椭圆及其标准方程

(共15张PPT)
§2.1.1 椭圆及其标准方程
思考：
1．圆的定义是什么？
2．圆的标准方程是什么？
1. 平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。
2. 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2
探究：
3.平面上到两个定点的距离等于定长的点的轨迹又是什么呢？
当F1F2当F1F2=AB时，所形成的轨迹表示在F1F2两点间的线段。
当F1F2>AB时，所形成的轨迹不存在。
平面上与两个定点F1 ，F2的距离之和等于定长（大于| F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆。
归纳：
注意:
（1）平面上----这是大前提.
（2）动点 P与两个定点 F1，F2的距离的和是
定长，通常用2a表示.
（3）两定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点的
距离| F1F2 |叫做椭圆的焦距.通常焦距用2c表示.
（4）常数 2a 要大于焦距 2c,即a>c.
F2
F1
P
化 简
列 式
设 点
建 系
F1
F2
x
y
P( x , y )
设 P( x，y )是椭圆上任意一点
设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0)
F1
F2
x
y
P( x , y )
椭圆上的点满足|PF1 | + | PF2 |
为定值，设为2a，则2a>2c
则：
设
得
即：
O
椭圆的标准方程
x
O
F1
F2
y
O
F1
F2
y
x
方
程
特
点
（2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；
（3）焦点在分母较大的变量所对应的坐标轴上；
（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；
（4） a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；
c—半焦距.且有关系式 成立。
例1 根据下列条件，求椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（-3，0）,（3，0），椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于8；
O
F1
F2
y
x
（1）解：椭圆的焦点在x轴上，可设它的
标准方程为
由已知，得2a=8,2c=6.即a=4，c=3，故b2=a2-c2=42-32=7.
因此，所求椭圆的标准方程为
（2）两个焦点的坐标分别为（0，-4）,（0，4），并且椭圆经过点（ ）
x
O
F1
F2
y
（2）解：椭圆的焦点在y轴上，可设它的
标准方程为
由已知，得2c=8.即c=4，又c2=a2-b2,故a2=b2+16. ①
因为点 在椭圆上，所以
即
②
将①式代入②式，得
解得b2=4,b2=-12（舍去）
由①,得a2=4+16=20.
因此，所求椭圆的标准方程为
由例1的两道题可以归纳求椭圆标准方程的步骤：
1. 确定焦点的位置（在x轴上还是y轴上）；
2.设出椭圆的标准方程；
3.用待定系数法确定a,b的值,写出椭圆的标准方程.
例2 求下列方程表示的椭圆的焦点坐标：
√
√
√
一定焦点位置；二设椭圆方程；三求a、b的值.
1.椭圆的定义.
2.椭圆的标准方程 (两种方程形式).
3.椭圆的标准方程的求法.
一、P37 练习A 1.（1）（3）（5）
3.（3）（4）
二、完成焦点在y轴时的标准方程的推导过程。