抛物线标准方程
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(共23张PPT)
抛物线的标准方程
复习提问：
平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l 的距离的比是常数e的动点M 的轨迹.（直线 l 不经过点F）
·
M
F
l
0＜e ＜1
l
F
·
M
e＞1
（1）当0＜e ＜1时，点M的轨迹是什么
（2）当e＞1时，点M的轨迹是什么
椭圆
双曲线
当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
思考
. F
l
H
M
实验:取一条长为AC的绳子,一端点固定在点A 上,另一端点固定在定点F上,把笔尖放在P点上,沿着直线l上下移动三角形作出点P移动的轨迹图形.
演示
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经
过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
一、抛物线定义
想一想 定义中当直线l经过定点F，则点M的轨迹是什么？
其中 定点F叫做抛物线的焦点
定直线 l 叫做抛物线的准线
l
H
F
M
·
·
即:当|MF|=|MH|时,点M的轨迹
是抛物线
经过点F且垂直于l 的直线
l
·
F
如何求抛物线的轨迹方程呢
·
F
M
l
H
求曲线方程的基本步骤是怎样的？
想一想？
回顾求曲线方程一般步骤：
1、建系、设点
2、写出适合条件P的点M的集合
3、列方程
4、化简
5、证明(可省略)
·
·
F
M
l
N
设焦点到准线的距离为常数P(P>0)如何建立坐标系,求出抛物线的标准方程呢？
二 抛物线标准方程的推导
K
x
y
o
·
·
F
M
l
N
K
设︱KF︱= p
则F（ ，0），L：x =-
p
2
p
2
设动点M的坐标为（x，y）
由抛物线的定义可知，
化简得 y2 = 2px（p＞0）
2
解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴
二 抛物线标准方程的推导
( p> 0)
·
·
F
M
l
N
·
·
F
M
l
N
·
·
F
M
l
N
x
y
o
x
y
o
x
y
o
把方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程
而p 的几何意义是:
焦点到准线的距离
其中 焦点 F（ ，0），准线方程l：x = -
p
2
p
2
K
O
l
F
x
y
.
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.
三、标准方程
F
l
F
l
F
l
F
l
问题：仿照前面求抛物线标准方程的方法，你能建立适当的坐标系，求下列后三幅图中抛物线的方程吗
N
N
N
N
(1)
(2)
(3)
(4)
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
四种抛物线的标准方程对比
感悟归结:
1、焦点在一次项字母对应的坐标轴上.
2、一次项的系数的符号决定了抛物线的开口方向.
例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 4x，
求它的焦点坐标和准线方程；
变式：写出下列抛物线的标准方程、焦点坐标和准
线方程：
（1） 3y+5x2=0 ；（2）y=ax2（a>0）.
解: ∵2P=4,∴P=2
∴抛物线的焦点坐标是（ 1 ，0）
准线方程是x=-1
解：（1） x2 = y ，焦点坐标为（ 0， ），
准线方程是y=
（2）x2 = y , 焦点坐标为（ 0 ， ），
准线方程是y=
变式：写出下列抛物线的标准方程、焦点坐 标和准线方程：
（1） 3y+5x2=0 ； （2）y=ax2（a>0） .
感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程
（1）焦点是F（-2，0），它的标准方程_______.
（2）准线方程是y = -2，它的标准方程_______.
（3）焦点到准线的距离是4,它的标准方程_____.
例2:
y2=-8x
x2=8y
x2=±8y 、y2=±8x
（1）
（2）
（3）
解题步骤:
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：
（1）确定抛物线的形式.
（2）求p值
（3）写抛物线方程
注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论
O
y
x
变式：求焦点在直线2x+3y-6=0上
的抛物线的标准方程。
解：直线2x+3y-6=0与坐标轴的
交点为（3,0）和 （0，2）
当焦点为（0，2）时，
抛物线方程为
当焦点为（3,0）时，
抛物线方程为：
求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
．
A
O
y
x
解:（1）当抛物线的焦点在y轴
的正半轴上时，把A（-3，2）
代入x2 =2py，得p=
（2）当焦点在x轴的负半轴上时，
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
得p=
∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。
例3：
1、理解抛物线的定义,标准方程类型.
2、会求不同类型抛物线的焦点坐标、准线方程
3、掌握用待定系数法求抛物线标准方程
4、注重数形结合和分类讨论的解题方法.
小结
作业
书P46 1、2、3、4、5
抛物线的标准方程
复习提问：
平面内到一个定点F的距离和它到一条定直线l 的距离的比是常数e的动点M 的轨迹.（直线 l 不经过点F）
·
M
F
l
0＜e ＜1
l
F
·
M
e＞1
（1）当0＜e ＜1时，点M的轨迹是什么
（2）当e＞1时，点M的轨迹是什么
椭圆
双曲线
当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
思考
. F
l
H
M
实验:取一条长为AC的绳子,一端点固定在点A 上,另一端点固定在定点F上,把笔尖放在P点上,沿着直线l上下移动三角形作出点P移动的轨迹图形.
演示
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经
过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
一、抛物线定义
想一想 定义中当直线l经过定点F，则点M的轨迹是什么？
其中 定点F叫做抛物线的焦点
定直线 l 叫做抛物线的准线
l
H
F
M
·
·
即:当|MF|=|MH|时,点M的轨迹
是抛物线
经过点F且垂直于l 的直线
l
·
F
如何求抛物线的轨迹方程呢
·
F
M
l
H
求曲线方程的基本步骤是怎样的？
想一想？
回顾求曲线方程一般步骤：
1、建系、设点
2、写出适合条件P的点M的集合
3、列方程
4、化简
5、证明(可省略)
·
·
F
M
l
N
设焦点到准线的距离为常数P(P>0)如何建立坐标系,求出抛物线的标准方程呢？
二 抛物线标准方程的推导
K
x
y
o
·
·
F
M
l
N
K
设︱KF︱= p
则F（ ，0），L：x =-
p
2
p
2
设动点M的坐标为（x，y）
由抛物线的定义可知，
化简得 y2 = 2px（p＞0）
2
解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直线为x轴，线段KF的中垂线为y轴
二 抛物线标准方程的推导
( p> 0)
·
·
F
M
l
N
·
·
F
M
l
N
·
·
F
M
l
N
x
y
o
x
y
o
x
y
o
把方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程
而p 的几何意义是:
焦点到准线的距离
其中 焦点 F（ ，0），准线方程l：x = -
p
2
p
2
K
O
l
F
x
y
.
一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式.
三、标准方程
F
l
F
l
F
l
F
l
问题：仿照前面求抛物线标准方程的方法，你能建立适当的坐标系，求下列后三幅图中抛物线的方程吗
N
N
N
N
(1)
(2)
(3)
(4)
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
四种抛物线的标准方程对比
感悟归结:
1、焦点在一次项字母对应的坐标轴上.
2、一次项的系数的符号决定了抛物线的开口方向.
例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 4x，
求它的焦点坐标和准线方程；
变式：写出下列抛物线的标准方程、焦点坐标和准
线方程：
（1） 3y+5x2=0 ；（2）y=ax2（a>0）.
解: ∵2P=4,∴P=2
∴抛物线的焦点坐标是（ 1 ，0）
准线方程是x=-1
解：（1） x2 = y ，焦点坐标为（ 0， ），
准线方程是y=
（2）x2 = y , 焦点坐标为（ 0 ， ），
准线方程是y=
变式：写出下列抛物线的标准方程、焦点坐 标和准线方程：
（1） 3y+5x2=0 ； （2）y=ax2（a>0） .
感悟 ：求抛物线的焦点坐标和准线方程要先化成抛物线的标准方程
（1）焦点是F（-2，0），它的标准方程_______.
（2）准线方程是y = -2，它的标准方程_______.
（3）焦点到准线的距离是4,它的标准方程_____.
例2:
y2=-8x
x2=8y
x2=±8y 、y2=±8x
（1）
（2）
（3）
解题步骤:
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：
（1）确定抛物线的形式.
（2）求p值
（3）写抛物线方程
注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论
O
y
x
变式：求焦点在直线2x+3y-6=0上
的抛物线的标准方程。
解：直线2x+3y-6=0与坐标轴的
交点为（3,0）和 （0，2）
当焦点为（0，2）时，
抛物线方程为
当焦点为（3,0）时，
抛物线方程为：
求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
．
A
O
y
x
解:（1）当抛物线的焦点在y轴
的正半轴上时，把A（-3，2）
代入x2 =2py，得p=
（2）当焦点在x轴的负半轴上时，
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
得p=
∴抛物线的标准方程为x2 = y或y2 = x 。
例3：
1、理解抛物线的定义,标准方程类型.
2、会求不同类型抛物线的焦点坐标、准线方程
3、掌握用待定系数法求抛物线标准方程
4、注重数形结合和分类讨论的解题方法.
小结
作业
书P46 1、2、3、4、5