2019年高考文数真题试卷（天津卷）

2019年高考文数真题试卷（天津卷）
一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
1．（2019·天津）设集合 ，则 （　　）
A．{2} B．{2，3}
C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}
2．（2019·天津）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
3．（2019·天津）设 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2019·天津）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为（　　）
A．5 B．8 C．24 D．29
5．（2019·天津）已知 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
6．（2019·天津）已知抛物线 的焦点为F，准线为l.若与双曲线 的两条渐近线分别交于点A和点B，且 （O为原点），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
7．（2019·天津）已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若 ，则 （　　）
A．-2 B．- C． D．2
8．（2019·天津）已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解，则 的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（2019·天津） 是虚数单位，则 的值为　 　.
10．（2019·天津）设 ，使不等式 成立的 的取值范围为　 　.
11．（2019·天津）曲线 在点 处的切线方程为　 　.
12．（2019·天津）已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为　 　.
13．（2019·天津）设 ，则 的最小值为　 　.
14．（2019·天津）在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 　 　.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15．（2019·天津）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 .享受情况如右表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工 项目 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率.
16．（2019·天津）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
17．（2019·天津）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面 ， ， ，
（Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
18．（2019·天津）设 是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
19．（2019·天津）设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程.
20．（2019·天津）设函数 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 ，
（i）证明 恰有两个零点
（ii）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】 【解答】 ，
故答案为：D
【分析】利用集合交并运算性质即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】 【解答】作出不等式对应的平面区域，由 得 ，平移直线 ，可知当直线 经过直线 与 的交点时，直线 的截距最大，此时 最大
由 解得
此时直线 与 的交点为
此时 的最大值为
故答案为：C
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可得出 的最大值。
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】由 得，
由 得
由“小范围”推出“大范围”得出 可推出
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件。
故答案为：B
【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。
4．【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】 【解答】该程序框图共运行3次：第1次， ，1非偶数， ， ；第2次， ，2是偶数， ， ， ； ，3非偶数， ， 成立，结束循环，故输出 。
故答案为：B
【分析】本题考查当型循环结构的程序框图，由算法的功能判断 值的变化规律以及对应的赋值语句即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】 【解答】 ， ， 且
故
故答案为：A
【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定 的大小关系即可。
6．【答案】D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】抛物线 的准线 ：
抛物线 的准线为F，
∵抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于A，B两点，且 ，
∴ ， ，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标， 得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合 的关系式得出出 的关系，即可求得离心率。
7．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】 【解答】由函数 是奇函数，得 ，即 得
由 的最小正周期为 ，得 ，
将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得
由 得 即
故
故答案为：C
【分析】由奇函数得 ，即 得 ,由周期求出ω，再根据函数 的图象变换规律，得出 ，再代入 求出A的值，进而得出 的值。
8．【答案】D
【知识点】分段函数的应用
【解析】 【解答】令
∵方程 恰有两个互异的实数解
即 与 仅有两个交点。
当 过 时，即 ，解得 ；
当 过 时，即 ，解得 ；
当 ， 与 有两个交点，满足题意；
另外当 与 相切时也符合，此时 即
解得
综上所述 的取值范围为
故答案为：D
【分析】本题考查数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了函数与方程的关系应用。
9．【答案】
【知识点】复数的模
【解析】 【解答】
故答案为：
【分析】本题考查复数的除法运算，分子分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数求模即可得出答案。
10．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】 【解答】由 得 ，解得
故答案为：
【分析】本题考查一元二次不等式的解法。
11．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】 【解答】函数 的导数为 ， ，及切线斜率
所以切线方程为 ：
即
故答案为：
【分析】本题考查函数在某点处的切线方程的求法，函数导数与切线斜率的关系，属于导数的应用。
12．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】 【解答】∵四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为
连接 ，
设四棱锥的高为 ， 是底面的中心。
∴ ，
在 中，
∵圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，
∴圆柱底面的半径 ，圆柱的高
∴圆柱的体积
【分析】本题主要考查圆柱的体积，通过求出四棱锥的高，底面的对角线，进而得出圆柱底面的半径及圆柱的高，最后求出圆柱的体积。
13．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】∵
∴
即 ，
∴
当且仅当 时，即当 时，等号成立。
∴ 的最小值为 。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
14．【答案】-1
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ , ,
，点 在线段 的延长线上，
作
∴ ，
∴在 中， ，
∴
故答案为：-1
【分析】本题考查向量加法的三角形法则，向量内积，需注意向量内积所成的夹角，必须共用一起点所成的角才可以。
15．【答案】解：（1）由已知，老、中、青员工人数之比为 ，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取6人，9人，10人.
（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
，共15种.(公式显示不全)
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
，共11种.
所以，事件 发生的概率
【知识点】分层抽样方法；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】 【分析】（Ⅰ）根据老、中、青员工人数之比为，采用分层抽样，从中抽取25人调查，分别求出应从老、中、青员工中分别抽取的人数；
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意列举出从6人中随机抽取2人接受采访可能出现的结果；
（ⅱ）根据表格所给条件求出事件M出现的情况有多少种，进而求出事件M发生的概率。
16．【答案】解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由 ，得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余弦定理可得 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，从而 ， ，故
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理
【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正余弦定理即可求得
（Ⅱ）利用 ，求得 ，进而根据二倍角公式求出 ， ，再利用两角和的正弦即可求得答案。
本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的公式、倍角公式、正余弦定理等知识。
17．【答案】解：（Ⅰ）证明：连接 ，易知 ， .又由 ，故 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（Ⅱ）证明：取棱 的中点 ，连接 .依题意，得 ，又因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，交 平面 ，故 .又已知 ， ，所以 平面 .
（Ⅲ）解：连接 ，由（Ⅱ）中 平面 ，可知 为直线 与平面 所成的角，
因为 为等边三角形， 且 为 的中点，所以 .又 ，
在 中， .
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】 【分析】（Ⅰ）欲证 平面 ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 与平面 内一直线平行，由三角形中位线可得 ，即可证得；
（Ⅱ））欲证 平面 ，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 与平面 内两相交直线垂直，由平面 平面 ， ，得出 平面 ，进而得出 ，再由 ，即可证得 平面 ；
（Ⅲ）连接 ，构造直角三角形 ，可知 为直线 与平面 所成的角，解直角三角形，求出 的大小，即可得出直线 与平面 所成的角。
18．【答案】解：（Ⅰ）解：设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q依题意，得 ，解得 ，故 .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式 为 .
（Ⅱ）解：
=
. ①
， ②
②-①得， .
所以，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】 【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设 的公差为 ， 的公比为 ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得 和 ，进而可得 、 的通项公式；
（II）数列 的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前 项和 ．．
19．【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ，又由 ，消去 得 ，解得 .
所以，椭圆的离心率为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，故椭圆方程为 .由题意， ，则直线 的方程为 .点P的坐标满足 ，消去 并化简，得到 ，解得 ，代入到 的方程，解得 .因为点 在 轴上方，所以 .由圆心 在直线 上，可设 .因为 ，且由（Ⅰ）知 ，故 ，解得 .因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆 与 相切，得 ，可得 .
所以，椭圆的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（Ⅰ）由 |得， ，又 ，即可求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点斜式设出直线 的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，用 表示出点P,再由圆心 在直线 上，设 ，由 ，列出关于等式 ，求出 ，再由圆 与 轴相切求出 ，即可求出椭圆的方程．
20．【答案】解：（Ⅰ）解：由已知， 的定义域为 ，且
因此当 时， ，从而 ，所以 在 内单调递增.
（Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知 .令 ，由 ，
可知 在 内单调递减，又 ，且
.
故 在 内有唯一解，从而 在 内有唯一解，不妨设为 ，则 .当 时， ，所以 在 内单调递增；当 时， ，所以 在 内单调递减，因此 是 的唯一极值点.
令 ，则当 时， ，故 在 内单调递减，从而当 时， ，所以 .从而
，
又因为 ，所以 在 内有唯零点.又 在 内有唯一零点1，从而， ）在 内恰有两个零点.
（ii）由题意， 即 ，从而 ，即 .因为当 时， ，又 ，故 ，两边取对数，得 ，于是
，
整理得 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；函数零点存在定理
【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式求出导函数，通过当 时，判断 ，得到函数的单调性；
（Ⅱ）（ⅰ）求导，分析导函数可得函数 的单调性和极值点，再根据极值点的取值范围分析函数在不同区间的正负，即可得函数 的零点个数。
（ⅱ）根据 为 的极值点， 为 的零点可列出等式，化简整理得 ，由（ⅰ）可得 ，两边取对数，即可得 ，整理即可得。
1 / 12019年高考文数真题试卷（天津卷）
一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。
1．（2019·天津）设集合 ，则 （　　）
A．{2} B．{2，3}
C．{-1，2，3} D．{1，2，3，4}
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】 【解答】 ，
故答案为：D
【分析】利用集合交并运算性质即可得出答案。
2．（2019·天津）设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】简单线性规划的应用
【解析】 【解答】作出不等式对应的平面区域，由 得 ，平移直线 ，可知当直线 经过直线 与 的交点时，直线 的截距最大，此时 最大
由 解得
此时直线 与 的交点为
此时 的最大值为
故答案为：C
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可得出 的最大值。
3．（2019·天津）设 ，则“ ”是“ ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】 【解答】由 得，
由 得
由“小范围”推出“大范围”得出 可推出
故“ ”是“ ”的必要而不充分条件。
故答案为：B
【分析】根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义，再由“小范围”推出“大范围”判断即可。
4．（2019·天津）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为（　　）
A．5 B．8 C．24 D．29
【答案】B
【知识点】程序框图
【解析】 【解答】该程序框图共运行3次：第1次， ，1非偶数， ， ；第2次， ，2是偶数， ， ， ； ，3非偶数， ， 成立，结束循环，故输出 。
故答案为：B
【分析】本题考查当型循环结构的程序框图，由算法的功能判断 值的变化规律以及对应的赋值语句即可得出答案。
5．（2019·天津）已知 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】 【解答】 ， ， 且
故
故答案为：A
【分析】利用对数和指数的运算性质，找出中间特殊值，确定 的大小关系即可。
6．（2019·天津）已知抛物线 的焦点为F，准线为l.若与双曲线 的两条渐近线分别交于点A和点B，且 （O为原点），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】 【解答】抛物线 的准线 ：
抛物线 的准线为F，
∵抛物线 的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于A，B两点，且 ，
∴ ， ，
将A点坐标代入双曲线渐近线方程得 ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】求出抛物线的准线方程，双曲线的渐近线方程，而得出A、B的坐标， 得出弦长|AB|的值，将A点坐标代入双曲线渐近线方程结合 的关系式得出出 的关系，即可求得离心率。
7．（2019·天津）已知函数 是奇函数，且 的最小正周期为 ，将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 .若 ，则 （　　）
A．-2 B．- C． D．2
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】 【解答】由函数 是奇函数，得 ，即 得
由 的最小正周期为 ，得 ，
将 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得
由 得 即
故
故答案为：C
【分析】由奇函数得 ，即 得 ,由周期求出ω，再根据函数 的图象变换规律，得出 ，再代入 求出A的值，进而得出 的值。
8．（2019·天津）已知函数 若关于 的方程 恰有两个互异的实数解，则 的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数的应用
【解析】 【解答】令
∵方程 恰有两个互异的实数解
即 与 仅有两个交点。
当 过 时，即 ，解得 ；
当 过 时，即 ，解得 ；
当 ， 与 有两个交点，满足题意；
另外当 与 相切时也符合，此时 即
解得
综上所述 的取值范围为
故答案为：D
【分析】本题考查数形结合的思想应用及分段函数的应用，同时考查了函数与方程的关系应用。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
9．（2019·天津） 是虚数单位，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】复数的模
【解析】 【解答】
故答案为：
【分析】本题考查复数的除法运算，分子分母同乘以分母的共轭复数，再利用复数求模即可得出答案。
10．（2019·天津）设 ，使不等式 成立的 的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】 【解答】由 得 ，解得
故答案为：
【分析】本题考查一元二次不等式的解法。
11．（2019·天津）曲线 在点 处的切线方程为　 　.
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】 【解答】函数 的导数为 ， ，及切线斜率
所以切线方程为 ：
即
故答案为：
【分析】本题考查函数在某点处的切线方程的求法，函数导数与切线斜率的关系，属于导数的应用。
12．（2019·天津）已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为　 　.
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】 【解答】∵四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为
连接 ，
设四棱锥的高为 ， 是底面的中心。
∴ ，
在 中，
∵圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，
∴圆柱底面的半径 ，圆柱的高
∴圆柱的体积
【分析】本题主要考查圆柱的体积，通过求出四棱锥的高，底面的对角线，进而得出圆柱底面的半径及圆柱的高，最后求出圆柱的体积。
13．（2019·天津）设 ，则 的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】 【解答】∵
∴
即 ，
∴
当且仅当 时，即当 时，等号成立。
∴ 的最小值为 。
故答案为：
【分析】本题考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件。
14．（2019·天津）在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，且 ，则 　 　.
【答案】-1
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】∵ , ,
，点 在线段 的延长线上，
作
∴ ，
∴在 中， ，
∴
故答案为：-1
【分析】本题考查向量加法的三角形法则，向量内积，需注意向量内积所成的夹角，必须共用一起点所成的角才可以。
三、解答题：本大题共6小题，共80分.
15．（2019·天津）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为 .享受情况如右表，其中“ ”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工 项目 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 发生的概率.
【答案】解：（1）由已知，老、中、青员工人数之比为 ，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取6人，9人，10人.
（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
，共15种.(公式显示不全)
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
，共11种.
所以，事件 发生的概率
【知识点】分层抽样方法；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】 【分析】（Ⅰ）根据老、中、青员工人数之比为，采用分层抽样，从中抽取25人调查，分别求出应从老、中、青员工中分别抽取的人数；
（Ⅱ）（ⅰ）根据题意列举出从6人中随机抽取2人接受采访可能出现的结果；
（ⅱ）根据表格所给条件求出事件M出现的情况有多少种，进而求出事件M发生的概率。
16．（2019·天津）在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
【答案】解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由 ，得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余弦定理可得 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，从而 ， ，故
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理
【解析】 【分析】（Ⅰ）利用正余弦定理即可求得
（Ⅱ）利用 ，求得 ，进而根据二倍角公式求出 ， ，再利用两角和的正弦即可求得答案。
本题考查同角三角函数的基本关系式、两角和的公式、倍角公式、正余弦定理等知识。
17．（2019·天津）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， 为等边三角形，平面 平面 ， ， ，
（Ⅰ）设 分别为 的中点，求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】解：（Ⅰ）证明：连接 ，易知 ， .又由 ，故 ，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（Ⅱ）证明：取棱 的中点 ，连接 .依题意，得 ，又因为平面 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ，交 平面 ，故 .又已知 ， ，所以 平面 .
（Ⅲ）解：连接 ，由（Ⅱ）中 平面 ，可知 为直线 与平面 所成的角，
因为 为等边三角形， 且 为 的中点，所以 .又 ，
在 中， .
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角
【解析】 【分析】（Ⅰ）欲证 平面 ，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 与平面 内一直线平行，由三角形中位线可得 ，即可证得；
（Ⅱ））欲证 平面 ，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 与平面 内两相交直线垂直，由平面 平面 ， ，得出 平面 ，进而得出 ，再由 ，即可证得 平面 ；
（Ⅲ）连接 ，构造直角三角形 ，可知 为直线 与平面 所成的角，解直角三角形，求出 的大小，即可得出直线 与平面 所成的角。
18．（2019·天津）设 是等差数列， 是等比数列，公比大于0，已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
【答案】解：（Ⅰ）解：设等差数列 的公差为d，等比数列 的公比为q依题意，得 ，解得 ，故 .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式 为 .
（Ⅱ）解：
=
. ①
， ②
②-①得， .
所以，
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】 【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出，设 的公差为 ， 的公比为 ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得 和 ，进而可得 、 的通项公式；
（II）数列 的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前 项和 ．．
19．（2019·天津）设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，顶点为B.已知 （ 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心 在直线 上，且 ，求椭圆的方程.
【答案】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，由已知有 ，又由 ，消去 得 ，解得 .
所以，椭圆的离心率为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ， ，故椭圆方程为 .由题意， ，则直线 的方程为 .点P的坐标满足 ，消去 并化简，得到 ，解得 ，代入到 的方程，解得 .因为点 在 轴上方，所以 .由圆心 在直线 上，可设 .因为 ，且由（Ⅰ）知 ，故 ，解得 .因为圆 与 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆 与 相切，得 ，可得 .
所以，椭圆的方程为
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】 【分析】（Ⅰ）由 |得， ，又 ，即可求椭圆的离心率；
（Ⅱ）点斜式设出直线 的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，用 表示出点P,再由圆心 在直线 上，设 ，由 ，列出关于等式 ，求出 ，再由圆 与 轴相切求出 ，即可求出椭圆的方程．
20．（2019·天津）设函数 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，讨论 的单调性；
（Ⅱ）若 ，
（i）证明 恰有两个零点
（ii）设 为 的极值点， 为 的零点，且 ，证明 .
【答案】解：（Ⅰ）解：由已知， 的定义域为 ，且
因此当 时， ，从而 ，所以 在 内单调递增.
（Ⅱ）证明：（i）由（Ⅰ）知 .令 ，由 ，
可知 在 内单调递减，又 ，且
.
故 在 内有唯一解，从而 在 内有唯一解，不妨设为 ，则 .当 时， ，所以 在 内单调递增；当 时， ，所以 在 内单调递减，因此 是 的唯一极值点.
令 ，则当 时， ，故 在 内单调递减，从而当 时， ，所以 .从而
，
又因为 ，所以 在 内有唯零点.又 在 内有唯一零点1，从而， ）在 内恰有两个零点.
（ii）由题意， 即 ，从而 ，即 .因为当 时， ，又 ，故 ，两边取对数，得 ，于是
，
整理得 .
【知识点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明；函数零点存在定理
【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式求出导函数，通过当 时，判断 ，得到函数的单调性；
（Ⅱ）（ⅰ）求导，分析导函数可得函数 的单调性和极值点，再根据极值点的取值范围分析函数在不同区间的正负，即可得函数 的零点个数。
（ⅱ）根据 为 的极值点， 为 的零点可列出等式，化简整理得 ，由（ⅰ）可得 ，两边取对数，即可得 ，整理即可得。
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