正弦定理
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文档简介
(共20张PPT)
正弦定理 （第一课时）
C
O
N
T
E
N
T
S
Part 1
教 材 分 析
Part 2
教 法 分 析
Part 3
学 法 指 导
Part 4
教 学 过 程
Part 5
板 书 设 计
1
教材分析
本节知识是必修五第一章《解三角形》第一课时的内容，本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系、判定三角形的全等有密切联系，解三角形问题与前面所学三角函数也紧密相连，两个定理在日常生活和工业生产中有十分广泛的应用，可以说本节既是初中三角形边角关系的延续，又是三角函数知识在三角形中的一个应用，在必修教材中占有十分重要的位置。
☆ 教材的地位与作用
教材分析
教学重点：正弦定理的猜想与证明；
正弦定理的简单应用。
教学难点：正弦定理的猜想提出过程。
1
教材分析
☆ 重点、难点
(1)掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
(2)能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
☆ 教学目标
1
教材分析
知识与技能目标：
(1)学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的一种数量关系——正弦定理。
(2)在探究学习的过程中，认识到正弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
☆ 教学目标
1
教材分析
过程与方法目标：
(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识。
(2)在运用正弦定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界。
(3)通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养。
☆ 教学目标
1
教材分析
情感态度与价值观目标：
2
教法分析
教法分析
根据教材的内容和编排的特点，为了更为有效地突出重点，突破难点，本节采用以教师为主导，学生为主体，师生互动的“互助探究”的教学方法，和层层设问“问题驱动”
的教学模式。即在教学过程中，在教师的启发引导下，以
学生独立自主和合作交流为前提，以“定理的发现”为基本
探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题
开始，到猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。
3
学法指导
学法指导
指导学生掌握“观察—类比—猜想—证明—应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情境中学习，观察、类比、思考、探究、概括、动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神。
C
O
N
T
E
N
T
S
Part 1
教 材 分 析
Part 1
创设情境、布疑激趣
Part 1
教 材 分 析
Part 2
探寻特例、提出猜想
Part 1
教 材 分 析
Part 3
逻辑推理、证明猜想
Part 1
教 材 分 析
Part 4
应用举例、深化定理
4
教学过程
Part 1
教 材 分 析
Part 5
小结反思、提高认识
Part 1
教 材 分 析
Part 6
布置作业、学以致用
让学生思考交流，尝试提出解决方案，并适时引导
学生发现问题实质：三角形两角及夹边确定了，三角形就是一个确定的三角形。这个问题就是已知三角形的两角及
夹边，求其他边。
这就是本节课我们所要学习的内容———正弦定理。
4
教学过程
展示情境图。如右图，设
A、B两点在河的两岸，要测量两点
之间的距离，一测量者在A的同侧，
在所在的河岸边选定一点C，测出
A、C两点间的距离为50m,∠ACB=60°，
∠CAB=45°.求A、B两点间的距离。
我的设计意图：数学源于现实，从学生日常生活中喜闻乐见的实际问题引入，激发学生学习的兴趣。体现了数学的应用价值，使本节课自然入题。
画出直角△ABC
问题1:在直角△ABC中，请你根据正
弦函数的定义，探究一下△ABC中的边角之间
有什么关系？
4
教学过程
问题2：该结论对任意三角形都适用吗
A
B
C
a
b
c
让学生分组讨论，合作交流，共同分析各组结果，归纳得出以下结论:
问题3：探究以下几个三角形的边角关系
4
教学过程
（1）
（2）
（3）
最后和学生一起总结结果，得出猜想：在三角形中，角与所对的边满足关系：
我的设计意图：激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角形）入手进行研究，发现正弦定理。这为下一步证明树立信心，不断地使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。以直角三角形这个特例作为切入点，符合从特殊到一般的思维规律。
4
教学过程
从以上几个例子我们可以看出，无论是锐角三角形还是钝角三角形中，边角关系的结论都是成立的。要想将猜想转化为定理，需要严格的理论证明，如何证明你猜想的结论呢 (很自然引导学生证明要分锐角和钝角两种情况进行)并且教师利用引导性的语言提示学生可以通过做高转化为直角三角形的方法来证明。
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即：
引导学生利用分类讨论的思想，通过严格的推理证明来论证自己的猜想，养成严谨治学的数学品质，引导学生利用转化思想，通过作辅助线，把斜三角形转化为直角三角形，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，启发学生利用已有的知识解决新的问题。
我的设计意图
4
教学过程
例题
例1. 尝试解决开头提出的问题。
例2. 在△ABC中，已知 解三角形.
例3. 在△ABC中，已知
解三角形.
对于例1、例2教师引导，由学生自主解决；对于例3教师在讲解过程中重点强调有两解的原因.
反馈练习:解下列三角形
1.A=450，C=300，c=10cm;
2.c=54cm,b=39cm, C=1150.
我的设计意图
通过例题与练习，进一步深化对正弦定理的认识和理解，提高学生认识问题和解决问题的能力，增强应用意识。并且让学生运用正弦定理求解本节课引入的问题，能激发学生学习知识后用于实际的学习热情。
我的设计意图
4
教学过程
为了引导学生总结本节课的主要内容，教师可提出
以下问题：
通过以上的研究过程，同学们主要学到了哪
些知识与方法？你对此有何体会？
然后让学生思考交流，尝试总结，教师加以规范。
我的设计意图：通过学生的总结，极大地调动了学生的积极性，有利于培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。把以往一味老师进行课堂小结变成在老师启发引导下的学生小结反思，这更注重学生的主体地位，使数学教学成为数学活动的教学。
4
教学过程
（一）课堂作业:教科书第10页习题1.1 A组 1、2.
（二）课外探究性作业
1.正弦定理还有没有其他的证明方法？
2.三角形中还有其他的边角关系吗？
我的设计意图： 基于本节内容的特点及学生实际，通过两方面的作业，使学生在完成教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．
5
板书设计
板书设计
1.1.1 正弦定理
引入 正弦定理 例3
练习
正弦定理的 例1
推导 例2 小结、作业
我的设计意图：这样板书可以提纲挈领，突出重点，增强教学过程节奏感，有助于集中学生注意力，便于学生记忆、理解相关内容，也便于学生记录和课后复习。
感谢您的指导！
正弦定理 （第一课时）
C
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Part 1
教 材 分 析
Part 2
教 法 分 析
Part 3
学 法 指 导
Part 4
教 学 过 程
Part 5
板 书 设 计
1
教材分析
本节知识是必修五第一章《解三角形》第一课时的内容，本节内容与初中学习的三角形的边和角的基本关系、判定三角形的全等有密切联系，解三角形问题与前面所学三角函数也紧密相连，两个定理在日常生活和工业生产中有十分广泛的应用，可以说本节既是初中三角形边角关系的延续，又是三角函数知识在三角形中的一个应用，在必修教材中占有十分重要的位置。
☆ 教材的地位与作用
教材分析
教学重点：正弦定理的猜想与证明；
正弦定理的简单应用。
教学难点：正弦定理的猜想提出过程。
1
教材分析
☆ 重点、难点
(1)掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
(2)能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
☆ 教学目标
1
教材分析
知识与技能目标：
(1)学生在已有知识的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的一种数量关系——正弦定理。
(2)在探究学习的过程中，认识到正弦定理可以解决某些与测量和几何计算有关的实际问题，帮助学生提高运用有关知识解决实际问题的能力。
☆ 教学目标
1
教材分析
过程与方法目标：
(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养探索精神和创新意识。
(2)在运用正弦定理的过程中，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界。
(3)通过本节的学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化素养。
☆ 教学目标
1
教材分析
情感态度与价值观目标：
2
教法分析
教法分析
根据教材的内容和编排的特点，为了更为有效地突出重点，突破难点，本节采用以教师为主导，学生为主体，师生互动的“互助探究”的教学方法，和层层设问“问题驱动”
的教学模式。即在教学过程中，在教师的启发引导下，以
学生独立自主和合作交流为前提，以“定理的发现”为基本
探究内容，以生活实际为参照对象，让学生的思维由问题
开始，到猜想的探究，定理的推导，并逐步得到深化。
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学法指导
学法指导
指导学生掌握“观察—类比—猜想—证明—应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情境中学习，观察、类比、思考、探究、概括、动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神。
C
O
N
T
E
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T
S
Part 1
教 材 分 析
Part 1
创设情境、布疑激趣
Part 1
教 材 分 析
Part 2
探寻特例、提出猜想
Part 1
教 材 分 析
Part 3
逻辑推理、证明猜想
Part 1
教 材 分 析
Part 4
应用举例、深化定理
4
教学过程
Part 1
教 材 分 析
Part 5
小结反思、提高认识
Part 1
教 材 分 析
Part 6
布置作业、学以致用
让学生思考交流，尝试提出解决方案，并适时引导
学生发现问题实质：三角形两角及夹边确定了，三角形就是一个确定的三角形。这个问题就是已知三角形的两角及
夹边，求其他边。
这就是本节课我们所要学习的内容———正弦定理。
4
教学过程
展示情境图。如右图，设
A、B两点在河的两岸，要测量两点
之间的距离，一测量者在A的同侧，
在所在的河岸边选定一点C，测出
A、C两点间的距离为50m,∠ACB=60°，
∠CAB=45°.求A、B两点间的距离。
我的设计意图：数学源于现实，从学生日常生活中喜闻乐见的实际问题引入，激发学生学习的兴趣。体现了数学的应用价值，使本节课自然入题。
画出直角△ABC
问题1:在直角△ABC中，请你根据正
弦函数的定义，探究一下△ABC中的边角之间
有什么关系？
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教学过程
问题2：该结论对任意三角形都适用吗
A
B
C
a
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c
让学生分组讨论，合作交流，共同分析各组结果，归纳得出以下结论:
问题3：探究以下几个三角形的边角关系
4
教学过程
（1）
（2）
（3）
最后和学生一起总结结果，得出猜想：在三角形中，角与所对的边满足关系：
我的设计意图：激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角形）入手进行研究，发现正弦定理。这为下一步证明树立信心，不断地使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。以直角三角形这个特例作为切入点，符合从特殊到一般的思维规律。
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教学过程
从以上几个例子我们可以看出，无论是锐角三角形还是钝角三角形中，边角关系的结论都是成立的。要想将猜想转化为定理，需要严格的理论证明，如何证明你猜想的结论呢 (很自然引导学生证明要分锐角和钝角两种情况进行)并且教师利用引导性的语言提示学生可以通过做高转化为直角三角形的方法来证明。
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即：
引导学生利用分类讨论的思想，通过严格的推理证明来论证自己的猜想，养成严谨治学的数学品质，引导学生利用转化思想，通过作辅助线，把斜三角形转化为直角三角形，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，启发学生利用已有的知识解决新的问题。
我的设计意图
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教学过程
例题
例1. 尝试解决开头提出的问题。
例2. 在△ABC中，已知 解三角形.
例3. 在△ABC中，已知
解三角形.
对于例1、例2教师引导，由学生自主解决；对于例3教师在讲解过程中重点强调有两解的原因.
反馈练习:解下列三角形
1.A=450，C=300，c=10cm;
2.c=54cm,b=39cm, C=1150.
我的设计意图
通过例题与练习，进一步深化对正弦定理的认识和理解，提高学生认识问题和解决问题的能力，增强应用意识。并且让学生运用正弦定理求解本节课引入的问题，能激发学生学习知识后用于实际的学习热情。
我的设计意图
4
教学过程
为了引导学生总结本节课的主要内容，教师可提出
以下问题：
通过以上的研究过程，同学们主要学到了哪
些知识与方法？你对此有何体会？
然后让学生思考交流，尝试总结，教师加以规范。
我的设计意图：通过学生的总结，极大地调动了学生的积极性，有利于培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。把以往一味老师进行课堂小结变成在老师启发引导下的学生小结反思，这更注重学生的主体地位，使数学教学成为数学活动的教学。
4
教学过程
（一）课堂作业:教科书第10页习题1.1 A组 1、2.
（二）课外探究性作业
1.正弦定理还有没有其他的证明方法？
2.三角形中还有其他的边角关系吗？
我的设计意图： 基于本节内容的特点及学生实际，通过两方面的作业，使学生在完成教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．
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板书设计
板书设计
1.1.1 正弦定理
引入 正弦定理 例3
练习
正弦定理的 例1
推导 例2 小结、作业
我的设计意图：这样板书可以提纲挈领，突出重点，增强教学过程节奏感，有助于集中学生注意力，便于学生记忆、理解相关内容，也便于学生记录和课后复习。
感谢您的指导！