，试求的取值范围。
16．（★★★★）已知，函数
???
(1)当时，若对任意，都有，证明：；
?(2)当时，证明：对任意，的充要条件是；
?(3)当时，讨论：对任意，的充要条件．
17.（★★★★）已知函数是奇函数.
???
?(1)求实数
的值；
???
?(2)若函数在区间上单调递增，求实数a
的取值范围.
18.（★★★★）已知为实数，函数，，当
时，
(1)求证：；
(2)求证：当时，；
(3)设，当时，最大值为2，求
．
19.（★★★★）已知二次函数
，不等式
的解集为
（1）求
的解析式；?
（2）若函数
在
上单调，求实数
的取值范围；
（3）若对于任意的，都成立，求实数的最大值．一元二次不等式的解法
知识定位
本讲义从以下两方面展开：
一元二次不等式的基本解法
有关一元二次方程与一元二次不等式的求解，是高考与会考考察内容的基础之一。该部分内容或许不会独立形成题目，却是求解其他问题的基本工具。这一部分内容，相对来说比较简单，却是最基本与最基础的，需要熟练掌握。
利用一元二次函数的性质求解一元二次不等式的问题
一元二次函数是在高考以及会考当中是十分常考的一种函数，原因在于其性质比较容易研究，也相对简单。因此，这部分内容也是基础的内容。其主要问题大多在于一些含参数不等式（等式）恒成立（有解）条件的研究。
知识诊断
（★★★☆）已知函数，，对于任意的，不等式恒成立，证明当时，
（★★☆☆）已知不等式恒成立，求实数的取值范围。
答案：
1.
恒成立，因此可知，而对于所证不等式将其展开逆推可知：,
注意到：，从而：
另一方面，由于，所以：，从而，即知所证不等式成立。
2.
分类讨论：
当时，，，显然时符合条件
当时，则：
综上故知：
知识梳理
知识点一：一元二次不等式的基本解法
根据一元二次函数的图像可以得到相应的一元二次不等式的求解方法。
一般地，对于一元二次不等式，
如果对应的一元二次方程有根
那么，当，，
当，
如果对应的一元二次方程没有实根，
那么，当，，
当，
综上，可以参见以下表格：
对于一元二次不等式，其解集有如下形式：
这个表格是求解一元二次不等式问题的基础，是需要学生牢牢掌握的。
知识点二：利用一元二次函数的性质求解一元二次不等式的问题
子知识点一：要学会利用一元二次方程的解与相应的一元二次不等式的解集之间的内在联系。具体可以参见知识点一中的表格。
子知识点二：一元二次方不等式的恒成立问题。
一元二次不等式恒大于0，那么可知对应的二次函数开口向上且无实数零点；
类似地，一元二次不等式恒小于0，那么可知对应的二次函数开口向下且无实数零点。
不过需要注意的是，该不等式虽然形如一元二次不等式，但是不一定就是一元二次不等式。我们需要先对二次项系数进行讨论。这一点是非常重要的，往往学生会想当然地认为是一元二次不等式，而导致漏解。
常见题型和方法解析
1.
一元二次不等式的基本解法
例1
（★☆☆☆）解不等式：
解：原不等式可以变形为
解方程，得：
故知原不等式的解集为：
教学提示：解一元二次不等式的过程实际上是求相对应的一元二次方程的根（如果方程有根的话）的过程。另外，还要注意的是二次项系数的符号，一般我们会把二次项系数变为正的。
例2
（★★☆☆）解关于的不等式：
（1）
（2）
解：
进行因式分解，原不等式即为：
对进行分类讨论：
，
，
，，不等式无解。
进行因式分解，原不等式即为：
对进行分类讨论：
，
，
，，不等式无解。
教学提示：本题两小题都是求解含参数的一元二次不等式问题。解答这样的题目一般都是要对参数进行分类讨论，而难点在于我们以何“标准”进行分类讨论。在这种含参数的一元二次不等式问题中，我们一般要先将方程化为：
或者的形式，
然后当不等号左边的二次函数有实的零点时（如果没有零点则需另外讨论，具体可见例3），对该二次函数进行因式分解（或者利用求根公式求根），将方程化为：或者的形式，此时再跟根据方程的根的情况确定参数的讨论“标准”（本质上也就是讨论与的大小）。
例3
（★★☆☆）解关于的不等式：
解：
对进行分类讨论：
，即或者时，方程两根为，此时不等式解为：
，即或者时，方程根为，此时不等式解为：
，即时，方程无实根，此时不等式解为：
教学提示：本题也是含参数的一元二次不等式求解。与例2不同的是，本题的一元二次不等式对应的一元二次方程的实根是否存在是不确定的，需要进行讨论。剩下的步骤实际上跟例2是一样的，还是要先求根再来看不等式的解。通过例2跟例3需要让学生明白对于含参数的一元二次不等式是如何进行讨论的，先后顺序是什么。
2.
利用一元二次函数的性质求解一元二次不等式的问题
例4
（★★★☆）已知的解集为，求解不等式
解：解集为的不等式为：
，即：解集为，该不等式与同解，比较系数即知：，
从而即为，解得
教学提示：本题的关键在于充分利用一元二次不等式与二次函数（或者一元二次方程）之间的紧密联系。的解集为，事实上就意味着对应的二次函数有两个零点：，。然后其实利用韦达定理就可以求出。当然本题的详解中是构造了解集为的一元二次不等式，再利用对应系数相等额办法。这两种方法本质上是一样的。需要学生注意的是，我们遇到一元二次不等式的时候应该用函数的观点去看待它，即，，这样我们更容易发现问题的本质。
例5
（★★★☆）已知，，，试求的取值范围。
解：我们可以用跟的线性组合来表示：
设，那么：
，
故：，
，故知：
教学提示：本题充分利用了函数的性质。需要注意的是，在题目中跟作为未知参数，并未有任何条件。因此，在解答中，我们回避了跟，而是用跟的线性组合来表示。之所以能用跟的线性组合来表示，是因为可以用跟的线性组合来表示，而跟又可以用跟的线性组合来表示。也就是说，我们可以利用条件将跟用跟来表示，这样原来的二次函数的参数就变成了跟。而跟在条件中是有取值范围的，从而可以导出的取值范围。需要注意的是，如果直接先求跟的取值范围，再求的取值范围，是很难等价的推过去的，因此很容易发生错误。另外，本题也可以利用线性规划求解，可以根据实际情况，适当提及这种方法。
例6（★★★★）设二次函数，已知和是二次方程的两个实根，求：
求证：和也是四次方程的两根；
令，求的解析式；
假定四次方程的另外两根为和且，，试比较，，，的大小关系。
解：
因为和是二次方程的两个实根，从而：
，
因为和是二次方程的两个实根且，所以：
，
（
）
因此有：
由（
）式可知：，
从而：
综上，，再利用根与系数的关系可知：
注意到和为两根，而：
，，由二次不等式与二次函数的关系可知：
教学提示：本题是一道综合性的题目，综合利用了函数、不等式、方程之间的相互联系。特别是第三问，我们通过因变量（函数值）的大小关系来判断出自变量的大小关系，充分体现出了将函数的性质运用到不等式问题中这一重要思想。就题目而言，需要注意的是，第二问解答是用一种比较巧妙的方法做的。当然，我们也可以直截了当地考虑多项式的除法，将直接求出，这可以留给学生思考（如果他们学过多项式除法的话）
试题演练
1．1．（★☆☆☆）不等式的解集是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】换元：，得到，即得答案。
2．（★★☆☆）若关于的方程的两根均为正数，则实数的取值范围是
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】有：
，解不等式组即得。
3．（★★☆☆）若关于的不等式的解集是，则等于
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】有：
，解方程组即得。
4．（★★☆☆）若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为：
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当，不等式即为，显然成立。
当时，不等式为一元二次不等式，有：
，解不等式组即得。
5．（★★☆☆）对实数和
定义运算“
”：,设函数．若函数的图像与轴恰好有两个共公点，则实数的取值范围是（???
）
A．????
?
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
画出f(x)的图象（如图）
∵函数的图象与轴恰好有两个共公点方程有两解函数与函数有两个不同的交点
∴由图象可知或．
6．（★★★☆）设函数在区间上的值域是[－6,2]，则的取值所组成的集合为( )
A．[0,3]
B．[0,4]
C．[－1,3]
D．[1,4]
【答案】B
【解析】由题意可得，函数f(x)＝－2x2＋4x图象的对称轴为x＝1，故当x＝1时，函数取得最大值2.因为函数的值域是[－6,2]，令－2x2＋4x＝－6，可得x＝－1或x＝3.所以－1≤m≤1,1≤n≤3，所以0≤m＋n≤4.故选B.
7．（★★☆☆）不等式组的解集是
．
【答案】
【解析】分别解三个一元二次不等式，再将它们的解集取交集即可。需要注意，求解时要仔细，不要犯错。
8．（★★★☆）已知，解关于的不等式
【答案】
【解析】将不等式化简，容易得到：，注意到，故：
9．已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______
【答案】
【解析】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大，做出函数与的图像，
当，不满足条件，∴，
当时，此时|与有三个
交点，
当时，此时与有五个
交点，
∴要使函数恰有4个零点，
则
10．（★★★☆）若不等式组
的整数解只有，求的取值范围。
【答案】
【解析】
注意到是不等式的解，故知：
从而，不等式可以化为：
由条件知要使得（1）的整数解只有，（2）无整数解，有：
11．（★★★☆）已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，.若函数在区间上有10个零点(互不相同)，求实数的取值范围。
【答案】
【解析】本题考查二次函数的图象和性质、图象变换、函数的零点、函数与方程。先画出[0,3]上的图像，再将轴下方的图象对称到上方，利用周期为3，将图象平移至，如下图所示，其中：
函数在区间上有10个零点(互不相同)等价为与
有10个不同的交点，由图象可得：
12．（★★★☆）已知不等式的解集为，求不等式的解集
【答案】
【解析】注意到为方程的两根，
然后利用韦达定理容易验证为方程的两根，
再根据知，从而得到答案。
13．（★★★☆）已知函数，若对于任意，都有成立，则实数
的取值范围是???
．
【答案】
【解析】本题考查二次函数的图象和性质以及二次不等式的求解。因为二次函数是开口向上的抛物线，故函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意，，只需
解得
即
．
14.（★★★☆）已知不等式的解集为，求使得的实数（）的取值范围。
【答案】
【解析】
即有：，再注意到即得
15．（★★★☆）已知，，，试求的取值范围。
【答案】
【解析】把用跟来表示，即得：
，再由，即知
16．（★★★★）已知，函数
???
(1)当时，若对任意，都有，证明：；
?(2)当时，证明：对任意，的充要条件是；
?(3)当时，讨论：对任意，的充要条件．
【答案】见解析
【解析】
17.（★★★★）已知函数是奇函数.
???
?(1)求实数
的值；
???
?(2)若函数在区间上单调递增，求实数a
的取值范围.
【答案】(1)m＝2；（2）(1，3]
【解析】
(1)设x＜0，则－x＞0，
???
所以f
(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x．
???
又f(x)
为奇函数，所以f
(－x)＝－f
(x)，
???
于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2．
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知
所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．
18.（★★★★）已知为实数，函数，，当
时，
(1)求证：；
(2)求证：当时，；
(3)设，当时，最大值为2，求
．
【答案】（3）f(x)＝2x2－1
【解析】见如下截图。
19.（★★★★）已知二次函数
，不等式
的解集为
（1）求
的解析式；?
（2）若函数
在
上单调，求实数
的取值范围；
（3）若对于任意的，都成立，求实数的最大值．
【答案】(1)
，（2）
（3）-21.
【解析】
