(共23张PPT)
—人人学有价值的数学； —人人都能获得必需的数学； —不同的人在数学上得到不同发展；
《义务教育课程标准实验教科书》沪科版七年级下
1.我们现已学过哪些运算？
2.加法与减法这两种运算之间有什么关系？乘法与除法之间有什么关系？
3.乘方有没有逆运算？
（加、减、乘、除、乘方五种）
（互为逆运算）
思考：
如图是一个地面面积为36平方米的正方形展厅,问:它的地面边长应是多少
思考与探索：
1.一个数的平方是9，这个数是什么数？
2.一个数的平方是 ，这个数是多少？
3.填空：
①（ ）2 = 16 ②（ ）2 =
③ ( ) 2 = 0 ④（ ）2 = 0.49
∵ （±1.2）2=1.44 ∴ ±1.2叫做1.44的平方根
∵ （±2）2=4 ∴ ±2叫做4的平方根
∵ x = a ∴ x叫做a的平方根
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数
叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
解：∵（±7）2=49 ∴ ±7叫做49的平方根
∵（± ）2= ∴ ± 叫做 的平方根
∵ 02 = 0 ∴ 0叫做0的平方根
概念引入
请分别说出49， ，0的平方根
∵ （ ）2 = 0 ， ∴ 0的平方根是（ ）
知识源于
悟
∵ （ ）2等于 -4 ， ∴ -4 （ ）平方根
∵ （±1.2）2=1.44 ∴ 1.44的平方根是（ ）
∵ （±2）2=4 ∴ 4的平方根是（ ）
0
0
不存在
±1.2
±2
没有
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根.
平方根的性质：
开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
让我们一起来表示一个数的平方根
正的平方根用 来表示，（读做“根号a”）
即：正数a的平方根表示为± （读做“正、负根号a” ）
如：49的平方根表示为 ，
即 = ± 7
跟我学
对于
正数a
负的平方根用 “ ”表示（读做“负根号a” ），
其中a叫做被开方数。
（1）下列各数是否有平方根，请说明理由
① （-3）2 ② 0 2 ③ -0.01 2
（2） 下列说法对不对？为什么？
① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根
③ 任何数都有平方根
④ 若 a＞0，a有两个平方根，它们互为相反数
解：（1） （-3）2 和0 2有平方根，因为（-3）2 和0 2是非负数。
- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。
（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；
零的平方根是零；
负数没有平方根。
练一练
(1) 9 (2) (3) 0.36 (4)
例1 求下列各数的平方根：
（1）
解：
求一个数的平方根的运算叫做
开平方。开平方是平方的逆运算。
∵（±3） =9
(3) ∵（±0.6） =0.36
(2) ∵（± ） =1/4
(4) ∵（±4/3） =16/9
解：
（2）对；
（1）错 100的平方根是 ；
（3）错 因为 ，所以 的平方根是 ；
（4）对。
例2 判断正误，并把错的改正：
（1）100的平方根是10；
（2）非负数（正数和零统称非负数）一定有平方根；
（3） 的平方根是 ；
（4） 2 的平方根是 ；
想一想,做一做
填空:
(1)
(2)
(3)
(4)
注意:
不能出现
∵（ ） =1
∵（ ） =64
∵（ ) =36/25
∵ （ ) =0.04
即36/25的平方根是 。
要做的面积是9平方厘米的模具，模具的边长是多少厘米？
实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9，即：
9平方厘米
显然，括号里应是±3，但我们却要说边长是3。
一个正数有正、负两个平方根，他们互为相反数。因此
知道一个正数的正平方根，就知道它的负平方根。例如一个
正数的一个平方根是 3，那么，它的另一个平方根是 –3，而
零的平方根就是零。所以我们规定：
一个数a（ ）的算术平方根记做
例如:
正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
算术平方根
想一想,做一做
3. 下列各数有没有平方根 如果有,求出它的算术平方根;
如果没有,请说明理由:
解:
有平方根。
－0.36没有平方根,因为负数没有平方根。
例题:说出下列各式的意义,并计算:
一号展厅：判断比拼
1、64的平方根是8。 （ ）
2、2的平方根可表示成 。（ ）
3、(-4)2的算术平方根是-4。（ ）
（判断正误，若错误请说明理由。）
对
错
错
错
4、 （ ）
二号展厅：快乐填空
1、一个数的平方根是-7，则它的另一个平方根
是 ， 这个数是 。
2、 的平方根是它本身。
3、 。
7
49
0
-0.4
4、 = 。
5、 。
9
①了解了平方根和算术平方根的概念；
②掌握了平方根的性质： 一个正数有两个平方
根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有
平方根；
③学会了平方根和算术平方根的表示方法；
④学会了求一个数的平方根，了解开平方和平方
互为逆运算。
作业：
课本 P9
A组1 2,4,6
6 2,4
3、对于正数a， 等于多少
1、 = .
2、 = .
4、对于任意数a， 一定等于a吗？
拓展延伸(共8张PPT)
6.1.1平方根
0, -1, 5, 2.3, -
, -3, 3, 1,
（2）.填表：
x2 1 16 36 49
x
思考与探索：
（1）你能求出下列各数的平方吗
想好了，就填
－
x 8 -8
x2 121 0.36
一般地，如果一个数的平方等于a，
那么这个数叫做a的平方根或二次方根，
也就是说，如果x2=a，
那么，x叫做a的平方根.
（1）
（2）0.16 ；
（4）125 .
自主训练
1、 求下列各数的平方根：
（3）
(3)负数有平方根吗？
议一议:
(1)一个正数有几个平方根,有什么特点
(2) 0的平方根是什么？
3. x+2和3x－14是一个数的平方根，则x等于( )
A.－2 B.0 C.8 D.3
练一练：
1. 下面说法正确的是( )
A.0的平方根是0 ( ) B.1的平方根是1( )
C.﹣1的平方根是﹣1( ) D.(﹣1)2平方根是﹣1( )
2. 下列各数没有平方根的是( )
A.64 B.0 C.(﹣2)3 D.(﹣3)4(共23张PPT)
—人人学有价值的数学； —人人都能获得必需的数学； —不同的人在数学上得到不同发展；
1.我们现已学过哪些运算？
2.加法与减法这两种运算之间有什么关系？乘法与除法之间有什么关系？
3.乘方有没有逆运算？
（加、减、乘、除、乘方五种）
（互为逆运算）
思考：
如图是一个地面面积为36平方米的正方形展厅,问:它的地面边长应是多少
思考与探索：
1.一个数的平方是9，这个数是什么数？
2.一个数的平方是 ，这个数是多少？
3.填空：
①（ ）2 = 16 ②（ ）2 =
③ ( ) 2 = 0 ④（ ）2 = 0.49
∵ （±1.2）2=1.44 ∴ ±1.2叫做1.44的平方根
∵ （±2）2=4 ∴ ±2叫做4的平方根
∵ x = a ∴ x叫做a的平方根
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数
叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
解：∵（±7）2=49 ∴ ±7叫做49的平方根
∵（± ）2= ∴ ± 叫做 的平方根
∵ 02 = 0 ∴ 0叫做0的平方根
概念引入
请分别说出49， ，0的平方根
∵ （ ）2 = 0 ， ∴ 0的平方根是（ ）
知识源于
悟
∵ （ ）2等于 -4 ， ∴ -4 （ ）平方根
∵ （±1.2）2=1.44 ∴ 1.44的平方根是（ ）
∵ （±2）2=4 ∴ 4的平方根是（ ）
0
0
不存在
±1.2
±2
没有
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根.
平方根的性质：
开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
让我们一起来表示一个数的平方根
正的平方根用 来表示，（读做“根号a”）
即：正数a的平方根表示为± （读做“正、负根号a” ）
如：49的平方根表示为 ，
即 = ± 7
跟我学
对于
正数a
负的平方根用 “ ”表示（读做“负根号a” ），
其中a叫做被开方数。
（1）下列各数是否有平方根，请说明理由
① （-3）2 ② 0 2 ③ -0.01 2
（2） 下列说法对不对？为什么？
① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根
③ 任何数都有平方根
④ 若 a＞0，a有两个平方根，它们互为相反数
解：（1） （-3）2 和0 2有平方根，因为（-3）2 和0 2是非负数。
- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。
（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；
零的平方根是零；
负数没有平方根。
练一练
(1) 9 (2) (3) 0.36 (4)
例1 求下列各数的平方根：
（1）
解：
求一个数的平方根的运算叫做
开平方。开平方是平方的逆运算。
∵（±3） =9
(3) ∵（±0.6） =0.36
(2) ∵（± ） =1/4
(4) ∵（±4/3） =16/9
解：
（2）对；
（1）错 100的平方根是 ；
（3）错 因为 ，所以 的平方根是 ；
（4）对。
例2 判断正误，并把错的改正：
（1）100的平方根是10；
（2）非负数（正数和零统称非负数）一定有平方根；
（3） 的平方根是 ；
（4） 2 的平方根是 ；
想一想,做一做
填空:
(1)
(2)
(3)
(4)
注意:
不能出现
∵（ ） =1
∵（ ） =64
∵（ ) =36/25
∵ （ ) =0.04
即36/25的平方根是 。
要做的面积是9平方厘米的模具，模具的边长是多少厘米？
实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9，即：
9平方厘米
显然，括号里应是±3，但我们却要说边长是3。
一个正数有正、负两个平方根，他们互为相反数。因此
知道一个正数的正平方根，就知道它的负平方根。例如一个
正数的一个平方根是 3，那么，它的另一个平方根是 –3，而
零的平方根就是零。所以我们规定：
一个数a（ ）的算术平方根记做
例如:
正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
算术平方根
想一想,做一做
3. 下列各数有没有平方根 如果有,求出它的算术平方根;
如果没有,请说明理由:
解:
有平方根。
－0.36没有平方根,因为负数没有平方根。
例题:说出下列各式的意义,并计算:
一号展厅：判断比拼
1、64的平方根是8。 （ ）
2、2的平方根可表示成 。（ ）
3、(-4)2的算术平方根是-4。（ ）
（判断正误，若错误请说明理由。）
对
错
错
错
4、 （ ）
二号展厅：快乐填空
1、一个数的平方根是-7，则它的另一个平方根
是 ， 这个数是 。
2、 的平方根是它本身。
3、 。
7
49
0
-0.4
4、 = 。
5、 。
9
①了解了平方根和算术平方根的概念；
②掌握了平方根的性质： 一个正数有两个平方
根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有
平方根；
③学会了平方根和算术平方根的表示方法；
④学会了求一个数的平方根，了解开平方和平方
互为逆运算。
作业：
课本 P9
A组1 2,4,6
6 2,4
3、对于正数a， 等于多少
1、 = .
2、 = .
4、对于任意数a， 一定等于a吗？
拓展延伸(共15张PPT)
＝2gR
＝gR
第一宇宙速度
第二宇宙速度
25平方分米
学校举行美术作品比赛，小鸥很高兴，他想裁出一块面积为25平方分米的画布，画上自己的得意之作参加比赛，请你帮小鸥计算出这块画布的边长应取多少？
试一试,
你一定行!
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根.
例如，由于102=100，（ -10）2=100，所以100的平方根是+10和-10（可以合写为±10）.
一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数.我们用 表示其中正的平方根，读作“根号a”，另一个负的平方根记为- .其中a叫做被开方数.
0的平方根是0；负数没有平方根.
练习一：快速填空
４的算术平方根是 ；４的平方根是 ；
的算术平方根是 ； 的平方根是 ．
0.25的算术平方根是 ；0.25的平方根是 ；
０的算术平方根是 ；０的平方根是 ．
－４的算术平方根 ；－４的平方 ．
练习二：计算
-8
5
练习三：你会填写吗？
２的算术平方根是 ；２的平方根是 ．
３的算术平方根是 ;３的平方根是 ．
的算术平方根是 ； 的平方根是 ．
练习四: 用计算器计算 (精确到0.01)
求一个数的平方根的运算叫做开平方.
正数a的正的平方根 叫做a的算术平方根.0的算术平方根是0.
例1.求出下列各式的算术平方根．
⑴100
⑵
⑶ 0.0025
解:(1)因为102=100,
所以100的算术平方根是10，
即 =10.
100
4
３
2
1. 16的算术平方根等于________．
５. 的值等于_________
4. 的算术平方根等于________．
2． 的值等于_________．
3． 的算术平方根等于_________．
4
1.请用两个面积为1的小正方
形拼成一个面积较大的正方。
2.这个正方形的边长是多少？
财富大统计(共15张PPT)
6.2实数
1.什么叫有理数？
2.什么叫无理数？
复习
把下列各数分别填入相应的集合内：
。。。
有理数集合
。。。
无理数集合
有理数和无理数统称为实数，
即实数可以分为有理数和无理数。
0
（１）你能把上面各数填入下面相应的集合内吗？
（２）实数还可以怎样分类？
议一议：
。。。
正数集合
。。。
负数集合
注意：
在实数范围内，相反数，倒数；绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。
实数还可以分为正实数，０，负实数
1：a是一个实数，它的相反数为＿＿＿＿，绝对值为＿＿＿＿＿＿．
2：如果a≠０，那么它的倒数为＿＿＿＿.
想一想：
实数的分类
（1）如图，OB是正方形的对角线，且OA=OB，数轴上的点A对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？
0
1
2
-1
-2
2
A
B
议一议
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反之，数轴上的每一个点都代表一个实数。即
实数与数轴上的点是一一对应的关系。
注意：
在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示数大。
1.判断以下说法是否正确？
(1)无限小数都是无理数；
(2)无理数都是无限小数；
(3)带根号的数都是无理数．
随堂练习
2；求下列各数的相反数，倒数和绝对值：
7
-8
3
4
8
3；在数轴上作出
5
对应的点
基础训练:
和 统称为实数.
- 绝对值是 ,相反数是 ,倒数是 .
数轴上的点与 具有 对应关系.
化简: = ; = ; = ; = .
下列说法（1）带根号的数是无理数；（2）无限小数都是无理数；（3）无理数都是无限小数；（4）在实数范围内，一个数不是有理数，则一定是无理数，不是正数，则一定是负数。其中错误的有 个。
把下列各数填在相应的集合里：
， ，- ，-65， ， ，- ， ，1.3232232223…
有理数集合:( )
无理数集合:( )
正数集合:( )
负数集合:( )
1、下列说法中错误的一个是（ ）
A、如果a、b 互为相反数，那么a+1和b-1仍是相反数；
B、不论x是什么实数，x -2x+ 的值 总是大于0；
C、如果 是一个无理数，那么a是非完全平方数。
2、1.7- 的相反数是 ,1.7- 的绝对值等于 .
3、设a、b是有理数，且满足a+ b=（1- ），求a 的值。
能力训练：
解：∵a+ b=（1- ）
=1-2 +2
=3-2
则 a=3，b=-2
∴a = =
小结与思考
本节课你最大的收获是什么？
作业：
课后练习 (共23张PPT)
—人人学有价值的数学； —人人都能获得必需的数学； —不同的人在数学上得到不同发展；
1.我们现已学过哪些运算？
2.加法与减法这两种运算之间有什么关系？乘法与除法之间有什么关系？
3.乘方有没有逆运算？
（加、减、乘、除、乘方五种）
（互为逆运算）
思考：
如图是一个地面面积为36平方米的正方形展厅,问:它的地面边长应是多少
思考与探索：
1.一个数的平方是9，这个数是什么数？
2.一个数的平方是 ，这个数是多少？
3.填空：
①（ ）2 = 16 ②（ ）2 =
③ ( ) 2 = 0 ④（ ）2 = 0.49
∵ （±1.2）2=1.44 ∴ ±1.2叫做1.44的平方根
∵ （±2）2=4 ∴ ±2叫做4的平方根
∵ x = a ∴ x叫做a的平方根
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数
叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
解：∵（±7）2=49 ∴ ±7叫做49的平方根
∵（± ）2= ∴ ± 叫做 的平方根
∵ 02 = 0 ∴ 0叫做0的平方根
概念引入
请分别说出49， ，0的平方根
∵ （ ）2 = 0 ， ∴ 0的平方根是（ ）
∵ （ ）2等于 -4 ， ∴ -4 （ ）平方根
∵ （±1.2）2=1.44 ∴ 1.44的平方根是（ ）
∵ （±2）2=4 ∴ 4的平方根是（ ）
0
0
不存在
±1.2
±2
没有
①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
②0只有一个平方根，它就是0本身；
③负数没有平方根.
平方根的性质：
开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
让我们一起来表示一个数的平方根
正的平方根用 来表示，（读做“根号a”）
即：正数a的平方根表示为± （读做“正、负根号a” ）
如：49的平方根表示为 ，
即 = ± 7
对于
正数a
负的平方根用 “ ”表示（读做“负根号a” ），
其中a叫做被开方数。
（1）下列各数是否有平方根，请说明理由
① （-3）2 ② 0 2 ③ -0.01 2
（2） 下列说法对不对？为什么？
① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根
③ 任何数都有平方根
④ 若 a＞0，a有两个平方根，它们互为相反数
解：（1） （-3）2 和0 2有平方根，因为（-3）2 和0 2是非负数。
- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。
（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；
零的平方根是零；
负数没有平方根。
(1) 9 (2) (3) 0.36 (4)
（1）
解：
求一个数的平方根的运算叫做
开平方。开平方是平方的逆运算。
∵（±3） =9
(3) ∵（±0.6） =0.36
(2) ∵（± ） =1/4
(4) ∵（±4/3） =16/9
解：
（2）对；
（1）错 100的平方根是 ；
（3）错 因为 ，所以 的平方根是 ；
（4）对。
例2 判断正误，并把错的改正：
（1）100的平方根是10；
（2）非负数（正数和零统称非负数）一定有平方根；
（3） 的平方根是 ；
（4） 2 的平方根是 ；
填空:
(1)
(2)
(3)
(4)
注意:
不能出现
∵（ ） =1
∵（ ） =64
∵（ ) =36/25
∵ （ ) =0.04
即36/25的平方根是 。
要做的面积是9平方厘米的模具，模具的边长是多少厘米？
实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9，即：
9平方厘米
显然，括号里应是±3，但我们却要说边长是3。
一个正数有正、负两个平方根，他们互为相反数。因此
知道一个正数的正平方根，就知道它的负平方根。例如一个
正数的一个平方根是 3，那么，它的另一个平方根是 –3，而
零的平方根就是零。所以我们规定：
一个数a（ ）的算术平方根记做
例如:
正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
想一想,做一做
3. 下列各数有没有平方根 如果有,求出它的算术平方根;
如果没有,请说明理由:
解:
有平方根。
－0.36没有平方根,因为负数没有平方根。
例题:说出下列各式的意义,并计算:
一号展厅：判断比拼
1、64的平方根是8。 （ ）
2、2的平方根可表示成 。（ ）
3、(-4)2的算术平方根是-4。（ ）
（判断正误，若错误请说明理由。）
对
错
错
错
4、 （ ）
二号展厅：快乐填空
1、一个数的平方根是-7，则它的另一个平方根
是 ， 这个数是 。
2、 的平方根是它本身。
3、 。
7
49
0
-0.4
4、 = 。
5、 。
9
①了解了平方根和算术平方根的概念；
②掌握了平方根的性质： 一个正数有两个平方
根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有
平方根；
③学会了平方根和算术平方根的表示方法；
④学会了求一个数的平方根，了解开平方和平方
互为逆运算。
作业：
课本 P9
A组1 2,4,6
6 2,4
3、对于正数a， 等于多少
1、 = .
2、 = .
4、对于任意数a， 一定等于a吗？
拓展延伸(共13张PPT)
一、复习：
(1) 平方根的概念 如何用符号表示数a(≥0)的平方根
(2)正数有几个平方根 它们之间的关系是什么 负数有没有平方根 0平方根是什么
1.口答：
2.计算：
这是由几个大小相同的单位立方体组成的魔方
1.要做一个体积为27立方厘米的立方体模型,它的棱要多少长？ 你是怎么知道的
2.什么数的立方等于-27？
1.立方根的概念：
数a的立方根用符号“ ”表示，读作“三次根号a” .
2.开立方：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.
一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根).
即X3=a,把X叫做a的立方根。
如53=125 则把5叫做125的立方根
（-5）3=-125 则把-5叫做-125的立方根
例1、求下列各数的立方根：
（1）-8
（2）8
（3）
（4）0.216
(5) 0
解：
(1) ∵ （-2)3=-8
∴ -8的立方根是-2
即
(2) ∵ 23=8
∴ 8的立方根是2
即
(3) ∵
∴
即
(4) ∵ 0.63=0.216
∴ 0.216的立方根是0.6
即
(5) ∵ 03=0
∴ 0的立方根是0
即
1、正数有一个正的立方根
2、负数有一个负的立方根
3、0的立方根还是0
你能根据平方根的性质归纳出立方根的性质吗？
想一想：平方根是本身的数有哪些？
0
立方根的性质：
平方根的性质：
一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根。
算术平方根是本身的呢？
0，1
立方根是本身的呢？
0，1，-1
练一练
1.判断下列说法是否正确,并说明理由。
(1)
x
(2) 25的平方根是5
x
(3) -64没有立方根
x
(4) -4的平方根是
x
(5) 0的平方根和立方根都是0
√
例2、求下例各式的值：
（1）
（3）
（2）
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（4）
= - 4 + 4=0
课堂练习：求下列各式的值：
= -0.1
=6
1、通过本节课的学习你获得了那些知识？
2、你能总结出平方根和立方根的异同点吗？
相同点: ①0的平方根、立方根都有一个是0
②平方根、立方根都是开方的结果。
不同点： ①定义不同。
②个数不同。
③表示方法不同。
④被开方数的取值范围不同。
作业 （1）课内：P9 9 2，4
10 2，4
（2）书本作业题P9~P10（做在书本上）(共22张PPT)
1、实数的分类
实数
整数
分数
正整数
负整数
负分数
正分数
正无理数
负无理数
有限小数或循环小数
无限不循环小数
有理数
无理数
实数还可分为正实数、0、负实数。
无理数含3类：1.一般形式；2.特殊结构；3.特定含义
0
例1:把下列各数填入相应的集合里 , , 0.353353335…, , , ,cos60°, 0, tan45°, ,
整数集合 { …}
分数集合{ … }
无理数集合 { … }
负实数集合{ … }
π
0.353353335…
, tan45°
,
,０
,
,π，
cos60°,
【例2】最小的正整数与最大的负整数之和是_____.
0
2、数轴
◎ 三要素：原点、正方向和单位长度；
◎ 数轴上的点与实数一一对应。
3、相反数
⑴相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是零。
⑵实数 a 的相反数是－a ；在数轴上表示相反数的两点以原点对称。
⑶ a 、b 互为相反数 <==> a ＋ b = 0
4、倒数
⑴ a、b互为倒数 <==> ab = 1
a、b互为负倒数 <==> ab =－1
⑵ 0没有倒数.
【例1】2010的相反数是_________，
－1.25的倒数是 _________，
的负倒数是_______；
－2010
【例2】3的相反数的倒数是_________.
5、绝对值
(1)一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。
(2)一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。
(3)
【例1】3的绝对值是___；－|－2|=____； 0的绝对值是___.
3
－2
0
【例2】已知|x|=3，|y|=7，x－y<0，则x＋y=______.
10或4
【例3】实数 a,b 的位置如图
化简 |a + b| – |a – b|
a
0
b
【解】由数轴可知，a+b<0，a－b<0，从而
原式=－(a＋b)－〔－（a－b）〕
= －a－b＋（a－b）
= －a－b＋（a－b）
= －a－b＋a－b
= －2b
【例4】当a<0时，化简 的结果是( )
A 0 B -1 C 1 D
【例5】若|a-3|=3-a, 则a的取值范围是( )
A a≤3 B a<3 C a≥3 D a>3
A
B
⑴平方根：如果 ( )，那么x叫做a的平方根，记作 ，其中 叫做a的算术平方根。
正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零(一个)。负数没有平方根。
⑵立方根：如果 (a为一切实数)，那么x叫做a的立方根(三次方根)， 记作 。
正数有一个正的立方根；零的立方根是零；负数有一个负的立方根。
⑶
6、方根的概念
【例1】0.16的平方根是 ；
的算术平方根是 ；
【例2】已知 ，
化简 .
【例3】一个数等于其倒数的4倍，该数为_____.
±2
【例4】 的平方根是________， 的平方根是________.
◎下列各组数，互为相反数的（ ）
A 2和 B(-1) 和1 C -1和(-1) D 2和|-2|
◎ 的相反数是（ ）
A B - C D –
◎下列各组数中，互为相反数的为（ ）
A B
C D
C
C
A
7、有关实数的非负性
(1)任何非负数的和仍是非负数；
(2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0.
【例1】若 ，
则 .
【例2】[02潍坊]若 与 互为相反数，
则 的值为 。
8、科学记数法
把一个数记成 的形式，其 ，n 为整数。这种记数方法叫做科学记数法。
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
这时，从左边第一个非0数字起，到精确的数位止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字。
9、近似数与有效数字
【例1】我国国土面积为9 596 960平方千米，用四舍五 入保留两个有效数字，并用科学记数法表示为 _________平方千米.
【例2】卫星绕地球运行的速度(即第一宇宙速度)是 ，则卫星绕地球运行 秒走过的路程≈ 米(结果保留两个有效数字)。
数轴上的右边点表示的数总是大于左边点表示的数，正数大于一切负数和零，零大于一切负数，两个负数比较绝对值大的反而小。
10、比较大小
【例1】比较大小（用<排列）：
【例2】用“<”或“>”填空： ___ , ___
11、其他
【例1】在下面等式的□内填数，○内填运算符号，使等式成立（两个等式的运算符号不能相同） □○□=－9， □○□=－9
【例2】写出两个大于1小于4的无理数____、____.
【例3】 的整数部分为____.
【例4】找规律填表.
9 1 3
7 1 5
2 8
A 无限小数是无理数
B 绝对值等于本身的数是正数
C 实数和数轴上的点一一对应
D 带根号的数是无理数
【例5】下列叙述正确的是（ ）
C
【例6】下列说法中，错误的个数是 （ ）
①无理数都是无限小数；
②无理数都是开方开不尽的数；
③带根号的都是无理数；
④无限小数都是无理数。
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
【例7】数轴上的点与（ ）一一对应.
A.整数 B.有理数 C.无理数 D.实数
D
【例8】相反数是本身的数是 ；绝对值是本身的数 是 ；倒数是本身的数是 .
0
非负数
±1
【例9】a、b互为相反数，c与d互为倒数， 则a+1+b+cd= .
2
【例10】 的绝对值为__________.
【例11】找规律，并用公式表示出来.
⑴要注意绝对值概念的正确应用。因为互为相反数的绝对值相等，因此绝对值等于一个正数的数有两个，它们是一对互为相反数，不可漏掉其中任何一个。
⑵解涉及有理数的绝对值、大小比较等问题时，数轴是一个十分有效的工具。可由已知条件确定对应于数轴上的点，按“表示在数轴上的点的数，左边的数总比左边的大”进行比较大小；有时也可采用特殊值法进行判断。
【小结】
⑶注意平方根与算术平方根的区别与关系。要求一个的平方根或算术平方根，须将这个数先进行化简或计算。
⑷相反数和倒数是两个重要的概念，要注意两者的区别。
⑸已知条件是含有字母的二次根式，要注意隐含的条件，因为 中 ，一般遇到 可转化为 去处理。
同步练习(共15张PPT)
6.2实数
1.什么叫有理数？
2.什么叫无理数？
复习
把下列各数分别填入相应的集合内：
。。。
有理数集合
。。。
无理数集合
有理数和无理数统称为实数，
即实数可以分为有理数和无理数。
0
（１）你能把上面各数填入下面相应的集合内吗？
（２）实数还可以怎样分类？
议一议：
。。。
正数集合
。。。
负数集合
注意：
在实数范围内，相反数，倒数；绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。
实数还可以分为正实数，０，负实数
1：a是一个实数，它的相反数为＿＿＿＿，绝对值为＿＿＿＿＿＿．
2：如果a≠０，那么它的倒数为＿＿＿＿.
想一想：
实数的分类
（1）如图，OB是正方形的对角线，且OA=OB，数轴上的点A对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？
0
1
2
-1
-2
2
A
B
议一议
（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；
反之，数轴上的每一个点都代表一个实数。即
实数与数轴上的点是一一对应的关系。
注意：
在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示数大。
1.判断以下说法是否正确？
(1)无限小数都是无理数；
(2)无理数都是无限小数；
(3)带根号的数都是无理数．
随堂练习
2；求下列各数的相反数，倒数和绝对值：
7
-8
3
4
8
3；在数轴上作出
5
对应的点
基础训练:
和 统称为实数.
- 绝对值是 ,相反数是 ,倒数是 .
数轴上的点与 具有 对应关系.
化简: = ; = ; = ; = .
下列说法（1）带根号的数是无理数；（2）无限小数都是无理数；（3）无理数都是无限小数；（4）在实数范围内，一个数不是有理数，则一定是无理数，不是正数，则一定是负数。其中错误的有 个。
把下列各数填在相应的集合里：
， ，- ，-65， ， ，- ， ，1.3232232223…
有理数集合:( )
无理数集合:( )
正数集合:( )
负数集合:( )
1、下列说法中错误的一个是（ ）
A、如果a、b 互为相反数，那么a+1和b-1仍是相反数；
B、不论x是什么实数，x -2x+ 的值 总是大于0；
C、如果 是一个无理数，那么a是非完全平方数。
2、1.7- 的相反数是 ,1.7- 的绝对值等于 .
3、设a、b是有理数，且满足a+ b=（1- ），求a 的值。
能力训练：
解：∵a+ b=（1- ）
=1-2 +2
=3-2
则 a=3，b=-2
∴a = =
小结与思考
本节课你最大的收获是什么？
作业：
课后练习 (共23张PPT)
—人人学有价值的数学； —人人都能获得必需的数学； —不同的人在数学上得到不同发展；
《义务教育课程标准实验教科书》沪科版七年级下
1.我们现已学过哪些运算？
2.加法与减法这两种运算之间有什么关系？乘法与除法之间有什么关系？
3.乘方有没有逆运算？
（加、减、乘、除、乘方五种）
（互为逆运算）
思考：
如图是一个地面面积为36平方米的正方形展厅,问:它的地面边长应是多少
1.一个数的平方是9，这个数是什么数？
2.一个数的平方是 ，这个数是多少？
3.填空：
①（ ）2 = 16 ②（ ）2 =
③ ( ) 2 = 0 ④（ ）2 = 0.49
∵ （±1.2）2=1.44 ∴ ±1.2叫做1.44的平方根
∵ （±2）2=4 ∴ ±2叫做4的平方根
∵ x = a ∴ x叫做a的平方根
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数
叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
解：∵（±7）2=49 ∴ ±7叫做49的平方根
∵（± ）2= ∴ ± 叫做 的平方根
∵ 02 = 0 ∴ 0叫做0的平方根
概念引入
请分别说出49， ，0的平方根
∵ （ ）2 = 0 ， ∴ 0的平方根是（ ）
知识源于
悟
∵ （ ）2等于 -4 ， ∴ -4 （ ）平方根
∵ （±1.2）2=1.44 ∴ 1.44的平方根是（ ）
∵ （±2）2=4 ∴ 4的平方根是（ ）
0
0
不存在
±1.2
±2
没有
平方根的性质：
开平方的定义:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.
让我们一起来表示一个数的平方根
正的平方根用 来表示，（读做“根号a”）
即：正数a的平方根表示为± （读做“正、负根号a” ）
如：49的平方根表示为 ，
即 = ± 7
跟我学
对于
正数a
负的平方根用 “ ”表示（读做“负根号a” ），
其中a叫做被开方数。
（1）下列各数是否有平方根，请说明理由
① （-3）2 ② 0 2 ③ -0.01 2
（2） 下列说法对不对？为什么？
① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根
③ 任何数都有平方根
④ 若 a＞0，a有两个平方根，它们互为相反数
解：（1） （-3）2 和0 2有平方根，因为（-3）2 和0 2是非负数。
- 0.01 2没有平方根，因为-0.01 2是负数。
（2）只有④对，因为一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；
零的平方根是零；
负数没有平方根。
练一练
(1) 9 (2) (3) 0.36 (4)
例1 求下列各数的平方根：
（1）
解：
求一个数的平方根的运算叫做
开平方。开平方是平方的逆运算。
∵（±3） =9
(3) ∵（±0.6） =0.36
(2) ∵（± ） =1/4
(4) ∵（±4/3） =16/9
解：
（2）对；
（1）错 100的平方根是 ；
（3）错 因为 ，所以 的平方根是 ；
（4）对。
例2 判断正误，并把错的改正：
（1）100的平方根是10；
（2）非负数（正数和零统称非负数）一定有平方根；
（3） 的平方根是 ；
（4） 2 的平方根是 ；
想一想,做一做
填空:
(1)
(2)
(3)
(4)
注意:
不能出现
∵（ ） =1
∵（ ） =64
∵（ ) =36/25
∵ （ ) =0.04
即36/25的平方根是 。
要做的面积是9平方厘米的模具，模具的边长是多少厘米？
实际上就是要求出一个数，使它的平方等于9，即：
9平方厘米
显然，括号里应是±3，但我们却要说边长是3。
一个正数有正、负两个平方根，他们互为相反数。因此
知道一个正数的正平方根，就知道它的负平方根。例如一个
正数的一个平方根是 3，那么，它的另一个平方根是 –3，而
零的平方根就是零。所以我们规定：
一个数a（ ）的算术平方根记做
例如:
正数的正平方根和零的平方根，统称算术平方根。
算术平方根
想一想,做一做
3. 下列各数有没有平方根 如果有,求出它的算术平方根;
如果没有,请说明理由:
解:
有平方根。
－0.36没有平方根,因为负数没有平方根。
例题:说出下列各式的意义,并计算:
一号展厅：判断比拼
1、64的平方根是8。 （ ）
2、2的平方根可表示成 。（ ）
3、(-4)2的算术平方根是-4。（ ）
（判断正误，若错误请说明理由。）
对
错
错
错
4、 （ ）
二号展厅：快乐填空
1、一个数的平方根是-7，则它的另一个平方根
是 ， 这个数是 。
2、 的平方根是它本身。
3、 。
7
49
0
-0.4
4、 = 。
5、 。
9
①了解了平方根和算术平方根的概念；
②掌握了平方根的性质： 一个正数有两个平方
根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有
平方根；
③学会了平方根和算术平方根的表示方法；
④学会了求一个数的平方根，了解开平方和平方
互为逆运算。
作业：
课本 P9
A组1 2,4,6
6 2,4
3、对于正数a， 等于多少
1、 = .
2、 = .
4、对于任意数a， 一定等于a吗？
拓展延伸(共13张PPT)
一、复习：
(1) 平方根的概念 如何用符号表示数a(≥0)的平方根
(2)正数有几个平方根 它们之间的关系是什么 负数有没有平方根 0平方根是什么
1.口答：
2.计算：
这是由几个大小相同的单位立方体组成的魔方
这是什么
1.要做一个体积为27立方厘米的立方体模型,它的棱要多少长？ 你是怎么知道的
2.什么数的立方等于-27？
1.立方根的概念：
数a的立方根用符号“ ”表示，读作“三次根号a” .
2.开立方：
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.
开立方与立方也是互为逆运算，因此求一个数的立方根可以通过立方运算来求.
一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根).
即X3=a,把X叫做a的立方根。
如53=125 则把5叫做125的立方根
（-5）3=-125 则把-5叫做-125的立方根
例1、求下列各数的立方根：
（1）-8
（2）8
（3）
（4）0.216
(5) 0
解：
(1) ∵ （-2)3=-8
∴ -8的立方根是-2
即
(2) ∵ 23=8
∴ 8的立方根是2
即
(3) ∵
∴
即
(4) ∵ 0.63=0.216
∴ 0.216的立方根是0.6
即
(5) ∵ 03=0
∴ 0的立方根是0
即
1、正数有一个正的立方根
2、负数有一个负的立方根
3、0的立方根还是0
你能根据平方根的性质归纳出立方根的性质吗？
想一想：平方根是本身的数有哪些？
0
立方根的性质：
平方根的性质：
一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根。
算术平方根是本身的呢？
0，1
立方根是本身的呢？
0，1，-1
练一练
1.判断下列说法是否正确,并说明理由。
(1)
x
(2) 25的平方根是5
x
(3) -64没有立方根
x
(4) -4的平方根是
x
(5) 0的平方根和立方根都是0
√
例2、求下例各式的值：
（1）
（3）
（2）
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（4）
= - 4 + 4=0
课堂练习：求下列各式的值：
= -0.1
=6
1、通过本节课的学习你获得了那些知识？
2、你能总结出平方根和立方根的异同点吗？
相同点: ①0的平方根、立方根都有一个是0
②平方根、立方根都是开方的结果。
不同点： ①定义不同。
②个数不同。
③表示方法不同。
④被开方数的取值范围不同。
作业 （1）课内：P9 9 2，4
10 2，4
（2）书本作业题P9~P10（做在书本上）(共19张PPT)
6.1 平方根、立方根
（第2课时）
引入
要制作一个容积为125dm3的立方体
木箱（如图），它的棱长是多少？
设棱长为x dm，则
x3=125.
要求一个数，使它的立方等于125.
探究
(1) ( )3=8; (2) ( )3= -8;
(3) ( )3= ; (4) ( )3= .
立方根的定义:一般地，如果一个数的立方等于a ， 那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作 ，读作“三次根号a”.其中a叫做被开方数，3叫做根指数.
归纳
开立方的定义：求一个数的立方根的
运算,叫做开立方.
所以125的平方根是5.
因为53=125，
在引入的问题中，
探究
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
-1
8
-8
27
-27
立方
+1
-1
+2
-2
+3
-3
开立方
立方运算与开立方运算的关系
立方与开立方互为逆运算
1
-1
8
-8
27
-27
探究
1、正数的立方根是正数，
2、负数的立方根是负数；
3、0的立方根是0.
探究
立方根的性质：
范例
例1、求下列各式的值:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
方法：先定号, 再定值.
探究
立方根的性质：
1、下列等式正确的是( )
A B
C D
巩固
2、立方根等于本身的数是( )
A B
C D
巩固
3、若一个数的立方根和它的算术平方
根相等，则这个数是（ ）
A．1 B． 0
C．0或1 D． 1、0或-1
巩固
巩固
4、填空:
(1) 的立方根是 ;
(2) 的立方根是 .
思考:
两题的结果是不是一样吗 为什么
易错问题
巩固
5、填空:
(1) 的立方根是 ;
(2) 的立方根是 .
思考:
两题的结果是不是一样 为什么
易错问题
负数有一个立方根
正数有一个立方根
巩固
6、填空:
(1) 的平方根是 ;
(2) 的立方根是 .
思考:
两题的结果是不是一样 为什么
易错问题
平方根与立方根的区别
探究
小数点移位法则：被开方数小数点每向
左(右)移动3位，结果小数点就向相同的
方向移动1位.
巩固
7、已知： ，则
的值是 ( )
A B
C D
探究
你能比较以下两个数的大小吗？
与
与
乘方法和估算法.
