不等式的证明
知识定位
不等式的证明是十分有技巧性的一件事情。在上海高考中，有关不等式证明的要求并不高，一般只要会基本的比较法与综合分析法即可。但是一些进阶技巧，例如缩放法、换元法、函数法等不仅是常用的技巧，而且同时也能给我很多关于不等式处理方面的启发。在不等式的基本性质一节，我们已经介绍了比较法与综合分析法，在本节，我们会主要介绍一些进阶技巧。
知识诊断
（★★★★）求证
（★★★☆）
知识梳理
知识点一：常见的不等式证明技巧
这里有关比较法与综合分析法的部分将会略去，我们主要讲一下其他方法。
子知识点一：缩放法
缩放最主要的目的实际上是让不可计算的东西变成可以计算。这是处理不等式问题的一种常用技巧。
放缩时主要采用两种手法：
舍去或者加上一些项，如；
将分子或者分母放大或者缩小，如
.
子知识点二：换元法
换元法在高中数学中是一个非常重要的技巧，在不等式证明时也有着很重要的应用。常见的换元方法有代数换元跟三角换元。这里由于学生没有学过三角，我们主要讲代数换元。
子知识点三：函数法
不等式跟函数的性质往往有着天然的联系。函数法就是利用这种联系来证明不等式的一种技巧。
常见题型和方法解析
缩放法
例1
（★☆☆☆）已知，求证：
例2
（★★☆☆）求证
例3
（★★☆☆）求证
2.
换元法
例4
（★★★☆）已知
，求证
例5
（★★★☆）已知，，求证
3.
函数法
例6（★★★★）已知
都是正数，求证对于任意的，下面的不等式成立：
试题演练
1．（★★★☆）
，证明：
2．（★★★☆）已知
，求证：
3．（★★★☆）设，且
恒成立，则
的取值范围是___________．
4．（★★★☆）(1)设，证明；
5．（★★★☆）已知
均为正数，证明:
，并确定为何值时，等号成立．
6．（★★★☆）已知是不等正数，且
，求证：
7．（★★★☆）已知，求证．
8．（★★★☆）已知
，，求证：
9．（★★★☆）设，求证：．
10．（★★★☆）在△ABC中，已知△ABC的面积为
，外接圆半径为1，三边长为
求证．
11.（★★★☆）已知△ABC的三边长分别是，且
为正数，求证
．
12．（★★★☆）已知
，且a>0，b>0，求证：a+b≤2．不等式的证明
知识定位
不等式的证明是十分有技巧性的一件事情。在上海高考中，有关不等式证明的要求并不高，一般只要会基本的比较法与综合分析法即可。但是一些进阶技巧，例如缩放法、换元法、函数法等不仅是常用的技巧，而且同时也能给我很多关于不等式处理方面的启发。在不等式的基本性质一节，我们已经介绍了比较法与综合分析法，在本节，我们会主要介绍一些进阶技巧。
知识诊断
（★★★★）求证
（★★★☆）
答案：
1.
本题我们实际上是要对作一个缩放，
注意到：
，
我们就可以得到：
，
以及：
，
从而即知：
2.
采用代数换元：
令
，那么：
，原式转化为证明
，
也即：，最后一个不等式显然成立。
知识梳理
知识点一：常见的不等式证明技巧
这里有关比较法与综合分析法的部分将会略去，我们主要讲一下其他方法。
子知识点一：缩放法
缩放最主要的目的实际上是让不可计算的东西变成可以计算。这是处理不等式问题的一种常用技巧。
放缩时主要采用两种手法：
舍去或者加上一些项，如；
将分子或者分母放大或者缩小，如
.
子知识点二：换元法
换元法在高中数学中是一个非常重要的技巧，在不等式证明时也有着很重要的应用。常见的换元方法有代数换元跟三角换元。这里由于学生没有学过三角，我们主要讲代数换元。
子知识点三：函数法
不等式跟函数的性质往往有着天然的联系。函数法就是利用这种联系来证明不等式的一种技巧。
常见题型和方法解析
缩放法
例1
（★☆☆☆）已知，求证：
解：
，同理可知：
，
从而.
教学提示：本题需要注意几件事情。第一点，本题是一个典型的轮换不等式，所以根据对称性，我们可以将两个根号分开单独考虑。（有关轮换不等式在之前的教学参考中已经提及）第二点，本题利用的缩放实际上是的形式，这当然是最简单也是最常用的一种缩放。第三点，缩放最主要的目的实际上是让不可计算的东西变成可以计算。这是非常要紧的。像本题中，我们就是利用缩放将原来的根式中的根号去掉，从而变成简单的一次多项式，再进行计算与证明，这一点是要向学生强调的。
例2
（★★☆☆）求证
解：当时，有：
从而：
教学提示：我们利用了一个不等式的缩放，而缩放的最终目的在于将难以计算的式子转化为可以计算的项。另一方面，注意解答的过程中，我们没必要对于一个和式的所有项进行缩放，实际上只需要对于部分项缩放即可。
例3
（★★☆☆）求证
解：本题我们实际上是要对作
一个缩放，
注意到：
，
我们就可以得到：
，
以及：
，
从而即知：
教学提示：本题实际上是一个典型的放缩法的例子，从某种程度上来讲，其结论是比证明过程来得更加重要的。从根本上来讲，这也是将不能求和的转化为可以求和的形式，这其中运用了分母有理化等一些技巧。另外一方面，值得注意的是，实际上在本题中，我们将和式的每一项都进行了缩放。这样的缩放实际上有时候会放得过大或是过小，因此有时候我们可以保留和式的前几项，再对后面几项进行缩放，来得到不等式。例如，本题中，我们保留第一项，对第二项之后的部分进行缩放，可以得到：
我们实际上得到了一个比题目中更为精确的不等式估计。
2.
换元法
例4
（★★★☆）已知
，求证
解：采用代数换元：
令
，那么：
，原式转化为证明
，
也即：，最后一个不等式显然成立。
教学提示：换元法的关键在于找到合适的可以换的“元”，寻找元的方法往往是不固定的，需要通过题目来感悟。
例5
（★★★☆）已知，，求证
解：
，
，
从而：，令
，得到：
，从而：
3.
函数法
例6（★★★★）已知
都是正数，求证对于任意的，下面的不等式成立：
解：构造二次函数：，
易知：
显然改二次函数开口向上，故知:
，即得：
试题演练
1．（★★★☆）
，证明：
【答案】见解析
【解析】
所以：
2．（★★★☆）已知
，求证：
【答案】见解析
【解析】
3．（★★★☆）设，且
恒成立，则
的取值范围是___________．
【答案】(-∞，4]
4．（★★★☆）(1)设，证明；
【答案】见解析
【解析】
5．（★★★☆）已知
均为正数，证明:
，并确定为何值时，等号成立．
【答案】见解析
【解析】
6．（★★★☆）已知是不等正数，且
，求证：
【答案】见解析
【解析】
7．（★★★☆）已知，求证．
【答案】见解析
【解析】
8．（★★★☆）已知
，，求证：
【答案】见解析
【解析】
9．（★★★☆）设，求证：．
【答案】见解析
【解析】
10．（★★★☆）在△ABC中，已知△ABC的面积为
，外接圆半径为1，三边长为
求证．
【答案】见解析
【解析】
11.（★★★☆）已知△ABC的三边长分别是，且
为正数，求证
．
【答案】见解析
【解析】
12．（★★★☆）已知
，且a>0，b>0，求证：a+b≤2．
