不等式与线性规划
知识讲解
一、不等式的定义
1.定义：用不等号（）连接的式子叫不等式
2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解不等式变形．
3.不等式的性质
1）（反身性或对称性）
2），（传递性）
3）
4），则．
5），，则；如果，，则．
6），则．
7），则．
8），则
二、不等式的解法
1.一元二次不等式的解集如下表
判别式
二次函数（）的图像
一元二次方程（）
有两个相异实根
（）
有两个相异实根
（）
没有实数根
（）的解集
{或}
（）的解集
{}
2.分式不等式的解法
1）
2）且
3）
3.无理不等式的解法
1）或
2）
4.绝对值不等式
1）绝对值的几何意义：①是指数轴上点到原点的距离；②是指数轴上两点间的距离
2）当时，或，；
当时，，．
3）绝对值不等式的解法
①公式法或
②平方法
③分情况讨论法
4.高次不等式（穿线法：）
一般高次不等式用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是：
1）将最高次项的系数化为正数；
2）将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
3）将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；
三、基本不等式
均值定理：
定理：对于任意实数，，当且仅当时，等号成立
推论：如果，是正数，那么，当且仅当时，有等号成立．
四、线性规划的有关概念
1.约束条件：由未知数的不等式（或方程）组成的不等式组成为的约束条件．
不等式组就是的一个约束条件．
2.线性约束条件：关于未知数的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为的线性约束条件，不等式组就是的一个约束条件．
3.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式．
如：已知满足约束条件，分别确定的值，使取到最大值和最小值使达到最值，其中和均为目标函数．
4.线性目标函数：目标函数为变量的一次解析式．如上例中，为线性目标函数，而就不是线性目标函数，只是一个目标函数．
5.线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题．
6.可行解：满足约束条件的解．
7.可行域：所有可行解组成的集合．
8.最优解：使目标函数取得最值的可行解．
五、线性规划的图解法
1.画：在直角坐标平面上画出可行域和直线（目标函数为）
2.移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点．
3.求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值．
经典例题
一．选择题（共2小题）
1．已知a，b∈R，a+b=2．则+的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【解答】解：a，b∈R，a+b=2．
则+=
===，
令t=ab﹣1=a（2﹣a）﹣1=﹣（a﹣1）2≤0，
则=，
令4﹣2t=s（s≥4），即t=，
可得==，
由s+≥2=8，
当且仅当s=4，t=2﹣2时上式取得等号，
可得≤=，
则+的最大值为，
故选：C．
2．设a，b∈R，下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a2+3＞2a
B．a2+b2＞0
C．a3+b3≥a2b+ab2
D．a+≥2
【解答】解：A：将不等式转化为a2﹣2a+3=（a﹣1）2+2＞0恒成立，A对．
B：a2+b2≥0，B错
C：将不等式转化为a2（a﹣b）+b2（b﹣a）=（a﹣b）（a2﹣b2）=（a﹣b）2（a+b）不一定大于等于0，C错．
D：如果想要用基本不等式，需要满足a＞0，D错．
故选：A．
二．填空题（共5小题）
3．已知实数x，y满足x2+y2=2x，则x2y2的取值范围是 [0，] ．
【解答】解：由x2+y2=2x，得y2=2x﹣x2≥0，
∴0≤x≤2，x2y2=x2（2x﹣x2）=2x3﹣x4．
设f（x）=2x3﹣x4（0≤x≤2），
则f′（x）=6x2﹣4x3=2x2（3﹣2x），
当0＜x＜时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，）上单调递增；
当＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（，2）上单调递减，
∴当x=时，函数取得极大值，也是最大值，f（）=，
当x=0、x=2时，f（x）=0，
∴函数f（x）的值域为[0，]，
即0≤x2y2≤．
故答案为：[0，]．
4．已知实数x，y满足3x﹣y≤ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5），则x+y= ．
【解答】解：由f（t）=lnt﹣t+1的导数为：
f′（t）=﹣1=，
当t＞1时，f′（t）＞0，f（t）递增，
当0＜t＜1时，f′（t）＜0，f（t）递减，
可得f（t）的最大值为f（1）=0，
即有lnt≤t﹣1，
则ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5）
≤x+2y﹣3﹣1+2x﹣3y+5﹣1=3x﹣y，
当且仅当x+2y﹣3=2x﹣3y+5=1时，取得等号，
则x=，y=，
可得x+y=，
故答案为：．
5．已知a，b∈R，且a≠﹣1，则|a+b|+|﹣b|的最小值是 1 ．
【解答】解：a，b∈R，且a≠﹣1，
则|a+b|+|﹣b|≥=|a+1+﹣1|≥|2﹣1|=1，当且仅当a=0时取等号．
故答案为：1．
6．已知函数f（x）=x2﹣|x|，集合P={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，则y=f（x）的最小值为 ﹣ ，在平面直角坐标系内集合P所表示的区域的面积是 2+π ．
【解答】解：∵f（x）=x2﹣|x|=（|x|﹣）2﹣，
∴当|x|=时，函数f（x）取得最小值为﹣，
由f（x）+f（y）≤0得x2﹣|x|+y2﹣|y|≤0，
即（|x|﹣）2+（|y|﹣）2≤，
当x≥0，y≥0时，不等式等价为（x﹣）2+（y﹣）2≤，
则对应图象为以（，）为圆心，半径为的圆内部分，
则三角形OAB的面积S==，半圆的面积S=（）2=，
则第一象限部分的面积S=+，
则集合P对应区域为第一象限的4倍，
即总面积S=4×（+）=2+π，
故答案为：﹣，2+π
7．若平面区域是一个三角形，则k的取值范围是 （﹣∞，﹣2）∪（0，] ．
【解答】解：直线y+2=k（x+1）表示过（﹣1，﹣2）的直线，
根据约束条件画出可行域如图：
平面区域是一个三角形，
就是图中阴影部分，
所以
k∈（﹣∞，﹣2）∪（0，]
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，]．
三．解答题（共9小题）
8．解关于x的不等式：mx2﹣（m﹣2）x﹣2＞0．
【解答】题：不等式：mx2﹣（m﹣2）x﹣2＞0化为（mx+2）（x﹣1）＞0；
当m≠0时，不等式对应方程为（x+）（x﹣1）=0，
解得实数根为﹣，1；
当m＞0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＞0，且﹣＜1，
∴不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）；
当﹣2＜m＜0时，不等式化为（x+）（x﹣1）＜0，且1＜﹣，
∴不等式的解集为（1，﹣）；
当m=﹣2时，﹣=1，不等式化为（x﹣1）2＜0，其解集为?；
当m＜﹣2时，不等式化为（x+）（x﹣1）＜0，且﹣＜1，
∴不等式的解集为（﹣，1）；
当m=0时，不等式化为2（x﹣1）＞0，解得x＞1，
∴不等式的解集为（1，+∞）；
综上，m＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）；
﹣2＜m＜0时，不等式的解集为（1，﹣）；
m=﹣2时，不等式的解集为?；
m＜﹣2时，不等式的解集为（﹣，1）；
m=0时，不等式的解集为（1，+∞）．
9．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．
【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，
∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4
是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，
∴x2+y2+z2的最小值为4
10．已知函数f（x）=（m+）lnx+﹣x，（其中常数m＞0）．
（1）当m=2时，求f（x）的极大值；
（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．
【解答】解：（1）当m=2时，
（x＞0）
令f′（x）＜0，可得或x＞2；
令f′（x）＞0，可得，
∴f（x）在和（2，+∞）上单调递减，在单调递增
故
（2）（x＞0，m＞0）
①当0＜m＜1时，则，故x∈（0，m），f′（x）＜0；
x∈（m，1）时，f′（x）＞0
此时f（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）单调递增；
②当m=1时，则，故x∈（0，1），有恒成立，
此时f（x）在（0，1）上单调递减；
③当m＞1时，则，
故时，f′（x）＜0；时，f′（x）＞0
此时f（x）在上单调递减，在单调递增
（3）由题意，可得f′（x1）=f′（x2）（x1，x2＞0，且x1≠x2）
即
?
∵x1≠x2，由不等式性质可得恒成立，
又x1，x2，m＞0
∴?对m∈[3，+∞）恒成立
令，则
对m∈[3，+∞）恒成立
∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，
∴
故
从而“对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“”
∴x1+x2的取值范围为
11．对于函数f（x），g（x），记集合Df＞g={x|f（x）＞g（x）}．
（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求Df＞g；
（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果．求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得Df＞g={x|x＜﹣1或x＞3}；
（2）方法一：，，
由，
则在R上恒成立，
令，a＞﹣t2﹣t，，
∴a≥0时成立．
以下只讨论a＜0的情况
对于，
=t＞0，t2+t+a＞0，解得t＜或t＞，（a＜0）
又t＞0，所以，
∴=
综上所述：
方法二（2），，
由a≥0．显然恒成立，
即x∈Ra＜0时，，在x≤1上恒成立
令，，
所以，
综上所述：．
12．已知函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）＜loga；
（3）|g（x+2）﹣2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，
∴A（2，2）…2分
又点A在函数f（x）上，
∴f（2）==2，
∴2+a==3，
∴a=1…4分
（2）f（x）＜loga?＜=0…6分
?0＜x+1＜1?﹣1＜x＜0
?不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}…8分
（3）|g（x+2）﹣2|=2b
?|2x+1﹣2|=2b?|2x﹣1|=2b…10分
若x＜0，0＜2x＜1，
∴﹣1＜2x﹣1＜0；
∴0＜|2x﹣1|＜1；
若x＞0，则2x＞1，
∴2x﹣1＞0；
∴0＜2b＜1，故b的取值范围为（0，）…12分
13．已知a＞1，b＞1，求+的最小值．
【解答】解：∵a＞1，b＞1；
∴a﹣1＞0，b﹣1＞0；
∴，；
两式相加：；
∴；
当且仅当时“=”成立；
即a=b=2时，取得最小值8．
14．已知关于x的不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0，其中t∈R．
（1）当t=0时，求该不等式的解；
（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）关于x的不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0，
当t=0时，不等式为log2（﹣2x2+3x）＜0，
即0＜﹣2x2+3x＜1，
等价于，
解得，
即0＜x＜或1＜x＜；
∴不等式的解集为（0，）∪（1，）；
（2）不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0有解，
∴0＜﹣2x2+3x+t＜1，
化为2x2﹣3x＜t＜2x2﹣3x+1；
设f（x）=2x2﹣3x，x∈R，
∴f（x）min=f（）=﹣，且f（x）无最大值；
∴实数t的取值范围是（﹣，+∞）．
15．设关于x的不等式x2﹣（b+2）x+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}．
（1）设不等式bx2﹣（c+1）x﹣c＞0的解集为A，集合B=[﹣2，2），求A∩B；
（2）若x＞1，求的最小值．
【解答】解：关于x的不等式x2﹣（b+2）x+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}
∴，解得；
（1）不等式bx2﹣（c+1）x﹣c＞0可化为3x2﹣7x﹣6＞0，
由3x2﹣7x﹣6＞0解得或x＞3，
即；
又B=[﹣2，2），∴；
（2）∵x＞1，∴x﹣1＞0，
则
=
=，
当且仅当x=3时等号成立，
即的最小值为3．
16．已知a＞0，a≠1且loga3＞loga2，若函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．
（1）判断函数g（x）=1﹣的奇偶性；
（2）解不等式log（x﹣1）＞log（a﹣x）．
【解答】解：（1）∵a＞0，a≠1且loga3＞loga2，
∴a＞1，
又∵函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1，
∴loga2a﹣logaa=1，
即loga2=1，解得a=2；
∵函数g（x）的定义域为R，
且g（x）=1﹣=1﹣=，
∴g（﹣x）===﹣=﹣g（x），
∴g（x）是定义域R上的奇函数；
（2）不等式log（x﹣1）＞log（a﹣x），
∴，
解得1＜x＜，
故所求不等式的解集为（1，）不等式与线性规划
知识讲解
一、不等式的定义
1.定义：用不等号（）连接的式子叫不等式
2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做同解不等式变形．
3.不等式的性质
1）（反身性或对称性）
2），（传递性）
3）
4），则．
5），，则；如果，，则．
6），则．
7），则．
8），则
二、不等式的解法
1.一元二次不等式的解集如下表
判别式
二次函数（）的图像
一元二次方程（）
有两个相异实根
（）
有两个相异实根
（）
没有实数根
（）的解集
{或}
（）的解集
{}
2.分式不等式的解法
1）
2）且
3）
3.无理不等式的解法
1）或
2）
4.绝对值不等式
1）绝对值的几何意义：①是指数轴上点到原点的距离；②是指数轴上两点间的距离
2）当时，或，；
当时，，．
3）绝对值不等式的解法
①公式法或
②平方法
③分情况讨论法
4.高次不等式（穿线法：）
一般高次不等式用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是：
1）将最高次项的系数化为正数；
2）将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；
3）将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；
三、基本不等式
均值定理：
定理：对于任意实数，，当且仅当时，等号成立
推论：如果，是正数，那么，当且仅当时，有等号成立．
四、线性规划的有关概念
1.约束条件：由未知数的不等式（或方程）组成的不等式组成为的约束条件．
不等式组就是的一个约束条件．
2.线性约束条件：关于未知数的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为的线性约束条件，不等式组就是的一个约束条件．
3.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式．
如：已知满足约束条件，分别确定的值，使取到最大值和最小值使达到最值，其中和均为目标函数．
4.线性目标函数：目标函数为变量的一次解析式．如上例中，为线性目标函数，而就不是线性目标函数，只是一个目标函数．
5.线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题．
6.可行解：满足约束条件的解．
7.可行域：所有可行解组成的集合．
8.最优解：使目标函数取得最值的可行解．
五、线性规划的图解法
1.画：在直角坐标平面上画出可行域和直线（目标函数为）
2.移：平行移动直线，确定使取得最大值或最小值的点．
3.求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值．
经典例题
一．选择题（共2小题）
1．已知a，b∈R，a+b=2．则+的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
2．设a，b∈R，下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a2+3＞2a
B．a2+b2＞0
C．a3+b3≥a2b+ab2
D．a+≥2
二．填空题（共5小题）
3．已知实数x，y满足x2+y2=2x，则x2y2的取值范围是
．
4．已知实数x，y满足3x﹣y≤ln（x+2y﹣3）+ln（2x﹣3y+5），则x+y=
．
5．已知a，b∈R，且a≠﹣1，则|a+b|+|﹣b|的最小值是
．
6．已知函数f（x）=x2﹣|x|，集合P={（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，则y=f（x）的最小值为
，在平面直角坐标系内集合P所表示的区域的面积是
．
7．若平面区域是一个三角形，则k的取值范围是
．
三．解答题（共9小题）
8．解关于x的不等式：mx2﹣（m﹣2）x﹣2＞0．
9．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．
10．已知函数f（x）=（m+）lnx+﹣x，（其中常数m＞0）．
（1）当m=2时，求f（x）的极大值；
（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x1+x2的取值范围．
11．对于函数f（x），g（x），记集合Df＞g={x|f（x）＞g（x）}．
（1）设f（x）=2|x|，g（x）=x+3，求Df＞g；
（2）设f1（x）=x﹣1，，h（x）=0，如果．求实数a的取值范围．
12．已知函数g（x）=（a+1）x﹣2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数的图象．
（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）＜loga；
（3）|g（x+2）﹣2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围．
13．已知a＞1，b＞1，求+的最小值．
14．已知关于x的不等式log2（﹣2x2+3x+t）＜0，其中t∈R．
（1）当t=0时，求该不等式的解；
（2）若该不等式有解，求实数t的取值范围．
15．设关于x的不等式x2﹣（b+2）x+c＜0的解集为{x|2＜x＜3}．
（1）设不等式bx2﹣（c+1）x﹣c＞0的解集为A，集合B=[﹣2，2），求A∩B；
（2）若x＞1，求的最小值．
16．已知a＞0，a≠1且loga3＞loga2，若函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1．
（1）判断函数g（x）=1﹣的奇偶性；
（2）解不等式log（x﹣1）＞log（a﹣x）．
