命题与条件
知识定位
命题与条件是高中数学中的重要基础部分，只有学好命题和条件，厘清其中的关系，才能搞清今后遭遇的难题中的逻辑关系，帮助我们更顺利地解题.
知识诊断
（★★☆☆）（1）是否存在实数，使得是的充分条件？
（2）是否存在实数，使得是的必要条件？
解：记=，
则
(1)充分条件即
解得
(2)即
不存在
（★☆☆☆）写出命题“，则或或”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假
解：逆命题：若或或，则
真
否命题：若，则且且
真
逆否命题：若且且，则
真
知识梳理
知识点一：四种命题形式
命题：可以判断真假的陈述句，判断为真，称之为真命题，否则为假命题。一个命题可以写成
“若，则”的形式，其中是命题的条件，是命题的结论。
一般地，若命题成立可以推出命题也成立，那么就说由，即以为条件，为结论的
命题是真命题。若且，称和等价，记为
推出关系满足传递性，即则
记“若，则”这一命题为原命题，则引出以下三种命题：
逆命题“若，则”
（2）否命题“若，则”
（3）逆否命题“若，则”
（其中“”表示否定，也常用表示的否定）
子知识点一：四个命题之间的关系：
子知识点二：注意命题的否定与命题的否命题的区别：
（1）命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。
（2）一个命题与它的否定是完全对立的，命题真则否定假，否定假则命题真，而对
于否命题，它的真假与原命题没有直接联系，需具体分析。
（3）全称命题在否定时要改为特称命题，特称命题否定式改为全称命题，“或”在
否定时要改为“且”，“且”在否定时要改为“或”
例如：若三角形的三个内角都是锐角，则它是锐角三角形
（真）
否定：若三角形的三个内角存在锐角，则它不是锐角三角形
（假）
否命题：若三角形的三个角不都是锐角，则它不是锐角三角形
（真）
子知识点三：互为逆否关系的两个命题等价，即
原命题逆否命题，等价的两个命题同真同假。
因此当我们证明某个命题有困难时，可以考虑去证明其逆否命题，或许就豁然开朗。
知识点二：充分条件与必要条件
子知识点一：对于两个命题，若，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件。
也就是说，为了使成立，具备条件就足够了。如果既有
又有，
即，此时称是的充分必要条件，简称充要条件。
子知识点二：如何证明条件是结论的充要条件：
分两步：（1）证明充分性：条件
（2）证明必要性：结论
子知识点三：
子集与推出关系：设是非空集合，，，则
与等价.
常见题型和方法解析
1.
结合知识点一和方法
例1：（★☆☆☆）判断下列语句是否为命题，若是命题，请判断是真命题还是假命题
是无理数
（2）2+1=11.
（3）仔细读这个
（4）这个命题是假的
分析：命题是陈述句且能够客观地判断真假，因此
疑问句，祈使句，感叹句，悖论均不是命题。
解：（1）真命题
（2）
假命题
（3）（4）不是命题
例2：（★☆☆☆）写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题:
（1）内接于圆的四边形对角互补；（2）则都为0.
分析：先将命题改写成“若p则q”的形式，再进行命题的转化，否定时注意全称特称命题
解：（1）逆命题：若四边形对角互补，则它内接于某个圆
否命题：若四边形不内接于圆，则它的对角不互补
逆否命题：若四边形的对角不互补，则它不内接于某个圆
（2）逆命题：若都为0，则
否命题：若，则，不全为0
逆否命题：若，不全为0，则.
例3：（★☆☆☆）写出下列命题的否定，并判断真假：
（1）不论取什么实数，必有实根；
（2）存在一个实数，使得.
分析：注意否定与否命题的差异，否定的真假与原命题相反
解：（1）存在一个实数，使无实根。
真命题
（2）对于任意实数，都有。
真命题
结合知识点二和方法
例1：（★★★☆）已知关于的方程（），求方程至少有一个负根的充要条件.
分析：注意分类讨论二次项系数是否为0，然后根据一元二次方程根与判别式的关系，建立不等式组得到答案
解：（1）当时，符合题意；
（2）因为有根
解得
并记此解集为
因为至少有一个负根包含两种情况（即有1个负根和2个都是负根），我们不妨反过来
考虑，即方程无负根的情况.
方程无负根
即
解得
记为
所以满足题意的解集即为
综上
方程有负根的充要条件为
注：当一个问题的讨论较为复杂时，不妨反过来思考，最后计算其补集即可。
试题演练
1.（★★☆☆）若不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围为_______.
解：
2（★★☆☆）命题“等腰三角形是直角三角形”的否定形式是_________________________.
解：至少有一个等腰三角形不是直角三角形
或
存在等腰三角形不是直角三角形
3.（★★☆☆）对任意实数，给出下列命题：①
“”是“”的充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；③“”是“”的充分条件；④
“”是“”的必要条件.其中真命题的序号是___________.
解：②④
①可能=0不能推出
③可能是负数
4.（★★★☆）已知集合，，则的充要条件是_____.
解：集合在平面直角坐标系中表示以为半径，原点为圆心的一个圆面，集合表示以（0，），（，0）为顶点的正方形平面，故当圆面内含或内切于正方形时符合题意，解得
5.（★★★☆），命题，命题，则是的______条件.
解：充分条件
如下图，阴影部分即
6.（★★☆☆）命题：若，则是的充分而不必要条件；
命题：函数的定义域是，则
（
D
）
A.“或”为假
B.“且”为真
C.真假
D.假真
7..（★★☆☆）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的
（
B
）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
解：便宜没好货
等价于
好货不便宜
所以选B
8.（★★☆☆）设，则“且”的充要条件是（
C
）
B.且
C.且
D.且
9.（★★★★）设S是整数集Z的非空子集，如果?a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T；?x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ A ）
T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的
解：不妨令T为奇数集，V为偶数集，显然符合题意，于是排除了B，C选项
不妨再令T为自然数集，V为负整数集，此时V不关于乘法封闭，排除D，故答案为A
事实上，用反证法，假设T，V都不关于乘法封闭，则对于某个a,b∈T,必有ab不属于T
即ab∈V,同样地，对于某个x，y∈V，必有xy属于T。根据题意V,T中的三个元素的乘
积仍属于其本身，我们在V中选取：x，y，ab，在T中选取：a，b，xy，有abxy∈T，
abxy∈V，这与V和T不相交矛盾，故
T,V中至少有一个关于乘法封闭
10.（★★☆☆）已知，，已知是的充分条件，求实数的取值范围.
解：
11.（★★☆☆）已知是实数，求证：成立的充要条件是
证：充分性：若，则
必要性：若，则
综上得证
12.（★★☆☆）若集合，，其中为非零实数，试写出：
（1）的一个充要条件；（2）的一个必要非充分条件.
解：（1）
解得
（2)
（只要保证是它的子集）
13.（★★☆☆）已知关于的一元二次方程①：，②：，求同时使这两个方程都有实根的充要条件.
解：方程①有实数根时，其判别式=，即，且；
同理方程②有实数根时，解得
综上，都有实根时，且
反之，当且时，方程①②都有实根
故充要条件为且
14.（★★★☆）已知，，
（1）若，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得“”是“”的充要条件，若存在，求出的值，若
不存在，请说明理由。
解：（1）由题意，,
由得
要使，则
解得
（2）由题意得到
又
又
无解，故不存在
15.（★★★★）已知抛物线:，点,，求抛物线与线段有两个不同交点的充要条件.
解：线段的解析式为：
联立：
即
有两个不同交点，即此方程有两个不同的实根，且
有
解得
16.（★★★☆）已知，且，求证：中至少有一个大于1
证：用反证法，假设都小于等于1
则
矛盾，所以中至少有一个大于1
17.有甲乙丙丁四位选手参加比赛，其中有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我获奖了”，乙说：“甲、丙未获奖”丙说：“是甲或乙获奖”，丁说：“是乙获奖”，只有两位歌手说的是对的，谁获奖了？
解：甲获奖了命题与条件
知识定位
命题与条件是高中数学中的重要基础部分，只有学好命题和条件，厘清其中的关系，才能搞清今后遭遇的难题中的逻辑关系，帮助我们更顺利地解题.
知识诊断
（★★☆☆）（1）是否存在实数，使得是的充分条件？
（2）是否存在实数，使得是的必要条件？
（★☆☆☆）写出命题“，则或或”的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假
知识梳理
知识点一：四种命题形式
命题：可以判断真假的陈述句，判断为真，称之为真命题，否则为假命题。一个命题可以写成
“若，则”的形式，其中是命题的条件，是命题的结论。
一般地，若命题成立可以推出命题也成立，那么就说由，即以为条件，为结论的
命题是真命题。若且，称和等价，记为
推出关系满足传递性，即则
记“若，则”这一命题为原命题，则引出以下三种命题：
逆命题“若，则”
（2）否命题“若，则”
（3）逆否命题“若，则”
（其中“”表示否定，也常用表示的否定）
子知识点一：四个命题之间的关系：
子知识点二：注意命题的否定与命题的否命题的区别：
（1）命题的否定只否定该命题的结论，而否命题则否定原命题的条件和结论。
（2）一个命题与它的否定是完全对立的，命题真则否定假，否定假则命题真，而对
于否命题，它的真假与原命题没有直接联系，需具体分析。
（3）全称命题在否定时要改为特称命题，特称命题否定式改为全称命题，“或”在
否定时要改为“且”，“且”在否定时要改为“或”
例如：若三角形的三个内角都是锐角，则它是锐角三角形
（真）
否定：若三角形的三个内角存在锐角，则它不是锐角三角形
（假）
否命题：若三角形的三个角不都是锐角，则它不是锐角三角形
（真）
子知识点三：互为逆否关系的两个命题等价，即
原命题逆否命题，等价的两个命题同真同假。
因此当我们证明某个命题有困难时，可以考虑去证明其逆否命题，或许就豁然开朗。
知识点二：充分条件与必要条件
子知识点一：对于两个命题，若，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件。
也就是说，为了使成立，具备条件就足够了。如果既有
又有，
即，此时称是的充分必要条件，简称充要条件。
子知识点二：如何证明条件是结论的充要条件：
分两步：（1）证明充分性：条件
（2）证明必要性：结论
子知识点三：
子集与推出关系：设是非空集合，，，则
与等价.
常见题型和方法解析
1.
结合知识点一和方法
例1：（★☆☆☆）判断下列语句是否为命题，若是命题，请判断是真命题还是假命题
是无理数
（2）2+1=11.
（3）仔细读这个
（4）这个命题是假的
例2：（★☆☆☆）写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题:
（1）内接于圆的四边形对角互补；（2）则都为0.
例3：（★☆☆☆）写出下列命题的否定，并判断真假：
（1）不论取什么实数，必有实根；
（2）存在一个实数，使得.
结合知识点二和方法
例1：（★★★☆）已知关于的方程（），求方程至少有一个负根的充要条件.
试题演练
1.（★★☆☆）若不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围为_______.
2（★★☆☆）命题“等腰三角形是直角三角形”的否定形式是_________________________.
3.（★★☆☆）对任意实数，给出下列命题：①
“”是“”的充要条件；②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；③“”是“”的充分条件；④
“”是“”的必要条件.其中真命题的序号是___________.
4.（★★★☆）已知集合，，则的充要条件是_____.
5.（★★★☆），命题，命题，则是的______条件.
6.（★★☆☆）命题：若，则是的充分而不必要条件；
命题：函数的定义域是，则
（
）
A.“或”为假
B.“且”为真
C.真假
D.假真
7..（★★☆☆）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的
（
）
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
8.（★★☆☆）设，则“且”的充要条件是（
）
B.且
C.且
D.且
9.（★★★★）设S是整数集Z的非空子集，如果?a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T；?x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ）
T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的
10.（★★☆☆）已知，，已知是的充分条件，求实数的取值范围.
11.（★★☆☆）已知是实数，求证：成立的充要条件是
12.（★★☆☆）若集合，，其中为非零实数，试写出：
（1）的一个充要条件；（2）的一个必要非充分条件.
13.（★★☆☆）已知关于的一元二次方程①：，②：，求同时使这两个方程都有实根的充要条件.
14.（★★★☆）已知，，
（1）若，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得“”是“”的充要条件，若存在，求出的值，若
不存在，请说明理由。
15.（★★★★）已知抛物线:，点,，求抛物线与线段有两个不同交点的充要条件.
16.（★★★☆）已知，且，求证：中至少有一个大于1
17.有甲乙丙丁四位选手参加比赛，其中有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我获奖了”，乙说：“甲、丙未获奖”丙说：“是甲或乙获奖”，丁说：“是乙获奖”，只有两位歌手说的是对的，谁获奖了？
