1.1集合的概念-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解（Word含答案）

集合的概念知识点总结与例题讲解
一、本节知识要点
（1）集合的含义与表示;
（2）元素与集合之间的关系与表示;
（3）集合元素的三个基本性质;
（4）常用数集的表示;
（5）集合的两种表示方法（列举法和描述法）;
（6）集合的分类.
二、集合的含义与表示
一般地,指定的某些对象的全体称为集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
集合用大写字母来表示,集合的元素与小写字母来来表示.
三、元素与集合之间的关系与表示
元素与集合之间是从属关系:若元素在集合A中,就说元素属于集合A,记作;若元素不在集合A中,则称元素不属于集合A,记作.
要求会判断元素与集合之间的从属关系.
四、集合元素的三个基本性质
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
确定性 给定一个集合,它的的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合,也就确定了.
互异性 给定一个集合,它的元素是互不相同的.即同一个集合中的元素不能重复出现.
在用列举法表示集合时,相同的元素算作集合的一个元素.
无序性 集合中的元素是没有顺序的.
如果构成两个集合的元素是相同的,那么就称这两个集合相等.
五、常用数集的表示
自然数集N; 正整数集N+或N*; 整数集Z; 有理数集Q; 实数集R.
六、集合的两种表示方法
集合有两种常用表示方法,即列举法和描述法.此外还有韦恩图法（Venn图法）.
列举法
把集合的元素一一列举出来,并用大括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.
用列举法表示集合时要注意以下几点:
（1）元素之间必须用逗号隔开;
（2）元素不能重复（即集合的元素要满足互异性）;
（3）元素之间无先后顺序（集合的元素具有无序性）;
（4）表示有规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才可以使用省略号,如﹛1 , 2 , 3 , … ﹜;
（5）注意与的表示是有区别的:表示的是一个元素,表示的是只有一个元素的集合.二者具有从属关系,及.
列举法常用来表示有限集或有规律的无限集.
描述法
定义 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.记作,其中为集合的代表元素,I表示元素的取值范围,表示集合的元素所具有的共同特征.
第二定义 用确定的条件表示某些对象属于一个集合的方法,称为描述法.
注意:“共同特征”或“确定的条件”可以说是方程,也可以是不等式（组）等.如集合,集合.
用描述法表示集合时要注意以下几点:
（1）写清集合中的代表元素,如实数或有序实数对,从而正确表示数集和点集;
（2）用简洁准确的语言表示集合中元素的共同特征;
（3）不能出现未被说明的字母,如集合中的未被说明,应正确表示为或;
（4）元素的取值范围,从上、下文来看,如果是明确的,可以省略.
如集合,也可以写作.
（5）出现多层描述时,应正确使用“或”、“且”、“非”等逻辑联结词;
（6）所有描述的内容都要写在大括号内;
（7）识别描述法表示的集合时,要看清代表元素,正确区分数集和点集.
当集合所含元素较多或元素的共同特征不明显时,适合用描述法来表示集合.
例1. 用两种方法表示二元一次方程组的解.
注意:二元一次方程组的解是有序实数对,所以在表示二元一次方程组的解时,要表示为点集的形式.
解:解二元一次方程组得:
用列举法表示为,用描述法表示为.
提示:与表示的是两个不同的集合.
例2. 指出集合与集合的区别.
注意:区分数集和点集的关键在于代表元素.用描述法表示集合时记作,其中表示的就是代表元素,它可以是一个数字（数集）,也可以是有序实数对（点集）.
解:集合表示的是一个数集,它表示函数解析式中自变量的取值范围,所以R;
集合表示的是一个点集,它表示函数的图象上所有点的坐标.
例3. 用合适的方法表示下列集合:
（1）文房四宝;
（2）2019年9月3日,新乡市平原示范区所辖乡镇;
（3）平面直角坐标系中,第二象限的点构成的集合.
注意:在用描述法表示集合时,元素之间必须用逗号隔开,不要用错标点符号.点集的代表元素为有序实数对.
解:（1）;
（2）;
（3）.
例4. 分别用列举法和描述法表示下列集合:
（1）方程的所有实数根组成的集合;
（2）由大于10小于15的所有整数组成的集合.
注意:在用描述法表示集合时,代表元素的取值范围,如果从上、下文来看是明确的,可以省略.
解:（1）列举法:;
描述法:或.
（2）列举法:﹛11 , 12 , 13 , 14﹜;
描述法:.
七、集合的分类
集合按所含元素个数的多少可以分为有限集、无限集和空集
含有有限个元素的集合叫做有限集.含无限个元素的集合叫做无限集.
不含任何元素的集合叫做空集,记作.
如方程的实数根组成的集合就是一个空集,即.
八、重要结论:
判断形如的方程的实数根的个数的方法是:
（1）当时,方程可化为的形式:
①当时,方程有唯一一个实数根;
②当时,方程有无数个实数根;
③当时,方程没有实数根;
（2）当时,原方程为关于的一元二次方程:
①若,则方程有两个不相等的实数根;
②若,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数根组成的集合时,集合只有一个元素）;
③若,则方程没有实数根.
提示:在讨论集合元素的个数时,一定要注意分类讨论.
例5. 已知集合.
（1）若A中只有一个元素,求的值;
（2）若A中至多有一个元素,求的取值范围.
分析:先弄清楚集合A的本质.集合A是由方程的实数根组成的集合,该方程中含有参数,为含参方程.
（1）集合A中只有一个元素,指的是方程只有一个实数根,该方程可以说一次方程,也可以是二次方程,注意分类讨论;
（2）集合A中至多有一个元素,指的是方程只有一个实数根或没有实数根.
解:（1）当时,原方程可化为:,解之得:,集合,符合题意;
当时,∵只有一个实数根
∴,解之得:
综上,当或时, A中只有一个元素;
（2）当A中只有一个元素时,由（1）可知:或;
当A中没有元素时,即方程没有实数根
∴,解之得:
综上,当或≥1时,A中至多有一个元素.
例6. 实数集A满足条件:,若,则.
（1）若,求A;
（2）集合A能否为单元素集合?若能,求出A;若不能,请说明理由;
（3）求证:.
分析:本题重点考查集合元素的三个基本性质:确定性、互异性和无序性.
（1）解:∵, ∴
∵ ∴
∵ ∴
∴﹛2 , , ﹜;
（2）解:A不能为单元素集合.
理由如下:若A为单元素集合,则有,整理得:
∵
∴方程没有实数根
∴A不能为单元素集合;
（3）证明:若,则
∴.
例7. 已知集合,若,求集合A.
分析:由题意可知集合A是由方程的实数根构成的,“”指的是是方程的一个实数根.
解:∵
∴是方程的一个实数根
∴
解之得:
∴原方程为:
解之得:
∴集合.
例8. 已知集合.
（1）当A中只有一个元素时,求的值,并求出此元素;
（2）当A中有两个元素时,求满足的条件;
（3）当A中至少有一个元素时,求满足的条件.
分析:集合A为含参方程的实数根构成的集合.因为方程所含参数为二次项系数,所以该方程可以是关于的一元一次方程,也可以是一元二次方程,所以在研究该方程的实数根时,要分为两种情况进行讨论.
（1）当A中只有一个元素时,说明方程只有一个实数根,此时;或该方程有两个相等的实数根,此时;
（2）当A中有两个元素时,说明方程为一元二次方程,此时,且方程有两个不相等的实数根;
（3）当A中至少有一个元素时,说明方程只有一个实数根或有两个不相等的实数根,为（1）问和（2）问结果的综合.
解:（1）分为两种情况:
①当时,原方程为:,解之得:
∴,符合题意;
②当时,由题意可知方程有两个相等的实数根
∴
解之得:
∴原方程为:
解之得:
∴.
综上,当时,集合A只有一个元素;当时,集合A只有一个元素;
（2）∵A中有两个元素
∴方程为一元二次方程,且有两个不相等的实数根
∴
解之得:且;
（3）∵A中至少有一个元素
∴A中有一个元素或有两个元素
当A中有一个元素时,由（1）可知:或;
当A中有两个元素时,由（2）可知:且.
综上,满足的条件是≥.
重要结论:
判断形如的方程的实数根的个数的方法是:
（1）当时,方程可化为的形式:
①当时,方程有唯一一个实数根;
②当时,方程有无数个实数根;
③当时,方程没有实数根;
（2）当时,原方程为关于的一元二次方程:
①若,则方程有两个不相等的实数根;
②若,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数根组成的集合时,集合只有一个元素）;
③若,则方程没有实数根.
例9. 已知,,当时,求集合B.
解:∵
∴方程,即有两个相等的实数根,且
由根与系数的关系定理可得:
解之得:
∴
整理得:
解方程得:
∴集合.
例10. 设,,,若,试用列举法表示集合B.
分析:本题要先由根与系数的关系定理求出的值,然后把集合B中的方程转化为关于的具体的一元二次方程,解方程即可求出集合B.
解:∵
∴
∵
∴是方程的两个实数根
由根与系数的关系定理可得:
解之得:,∴
解方程得:
∴集合.
例11. 已知集合中各元素之和等于3,求实数的值,并用列举法表示集合M.
分析:本题考查到集合元素的基本性质:互异性,注意分类讨论.
解:∵
∴
∵,且集合M中各元素之和等于3
∴当时,,,不符合题意;
当,即时,,,符合题意;
当且时,,由得,此时,符合题意.
综上,实数的值为2或,集合或.
提示:在用列举法表示有限集时,要注意集合元素的互异性.
题型二、集合元素的基本性质的应用
集合的元素具有确定性、互异性和无序性,其中对互异性的考查最为常见.
例12. 已知集合,若,求实数的值.
分析:由元素与集合之间的关系可求出实数的值,但要注意所求的值要保证集合A中的元素互不相同,即满足互异性,所以要对求得的的值进行检验.
解:当时,解之得:,此时,不满足元素的互异性,舍去;
当时,解之得:（已舍去）,
当时,,符合题意.
综上,实数的值为.
例13. 由实数所组成的集合中,含有元素的个数最多有【 】
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
分析:本题主要考查集合元素的互异性.
解:∵,
∴①当时,,
∴所组成的集合中含有2个元素;
②当时,所组成的集合中,只有一个元素0;
③当时,,
∴所组成的集合中含有2个元素.
综上,含有元素的个数最多有2个.选择【 A 】.
题型三、元素与集合的关系
元素与集合的关系是从属关系,只有元素属于集合和元素不属于集合两种关系.
判断一个元素是否属于集合的方法是:
（1）弄清集合代表元素的含义以及集合所含元素的共同特征;
（2）看元素是否满足集合元素的共同特征.
例14. 已知集合A满足条件:若,则.若,且集合A中的元素不超过4个,求集合A中的其它元素.
分析:根据“若,则”,将代入即可求出集合A的另一个元素,以此类推,可得集合A中的其它三个元素.
解:∵
∴
∴
∴
∴
……
∴集合A中的其它元素为2 , , .
例15. 已知集合,,若,则与N的关系是【 】
（A） （B）
（C）或 （D）不能确定
解:∵
∴集合M为全体奇数的一半所组成的集合
∵
∴集合N为全体整数的一半所组成的集合
∴若,则必有.选择【 A 】.
令解:
当时,;
当时,.
∵
可设
∴.
（由后面可知,集合M与集合N的关系为,所以若,则有）
例16. 已知集合,,则集合B中所有元素之和为_________.
分析:先解绝对值不等式,再用列举法表示出集合A.下面给你补充简单绝对值不等式的解法.
知识点 简单绝对值不等式的解法
（1）≥（≥0）型不等式的解法:≥（≥0）≥或≤.
（2）≤（≥0）型不等式的解法:≤（≥0）≤≤.
根据上面补充的结论,若,则≤≤2,解之得:≤≤3.
解:∵
∴,集合B中所有元素之和为18.