函数及其表示
知识讲解
一、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，其中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
注意（1）“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”；
（2）函数符号“”中的表示与对应的函数值，一个数，而不是乘．
二、函数的三要素
1.定义域三种形式
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数等等）；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义．
2.求值域方法
①配方法（将函数转化为二次函数）；
②判别式法（将函数转化为二次方程）；
③不等式法（运用不等式的各种性质）；
④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）．
三、两个函数的相等
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则．
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
四、区间
1.区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
2.无穷区间；
3.区间的数轴表示．
五、映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射．记作“”．
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射．
注意：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
六、函数的表示方法
解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
七、分段函数
定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．
1.分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式．
2.分段函数的图像可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几段线段．
3.分段函数的值域，也就是各部分上的函数值集合的并集．
4.分段函数虽然有几部分组成，但它仍是一个函数．
八、复合函数
若，,，，那么称为复合函数，称为中间变量，它的取值范围是的值域．
九、函数图像的作法
1.描点法：列表、描点、用光滑的曲线连线．
2.变化作图法
①平移：；
②对称：；
；
③其他：
经典例题
一．填空题（共2小题）
1．已知f（x）的定义域是[0，4]，则f（x+1）+f（x﹣1）的定义域 [1，3] ；f（x+1）的定义域是[0，4]，则f（2x﹣1）的定义域为 [1，3] ．
【解答】解：（1）由题意得：，解得：1≤x≤3；
（2）∵0≤x≤4，∴1≤x+1≤5，
∴1≤2x﹣1≤5，解得：1≤x≤3；
故答案为：[1，3]，[1，3]．
2．已知函数f（3x+2）的定义域是（﹣2，1），则函数f（x2）﹣f（x+）的定义域为 （﹣，） ．
【解答】解：∵函数f（3x+2）的定义域是（﹣2，1），
即﹣2＜x＜1，
∴﹣4＜3x+2＜5，
∴函数f（x）的定义域为（﹣4，5），
由，解得．
∴函数f（x2）﹣f（x+）的定义域为（）．
故答案为：（﹣，）．
二．解答题（共21小题）
3．求下列函数的定义域
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）要使函数有意义，则，即，即x≥1或x＜﹣1．
∴函数的定义域为{x|x≥1或x＜﹣1}．
（2）要使函数有意义，则，即，
∴，即3＜x≤4或﹣1≤x＜2．
∴函数的定义域为为[﹣1，2）∪（3，4]
故答案为（1）{x|x＜﹣1或x≥1}（2）[﹣1，2）∪（3，4]
4．已知f（x）的定义域为，求函数的定义域．
【解答】解：∵f（x）的定义域为，
∴由，得
，解得或1≤x≤．
∴函数的定义域为[]∪[1，]．
5．判断下列各组函数是否为相等函数：
（1）f（x）=f（x）=，g（x）=x﹣5；
（2）f（x）=2x+1（x∈Z），g（x）=2x+1（x∈R）；
（3）f（x）=|x+1|，g（x）=．
【解答】解：（1）（2）不是，（3）是．
对于（1），f
（x）的定义域为{x|x≠﹣3}，g（x）的定义域为R；
对于（2），f（x）的定义域为Z，g（x）的定义域为R，
所以（1）（2）中两组函数均不是相等函数；
对于（3），两函数的定义域、对应关系均相同，故为相等函数．
6．已知不等式（2+x）（3﹣x）≥0的解集为A，函数f（x）=（k＜0）的定义域为B．
（1）求集合A；
（2）若B?A，试求实数k的取值范围；
（3）若B=[x1，x2]且x1＜x2，又（x1+1）（x2+1）=﹣4，求x2﹣x1的值．
【解答】解：（1）由（2+x）（3﹣x）≥0得﹣2≤x≤3，即A=[﹣2，3]．
（2）要使函数有意义，则kx2+4x+k+3≥0，
若B?A，设g（x）=kx2+4x+k+3，（k＜0），
则满足，
即，
解得﹣4≤k≤．
（3）要使函数有意义，则kx2+4x+k+3≥0，
若B=[x1，x2]且x1＜x2＜0，
则x1，x2是方程kx2+4x+k+3=0的两个根且x1＜x2＜0，
则x1+x2=，x1x2=，
∵（x1+1）（x2+1）=4，
∴x1x2+x1+x2=3，
即==3，
则k=．
则x1+x2==8，x1x2==﹣5，
则（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=64﹣4×（﹣5）=84，
∵x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，
则x1﹣x2==﹣．
7．求下列函数的定义域和值域
（1）
（2）．
【解答】解：（1）要使函数有意义，则4﹣x≠0，即x≠4，
∴函数的定义域为{x|x≠4}，
由=，
∵x≠4，，∴≠1，
即函数的值域为{y|y≠﹣1}．
（2）要使函数有意义，则x+1≥0，即x≥﹣1，
∴函数的定义域为{x|x≥﹣1}，
设t=，则t2=x+1，即x=t2﹣1，
∴y=2t2﹣2+t=2（），
∵t≥0，
∴函数在[0，+∞）上单调递增，即y≥﹣2．
∴函数的值域为{y|y≥﹣2}．
8．（1）已知函数y=f（x）的定义域为[﹣1，2]，求函数y=f（1﹣x2）的定义域．
（2）已知函数y=f（2x﹣3）的定义域为（﹣2，1]，求函数y=f（x）的定义域．
【解答】解：（1）因为函数y=f（x）的定义域是[﹣1，2]，
所以函数
f（1﹣x2）中﹣1≤1﹣x2≤2，
∴﹣1≤x2≤2，
即x∈[﹣，]，
∴f（1﹣x2）的定义域为[﹣，]．
（2）∵函数y=f（2x﹣3）的定义域为（﹣2，1]，
∴﹣2＜x≤1，﹣4＜2x≤2，﹣7＜2x﹣3≤﹣1，
即函数y=f（x）的定义域为（﹣7，﹣1]．
9．已知f（x）=．
（1）若f（x）定义域为R，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）定义域为（﹣6，2），求实数k的值；
（3）若f（x）值域为（0，+∞），求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）若f（x）定义域为R，则kx2+4kx+3＞0恒成立，
故k=0，或，
解得：k∈[0，）；
（2）若f（x）定义域为（﹣6，2），则﹣6，2是一元二次方程kx2+4kx+3=0的两根，
由韦达定理得：﹣6×2=﹣12=，解得：k=﹣，
（3）若f（x）值域为（0，+∞），
故二次函数t=kx2+4kx+3的图象开口朝上，且与x轴仅有交点，
故，
解得：k≥．
10．设函数f（x）=．
（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=，
由|x﹣1|+|x﹣2|﹣5≥0，
得或或，
解得：x≥4或x≤﹣1，
即函数f（x）的定义域为{x|x≤﹣1或x≥4}．
（2）由题可知|x﹣1|+|x﹣2|﹣a≥0恒成立，
即a≤|x﹣1|+|x﹣2|恒成立，
而|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）+（2﹣x）|=1，
所以a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]．
11．当x＞0时，求函数的值域．
【解答】解：∵x＞0，x+1＞0
∴函数===2（当且仅当x=时取等号）
故得原式函数的值域为[，+∞）．
12．已知函数f（x）=．
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）①若1﹣a2=0，则a=±1．
（Ⅰ）当a=1时，，定义域为R，符合要求．
（Ⅱ）当a=﹣1时，，定义域不为R．
②若1﹣a2≠0，g（x）=（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6为二次函数，
∵f（x）定义域为R，
∴g（x）≥0对任意x∈R恒成立．
∴．
综合①②得，实数a的取值范围是
（2）∵f（x）的值域为[0，+∞），
∴函数
g（x）=（1﹣a2）x2+3（1﹣a）x+6取一切非负实数．
∴．
当a=﹣1时，的值域是[0，+∞），符合题意．
故所求实数a的取值范围是．
13．已知函数f（x）=x2﹣4ax+2a+6（a∈R）．
（1）若函数的值域为[0，+∞），求a的值；
（2）若函数值为非负数，求函数f（a）=2﹣a|a+3|的值域．
【解答】解：（1）∵函数的值域为[0，+∞），
即二次函数f（x）=x2﹣4ax+2a+6图象不在x轴下方，
∴△=0，即16a2﹣4（2a+6）=0，
∴2a2﹣a﹣3=0，
解得a=﹣1或a=；
（2）由（1）知，对一切x∈R函数值均为非负数，
∴△≤0，即﹣1≤a≤；
∴a+3＞0；
∵f（a）=2﹣a|a+3|=﹣a2﹣3a+2=﹣2+，其中
；
∴二次函数f（a）在上单调递减．
∴f≤f（a）≤f（﹣1），即﹣≤f（a）≤4，
∴f（a）的值域为．
14．设函数f（x）=，函数g（x）=ax+5﹣2a（a＞0）．
（1）求函数f（x）=的值域；
（2）若对于任意的x1∈R，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当x=0时，f（x）=0，
当x≠0时，f（x）==，
若x＞0，则f（x）=（当且仅当x=1时取“=”），
若x＜0，则f（x）=（当且仅当x=﹣1时取“=”）．
∴函数f（x）=的值域为{y|﹣1≤y≤1}；
（2）由（1）得：A={f（x）|x∈R}=[﹣1，1]，
又B={g（x）|x∈[0，1]}=[5﹣2a，5﹣a]．
依题意A?B，即，
解得：3≤a≤4，
∴实数a的取值范围是[3，4]．
15．已知函数f（x）=；
（1）若f（x）的定义域为
（﹣∞，+∞），求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），求实数a的取值范围．
【解答】（1）依题意可得：（a2﹣1）x2+（a+1）x+1≥0对一切x∈R恒成立；
当a2﹣1=0时，即a=1或a=﹣1；
①10a=1：；
②20a=﹣1：1≥0，显然符合；
当a2﹣1≠0时，即a≠1且a≠﹣1；，
解得：，
∴a＜﹣1或．
由①②得：
（2）依题意可得：只要t=（a2﹣1）x2+（a+1）x+1能取到所有的正数；
①当a2﹣1=0即a=1或a=﹣1
10a=1，
所以a=1符合
a=﹣1不符合．
②当a2﹣1≠0时，即a≠1且a≠﹣1时，
；
故由①②1≤a≤．
16．已知二次函数f（x）满足f（x+1）=2x2+x，试求：
（1）解不等式f（x）＞0；
（
2）若x∈[0，2]，试求函数f（x）的值域．
【解答】解：由f（x+1）=2x2+x=2（x+1）2﹣3（x+1）+1，
得f（x）=2x2﹣3x+1，
（1）由2x2﹣3x+1＞0
得＜x＜1，
∴不等式解集为（，1）；
（2）由（1）可知f（x）=2x2﹣3x+1，
其对称轴x=，开口向上，
∵x∈[0，2]，
∴当x=时，f（x）有最小值为：．
当x=2时，f（x）有最大值为3．
所以，值域为[，3]．
17．求下列函数f（x）的解析式．
（1）已知一次函数f（x）满足f（f（x））=4x﹣1，求f（x）；
（2）已知f（1﹣x）=2x2﹣x+1，求f（x）．
【解答】解：（1）根据题意，设f（x）=ax+b，
f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=4x﹣1，
则有，解可得或；
则f（x）=2x﹣或f（x）=﹣2x+1；
（2）根据题意，f（1﹣x）=2x2﹣x+1，
设1﹣x=t，则x=1﹣t，
则f（t）=2（1﹣t）2﹣（1﹣t）+1=2t2﹣3t+2，
则f（x）=2x2﹣3x+2．
18．（1）已知f（+1）=x+2，求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）的解析式．
【解答】解：（1）=；
∴f（x）=x2﹣1，x≥1；
（2）设f（x）=kx+b，则：
f（x+1）=kx+b+k，f（x﹣1）=kx+b﹣k；
∴3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=kx+b+5k=2x+17；
∴；
∴k=2，b=7；
∴f（x）=2x+7．
19．已知函数 f（x）=2x﹣1，g（x）=，求f[g（x）]和g[f（x）]的解析式．
【解答】解：当x≥0时，g（x）=x2，f[g（x）]=2x2﹣1，
当x＜0时，g（x）=﹣1，f[g（x）]=﹣2﹣1=﹣3，
∴f[g（x）]=，
∵当2x﹣1≥0，即x≥时，g[f（x）]=（2x﹣1）2，
当2x﹣1＜0，即x＜时，g[f（x）]=﹣1，
∴g[f（x）]=．
20．（1）已知f（x）=x2﹣1，g（x）=，求f[g（x）]和g[f（x）]的表达式．
（2）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）=2f（）﹣1，求f（x）的表达式．
【解答】解：（1）当x＞0时，g（x）=x﹣1，
故f[g（x）]=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x；
当x＜0时，g（x）=2﹣x，
故f[g（x）]=（2﹣x）2﹣1=x2﹣4x+3；
∴f[g（x）]=，
当x＞1或x＜﹣1时，f（x）＞0，
故g[f（x）]=1﹣f（x）=2﹣x2；
当﹣1＜x＜1时，f（x）＜0，
故g[f（x）]=2﹣f（x）=3﹣x2．
∴g[f（x）]=
（2）由题意知f（x）=2f（）﹣1，用代替x，得f（）=2f（x）﹣1，
将f（）=﹣1代入f（x）=2f（）﹣1中，
即f（x）=2×（﹣1）﹣1，
求得f（x）=+．
21．作出函数y=|2|1﹣x|﹣2|的图．
【解答】解：y=|2|1﹣x|﹣2|=，
图象如图所示
22．已知函数f（x）=x|m﹣x|（x∈R），且f（4）=0．
（1）求实数m的值；
（2）作出函数f（x）的图象；
（3）根据图象指出f（x）的单调递减区间；
（4）若方程函数y=f（x）﹣a有且只有一个零点，求a的取值范围．
【解答】（本小题满分14分）
解：（1）因为f（4）=0，
所以4|m﹣4|=0，即m=4．
（2）f（x）=x|x﹣4|=，
f（x）的图象如图所示．
（3）f（x）的减区间是[2，4]．
（4）从f（x）的图象可知，
当a＞4或a＜0时，f（x）的图象与直线y=a只有一个交点，
方程f（x）=a只有一个实数根，
即a的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）．
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|．
（Ⅰ）画出函数f（x）的图象；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥对任意实数m≠﹣1，求实数x的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由零点分段法，
得f（x）=，
函数f（x）的图象如图所示：
（Ⅱ）≤=2，
当且仅当（3m+1）（1﹣m）≤0，
且|3m+1|≥|1﹣m|，m≠﹣1，
即m≥1或m＜﹣1时，取等号，
由不等式f（x）≥对任意实数m≠=﹣1恒成立，得|x+1|﹣|x﹣3|≥2，
由（Ⅰ）中图象，可知x≥2，
所以实数x的取值范围是{x|x≥2}函数及其表示
知识讲解
一、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数．记作：，其中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
注意（1）“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”；
（2）函数符号“”中的表示与对应的函数值，一个数，而不是乘．
二、函数的三要素
1.定义域三种形式
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数等等）；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义．
2.求值域方法
①配方法（将函数转化为二次函数）；
②判别式法（将函数转化为二次方程）；
③不等式法（运用不等式的各种性质）；
④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）．
三、两个函数的相等
函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则．
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．
四、区间
1.区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
2.无穷区间；
3.区间的数轴表示．
五、映射的概念
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射．记作“”．
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射．
注意：
（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．
（2）“都有唯一”什么意思？
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
六、函数的表示方法
解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；
列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．
七、分段函数
定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．
1.分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式．
2.分段函数的图像可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几段线段．
3.分段函数的值域，也就是各部分上的函数值集合的并集．
4.分段函数虽然有几部分组成，但它仍是一个函数．
八、复合函数
若，,，，那么称为复合函数，称为中间变量，它的取值范围是的值域．
九、函数图像的作法
1.描点法：列表、描点、用光滑的曲线连线．
2.变化作图法
①平移：；
②对称：；
；
③其他：
经典例题
一．填空题（共2小题）
1．已知f（x）的定义域是[0，4]，则f（x+1）+f（x﹣1）的定义域 [1，3] ；f（x+1）的定义域是[0，4]，则f（2x﹣1）的定义域为 ．
2．已知函数f（3x+2）的定义域是（﹣2，1），则函数f（x2）﹣f（x+）的定义域为 ．
二．解答题（共21小题）
3．求下列函数的定义域
（1）；
（2）．
4．已知f（x）的定义域为，求函数的定义域．
5．判断下列各组函数是否为相等函数：
（1）f（x）=f（x）=，g（x）=x﹣5；
（2）f（x）=2x+1（x∈Z），g（x）=2x+1（x∈R）；
（3）f（x）=|x+1|，g（x）=．
6．已知不等式（2+x）（3﹣x）≥0的解集为A，函数f（x）=（k＜0）的定义域为B．
（1）求集合A；
（2）若B?A，试求实数k的取值范围；
（3）若B=[x1，x2]且x1＜x2，又（x1+1）（x2+1）=﹣4，求x2﹣x1的值．
7．求下列函数的定义域和值域
（1）
（2）．
8．（1）已知函数y=f（x）的定义域为[﹣1，2]，求函数y=f（1﹣x2）的定义域．
（2）已知函数y=f（2x﹣3）的定义域为（﹣2，1]，求函数y=f（x）的定义域．
9．已知f（x）=．
（1）若f（x）定义域为R，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）定义域为（﹣6，2），求实数k的值；
（3）若f（x）值域为（0，+∞），求实数k的取值范围．
10．设函数f（x）=．
（1）当a=5时，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，试求a的取值范围．
11．当x＞0时，求函数的值域．
12．已知函数f（x）=．
（1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），求实数a的取值范围．
13．已知函数f（x）=x2﹣4ax+2a+6（a∈R）．
（1）若函数的值域为[0，+∞），求a的值；
（2）若函数值为非负数，求函数f（a）=2﹣a|a+3|的值域．
14．设函数f（x）=，函数g（x）=ax+5﹣2a（a＞0）．
（1）求函数f（x）=的值域；
（2）若对于任意的x1∈R，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的取值范围．
15．已知函数f（x）=；
（1）若f（x）的定义域为
（﹣∞，+∞），求实数a的取值范围；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），求实数a的取值范围．
16．已知二次函数f（x）满足f（x+1）=2x2+x，试求：
（1）解不等式f（x）＞0；
（
2）若x∈[0，2]，试求函数f（x）的值域．
17．求下列函数f（x）的解析式．
（1）已知一次函数f（x）满足f（f（x））=4x﹣1，求f（x）；
（2）已知f（1﹣x）=2x2﹣x+1，求f（x）．
18．（1）已知f（+1）=x+2，求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）的解析式．
19．已知函数 f（x）=2x﹣1，g（x）=，求f[g（x）]和g[f（x）]的解析式．
20．（1）已知f（x）=x2﹣1，g（x）=，求f[g（x）]和g[f（x）]的表达式．
（2）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）=2f（）﹣1，求f（x）的表达式．
21．作出函数y=|2|1﹣x|﹣2|的图．
22．已知函数f（x）=x|m﹣x|（x∈R），且f（4）=0．
（1）求实数m的值；
（2）作出函数f（x）的图象；
（3）根据图象指出f（x）的单调递减区间；
（4）若方程函数y=f（x）﹣a有且只有一个零点，求a的取值范围．
23．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣3|．
（Ⅰ）画出函数f（x）的图象；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥对任意实数m≠﹣1，求实数x的取值范围．
