函数的单调性
知识讲解
一、函数单调性的定义
1.定义
如果函数对区间内的任意，当时都有，则称在内是增函数；当时都有，则在内时减函数．
2.等价形式
设，那么在是增函数；
在是减函数；
在是减函数．
3.应用
即若在区间上递增（递减）且（）；
若在区间上递递减且．（）．
1.比较函数值的大小．
2.可用来解不等式．
3.求函数的值域或最值等
二、单调性判别
1.判断前注意
讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
2.用于判断的方法
定义法：
用定义法证明函数单调性的一般步骤：
①取值：即设，是该区间内的任意两个值，且
②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
③定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．
④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．
子区间法：如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数；
图象法：
复合性质法：复合函数的单调性结论：“同增异减”
；
运算性质法：在公共定义域内
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数．
特殊函数：函数在上单调递增；在上是单调递减．
经典例题
一．解答题（共16小题）
1．画出函数y=x2﹣|x|的图象并指出其单调区间．
2．已知函数，求：
（1）函数的定义域，奇偶性并作出大致图象；
（2）写出函数的单调区间．
3．已知函数f（x）=x|x﹣2|．
（Ⅰ）写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅲ）设0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值．
4．已知函数f（x）=|x2﹣4x+3|．
（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；
（2）求集合M={m|m使方程f（x）=mx有四个不相等的实根}．
5．证明函数在[1，+∞）上是增函数．
6．判断并证明函数f（x）=在区间（﹣1，0）上的单调性．
7．判断并证明f（x）=在（0，+∞）的单调性．
8．已知函数，x∈[﹣5，﹣2]．
（1）利用定义法判断函数的单调性；
（2）求函数值域．
9．证明函数在R上为增函数．
10．已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判断f（x）的单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5﹣2m），试确定m的取值范围．
11．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+2+a（a＜0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值1．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f（x）﹣mx在[2，4]上单调，求数m的取值范围．
12．设函数f（x）=，其中a∈R．
（1）若a=1，f（x）的定义域为区间[0，3]，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）的定义域为区间（0，+∞），求a的取值范围，使f（x）在定义域内是单调减函数．
13．对于区间[a，b]和函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y=f（x），x∈[a，b]的值域还是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“不变”区间．
（1）求函数y=x2（x≥0）的所有“不变”区间．
（2）函数y=x2+m（x≥0）是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
14．已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x）是减函数，且f（a﹣1）＞f（2a），求a的取值范围．
15．已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），求a的取值范围．
16．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=
（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．函数的单调性
知识讲解
一、函数单调性的定义
1.定义
如果函数对区间内的任意，当时都有，则称在内是增函数；当时都有，则在内时减函数．
2.等价形式
设，那么在是增函数；
在是减函数；
在是减函数．
3.应用
即若在区间上递增（递减）且（）；
若在区间上递递减且．（）．
1.比较函数值的大小．
2.可用来解不等式．
3.求函数的值域或最值等
二、单调性判别
1.判断前注意
讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集；
2.用于判断的方法
定义法：
用定义法证明函数单调性的一般步骤：
①取值：即设，是该区间内的任意两个值，且
②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．
③定号：确定差（或）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．
④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．
子区间法：如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数；
图象法：
复合性质法：复合函数的单调性结论：“同增异减”
；
运算性质法：在公共定义域内
增函数增函数是增函数；
减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；
减函数增函数是减函数．
特殊函数：函数在上单调递增；在上是单调递减．
经典例题
一．解答题（共16小题）
1．画出函数y=x2﹣|x|的图象并指出其单调区间．
【解答】解：由已知可得y=|x|2﹣|x|，该图象可由y=x2﹣x的图象
保留y轴右边的部分，并作关于y轴的对称可得．
由图象可得函数在（﹣∞，）单调递减，（，0）单调递增，
（0，）单调递减，（，+∞）单调递增．
2．已知函数，求：
（1）函数的定义域，奇偶性并作出大致图象；
（2）写出函数的单调区间．
【解答】解：（1）由|2x|﹣1≠0，可得x≠±，
∴函数的定义域为{x|x≠±}；
f（﹣x）==，
∴函数是偶函数；
图象如图所示；
（2）函数的单调递增区间为
（﹣∞，﹣），（﹣，0）；单调递减区间为（0，），（，+∞）．
3．已知函数f（x）=x|x﹣2|．
（Ⅰ）写出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）解不等式f（x）＜3；
（Ⅲ）设0＜a≤2，求f（x）在[0，a]上的最大值．
【解答】解：（1）函数f（x）=x|x﹣2|=
∴f（x）的单调增区间是（﹣∞，1]和[2，+∞）；单调减区间是[1，2]．
（2）不等式f（x）＜3，即
x|x﹣2|＜3，∴，或，
∴2≤x＜3
或
x＜2，∴不等式f（x）＜3的解集为{x|x＜3
}．
（3）当0＜a≤1
时，f（x）是[0，a]上的增函数，此时f（x）在[0，a]上的最大值是
f（a）=a（2﹣a）．
当1＜a≤2
时，f（x）在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，
此时，f（x）在[0，a]上的上的最大值是
f（1）=1．
综上，当0＜a≤1
时，此时f（x）在[0，a]上的
上的最大值是
f（a）=a（2﹣a）．
当1＜a≤2
时，f（x）在[0，a]上的
上的最大值是1．
4．已知函数f（x）=|x2﹣4x+3|．
（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；
（2）求集合M={m|m使方程f（x）=mx有四个不相等的实根}．
【解答】解：（1）f（x）=|（x﹣2）2﹣1|，函数图象如图，
∴f（x）的单调递增区间是（1，2），（3，+∞），单调递减区间是（﹣∞，1），（2，3）；
（2）由图象，考虑y=mx与抛物线相切时，m=4﹣2，
∵y=mx与图象有四个交点，
∴0＜m＜4﹣2，即使方程f（x）=mx有四个不相等的实根时，0＜m＜4﹣2，
∴M={m|0＜m＜4﹣2}．
5．证明函数在[1，+∞）上是增函数．
【解答】证明：任取x1，x2∈[1，+∞）且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣（）=（x1﹣x2）…（5分）
∵x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增；…（10分）
6．判断并证明函数f（x）=在区间（﹣1，0）上的单调性．
【解答】解：根据题意，函数f（x）=在区间（﹣1，0）上单调递增，
证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜0，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
又由﹣1＜x1＜x2＜0，
则x2﹣x1＞0，x2+x1＜0，x12﹣1＜0，x22﹣1＜0，
则有f（x1）﹣f（x2）＜0，
则函数f（x）=在区间（﹣1，0）上单调递增．
7．判断并证明f（x）=在（0，+∞）的单调性．
【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）递增，
证明如下：
由f（x）==1﹣，
令x1＞x2＞0，
则f（x1）﹣f（x2）
=1﹣﹣1+
=，
∵x1＞x2＞0，
∴x1﹣x2＞0，x1+x2＞0，+1＞0，+1＞0，
故f（x1）﹣f（x2）＞0，
故f（x）在（0，+∞）递增．
8．已知函数，x∈[﹣5，﹣2]．
（1）利用定义法判断函数的单调性；
（2）求函数值域．
【解答】解：（1）任取x1，x2∈[﹣5，﹣2]，且x1＜x2，
则=，
由x1﹣x2＜0，x1+1＜0，x2+1＜0，
所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以y=f（x）在[﹣5，﹣2]上单调递增．
（2）由（1）知，
f（x）max=f（﹣2）=6，
所以函数y=f（x）的值域为[，6]．
9．证明函数在R上为增函数．
【解答】解：法1：f（x）==1﹣，
∵y=2x+1是R上的增函数，
∴y=是R上的减函数，
y=﹣是R上的增函数，
则f（x）是R上的增函数．
法2：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵x1＜x2，
∴＜
则f（x1）﹣f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在R上为增函数．
10．已知函数f（x）=，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判断f（x）的单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5﹣2m），试确定m的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）==x+a+，x∈[1，+∞），且a＜1，
∴当x≥1时，f′（x）=1﹣≥0，故函数f（x）在∈[1，+∞）上单调递增．
（2）若m满足f（3m）＞f（5﹣2m），结合函数f（x）在∈[1，+∞）上单调递增，
可得3m＞5﹣2m≥1，求得1＜m≤2，故实数m的取值范围为（1，2]．
11．已知函数f（x）=ax2﹣2ax+2+a（a＜0），若f（x）在区间[2，3]上有最大值1．
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f（x）﹣mx在[2，4]上单调，求数m的取值范围．
【解答】解：（1）因为函数的图象是抛物线，a＜0，
所以开口向下，对称轴是直线x=1，
所以函数f（x）在[2，3]单调递减，
所以当x=2时，ymax=f（2）=2+a=1，
∴a=﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）因为a=﹣1，∴f（x）=﹣x2+2x+1，
所以g（x）=f（x）﹣mx=﹣x2+（2﹣m）x+1，
，
∵g（x）在[2，4]上单调，
∴，
从而m≤﹣6，或m≥﹣2
所以，m的取值范围是（﹣∞，﹣6]∪[﹣2，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分），
12．设函数f（x）=，其中a∈R．
（1）若a=1，f（x）的定义域为区间[0，3]，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）的定义域为区间（0，+∞），求a的取值范围，使f（x）在定义域内是单调减函数．
【解答】解：f（x）===a﹣，
设x1，x2∈R，则f（x1）﹣f（x2）=﹣
=．
（1）当a=1时，f（x）=1﹣，设0≤x1＜x2≤3，
则f（x1）﹣f（x2）=，
又x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在[0，3]上是增函数，
∴f（x）max=f（3）=1﹣=，f（x）min=f（0）=1﹣=﹣1．
（2）设x1＞x2＞0，则x1﹣x2＞0，x1+1＞0，x2+1＞0．
若使f（x）在（0，+∞）上是减函数，只要f（x1）﹣f（x2）＜0，而f（x1）﹣f（x2）=，
∴当a+1＜0，即a＜﹣1时，有f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2）．
∴当a＜﹣1时，f（x）在定义域（0，+∞）内是单调减函数．
13．对于区间[a，b]和函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在[a，b]上是单调函数；②函数y=f（x），x∈[a，b]的值域还是[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“不变”区间．
（1）求函数y=x2（x≥0）的所有“不变”区间．
（2）函数y=x2+m（x≥0）是否存在“不变”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）易知函数y=x2（x≥0）单调递增，
故有，解得a=0或1，b=0或1，又a＜b，∴．
所以函数y=x2（x≥0）的“不变”区间为[0，1]．
（2）易知函数y=x2+m（x≥0）单调递增，若函数y=x2+m（x≥0）存在“不变”区间，
则有b＞a≥0，且，
消去m得a2﹣b2=a﹣b，整理得（a﹣b）（a+b﹣1）=0．
因为a＜b，所以a+b﹣1=0，即b=1﹣a．
又由b＞a≥0，得1﹣a＞a≥0，∴．
所以，∴．
综上，当时，函数y=x2+m（x≥0）存在“不变”区间．
14．已知定义在（﹣1，1）上的函数f（x）是减函数，且f（a﹣1）＞f（2a），求a的取值范围．
【解答】解：依题意得
解得．
15．已知y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），求a的取值范围．
【解答】解：∵y=f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，
且f（1﹣a）＜f（2a﹣1），
∴1＞1﹣a＞2a﹣1＞﹣1，
解得：0＜a＜．
16．已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=
（1）若f（﹣1）=0，且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）=f（x）﹣kx是单调函数，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（﹣1）=0，
∴a﹣b+1=0，①
∵函数f（x）的值域为[0，+∞），
∴a＞0且判别式△=0，即b2﹣4a=0，②
由①②得a=1，b=2．
∴f（x）=ax2+bx+1═x2+2x+1．
∴F（x）=．
（2）g（x）=f（x）﹣kx=x2+（2﹣k）x+1，
函数的对称轴为x=，
要使函数g（x）=f（x）﹣kx，在x∈[﹣2，2]上是单调函数，
则区间[﹣2，2]必在对称轴的一侧，
即或，
解得k≥6或k≤﹣2．
即实数k的取值范围是k≥6或k≤﹣2．
