三角函数的周期性
教学目标：1，理解函数周期性的概念，
2，会求函数的周期.
3，培养学生由具体到抽象的归纳能力，培养学生严谨的逻辑思维能力
4，感受数学的本质，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培
养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
教学难点：周期函数的定义
教学重点：正弦函数、余弦函数周期性、计算公式及应用。
学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。在此基础上学习周期性的定义，并重点学习三角函数的周期性。
教学过程：一【创设情境，揭示课题】：
星期问题：不管某天是星期几+7天后仍然是星期几。
2，转动的摩天轮：任意一点P的位置转动一圈以后回到原来的位置。
抽象出由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象。每当增加，所得角的终边与原来的角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同，即有：成立。
二【探究新知】
1.得到周期函数的定义：
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域中每一个值时，都有
那么函数f(x)叫做周期函数，
2.理解定义
周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
若T是的周期，则kT也是f(x)的周期.
2π是函数的周期，那么的周期.
3.最小正周期的概念.
对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.
例如函数的周期中，…，－4π，－2π，2π，4π，…，存在最小正数2π，那么，2π就是的最小正周期.
函数的最小正周期也是2π，今后不加特殊说明，涉及的周期都是最小正周期.
不是每个周期函数都有最小正周期.
三【巩固深化，发展思维】
例1， P.36
变式二 ：求 的周期。
变式四： 求下列函数的最小正周期T
.
解：过程省略。.
总结一般规律：（其中为常数，且）的最小正周期是.，若，则最小正周期
布置作业：P.36练习：4 P.46习题：3
变式一：y=2sin( x- )(x∈R) 的周期。
变式三:求 y=|sinx|(x∈R)的的周期。(共17张PPT)
一、知识点回顾
1、正余弦函数的定义域
2、正余弦函数的值域
3、练习（口答）：
函数 的值域
函数 的值域
4.正弦函数.余弦函数的图象
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
简图作法
(五点作图法)
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
[问题]
7天后星期几？
1、今天星期二？
14天后呢？
98天后呢？
2、在数学当中，有没有周期性现象？
X
X+2π
y
x
0
2
4
-2
y=sinx(x∈R)
探究(一)正弦函数的周期性
自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
o
y
x
4π
8π
x
o
y
6π
12π
Sin(x+2kπ)=sinx (k z)
周期函数的定义：
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
Sin(x+2kπ)=sinx (k z)
f(x+T) ＝f(x)
(1)观察等式 是否成立？
如果成立，能不能说 是y=sinx的周期？
(2)T(T≠0)是f(x) 的周期，kT(k∈Z且k≠0)是f(x) 的周期？
2．周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(k∈Z且k≠0)一定也是周期。
Sin(x+2kπ)=sinx (k z)
f(x+T) ＝f(x)
(3)由诱导公式 ，是否可
以说 的周期为2π
由此,同学们能得出y=sin3x的周期吗
最小正周期的定义：
对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。
X
X+2π
y
x
0
2
4
-2
y=sinx(x∈R)
正弦函数最小正周期
o
y
x
4π
8π
x
o
y
6π
12π
正弦函数y=sinx(x∈R)是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期。最小正周期是2π。
X
X+2π
0
2
4
-2
探究(二)余弦函数的周期性
自变量x增加2π时函数值不断重复地出现的
y
x
y=cosx(x∈R)
cos(x+2kπ)=cosx (k z)
余弦函数y=cosx(x∈R)是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期。最小正周期是2π。
今后提到的三角函数的周期，如果不加特别说明,一般是指它的最小正周期。
例 求下列函数的周期：
（1）y=3cosx(x∈R）
（2）y=sin2x(x∈R)
变式一：y=2sin( x- )(x∈R)
练习：
１．求下列函数的周期：
探究(三) 正弦、余弦函数的奇偶性
sin(-x)= - sinx (x R)
y=sinx (x R)
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
是奇函数
x
6
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
y
cos(-x)= cosx (x R)
y=cosx (x R)
是偶函数
定义域关于原点对称
正弦、余弦函数的奇偶性
小结：
1、 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数Ｔ，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x)＝f(x+T)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
2、正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期。最小正周期是2π。.
3、 函数y=Asin(ωx+φ),x∈R及函数y=Acos(ωx+ φ),x∈R(其中A,ω, φ为常数，且
A≠0,ω>0)的周期
4 、正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数
作业:P46 .3
