(共22张PPT)
1.平面两个向量的夹角
已知两个非零向量 , 作 则
叫做 向量的夹角.
a
o
关键是起点相同！
复习
A
B
2.平面两个向量的数量积
已知两个非零向量 ,它们的夹角为 ,
我们把 叫做向量 的数量
积,记做 ,即 =
零向量与任一向量的数量积为0
两个向量的数量积是数量，而不是向量.
注意:
3.数量积的几何意义
A’
的长度 与 在 的方向上
的投影 的乘积.
0
B
A
4.平面向量数量积的性质
⑴
⑵
⑶
变形
求夹角
垂直依据
长度（模）
对于非零向量 ，有：
5.平面向量数量积运算律
⑴
⑵
⑶
（数乘结合律）
（分配律）
（交换律）
注意：
数量积不满足结合律
已知平面中
则 的夹角为
若 为空间向量，
夹角如何求解呢？
因为向量可以自由平移，所以空间
中任意两个向量可以平移到同一平面内，
即空间任意两个向量共面. 因此，平面
中两个向量的夹角及数量积等相关概念、
性质可以推广到空间.
1. 两个向量的夹角
已知两个非零向量 , 作 则
叫做 向量的夹角.
1
2
3
关键是起点相同！
复习
新授
平面
空间
记作:
-b
o
B
A
2. 两个向量的数量积
已知两个非零向量 ,它们的夹角为
我们把 叫做向量 的
数量积,记做 ,即 =
两个向量的数量积是数量，而不是向量.
注意:
平面
空间
的长度 与 在 的方向上
的投影 的乘积.
3. 数量积的几何意义
0
A’
B
A
即
平面
空间
l
A
B
b
A’
B’
4. 向量数量积的性质
⑵
⑶
对于非零向量 ，有：
变形
求夹角
判断垂直
求长度（模）
⑴
平面
空间
5. 向量数量积运算律
⑴
⑵
⑶
（数乘结合律）
（分配律）
（交换律）
空间
平面
注意：
数量积不满足结合律
A
B
C
D
已知空间四边形ABCD的各边以及对
角线的长都是a，点E是CD的中点，
下列各式中数量积为正数的有
①
②
③
④
⑤
E
①
⑤
小提示:正三棱锥对
棱互相垂直.
例1:在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4,AA1=5,∠BAD=90O,∠BAA1=∠DAA1=60O
(1)求AC1的长
D
A
B
C
A1
B1
C1
D1
(2)求证: AA1⊥BD
变式:在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=3,AA1=5,∠BAD=90O,∠BAA1=∠DAA1=60O
求:异面直线AA1与BD所成角的余弦值.
A
B
C
A1
B1
C1
D1
D
由于向量夹角
而异面直线
∴
它们相等
它们互补。
问:在线段AA1上是否存在一点M使得BM⊥AC1
并求此点位置.
引申：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=4,AA1=5,∠BAD=90O,∠BAA1=∠DAA1=60O
D
A
B
C
A1
B1
C1
D1
M
练习:
3.在三棱锥O-ABC中,已知侧棱
OA,OB,OC两两互相垂直,
求证:底面△ABC是锐角三角形.
o
A
B
C
4.如图，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90o，将它沿对角线AC折起，使AB
与CD成60o,求B、D间的距离。
练习:
A
B
C
D
误区警示:
B
A
C
D
空间向量数量积的定义
空间向量数量积的性质
空间向量数量积的运用
空间向量的夹角
