圆的标准方程

(共19张PPT)
A
r
x
y
O
4.1.1 圆的标准方程
生活中的圆
复习引入
探究新知
应用举例
课堂小结
课后作业
复习引入
问题一：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（
轨迹）是圆。
问题二：平面直角坐标系中，如何确定一个
圆？
圆心：确定圆的位置
半径：确定圆的大小
问题三：圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
x
y
O
C
M(x,y)
P = { M | |MC| = r }
圆上所有点的集合
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
探究新知
问题：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
想一想
x
y
O
C
M(x,y)
圆心C(a,b),半径r
特别地,若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
标准方程
知识点一：圆的标准方程
1.说出下列圆的方程：
(1) 圆心在原点,半径为3.
(2) 圆心在点C(3, -4), 半径为7.
(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).
2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：
(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36
(2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0
(3) (x a)2 + y 2 = m2
应用举例
特殊位置的圆的方程:
圆心在原点:
x2 + y2 = r2 (r≠0)
圆心在x轴上:
(x a)2 + y2 = r2 (r≠0)
圆心在y轴上:
x2+ (y b)2 = r2 (r≠0)
圆过原点:
(x a)2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
圆心在x轴上且过原点:
(x a)2 + y2 = a2 (a≠0)
圆心在y轴上且过原点:
x 2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
圆与x轴相切:
(x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)
圆与y轴相切:
(x a)2 + (y-b)2 = a2 (a≠0)
圆与x,y轴都相切:
(x a)2 + (y±a)2 = a2 (a≠0)
例1 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上。
解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方程是：
把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点
在这个圆上；
典型例题
把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上．
知识探究二：点与圆的位置关系
探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关 系？
M
O
|OM||OM|=r
O
M
O
M
|OM|>r
点在圆内
点在圆上
点在圆外
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2点与圆的位置关系:
知识点二：点与圆的位置关系
待定系数法
解：设所求圆的方程为：
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
所求圆的方程为
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1),
B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解:∵A(1,1),B(2,-2)
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
即：x-3y-3=0
∴圆心C(-3,-2)
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
圆经过A(1,1),B(2,-2)
解2:设圆C的方程为
∵圆心在直线l:x-y+1=0上
待定系数法
练习
2.根据下列条件，求圆的方程：
（1）求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线x-y+1=0上的圆的标准方程。
（2）圆心在直线5x-3y=8上，又与两坐标轴相切，求圆的方程。
（3）求以C(1,3)为圆心，且和直线3x-4y-7=0相切的直线的方程。
1.点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的取值范围.
思考
例 已知圆的方程是x2 + y2 = r2，求经过圆上一 点 的切线的方程。
X
Y
0
解:
1.圆的标准方程
（圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系
3.求圆的标准方程的方法：
①待定系数法
②几何性质法
小结