对数及其运算
知识讲解
一、对数的概念
1.
对数的概念：如果（，），那么b叫做以a为底N的对数，记作
（，，）．
2.对数恒等式：．
3.对数的性质：
（1）和负数没有对数，即
（2）的对数为，即；
（3）底的对数等于，即．
4.常用对数：以为底的对数叫做常用对数．为了简便，通常把底10略去不写，并把写成，即把记做
5.自然对数：在科学技术中，常常使用以无理数为底的对数．以为底的对数叫做自然对数．通常记作．
二、对数的运算
1.积、商、幂的对数：
（，，，）
2.换底公式：
，
3.对数恒等式：
4.常用结论：，
典型例题
一．选择题（共6小题）
1．若a2017=b（a＞0，且a≠1），则（ ）
A．logab=2017
B．logba=2017
C．log2017a=b
D．log2017b=a
2．函数f（x）=（）的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，﹣1]
B．[2，+∞）
C．（﹣∞，）
D．（，+∞）
3．已知，则a等于（ ）
A．
B．
C．2
D．4
4．若0＜a＜1，实数x，y满足|x|=loga，则该函数的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若，则等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．计算log89?log910?log1011?…?log3132的结果为（ ）
A．4
B．
C．
D．
二．填空题（共4小题）
7．若x?log32=1，则2x= ．
8．若x满足4x=8，则x=
．
9．已知（a＞0），则= ．
10．若log32=a，log35=b，则3a+b=
．
三．解答题（共2小题）
11．已知函数（a＞0），且f（1）=2；
（1）求a和f（x）的单调区间；
（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．
12．设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log（c+b）a+log（c﹣b）a=2log（c+b）a?log（c﹣b）a．
对数及其运算
知识讲解
一、对数的概念
1.
对数的概念：如果（，），那么b叫做以a为底N的对数，记作
（，，）．
2.对数恒等式：．
3.对数的性质：
（1）和负数没有对数，即
（2）的对数为，即；
（3）底的对数等于，即．
4.常用对数：以为底的对数叫做常用对数．为了简便，通常把底10略去不写，并把写成，即把记做
5.自然对数：在科学技术中，常常使用以无理数为底的对数．以为底的对数叫做自然对数．通常记作．
二、对数的运算
1.积、商、幂的对数：
（，，，）
2.换底公式：
，
3.对数恒等式：
4.常用结论：，
典型例题
一．选择题（共6小题）
1．若a2017=b（a＞0，且a≠1），则（ ）
A．logab=2017
B．logba=2017
C．log2017a=b
D．log2017b=a
【解答】解：若a2017=b（a＞0，且a≠1），则2017=logab，
故选：A．
2．函数f（x）=（）的单调递增区间为（ ）
A．（﹣∞，﹣1]
B．[2，+∞）
C．（﹣∞，）
D．（，+∞）
【解答】解：令u（x）=x2﹣x﹣2≥0，解得x≥2或x≤﹣1．
∴函数f（x）的定义域为：（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．
根据复合函数的单调性可知：函数f（x）=（）的单调递增区间，即在定义域内求u（x）的单调递减区间．
u（x）=﹣．
∴u（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣1]．
故选：A．
3．已知，则a等于（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【解答】解：因为
所以
解得a=4
故选：D．
4．若0＜a＜1，实数x，y满足|x|=loga，则该函数的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由|x|=loga，得，
∴y==，
又0＜a＜1，
∴函数在（﹣∞，0]上递j减，在（0，+∞）上递增，且y≥1，
故选：A．
5．若，则等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵18b=5，∴=，又，联立解得．
∴====．
6．计算log89?log910?log1011?…?log3132的结果为（ ）
A．4
B．
C．
D．
【解答】解：log89?log910?log1011?…?log3132=．
故选：B．
二．填空题（共5小题）
7．若x?log32=1，则2x= 3 ．
【解答】解：由x?log32=1，得，所以，
故答案为：3
8．若x满足4x=8，则x= ．
【解答】解：∵x满足4x=8，
∴22x=23，
∴2x=3，解得x=．
故答案为：．
9．已知（a＞0），则= 3 ．
【解答】解：已知（a＞0），
∴
，
故答案为
3．
10．若log32=a，log35=b，则3a+b= 10 ．
【解答】解：3a+b=3a×3b==2×5=10，
或者由log32=a，log35=b得3a=2，3b=5，
则3a×3b=2×5=10，
故答案为：10．
三．解答题（共2小题）
11．已知函数（a＞0），且f（1）=2；
（1）求a和f（x）的单调区间；
（2）f（x+1）﹣f（x）＞2．
【解答】解：（1）函数（a＞0），且f（1）=2，
∴log2（a2+a﹣2）=2=log24，
∴，
解得a=2，
∴f（x）=log2（22x+2x﹣2），
设t=22x+2x﹣2＞0，解得x＞0，
∴f（x）的递增区间（0，+∞）；
（2）f（x+1）﹣f（x）＞2，
∴log2（22x+2+2x+1﹣2）﹣log2（22x+2x﹣2）＞2=log24，
∴22x+2+2x+1﹣2＞4（22x+2x﹣2），
∴2x＜3，
∴x＜log23，
∵x＞0
∴0＜x＜log23
∴不等式的解集为（0，log23）
12．设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边，且c≠1，求证：log（c+b）a+log（c﹣b）a=2log（c+b）a?log（c﹣b）a．
【解答】证明：由勾股定理得a2+b2=c2．
log（c+b）a+log（c﹣b）a
=+
=
=
=
=2log（c+b）a?log（c﹣b）a．
∴原等式成立．
