对数函数
知识讲解
一、对数函数的图像与性质
①函数（，）叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下
图
象
性
质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时
时
时
时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
②对数函数的性质：定义域：；值域：R；过点，即当时，．
当时，在（0，）上是增函数；当时，在（0，）上是减函数．
二、对数函数与指数函数的关系
关系：对数函数与指数函数图像关于直线对称．
类型：指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（定义法）
（转化法）
（取对数法）
三、对数函数有关的性质
（1）与；与；与
关于对称，
（2）已知,则
（3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点．
典型例题
一．选择题（共7小题）
1．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．（﹣2，2）
C．[﹣2，2]
D．（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）
2．函数y=logx+1（8﹣2x）的定义域是（ ）
A．（﹣1，3）
B．（0，30
C．（﹣3，1）
D．（﹣1，0）∪（0，3）
3．已知t＞1，x=log2t，y=log3t，z=log5t，则（ ）
A．2x＜3y＜5z
B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x
D．3y＜2x＜5z
4．函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1
B．a≤﹣
C．a≥1或a＜﹣
D．a＞1或a≤﹣
5．函数y=logax当x＞2
时恒有|y|＞1，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．1＜a≤2
D．
6．已知函数f（x）=loga（x2﹣ax+5）（a＞0且a≠1）满足对任意实数x1，x2，当x1＜x2≤时，f（x2）﹣f（x1）＜0，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（1，+∞）
D．（0，1）
7．若函数f（x）=loga（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[，1）
B．（0，]
C．（1，）
D．[）
二．填空题（共3小题）
8．关于函数y=log2（x2﹣2x+3）有以下4个结论：
①定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）；
②递增区间为[1，+∞）；
③最小值为1；
④图象恒在x轴的上方．
其中正确结论的序号是
．
9．将按由大到小的顺序排列为
．
10．如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A的横坐标为
．
三．解答题（共2小题）
11．已知函数，函数x．
（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非负实数m、n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．
12．已知函数f（x）=loga（3﹣ax）．
（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．对数函数
知识讲解
一、对数函数的图像与性质
①函数（，）叫做对数函数，其中x是自变量，图像如下
图
象
性
质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时
时
时
时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
②对数函数的性质：定义域：；值域：R；过点，即当时，．
当时，在（0，）上是增函数；当时，在（0，）上是减函数．
二、对数函数与指数函数的关系
关系：对数函数与指数函数图像关于直线对称．
类型：指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
（定义法）
（转化法）
（取对数法）
三、对数函数有关的性质
（1）与；与；与
关于对称，
（2）已知,则
（3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点．
典型例题
一．选择题（共7小题）
1．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．（﹣2，2）
C．[﹣2，2]
D．（﹣∞﹣2）∪（2，+∞）
【解答】解：∵函数的定义域是R，
∴不等式x2+ax+1＞0恒成立，
即△=a2﹣4＜0，
∴﹣2＜a＜2，
即实数a的取值范围是（﹣2，2）．
故选：B．
2．函数y=logx+1（8﹣2x）的定义域是（ ）
A．（﹣1，3）
B．（0，30
C．（﹣3，1）
D．（﹣1，0）∪（0，3）
【解答】解：由，得﹣1＜x＜0或0＜x＜3．
∴函数y=logx+1（8﹣2x）的定义域是（﹣1，0）∪（0，3）．
故选：D．
3．已知t＞1，x=log2t，y=log3t，z=log5t，则（ ）
A．2x＜3y＜5z
B．5z＜2x＜3y
C．3y＜5z＜2x
D．3y＜2x＜5z
【解答】解：∵t＞1，∴lgt＞0．
又0＜lg2＜lg3＜lg5，
∴2x=2＞0，3y=3＞0，5z=＞0，
∴=＞1，可得5z＞2x．
=＞1．可得2x＞3y．
综上可得：3y＜2x＜5z．
故选：D．
4．函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＞1
B．a≤﹣
C．a≥1或a＜﹣
D．a＞1或a≤﹣
【解答】解：函数f（x）=与函数g（x）的图象它们恰有一个交点，f（x）图象过点（1，1）和（1，﹣2），
而，g（x）的图象恒过定点坐标为（1﹣a，0）．
从图象不难看出：到g（x）过（1，1）和（1，﹣2），它们恰有一个交点，
当g（x）过（1，1）时，可得a=1，恒过定点坐标为（0，0），往左走图象只有一个交点．
当g（x）过（1，﹣2）时，可得a=，恒过定点坐标为（，0），往右走图象只有一个交点．
∴a＞1或a≤﹣．
故选：D．
5．函数y=logax当x＞2
时恒有|y|＞1，则a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．1＜a≤2
D．
【解答】解：因为函数y=logax在x∈（2，+∞）上总有|y|＞1，
所以a分两种情况讨论，即0＜a＜1与a＞1．
①当0＜a＜1时，函数y=logax在x∈（2，+∞）上单调递减，并且有|y|＞1恒成立，
即总有y＜﹣1，则只需函数的最大值小于﹣1即可，
因为区间（2，+∞）是开区间，
所以有，
解得：≤a＜1．
②当a＞1时，函数y=logax在x∈（2，+∞）上单调递增，并且有|y|＞1恒成立，
即总有y＞1，则只需函数的最小值大于1即可，
因为区间（2，+∞）是开区间，
所以有loga2≥1，解得：1＜a≤2．
由①②可得
故选：A．
6．已知函数f（x）=loga（x2﹣ax+5）（a＞0且a≠1）满足对任意实数x1，x2，当x1＜x2≤时，f（x2）﹣f（x1）＜0，则实数a的取值范围是（ ）
A．
B．
C．（1，+∞）
D．（0，1）
【解答】解：由题意可得函数f（x）在（﹣∞，）上是减函数．
令t=x2﹣ax+5，则函数t在（﹣∞，）上是减函数，且f（x）=logat．
由复合函数的单调性规律可得a＞1，且（）2﹣a?+5≥0，
解得
1＜a≤2，
故选：A．
7．若函数f（x）=loga（2﹣ax）（a＞0a≠1）在区间（1，3）内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[，1）
B．（0，]
C．（1，）
D．[）
【解答】解：令y=logat，t=2﹣ax，
∵a＞0
∴t=2﹣ax在（1，3）上单调递减
∵f（x）=loga（2﹣ax）（a＞0，a≠1）在区间（1，3）内单调递增
∴函数y=logat是减函数，且t（x）＞0在（1，3）上成立
∴
∴0＜a≤
故选：B．
二．填空题（共3小题）
8．关于函数y=log2（x2﹣2x+3）有以下4个结论：
①定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）；
②递增区间为[1，+∞）；
③最小值为1；
④图象恒在x轴的上方．
其中正确结论的序号是 ②③④ ．
【解答】解：函数y=log2（x2﹣2x+3），
对于结论①定义域为（﹣∞，﹣3]∪（1，+∞）．因为：x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2恒大于0，所以定义域为R．所以结论①是错误的．
对于结论②递增区间为[1，+∞）；设t=x2﹣2x+3，在区间[1，+∞）上抛物线是增函数则t＞2．又对数函数在t＞2也为增函数，故增区间为[1，+∞），正确．
对于结论③最小值为1，因为复合对数函数f（t）=log2t是关于t的增函数，则t取最小值f（t）最小．对于函数t=x2﹣2x+3在x=1处取得最小值，即t=2．代入f（2）=log22=1，所以函数y=log2（x2﹣2x+3）的最小值为1，即结论正确．
对于结论④图象恒在x轴的上方，因为结论③最小值为1正确，而最小值1在X轴上方，故结论正确．
故答案为②③④．
9．将按由大到小的顺序排列为 a＞c＞b ．
【解答】解：∵0＜a=0.50.1＜1，b=log40.1＜0，c=0.40.1＜0.50.1=a．
∴a＞c＞b，
故答案为：a＞c＞b．
10．如图，已知A，B是函数f（x）=log2（16x）图象上的两点，C是函数g（x）=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），则点A的横坐标为 ．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），
则y1=log2（16x1），y2=log2（16x2），
y3=log2x3，x2=x3，
△ABC是等腰直角三角形（其中A为直角顶点），
可得y2﹣y3=2（x2﹣x1），
y2+y3=2y1，
即有log2（16x2）﹣log2x3=2（x2﹣x1），
log2（16x2）+log2x3=2log2（16x1），
化简可得x2﹣x1=2，
log2x2=2+log2x1，
即为2+x1=4x1，
解得x1=，
故答案为：．
三．解答题（共2小题）
11．已知函数，函数x．
（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在非负实数m、n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．
【解答】解：（1）∵，
∴，
令u=mx2+2x+m，则，
当m=0时，u=2x，的定义域为（0，+∞），不满足题意；
当m≠0时，若的定义域为R，
则，
解得m＞1，
综上所述，m＞1
…（4分）
（2）=，x∈[﹣1，1]，
令，则，y=t2﹣2at+3，
∵函数y=t2﹣2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线，
故当时，时，；
当时，t=a时，；
当a＞2时，t=2时，h（a）=ymin=7﹣4a．
综上所述，…（10分）
（3），
假设存在，由题意，知
解得，
∴存在m=0，n=2，使得函数的定义域为[0，2]，值域为[0，4]…（12分）
12．已知函数f（x）=loga（3﹣ax）．
（1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围；
（2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题设，3﹣ax＞0对一切x∈[0，2]恒成立，a＞0且a≠1，…（2分）
∵a＞0，∴g（x）=3﹣ax在[0，2]上为减函数，…（4分）
从而g（2）=3﹣2a＞0，
∴，
∴a的取值范围为．…（6分）
（2）假设存在这样的实数a，由题设知f（1）=1，
即loga（3﹣a）=1，∴，
此时，…（10分）
当x=2时，f（x）没有意义，故这样的实数不存在．…（12分）
