上海市2019年春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（2019·上海）已知集合 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： 集合 ，
，
．
故答案为： ．
【分析】利用交集的运算法则结合已知条件求出集合.
2．（2019·上海）计算 ．
【答案】2
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解： ．
故答案为：2．
【分析】利用求极限的方法求出数列的极限值。
3．（2019·上海）不等式 的解集为 ．
【答案】
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由 得 ，即
故答案为： ．
【分析】利用绝对值的定义求出绝对值不等式的解集。
4．（2019·上海）函数 的反函数为 ．
【答案】
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：由 得 ，
故答案为
【分析】利用反函数的定义求出函数 的反函数。
5．（2019·上海）设 为虚数单位， ，则 的值为
【答案】
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：由 ，得 ，即 ，
．
故答案为： ．
【分析】利用复数的加减法的运算法则求出复数z，再利用复数z的实部和虚部求出复数的模。
6．（2019·上海）已知 ，当方程有无穷多解时， 的值为 ．
【答案】-2
【知识点】二元一次不定方程
【解析】【解答】解：由题意 可知：
可对① ，得： ．
方程有无穷多解，
再与②式比较，可得： ．
故答案为： ．
【分析】利用二元一次方程组求解方法结合二元一次方程组有无穷多解，从而求出a的值。
7．（2019·上海）在 的展开式中，常数项等于 ．
【答案】15
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 展开式的通项为
令 得 ，
∴展开式的常数项为第3项；
∴ 常数项等于 ．
故答案为：15．
【分析】利用二项定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出常数项。
8．（2019·上海）在 中， ， ，且 ，则 ．
【答案】
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
根据正弦定理得： ，
∵ ， ，
，
根据余弦定理得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【分析】利用正弦定理和余弦定理结合已知条件求出AB的值。
9．（2019·上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）
【答案】24
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：在五天里，甲连续参加2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有 种，
故答案为：24．
【分析】利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，用排列数求出不同的安排方法种数。
10．（2019·上海）如图，已知正方形 ，其中 ，函数 交 于点 ，函数 交 于点 ，当 最小时，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意得： 点坐标为 ， 点坐标为 ，
，
当且仅当 时，取最小值，
故答案为： ．
【分析】利用正方形的结构特征结合均值不等式求最值的方法求出的最小值，从而求出对应的 的值 。
11．（2019·上海）在椭圆 上任意一点 ， 与 关于 轴对称，若有 ，则 与 的夹角范围为 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设 ，则 点 ，
椭圆 的焦点坐标为 ， ，
，
，
结合
可得：
故 与 的夹角 满足：
，
故
故答案为：
【分析】设 ，利用点与点关于轴对称，则 点坐标为 ，
再利用椭圆的标准方程求出焦点坐标，再利用数量积的坐标表示和数量积的取值范围，用数量积表示向量的夹角，从而求出求出向量 与 的夹角范围 。
12．（2019·上海）已知集合 ， ，存在正数 ，使得对任意 ，都有 ，则 的值是 ．
【答案】1或
【知识点】元素与集合的关系；函数的图象
【解析】【解答】解：当 时，当 时，则 ，
当 时，则 ，
即当 时， ；当 时， ，即 ；
当 时， ，当 时， ，即 ，
，解得 ．
当 时，当 时，则 ．
当 ，则 ，
即当 时， ，当 时， ，即 ，
即当 时， ，当 时， ，即 ，
，解得 ．
当 时，同理可得无解．
综上， 的值为1或 ．
故答案为：1或 ．
【分析】利用并集的运算法则结合元素与集合的关系判断，用恒成立问题的解决方法结合函数图象求出t的值。
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（2019·上海）下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解： ， 的值域为 ，故 错
， 的定义域为 ，值域也是 ，故 正确．
， 的值域为 ，故 错
， 的值域为 ，故 错．
故答案为： ．
【分析】利用函数图象和定义域求函数值域的方法求出满足值域要求的函数。
14．（2019·上海）已知 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解： 等价， ，得“ ”，
“ ”是“ ”的充要条件，
故答案为： ．
【分析】利用不等式的性质判断出“ ”是“ ”的充要条件。
15．（2019·上海）已知平面 、 、 两两垂直，直线 、 、 满足： ， ， ，则直线 、 、 不可能满足以下哪种关系（ ）
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：如图1，可得 、 、 可能两两垂直；
如图2，可得 、 、 可能两两相交；
如图3，可得 、 、 可能两两异面；
故答案为：B．
【分析】利用面面垂直的性质定理结合线面之间的位置关系，用线线平行，线线垂直，线线相交，异面直线的判定方法找出直线 、 、 不可能满足的关系。
16．（2019·上海）以 ， 为圆心的两圆均过 ，与 轴正半轴分别交于 ， ，且满足 ，则点 的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】A
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：因为 ，则 ，
同理可得 ，
又因为 ，
所以 ，
则 ，
即 ，
则 ，
设 ，则 为直线，
故答案为： ．
【分析】根据实际问题的已知条件结合直线的定义和图象特征求出点 的轨迹。
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（2019·上海）如图，在正三棱锥 中， ， ．
（1）若 的中点为 ， 的中点为 ，求 与 的夹角；
（2）求 的体积．
【答案】（1）解： ， 分别为 ， 的中点，
，
∴ 与 所成角为 ，
在 中，由 ， ，
可得 ，
与 的夹角为 ；
（2）解：过 作底面垂线，垂直为 ，则 为底面三角形的中心，
连接 并延长，交 于 ，则 ， ．
．
．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线所成的角
【解析】【分析】（1）利用正三棱锥的结构特征结合中位线的性质证出线线平行，从而找出异面直线所成的角，再利用余弦定理求出异面直线所成的夹角。
（2）利用正三棱锥的结构特征结合已知条件，用三棱锥的体积公式求出三棱锥的体积。
18．（2019·上海）已知数列 ， ，前 项和为 ．
（1）若 为等差数列，且 ，求 ；
（2）若 为等比数列，且 ，求公比 的取值范围．
【答案】（1）解： ， ，
；
（2）解： ，
存在， ，且 ，
，
， ，
或 ，
公比 的取值范围为 ．
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合已知条件求出等差数列的公差，再利用等差数列的首项和公差结合等差数列前n项和公式求出等差数列前n项和。
（2）利用等比数列前n项和公式结合求极限的方法和数列极限的取值范围求出等比数列公比的取值范围。
19．（2019·上海）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年 年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
年份 卫生总费用（亿元） 个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出
绝对数（亿元） 占卫生总费用比重 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重
2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99
2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14
2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96
2015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：
（2）设 表示1978年，第 年卫生总费用与年份 之间拟合函数 研究函数 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
【答案】（1）解：由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．
（2）解： 是减函数，且 ，
在 上单调递增，
令 ，解得 ，
当 时，我国卫生总费用超过12万亿，
预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；随机抽样和样本估计总体的实际应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件，用统计的方法结合 2012年 年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比表得出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势。
（2）利用实际问题的已知条件找出合适的函数模型，利用函数的单调性求出复合函数的单调性，再利用复合函数的单调性求出满足要求的函数中的自变量的取值范围，从而预测出实际问题中我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
20．（2019·上海）已知抛物线方程 ， 为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段 与抛物线的交点，定义： ．
（1）当 时，求 ；
（2）证明：存在常数 ，使得 ；
（3） ， ， 为抛物线准线上三点，且 ，判断 与 的关系．
【答案】（1）解：抛物线方程 的焦点 ， ，
， 的方程为 ，代入抛物线的方程，解得 ，
抛物线的准线方程为 ，可得 ，
， ；
（2）证明：当 时， ，
设 ， ， ，则 ，
联立 和 ，可得 ，
，
，
则存在常数 ，使得 ；
（3）解：设 ， ， ，则
，
由 ，
，
则 ．
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）利用抛物线标准方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线定义结合的定义求出当 时的的值。
（2）利用综合法结合已知条件，用求根公式结合弦长公式，用的定义证出存在常数 ，使得 。
（3）利用抛物线标准方程求出准线方程，从而求出准线上的三点 ， ， 的坐标，再利用两点间距离相等结合两点距离公式变形化简判断出。
21．（2019·上海）已知等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．
（1）若 ，求集合 ；
（2）若 ，求 使得集合 恰好有两个元素；
（3）若集合 恰好有三个元素：bn+T=bn ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．
【答案】（1）解： 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．
当 ，
集合 ．
（2）解： ，数列 满足 ，集合 恰好有两个元素，如图：
根据三角函数线，①等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰好有两个元素，此时 ，
② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，
如图 ， ，
此时 ，
综上， 或者 ．
（3）解：①当 时， ，集合 ，符合题意．
②当 时， ， ， ，或者 ，
等差数列 的公差 ，故 ， ，又
当 时满足条件，此时 ．
③当 时， ， ， ，或者 ，因为 ，故 ．
当 时， 满足题意．
④当 时， ， ，
所以 或者 ， ，故 ．
当 时， ，满足题意．
⑤当 时， ， ，所以 ，或者 ， ， ，故
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， ， ，不符合条件．
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， 不是整数，不符合条件．
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 或者 ， ，或者 ，此时， 均不是整数，不符合题意．
综上， ．
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【分析】（1） 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ，利用元素和集合间的关系求出结合等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，从而求出当 时的集合S.
(2)当等差数列首项 时，利用数列 满足 ， 用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用数列的通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合 恰好有两个元素的d的值。
（3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合 恰好有三个元素，用分类讨论的方法结合已知条件 ，用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式， 再利用 是不超过7的正整数，从而求出满足要求的 的所有可能的值．
1 / 1上海市2019年春季高考数学试卷
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．（2019·上海）已知集合 ， ，则 ．
2．（2019·上海）计算 ．
3．（2019·上海）不等式 的解集为 ．
4．（2019·上海）函数 的反函数为 ．
5．（2019·上海）设 为虚数单位， ，则 的值为
6．（2019·上海）已知 ，当方程有无穷多解时， 的值为 ．
7．（2019·上海）在 的展开式中，常数项等于 ．
8．（2019·上海）在 中， ， ，且 ，则 ．
9．（2019·上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）
10．（2019·上海）如图，已知正方形 ，其中 ，函数 交 于点 ，函数 交 于点 ，当 最小时，则 的值为 ．
11．（2019·上海）在椭圆 上任意一点 ， 与 关于 轴对称，若有 ，则 与 的夹角范围为 ．
12．（2019·上海）已知集合 ， ，存在正数 ，使得对任意 ，都有 ，则 的值是 ．
二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．（2019·上海）下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2019·上海）已知 、 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
15．（2019·上海）已知平面 、 、 两两垂直，直线 、 、 满足： ， ， ，则直线 、 、 不可能满足以下哪种关系（ ）
A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面
16．（2019·上海）以 ， 为圆心的两圆均过 ，与 轴正半轴分别交于 ， ，且满足 ，则点 的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．（2019·上海）如图，在正三棱锥 中， ， ．
（1）若 的中点为 ， 的中点为 ，求 与 的夹角；
（2）求 的体积．
18．（2019·上海）已知数列 ， ，前 项和为 ．
（1）若 为等差数列，且 ，求 ；
（2）若 为等比数列，且 ，求公比 的取值范围．
19．（2019·上海）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年 年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．
年份 卫生总费用（亿元） 个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出
绝对数（亿元） 占卫生总费用比重 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重 绝对数（亿元） 占卫生总费用比重
2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99
2013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.14
2014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.96
2015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45
（数据来源于国家统计年鉴）
（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：
（2）设 表示1978年，第 年卫生总费用与年份 之间拟合函数 研究函数 的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
20．（2019·上海）已知抛物线方程 ， 为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段 与抛物线的交点，定义： ．
（1）当 时，求 ；
（2）证明：存在常数 ，使得 ；
（3） ， ， 为抛物线准线上三点，且 ，判断 与 的关系．
21．（2019·上海）已知等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．
（1）若 ，求集合 ；
（2）若 ，求 使得集合 恰好有两个元素；
（3）若集合 恰好有三个元素：bn+T=bn ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解： 集合 ，
，
．
故答案为： ．
【分析】利用交集的运算法则结合已知条件求出集合.
2．【答案】2
【知识点】极限及其运算
【解析】【解答】解： ．
故答案为：2．
【分析】利用求极限的方法求出数列的极限值。
3．【答案】
【知识点】含绝对值不等式的解法
【解析】【解答】解：由 得 ，即
故答案为： ．
【分析】利用绝对值的定义求出绝对值不等式的解集。
4．【答案】
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：由 得 ，
故答案为
【分析】利用反函数的定义求出函数 的反函数。
5．【答案】
【知识点】复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【解答】解：由 ，得 ，即 ，
．
故答案为： ．
【分析】利用复数的加减法的运算法则求出复数z，再利用复数z的实部和虚部求出复数的模。
6．【答案】-2
【知识点】二元一次不定方程
【解析】【解答】解：由题意 可知：
可对① ，得： ．
方程有无穷多解，
再与②式比较，可得： ．
故答案为： ．
【分析】利用二元一次方程组求解方法结合二元一次方程组有无穷多解，从而求出a的值。
7．【答案】15
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解： 展开式的通项为
令 得 ，
∴展开式的常数项为第3项；
∴ 常数项等于 ．
故答案为：15．
【分析】利用二项定理求出展开式中的通项公式，再利用展开式中的通项公式求出常数项。
8．【答案】
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：∵ ，
根据正弦定理得： ，
∵ ， ，
，
根据余弦定理得： ，
解得： ．
故答案为： ．
【分析】利用正弦定理和余弦定理结合已知条件求出AB的值。
9．【答案】24
【知识点】分步乘法计数原理；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：在五天里，甲连续参加2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有 种，
故答案为：24．
【分析】利用实际问题的已知条件结合分步乘法计数原理，用排列数求出不同的安排方法种数。
10．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意得： 点坐标为 ， 点坐标为 ，
，
当且仅当 时，取最小值，
故答案为： ．
【分析】利用正方形的结构特征结合均值不等式求最值的方法求出的最小值，从而求出对应的 的值 。
11．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设 ，则 点 ，
椭圆 的焦点坐标为 ， ，
，
，
结合
可得：
故 与 的夹角 满足：
，
故
故答案为：
【分析】设 ，利用点与点关于轴对称，则 点坐标为 ，
再利用椭圆的标准方程求出焦点坐标，再利用数量积的坐标表示和数量积的取值范围，用数量积表示向量的夹角，从而求出求出向量 与 的夹角范围 。
12．【答案】1或
【知识点】元素与集合的关系；函数的图象
【解析】【解答】解：当 时，当 时，则 ，
当 时，则 ，
即当 时， ；当 时， ，即 ；
当 时， ，当 时， ，即 ，
，解得 ．
当 时，当 时，则 ．
当 ，则 ，
即当 时， ，当 时， ，即 ，
即当 时， ，当 时， ，即 ，
，解得 ．
当 时，同理可得无解．
综上， 的值为1或 ．
故答案为：1或 ．
【分析】利用并集的运算法则结合元素与集合的关系判断，用恒成立问题的解决方法结合函数图象求出t的值。
13．【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解： ， 的值域为 ，故 错
， 的定义域为 ，值域也是 ，故 正确．
， 的值域为 ，故 错
， 的值域为 ，故 错．
故答案为： ．
【分析】利用函数图象和定义域求函数值域的方法求出满足值域要求的函数。
14．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解： 等价， ，得“ ”，
“ ”是“ ”的充要条件，
故答案为： ．
【分析】利用不等式的性质判断出“ ”是“ ”的充要条件。
15．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解：如图1，可得 、 、 可能两两垂直；
如图2，可得 、 、 可能两两相交；
如图3，可得 、 、 可能两两异面；
故答案为：B．
【分析】利用面面垂直的性质定理结合线面之间的位置关系，用线线平行，线线垂直，线线相交，异面直线的判定方法找出直线 、 、 不可能满足的关系。
16．【答案】A
【知识点】轨迹方程
【解析】【解答】解：因为 ，则 ，
同理可得 ，
又因为 ，
所以 ，
则 ，
即 ，
则 ，
设 ，则 为直线，
故答案为： ．
【分析】根据实际问题的已知条件结合直线的定义和图象特征求出点 的轨迹。
17．【答案】（1）解： ， 分别为 ， 的中点，
，
∴ 与 所成角为 ，
在 中，由 ， ，
可得 ，
与 的夹角为 ；
（2）解：过 作底面垂线，垂直为 ，则 为底面三角形的中心，
连接 并延长，交 于 ，则 ， ．
．
．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线所成的角
【解析】【分析】（1）利用正三棱锥的结构特征结合中位线的性质证出线线平行，从而找出异面直线所成的角，再利用余弦定理求出异面直线所成的夹角。
（2）利用正三棱锥的结构特征结合已知条件，用三棱锥的体积公式求出三棱锥的体积。
18．【答案】（1）解： ， ，
；
（2）解： ，
存在， ，且 ，
，
， ，
或 ，
公比 的取值范围为 ．
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式结合已知条件求出等差数列的公差，再利用等差数列的首项和公差结合等差数列前n项和公式求出等差数列前n项和。
（2）利用等比数列前n项和公式结合求极限的方法和数列极限的取值范围求出等比数列公比的取值范围。
19．【答案】（1）解：由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．
（2）解： 是减函数，且 ，
在 上单调递增，
令 ，解得 ，
当 时，我国卫生总费用超过12万亿，
预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．
【知识点】根据实际问题选择函数类型；随机抽样和样本估计总体的实际应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用实际问题的已知条件，用统计的方法结合 2012年 年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比表得出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势。
（2）利用实际问题的已知条件找出合适的函数模型，利用函数的单调性求出复合函数的单调性，再利用复合函数的单调性求出满足要求的函数中的自变量的取值范围，从而预测出实际问题中我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．
20．【答案】（1）解：抛物线方程 的焦点 ， ，
， 的方程为 ，代入抛物线的方程，解得 ，
抛物线的准线方程为 ，可得 ，
， ；
（2）证明：当 时， ，
设 ， ， ，则 ，
联立 和 ，可得 ，
，
，
则存在常数 ，使得 ；
（3）解：设 ， ， ，则
，
由 ，
，
则 ．
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的应用
【解析】【分析】（1）利用抛物线标准方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线定义结合的定义求出当 时的的值。
（2）利用综合法结合已知条件，用求根公式结合弦长公式，用的定义证出存在常数 ，使得 。
（3）利用抛物线标准方程求出准线方程，从而求出准线上的三点 ， ， 的坐标，再利用两点间距离相等结合两点距离公式变形化简判断出。
21．【答案】（1）解： 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ．
当 ，
集合 ．
（2）解： ，数列 满足 ，集合 恰好有两个元素，如图：
根据三角函数线，①等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰好有两个元素，此时 ，
② 终边落在 上，要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ， 的终边关于 轴对称，
如图 ， ，
此时 ，
综上， 或者 ．
（3）解：①当 时， ，集合 ，符合题意．
②当 时， ， ， ，或者 ，
等差数列 的公差 ，故 ， ，又
当 时满足条件，此时 ．
③当 时， ， ， ，或者 ，因为 ，故 ．
当 时， 满足题意．
④当 时， ， ，
所以 或者 ， ，故 ．
当 时， ，满足题意．
⑤当 时， ， ，所以 ，或者 ， ， ，故
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， ， ，不符合条件．
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 ， ， 不是整数，不符合条件．
当 时，因为 对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有 或者 ， ，或者 ，此时， 均不是整数，不符合题意．
综上， ．
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性；等差数列概念与表示；等差数列的通项公式
【解析】【分析】（1） 等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 ，利用元素和集合间的关系求出结合等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，从而求出当 时的集合S.
(2)当等差数列首项 时，利用数列 满足 ， 用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用数列的通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合 恰好有两个元素的d的值。
（3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合 恰好有三个元素，用分类讨论的方法结合已知条件 ，用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式， 再利用 是不超过7的正整数，从而求出满足要求的 的所有可能的值．
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