人教A版 选修2—3 精讲细练
2.11 离散型随机变量及其性质
一、知识精讲
1．随机变量
（1）定义：在随机试验中，确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示，在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化；像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
（2）表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
（3）分类：
①离散型随机变量——所有取值可以一一列出的随机变量，
称为离散型随机变量．
②连续型随机变脸——如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，
这样的随机变量叫做连续型随机变量.
【注】：连续型变量课本不要求掌握，进行简单的介绍即可.
（4）特点：①可以用数表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值;
③在试验之前不可能确定取何值.
（5）随机变量与函数的关系：
相同点
随机变量与函数都是一种映射
区别
随机变量是随机试验的结果到实数的映射
函数是实数到实数的映射
联系
随机试验结果的范围相当于函数的定义域.
随机变量的取值范围相当于函数的值域.
2.离散型随机变量的分布列
（1）定义：一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x,x,…,x,…,x,
X取每一个值x(i=1,2, i…,n)的概率P(X=x)=p,以表格的形式表示如下:
X
x
x
…
x
…
x
P
p
p
…
p
…
p
此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X的分布列；
用等式可表示为P(X=x)=p,i=1,2,…,n也可以用图象来表示X的分布列.
（2）离散型随机变量的分布列的性质：
①p≥0,i=1,2,…,n ②=1
（3）写离散型随机变量的分布列的步骤：
①找出随机变量可能的取值x(i=1,2,…,n);
②求出对应取值的概率P(X=x)=p;
③列出表格.
【注1】：列离散型随机变量的分布列关键是找对变量的取值及相应的概率.
【注2】：对随机变量的取值要搞清是有限的还是无限的,若是无限的,后面要
用省略号表示.
二、典例细练
【题型一】：随机变量的判定
例题1：投掷均匀硬币一次，随机变量为（ ）
A.出现正面的次数 B.出现正面或反面的次数
C. 掷硬币的次数 D.出现正、反面次数之和
【解析】选A。掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，可以选一个标准，如正面向上来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机随机随机随机，它的取值是1、0，因此选A。而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是1，都表示随机变量，D中对应的事件是必然事件。
【点评】随机变量特点：①可以用数表示；②试验之前可以判断其可能出现的所有值;③在试验之前不可能确定取何值.
变式训练：判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是，并说明理由．
(1)某天中央电视台“非常6＋1”节目组接到热线电话的个数；
(2)新赛季，姚明在某场比赛中(48分钟)，上场比赛的时间；
(3)标准大气压下，水沸腾的温度；
(4)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次．
【解析】(1)接到热线电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)姚明在某场比赛的上场时间在[0,48]内，是随机的，故是随机变量；
(3)标准大气压下，水沸腾的温度100 ℃是定值，所以不是随机变量．
(4)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
【题型二】：离散型随机变量的判定
例题2：下列所描述的5个变量中，属于离散型随机变量的有几个。
⑴在2008张已编号的卡片（从1号到2008号）中任取一张，被取出的号数；
⑵连续不断地射击，首次命中目标需要的射击次数；
⑶从2008张已编号的卡片（从1号到2008号）中任取3张，被取出的卡片的号数和；
⑷某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差；
⑸投掷一颗骰子，六面都刻上数字6所得的点数。
【解析】看一个变量是否是随机的，即分析变量的某些值的出现是否确定，若结果不确定，则是随机的，否则不是，其中⑸中的为常值6而被唯一确定了；看一个随机变量是否是离散型的，主要看此变量的取值是否是有限的或虽无限但可以按一定顺序列举出来，而⑷中的的取值为某一范围内的实数，因而无法将其一一列出，故为连续型随机变量。由上述剖析得正确答案为 ⑴，⑵，⑶。【点评】：离散型随机变量所满足的两个条件可简单概括为：⑴离散的，即可以一一列出；⑵随机的，即取值不固定；二者一体，缺一即不可。
变式训练1：下面给出四个随机变量：①一高速公路上在1小时内经过某收费站的车辆数ξ；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；③某网站1分钟内的访问次数ξ；④1天内的温度η.
其中是离散型随机变量的为( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【解析】选择C
变式训练2：指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)白炽灯的使用寿命ξ；
(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(3)郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50 m有一电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号，而其中某一电线铁塔的编号ξ；
(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.
【解析】(1)白炽灯的寿命ξ的取值是一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以ξ不是离散型随机变量．
(2)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(3)是离散型随机变量．因为电线铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出．
(4)不是离散型随机变量．因为水位在(0,29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出．
【题型三】：离散型随机变量的分布列的性质应用
性质1辨析（非负性）：；
0
1
例题3（1）：已知离散型随机变量的分布列如右图所示，据此求出常数。
【解析】根据离散型随机变量分布列的两条基本性质可得如下方程组
0
1
，解得。进而知的分布列具体为
【点评】各变量所对应的概率为非负值，是此类问题的基本特征，是分析问题的先决条件。本题只需解出第三个方程，再代入前面两个不等式进行验证即可。
性质2辨析（必然性）：全部试验结果之和为必然事件：；
例题3（2）设是一个离散型随机变量，则下列不能够成为的概率分布列的是 。
【解析】错解对选项的分析是正确的；而对选项，裂项则有，
又，满足分布列两个性质，因此也是适合的。
正解：通过上述分析知答案为。
【点评】处理随机变量分布列问题时，在充分利用分布列的两条基本性质的基础上，注意清晰慎重，不可轻率武断。
性质1，2的综合使用
例题3（3）：设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表：
求的值。
【解析】由题意，得正解 ∵。∴。
【点评】解离散型随机变量的概率问题时，应当注意离散型随机变量的非负性与必然性的综合使用。
变式训练：设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；(2)求P；(3)求P.
【解析】(1)由P＝ak，k＝1,2,3,4,5
可知＝k＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝.
(2)由(1)可知P＝(k＝1,2,3,4,5)，
∴P＝P＋P＋P(X＝1)＝＋＋＝.
(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝.
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2.12 离散型随机变量及其分布列
两类特殊的离散型变量的分布列
①两点分布列
X
0
1
P
1－P
P
像上面这样的分布列叫做两点分布列，如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布，而称P＝P(x＝1)为成功概率．
【注】：两点分布又叫做0-1分布、伯努利分布.
②超几何分布
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列
X
0
1
…
m
P
…
为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
【题型一】：离散型随机变量的分布列
例题1（1）：已知随机变量的分布列为：
X
－2
－1
0
1
2
分别求出随机变量，的分布列。
【解析】由于对于不同的取值－2，－1，0，1，2，可得到的不同取值
－1，，0，，1，相应的概率不变。所以的分布列为：
-1
0
1
同理的值为0，1，4，且，，。所以，的分布列为：
0
1
4
例题1（2）：口袋中有7个红球与3个白球，每次随机地取一个球，取出的白球不再放回，求取得红球前已经取出的白球数的公布列。
【解析】设取得红球前已经取出的白球数为X，不难看出X的取值只有0,1,2,3四个，当X=0时，表示第一次就取得红球，概率为P（X＝0）＝；
当X＝1时，表示第一次取得白球，第二次取得红球，
概率为P（X＝1）＝；
当X＝2时，表示前两次取得白球，第三次取得红球概率为P（X＝2）
＝＝；
当X＝3时，表示前三次取得白球，第四次取得红球，概率为P（X＝3）
＝＝。
所以X的分布列如表2所示：
X
0
1
2
3
P
【点评】要求分布列之前先明确随机变量可能取的所有值，以及取每个值的意义，对于不放回抽样，概率计算要每步分析。
例题1（3）：将3个小球任意地放入4个大的玻璃杯中去，杯子中球的最大个数记为X，求X的分布列。
【解析】依题意可知，杯子中球的最大个数X的所有可能值为1，2，3，当X＝1时，对应于四个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形；当X＝2时，对应于四个杯子中恰有一个杯子放两球的情形；当X＝3时，对应于四个杯子中恰有一个杯子放三球的情形。
当X=1时，P（X＝1）＝；
当X＝2时，P（X＝2）＝＝；
当X＝3时，P（X＝3）＝。
可得X的分布列如表3：
X
1
2
3
P
【点评】求离散型随机变量的分布列，要求必须正确地求出相应的事件个数，即正确求出相应的排列、组合数，所以，掌握好排列、组合知识，是学好离散型随变量分布列的基础与前提。
例题1（4）：从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回任取3件，求取得次品数为的分布列。
【解析】设随机变量表示取出次品的个数，则服从超几何分布，其中，，，它的可能取值为0，1，2，相应的概率依次为：
。
∴的分布列为：
0
1
2
【点评】超几何分布是离散型随机变量的分布列中较常见的一种模型，要理解的意义，然后求出相应概率值，列出分布列即可。
变式训练1：某射手有5 发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列。
【解析】当时，即第五次射击与前四次不同，只要前四次射不中，都要射第五发子弹，此时不必考虑是否射中，所以，故耗用子弹数的分布列为：
变式训练2：袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的概率分布列；
(3)计算介于20分到40分之间的概率．
【解析】(1)方法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，
则P(A)＝＝. 4分
方法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件， 2分
因为P(B)＝＝， 3分
所以P(A)＝1－P(B)＝1－＝. 4分
(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.5分
P(X＝2)＝＝； 6分
P(X＝3)＝＝； 7分
P(X＝4)＝＝； 8分
P(X＝5)＝＝. 9分
所以随机变量X的概率分布列为
X
2
3
4
5
P
(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝
P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
变式训练3：(2011年高考天津卷理科16)
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在一次游戏中，（i）摸出3个白球的概率；（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.
【解析】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.
（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件,则
.
（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=,又
,且互斥,所以.
（Ⅱ）由题意可知的所有可能取值为0,1,,2,
P(=0)=,
P(=1)=,
P(=2) =,
所以的分布列是
0
1
2
P
的数学期望=+=.
变式训练4：(2011年高考江西卷理科16)
某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4
杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求X的分布列；
（2）求此员工月工资的期望．
【解析】（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则，所以所求的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
（2）设Y表示该员工的月工资，则Y的所有可能取值为3500，2800，2100，
相对的概率分别为，，，
所以．
所以此员工工资的期望为2280元．
12分
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2.21 条件概率
一、知识精讲
条件概率
1.定义：设A和B为两个事件，P(A)>0，那么，称为在“A已发生”的条件下，B发生的条件概率.读作A 发生的条件下B发生的概率．
【注】
2.计算方法
①3.两条性质：①；
②如果是B、C两个互斥事件,则.
【注】性质2使用是有前提的，必须判断好B、C是两个互斥事件的前提下才能使用性质2，否则性质2未必成立.
①事件B在事件A已发生这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的；
②所谓条件概率，是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件下，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下的概率；
③已知事件A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，求P(B|A)时，可把A看做新的基本事件空间来计算B发生的概率，即
P(B|A)＝＝＝.
二、典例细练
【题型一】：求古典概型的条件概率
例题1（1）：抛掷均匀的骰子，已知第一颗骰子掷出6点，问掷出点数之和大于等于10的概率。
【解析】设“第一颗骰子掷出6点”为事件，“掷出点数之和大于等于10”为事件，表示第一颗骰子掷出6点并且掷出点数之和大于等于10，即（6,4）、（6,5）、（6,6）；
方法一：；
方法二：.
【注1】古典概型首选方法一，一般概型运用方法二；
【注2】在计算条件概率之时，一定弄清楚AB的含义.
例题1（2）：一只盒子装有4只乒乓球，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率。
【解析】将产品编号，1号，2号，3号为一等品，4号为二等品，以表示第一次，第二次分别取到第号，第号产品，则试验的基本事件空间为
，
事件有9个基本事件，有6个基本事件，故。
【点评】该例的解法是求条件概率的常用方法，当基本事件空间容易列出时，可运用该法。
例题1（3）：从混有5张假钞的20张50元钞票中任意抽取2张，将其中1张放在验钞机上检验，发现是假钞，求两张都是假钞的概率。
【解析】记事件表示“抽到的两张都为假钞”；事件表示“抽到的两张中至少有1张为假钞”，所求概率为。
又，，
由条件概率公式得=0.118.
【点评】准确理解题意，弄清楚在什么条件下发生的事件是求条件概率的关键.
例题1（4）：从一付不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第一次抽到，求第二次也抽到的概率。
【解析】：
方法一：设第一次抽到为事件，第二次抽到为事件，两次都抽到为事件.
从52张扑克牌中不放回地抽2张的事件总数为，由分步乘法计数原理，事件的总数为，故；事件的总数为，故。由条件概率公.
方法二：第一次抽到的事件数为，两次都抽到的事件数为，故。
【点评】本题解法一应用了条件概率公式，解法二是求条件概率中一种常用的方法，要注意掌握。
变式训练：1．(2011·辽宁高考)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A. B. C. D.
【解析】 P(A)＝＝＝，P(AB)＝＝.
由条件概率计算公式，得P(B|A)＝＝＝.，选择B
变式训练2：抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为5”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求事件B发生的条件下事件A发生的概率．
【解析】抛掷红、蓝两颗骰子，所得点数的事件总数为6×6＝36，由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4＞8,4＋6＝6＋4＝5＋5＞8,5＋6＝6＋5＞8,6＋6＞8，
所以，事件B的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，故P(B)＝＝.
【题型二】：求一般概型的条件概率
例题2：任意向x轴上(0,1)这一区间内投掷一个点,问
（1）该点落在区间内的概率是多少?
（2）在(1)的条件下,求该点落在内的概率.
【解析】（1）由题意可知,任意向(0,1)这一区间内投掷一点,该点落在(0,1)内哪 个位置是等可能的,令事件A=,由几何概率的计算公式知
（2）令事件B=，则事件AB=，
所以
【题型三】：利用条件概率性质解题
例题3：有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成功．求试验成功的概率．
【解析】设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}．
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，R＝{第二次取出的球是红球}，
W＝{第二次取出的球是白球}，
则容易求得P(A)＝，P(B)＝， P(R|A)＝，P(W|A)＝，
P(R|B)＝，P(W|B)＝.
事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式，得
P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝×＋×＝0.59
变式训练1：在某次考试中，从20道题中随机抽取6道题，若考生至少能答对其中的4道即可通过；若至少能答对其中5道就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
【解析】设事件A为“该考生6道题全答对”，
事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”，
事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道答错”，
事件D为“该考生在这次考试中通过”，
事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，
则A、B、C两两互斥，且D＝A∪B∪C，
由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
∵P(AD)＝P(A∩D)＝P(A)，P(BD)＝P(B∩D)＝P(B)，
∴P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)
＝＋＝＋＝.所以他获得优秀成绩的概率是.
变式训练2：1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？
【解析】记A＝{从2号箱中取出的是红球}，B＝{从1号箱中取出的是红球}
则P(B)＝＝，P()＝1－P(B)＝，P(A|B)＝＝，P(A|)＝＝
P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()
＝×＋×＝.
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2.22 事件的相互独立性
一、知识精讲
相互独立事件
1．定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．
2.判定：①逻辑判定：两件事情的发生没有相互影响；
②概率判定：若P(AB)＝P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立．
3．性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
4.解题步骤：①确定各事件是否为相互独立事件;
②确定各事件是否同时发生;
③先求每个事件发生的概率,再求其积.
【注1】对于事件A,B,如果A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,则称这两个事件为相互独立事件；而两事件互斥是指两个事件不可能同时发生,二者之间没有相互关系.
【注2】如果事件A1,A2,…,An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率等于各个事件发生的概率的积,即P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).
二、典例细练
【题型一】：相互独立事件的判定
例题1（1）：判断下列各题中给出的事件是否是相互独立事件.
（1）甲盒中有6个白球、4个黑球，乙盒中有3个白球、5个黑球．从甲盒中摸出一个球称为甲试验，从乙盒中摸出一个球称为乙试验，事件A1表示“从甲盒中取出的是白球”，事件B1表示“从乙盒中取出的是白球”；
（2）盒中有4个白球、3个黑球，从盒中陆续取出两个球，用A2表示事件“第一次取出的是白球”，把取出的球放回盒中，事件B2表示事件“第二次取出的是白球”；
（3）盒中有4个白球、3个黑球，从盒中陆续取出两个球，用A3表示“第一次取出的是白球”，取出的球不放回，用B3表示“第二次取出的是白球”．
【解析】(1)甲试验与乙试验是两个相互独立的试验，事件A1和B1是否发生，相互之间没有影响，故事件A1与事件B1是相互独立事件．
(2)在有放回的取球中，事件A2与B2是否发生相互之间没有任何影响，因而它们是相互独立事件．
(3)在不放回的取球中，事件A发生后，事件B的概率发生了改变，因此，A3与B3不是相互独立事件．
【点评】本小题采取的判定是逻辑判定的方法，即能够判断出两件事情的发生无相互影响，没有影响就是相互独立事件；有影响就不是相互独立事件．
例题1（2）：抛硬币试验，令A＝{既有正面，又有反面}，B＝{至多有一次正面}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)抛两次硬币；(2)抛三次硬币．
【解析】(1)抛两次硬币，记1为正面，0为反面，正面、反面的可能情形为
Ω＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率各为.这时A＝{(0，1)，(1，0)}，B＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}，
AB＝{(0，1)，(1，0)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．
(2) 抛三次硬币，正面、反面的可能情形为Ω＝{(0，0，0)，（0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)}，
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝P(A)P(B)成立．从而事件A与B是相互独立的．
【点评】本小题采取的判定是概率判定的方法，即设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立；否则，事件A与事件B不相互独立
变式训练：一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
【解析】(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率各为.
这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.
由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为
Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．
于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
显然有P(AB)＝P(A)P(B)成立．从而事件A与B是相互独立的．
【题型二】：相互独立事件的概率计算
例题2（1）：如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B. C. D.
【解析】选A.设A表示：“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，
则P(A)＝，B表示：“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝.
则P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
例题2（2）：(2011高考广东卷)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
【解析】问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P1＝；第二类，需比赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P2＝×＝.故甲队获得冠军的概率为P1＋P2＝.
例题2（3）：(2010高考重庆卷)某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．
【解析】：设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝，∴p＝.
【点评】事件A、B相互独立
【题型三】：互斥事件、对立事件与相互独立事件的综合应用
例题3（1）：甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
【解析】记“第i局甲获胜”为事件Ai(i＝3,4,5)，“第j局乙获胜”为事件
Bj(j＝3,4,5)．
(1)设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则
A＝A3·A4＋B3·B4，由于各局比赛结果相互独立，故
P(A)＝P(A3·A4＋B3·B4)＝P(A3·A4)＋P(B3·B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)
＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.
(2)记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而
B＝A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5，
由于各局比赛结果相互独立，故
P(B)＝P(A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5)＝P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)
＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)
＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648
【点评】若A与B互斥，则P(A+B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立.
例题3（2）：已知A，B，C三个相互独立事件，若事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，事件C发生的概率为，求下列事件发生的概率．
(1)事件A，B，C都发生的概率．(2)事件A，B，C都不发生的概率．
(3)事件A，B，C不都发生的概率．(4)事件A，B，C至少有一个发生的概率．
(5)事件A，B，C恰有一个发生的概率．(6)事件A，B，C恰有两个发生的概率．
(7)事件A，B，C至多有两个发生的概率．
【解析】(1)记事件A1为“事件A，B，C都发生”，因为A，B，C是三个相互独立事件，所以P(A1)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)记事件A2为“事件A，B，C都不发生”，因为A，B，C是三个相互独立事件，故，，也相互独立，所以P(A2)＝P()P()P()＝××＝.
(3)记事件A3为“事件A，B，C不都发生”，则＝A1，
从而P(A3)＝1－P()＝1－P(A1)＝1－＝.
(4)记事件A4为“事件A，B，C至少有一个发生”，则＝A2，
从而P(A4)＝1－P()＝1－P(A2)＝1－＝.
(5)记事件A5为“事件A，B，C恰有一个发生”则有三种情况：
第一种，事件A发生，事件B，C不发生，即A··；
第二种，事件B发生，事件A，C不发生，即·B·；
第三种，事件C发生，事件A，B不发生，即··C；
而这三种情况不可能同时发生，即A··，·B·，··C彼此互斥，
所以P(A5)＝P(A··)＋P(·B·)＋P(··C)＝＋＋＝.
(6)记事件A6为“事件A，B，C恰有两个发生”则有三种情况：
第一种，事件A，B发生，事件C不发生，即A·B·；
第二种，事件A，C发生，事件B不发生，即A··C；
第三种，事件B，C发生，事件A不发生，即·B·C；
而这三种情况不可能同时发生，即A·B·，A··C，·B·C彼此互斥，
所以P(A6)＝P(A·B·)＋P(A··C)＋P(·B·C)＝＋＋＝.
(7)方法一：记事件A7为“事件A，B，C至多有两个发生”，则有三种情况：
第一种，事件A，B，C都不发生，即A2
第二种，事件A，B，C恰有一个发生，即A5
第三种，事件A，B，C恰有两个发生，即A6
所以P(A7)＝P(A2)＋P(A5)＋P(A6)＝＋＋＝.
方法二：记事件A7为“事件A，B，C至多有两个发生”，则＝“事件A，B，C都发生”，即＝A1，P(A7)＝1－P()＝1－P(A1)＝1－＝.
【点评】“至多”、“至少”的问题可以从对立事件的角度出去去考虑，可以使问题简单化.
变式训练1：设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．求：
(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；
(2)进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；
(3)进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．
【解析】记A表示事件“进入商场的1位顾客购买甲种商品”，则P(A)＝0.5；
记B表示事件“进入商场的1位顾客购买乙种商品”，则P(B)＝0.6；
记C表示事件“进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买”；
记D表示事件“进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种”；
记E表示事件“进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种”．
(1)易知C＝AB，则P(C)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)易知D＝A∪B，则P(D)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.
(3)易知＝ ，则P()＝P( )＝P()P()＝0.5×0.4＝0.2，
故P(E)＝1－P()＝0.8.
变式训练2：（2011高考四川文）
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．
（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．
【解析】（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则
，．
答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、．
（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则
．
答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为
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2.23 独立重复试验与二项分布
一、知识精讲
1．n次独立重复试验
（1）定义：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
（2）特点：①每次试验是在同样条件下进行；
②每次试验都只有两种结果:发生与不发生；
③各次试验中的事件是相互独立的；
④每次试验,某事件发生的概率是相同的.
2.二项分布：一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,…,n,此时称随机变量X服从二项分布,简记为，并称p为成功概率.
【注】两点分布是一种特殊的二项分布,即n=1的二项分布；故两点分布也可记为.
二、典例细练
【题型一】：独立重复试验的概率求法
例题1：某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击3次，且他各次射击是否击中目标之间没有影响，有下列结论：
①他三次都击中目标的概率是0.93；②他第三次击中目标的概率是0.9；
③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1；
④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12.
其中正确结论的序号是________(把正确结论的序号都填上)．
【解析】本题中的射击是相互独立的；
序号
判断
原因分析
①
√
3次独立重复试验恰有3次发生的概率
②
√
独立重复试验中各次试验中事件A发生的概率相同
③
×
应为P(X＝2)＝C32p2(1－p)＝3×0.92×0.1
④
√
恰好2次未击中目标等价于恰好1次击中目标
【点评】处理一类概率问题时,看能否归结为n次独立重复试验,关键是 试验能否在相同条件下重复进行.
【题型二】：二项分布及其应用
例题2（1）：已知X～B，则P(X＝2)等于( )
A. B. C. D.【解析】P(X＝2)＝C6224＝.
例题2（2）：某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现在连续射击4次，求击中目标的次数的概率分布列。
【解析】在独立重复射击中，击中目标的次数服从二项分布，，
则，0.8，，0，1，2，3，4。
∴0.0016；0.0256；
0.1536；0.4096；
0.4096。
故的概率分布列为
0
1
2
3
4
0.0016
0.0256
0.1536
0.4096
0.4096
【点评】独立重复试验问题，随机变量的分布服从二项分布，即，这里是独立重复试验的次数，是每次试验中某事件发生的概率。
例题2（3）：在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为.
(1)求其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ个，求ξ的分布列．
【解析】(1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB＋ ”，且事件A、B相互独立．
∴P(AB＋ )＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝.
(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4，
且ξ～B.∴P(ξ＝k)＝Ck4－k＝C4(k＝0,1,2,3,4)．
所以变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
变式训练1：抛掷两颗骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为P的纵坐标，求连续抛掷两颗骰子3次，点P在圆x2＋y2＝16内次数ξ的概率分布列．
【解析】P点的坐标有36种情况，而符合题意的点只有如下8个：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)，(1,3)，(2,3)，那么在抛掷骰子时，点P在圆x2＋y2＝16内的概率为＝.由题意可知，ξ～B，
所以P(ξ＝0)＝C3003＝，P(ξ＝1)＝C3112＝，
P(ξ＝2)＝C3221＝，P(ξ＝3)＝C3330＝，可得ξ的分布列如下表
ξ
0
1
2
3
P
变式训练2:甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，求：
(1)甲恰好击中目标2次的概率；(2)求乙至少击中目标2次的概率．
【解析】(1)设甲恰好击中目标2次的概率为C3＝.
(2)乙至少击中目标2次的概率为
C2·＋C3＝.
【题型三】：独立重复试验与二项分布
例题3：甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．
【解析】(1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且
P(ξ＝0)＝C30×3＝，P(ξ＝1)＝C31××2＝，
P(ξ＝2)＝C32×2＝，P(ξ＝3)＝C33×3＝，
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB＝C∪D，C，D互斥
P(C)＝C32×2××＝，
P(D)＝，P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＋＝＝.
【点评】(1)求离散型随机变量的分布列是一类重要题型，对后面学习离散型随机变量的期望方差也有重要的作用．
(2)求分布列时应注意应用超几何分布，二项分布等几何模型，以达到事半功倍
的效果．
变式训练1：某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到、红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是?,遇到红灯时停留的时间都是2 min.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(2)这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率.
【解析】(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为 事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有 遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为P(A)=；
(2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min ”为事件B,“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事件Bk(k=0,1,2).
由题意得P(B0)=；P(B1)=；P(B2)=
由于事件B等价于事件“这名学生在上学路上至多遇到2次红灯”, 所以事件B的概率为P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)=.
变式训练2：（2011高考重庆文）某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，
设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等
可能的，求该市的任4位申请人中：
（I）没有人申请A片区房源的概率；
（II）每个片区的房源都有人申请的概率。
【解析：这是等可能性事件的概率计算问题。
（I）解法一：所有可能的申请方式有34种，而“没有人申请A片区房源”的申请方式有24种。
记“没有人申请A片区房源”为事件A，则
解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.
记“申请A片区房源”为事件A，则
由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，没有人申请A片区房源的概率为
（II）所有可能的申请方式有34种，而“每个片区的房源都有人申请”的申请方式有
种.
记“每个片区的房源都有人申请”为事件B，从而有
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2.31 离散型随机变量的均值
一、知识精讲
1．离散型随机变量的均值或数学期望
(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
【注】随机变量的均值与样本的平均值的关系:随机变量的均值是一个常 数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是一个随机变量,它随样本抽取 的不同而变化.对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本平均值越来 越接近于总体的均值.
(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝ax＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.
E(Y)＝E(ax＋b)＝aE（X）＋b.
【注】此式有如下几种特殊形式:
①当b=0时,E(aX)=aE(X),此式表明常量与随机变量乘积的均值等于这个常量与随机变量的均值的乘积;
②当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,此式表明随机变量与常量和的均值等于随机变量的均值与这个常量的和;
③当a=0时,E(b)=b,此式表明常量的均值等于这个常量.
(4)求解步骤：
①写出ξ的分布列,在求ξ取每一个值的概率时,要联系概率的有关知识如古典概型,事件的概率,独立事件的概率等;
②由分布列求E(ξ);
③如果随机变量是线性关系或服从两点分布、二项分布,根据它们的均值公式计 算.
2．两点分布、二项分布的均值
(1)若随机变量X服从两点分布,则E(X)=p
(2)若X~B(n,p),则E(X)=np
【注】若离散型随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)= ?
二、典例细练
【题型一】：求离散型随机变量的均值
例题1（1）(2011年高考江西卷理科16)
某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求X的分布列； （2）求此员工月工资的期望．
【解析】（1）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则，所以所求的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
（2）设Y表示该员工的月工资，则Y的所有可能取值为3500，2800，2100，
相对的概率分别为，，，
所以．
所以此员工工资的期望为2280元．
【点评】本题考查排列、组合的基础知识及概率分布、数学期望．
例题1（2）(2011年高考福建卷理科19)
某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
5
6
7
8
P
0．4
a
b
0．1
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：（1）产品的“性价比”=；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性．
【解析】（I）因为
又由X1的概率分布列得
由
（II）由已知得，样本的频率分布表如下：
3
4
5
6
7
8
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：
3
4
5
6
7
8
P
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
所以
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为
因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为据此，乙厂的产品更具可购买性。
【点评】离散型随机变量数学期望的求解步骤：
①写出ξ的分布列,在求ξ取每一个值的概率时,要联系概率的有关知识如古典概型,事件的概率,独立事件的概率等;②由分布列求E(ξ);③如果随机变量是线性关系或服从两点分布、二项分布,根据它们的均值公式计算.
变式训练1：(2011重庆高考理科卷)
某市公租房的房源位于A、B、C三个片区．设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．求该市的任4位申请人中：
(1)恰有2人申请A片区房源的概率；
(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望．
【解析】这是等可能性事件的概率计算问题．
(1)方法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C42·22种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为＝.
方法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验．
记“申请A片区房源”为事件A，则P(A)＝.
从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为P4(2)＝C4222＝.
(2)ξ的所有可能值为1,2,3.
又P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝(或P(ξ＝2)＝＝)，
P(ξ＝3)＝＝.
综上知，ξ有分布列
ξ
1
2
3
P
从而有：Eξ＝1×＋2×＋3×＝.
变式训练2：甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.
(1)求乙投球的命中率p；
(2)若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【解析】(1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.
由题意得[1－P(B)]2＝(1－p)2＝，
解得p＝或p＝(舍去)，
所以乙投球的命中率为.
(2)由题设和(1)知
P(A)＝，P()＝，P(B)＝，P()＝.
ξ可能的取值为0,1,2,3，故
P(ξ＝0)＝P()P( )＝×2＝，
P(ξ＝1)＝P(A)P( )＋CP(B)P()P()
＝×2＋2×××＝，
P(ξ＝3)＝P(A)P(BB)＝×2＝，
P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
【题型二】：求离散型随机变量的均值的性质
例题2：节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量ξ(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是( )
ξ
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
A.706元 B．690元 C．754元 D．720元
【解析】节日期间这种鲜花需求量的均值为Eξ＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．
设利润为η，则η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450，所以Eη＝3.4Eξ－450＝3.4×340－450＝706(元)．
【点评】如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，E(Y)＝E(ax＋b)＝aE（X）＋b.
变式训练1：设ξ为离散型随机变量，则E(E(ξ)－ξ)＝( )
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【解析】选A.∵E(ξ)是常数，∴E(E(ξ)－ξ)＝E(ξ)－E(ξ)＝0.
变式训练2：设离散型随机变量ξ可能的取值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b
(k＝1,2,3,4)，又ξ的数学期望E(ξ)＝3，则a＋b＝________.
【解析】：∵E(ξ)＝1×(a＋b)＋2×(2a＋b)＋3×(3a＋b)＋4×(4a＋b)＝3，
即30a＋10b＝3，又a＋b＋2a＋b＋3a＋b＋4a＋b＝1，即10a＋4b＝1，
解得：a＝，b＝0，∴a＋b＝.
【题型三】：两点分布与二项分布的均值
例题3（1）某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数ξ的期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的期望．
【解析】 (1)投篮1次，命中次数ξ的分布列如下表：
ξ
0
1
P
0.4
0.6
则E(ξ)＝p＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B(5,0.6)．则E(η)＝np＝5×0.6＝3.
例题3（2）：(2011全国高考大纲卷)
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望．
【解析】设A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；
C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；
D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．
(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，
P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
X～B(100,0.2)，即X服从二项分布，所以期望EX＝100×0.2＝20.
【点评】此类题的解法一般分两步，一是先判断随机变量服从两点分布还是二项分布；二是代入两点分布或二项分布的均值公式计算均值．
变式训练：学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在1次游戏中，
①摸出3个白球的概率；②获奖的概率．
(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)．
【解析】(1)①设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件Ai(i＝0,1,2,3)，
P(A3)＝·＝.
②设“在1次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3.
又P(A2)＝·＋·＝，且A2，A3互斥，
所以P(B)＝P(A2)＋P(A3)＝＋＝.
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝C21×＝，P(X＝2)＝2＝.
所以X的分布列是
X
0
1
2
P
X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
【题型四】：数学期望的实际应用
例题4（1）：某渔船要对下月是否出海做出决策，如果出海后遇到好天气，可收益6000元，如果出海后天气变坏，将损失8000元，若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费。据气象部门预测，下月好天气的概率是0.6，天气变坏的概率是0.4，请你为该船做出决定，是出海还是不出海？
【解析】设该船一次出海的收益为随机变量，则其分布列为：
6000
0.6
0.4
∴。
∵，∴应该选择出海。
【点评】“出海”还是“不出海”，是将实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题，数学期望反映了随机变量取值的平均水平，用它来刻画、比较措施取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值。
例题4（2）：已知6只电器元件,其中2只次品和4只正品,每次随机抽取一只测试,不放回,直到2只次品都找到为止,且最后一只次品恰好在最后一次测试中被发现,设需要测试的次数为ξ，求ξ的数学期望。
【解析】ξ的取值为2，3，4，5，6。“ξ=2”表示“取出的两个都是次品”的事件，所以P（ξ=2）=。“ξ=3”表示“第三次取出的是次品，前两次中一个次品一个正品”的事件，所以P（ξ=3）=。 “ξ=4”表示“第四次取出的是次品，前三次中一个次品两个正品”的事件，所以P（ξ=4）==。 “ξ=5”表示“第五次取出的是次品，前四次中一个次品三个正品”的事件，所以P（ξ=5）==。“ξ=6”表示“第6次取出的是次品，前五次中一个次品四个正品”的事件，所以P（ξ=6）==。所以，Eξ=2×+3×+4×+5×+6×=。
例题4（3）某商场准备在春节期间举行促销活动，对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品价格的基础上将价格提高180元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金。假设顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的，请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利？
【解析】假设商场中奖奖金数额定为元，则顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量，其所有可能的取值为：0，，，。时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以。
同理可得：；
；
。
则顾客在三次抽奖中所获得奖金总额的期望值为
，
要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额，因此应有，所以。
故商场应将中奖奖金数额最高定为120元，才能使促销方案对自己有利。
【点评】解决该类问题时要注意正确地求出随机变量的各个取值以及相应的概率。
变式训练1：为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
(2)当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)．
【解析】(1)由题设知：乙厂生产的产品数量为98×＝35.
(2)由表格知：样本中优等品的频率为，
以此频率为概念，估计乙厂生产的优等品的数量为35×＝14.
(3)由题设知：上述5件产品中，有2件产品是优等品，则ξ服从超几何分布，于是有P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2)
得到ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
∴Eξ＝0×＋1×＋2×＝.
变式训练2：(2011·全国高考课标卷)
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果．
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94)
[94,98)
[98,102)
[102,106)
[106,110]
频数
4
12
42
32
10
(1)分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
(2)已知用B配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为
y＝
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)
【解析】(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
(2)用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90,94)，[94,102)，[102,110]的频率分别为0.04,0.54，0.42，因此
P(X＝－2)＝0.04，P(X＝2)＝0.54，P(X＝4)＝0.42，
即X的分布列为
X
－2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
X的数学期望EX＝－2×0.04＋2×0.54＋4×0.42＝2.68.
人教A版 选修2—3 精讲细练
2.32 离散型随机变量的方差
一、知识精讲
1.离散型随机变量的方差
(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称D(X)=为随机变量X的方差,并称其算术平方根为随机变量X的标准差.
(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程程度；方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.
(3)性质：设a，b为常数，则D(aX＋b)＝
(4)求解步骤：①列出随机变量的分布列;②求出随机变量的均值;
③利用定义求出随机变量的方差.
2．两点分布、二项分布的方差
(1)若随机变量X服从两点分布,则D(X)=p（1-p）
(2)若X~B(n,p),则E(X)=np（1-p）
二、典例细练
【题型一】：求离散型随机变量的方差
例题1（1）：已知随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
x
P
p
若E(ξ)＝.(1)求D(ξ)的值；(2)若η＝3ξ－2，求的值．
【解析】由＋＋p＝1，得p＝，又E(ξ)＝0×＋1×＋x＝，∴x＝2
∴(1)D(ξ)＝2×＋2×＋2×＝＝.
(2)∵η＝3ξ－2，∴D(η)＝D(3ξ－2)＝9D(ξ)，∴＝＝.
【点评】求离散型随机变量的方差的步骤：①列出随机变量的分布列;②求出随机变量的均值;③利用定义求出随机变量的方差.
例题1（2）：有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E(ξ)和D(ξ)．
【解析】这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上标有2，则P(ξ＝6)＝＝.
ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝＝.
ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝＝.
∴ξ的分布列为
ξ
6
9
12
P
∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8.
D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36.
【点评】求离散型随机变量的方差的步骤：①列出随机变量的分布列;②求出随机变量的均值;③利用定义求出随机变量的方差.
变式训练1：例1设随机变量的分布列为：求
【解析】由于
，
故依方差的定义，有
变式训练2：已知η的分布列为：
η
0
10
20
50
60
P
(1)求方差及标准差；(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
【解析】(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋
(60－16)2×＝384，∴＝8.
(2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1536.
【题型二】：两点分布、二项分布的方差
例题2：一射手命中目标的概率为。现向一目标射击8次，求击中次数的期望和方差。
【解析】服从的二项分布，
，。
变式训练1：已知随机变量ξ～B(100,0.2)，那么D(4ξ＋3)的值为( )
A．64 B．256
C．259 D．320
【解析】选B.由ξ～B(100,0.2)知随机变量ξ服从二项分布，且n＝100，p＝0.2，由公式得D(ξ)＝np(1－p)＝100×0.2×0.8＝16，因此D(4ξ＋3)＝42D(ξ)＝16×16＝256.故选B.
变式训练2：已知X～B(n，p)，E(X)＝2，D(X)＝1.6，则n，p的值分别为( )
A．100,0.8 B．20,0.4
C．10,0.2 D．10,0.8
【解析】选C.由题意可得，解得p＝0.2，n＝10.
【题型三】：用方差处理实际问题
例题3（1）：有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：
甲：
分数X
80
90
100
概率P
0.2
0.6
0.2
乙：
分数Y
80
90
100
概率P
0.4
0.2
0.4
试分析两名学生的成绩水平．
【解析】∵E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，
D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，
E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，
D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，
∴E(X)＝E(Y)，D(X)∴甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．
例题3（2）：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
甲单位不同职位月工资X1/元
1 200
1 400
1 600
1 800
获得相应职位的概率P1
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
1 000
1 400
1 800
2 200
获得相应职位的概率P2
0.4
0.3
0.2
0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
【解析】根据月工资的分布列，利用计算器可算得
E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，
D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋
(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；
E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400；
D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋
(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.
因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)＜D(X2)，
所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.
【点评】均值仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够，如果两个变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差，方差大说明随机变量取值较分散，反之则说明取值较集中、稳定．因此在利用均值和方差的意义去分析、解决问题时，两者都要分析．
变式训练1：购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1－0.999104.
(1)求一投保人在一年度内出险的概率p；
(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的均值不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费．(单位：元)
【解析】各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p，记投保的10 000人中出险的人数为ξ，则ξ～B(104，p)．
(1)记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅当ξ＝0，
P(A)＝1－P()＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)104.
又P(A)＝1－0.999104，故p＝0.001.
(2)该险种总收入为10 000a元，
支出为10 000ξ＋50 000，
盈利为η＝10 000a－(10 000ξ＋50 000)，
盈利的均值为E(η)＝10 000a－10 000E(ξ)－50 000，
由ξ～B(104,10－3)知，E(ξ)＝104×10－3，
E(η)＝104a－104E(ξ)－5×104
＝104a－104×104×10－3－5×104.
E(η)≥0?104a－104×10－5×104≥0
?a－10－5≥0?a≥15.
故每位投保人应交纳的最低保险费为15元．
变式训练2：农科所培养出良种杂交水稻品种进行试验种植，在相同的条件下各种植10亩。收获情况如下:
A品种
亩产量(kg)
750
780
800
840
880
亩数
2.5
1.5
2
2.5
1.5
B品种
亩产量(kg)
760
780
800
820
850
亩数
2
2
3
2
1
试评价两种水稻品种产量的优劣状况。
【解析】设A,B两种水稻的亩产量分别为ξ1,ξ2。随机变量ξ1的概率分布为：
ξ1
750
780
800
840
880
P
0.25
0.15
0.2
0.25
0.15
随机变量ξ2的概率分布为：
ξ2
760
780
800
820
850
P
0.2
0.2
0.3
0.2
0.1
经计算，Eξ1=806.5,Eξ2=797.0，Dξ1=2002.7,Dξ2=721.0。
A品种水稻亩产量的均值略高于B品种，但B品种亩产量方差远比A品种的小，即B品种产量较为稳定，种植风险小。
人教A版 选修2—3 精讲细练
随机变量及其分布章末整合
几种常见的分布列题型篇（一）
【题型一】：两点分布
例题1：某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则P(ξ＝1)等于( )
A．0 B. C. D.
【解析】成功率为，失败率为，P(ξ＝1)＝.
例题2：若离散型随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
P
9a2－a
3－8a
求常数a及相应的分布列．
【解析】由离散型随机变量的性质可得
，解得a＝或a＝(舍去)．
随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
P
【注】两点分布列
X
0
1
P
1－P
P
像上面这样的分布列叫做两点分布列，如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布.
【题型二】：几何分布
例题1：在一袋中装有一只红球和9只白球，每次从中任取一球，取后放回，直到取到红球为止，求取球次数ξ的分布列
【解析】ξ取1，2，3，…，每次取球相互独立，系几何分布
ξ
1
2
3
…
k
…
P
0.1
0.9×0.1
0.92×0.1
…
0.9k-1×0.1
…
例题2：某射手有5 发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列。
【解析】由题意，的取值是1,2,3,4,5。当时，；当时，即第一次没命中，第二次命中，；同理；；当时，即第五次射击与前四次不同，只要前四次射不中，都要射第五发子弹，此时不必考虑是否射中，所以，故耗用子弹数的分布列为：
例题3：（2010全国卷2理）如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．
（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；
（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．
【解析】
【注】几何分布： g(k，p)=，其中k＝0,1,2,…，．
ξ
1
2
3
…
k
…
P
…
…
【题型三】：超几何分布
例题1：(2011年高考辽宁卷理科19（Ⅰ）)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
【解析】（I）X可能的取值为0,1,2,3,4,且
即X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
X的数学期望是：
.
例题2：(2011年高考广东卷理科17)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足≥175且y≥75，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）.
【解析】解：（1），即乙厂生产的产品数量为35件。
（2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品
故乙厂生产有大约（件）优等品，
（3）的取值为0，1，2。
所以的分布列为
0
1
2
P
故
例题3：（2009全国卷Ⅱ文）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。
【解析】（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人.
（2）记表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则 （3）表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有名男工人，
表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有名男工人，
表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人。
与独立， ，且
例题4：某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位：克)重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．
:(1)根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
(3)从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．
【解析】(1)重量超过505克的产品数量是
40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12件．
(2)Y的可能取值为0,1,2
P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，
P(Y＝2)＝＝.
Y
0
1
2
P
Y的分布列
(3)从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率是
＝.
【注】在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列
X
0
1
…
m
P
…
为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．
人教A版 选修2—3 精讲细练
随机变量及其分布章末整合
几种常见的分布列题型篇（二）
【题型四】：二项分布
例题1：（2010四川理）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。（Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；
（Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.
【解析】（1）设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么
P(A)=P(B)=P(C)=
P()=P(A)P()P()=
答：甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为
（2）ξ的可能值为0,1,2,3
P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)
所以中奖人数ξ的分布列为ξ
0
1
2
3
P
Eξ=0×+1×+2×+3×=
例题2：（2010天津理）（本小题满分12分）
某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率；
（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。
【解析】（1）设为射手在5次射击中击中目标的次数，则~.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）解：设“第次射击击中目标”为事件；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件,则
==
（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为
=
所以的分布列是
例题3：（2010全国卷1理）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．
(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
(II)记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求的分布列及期望．
【注】一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=,k=0,1,2,…,n,此时称随机变量X服从二项分布,简记为，并称p为成功概率.
【题型五】：正态分布
例题1：(2011年高考湖北卷理科5)已知随机变量服从正态分布，且，则
A. B. C. D.
【解析】
如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于
直线对称，所以，
并且；
则；
所以选C.
例题2：某学校高三2 500名学生第二次模拟考试总成绩服从正态分布N(500,502)，请您判断考生成绩X在550～600分的人数．
【解析】∵考生成绩X～N(500,502)，∴μ＝500，σ＝50，
∴P(550＜X≤600)＝[P(500－2×50＜X≤500＋2×50)－P(500－50＜X≤500＋50)]＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，
∴考生成绩在550～600分的人数为2 500×0.135 9≈340(人)．
【题型六】：根据题意写出分布列
例题1：(2011年高考全国新课标卷理科19):某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A配方的频数分布表
指标值分组
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
频数
4
12
42
32
8
（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为
从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以实验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）
【解析】（Ⅰ）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的平率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间的频率分别为0.04，,054,0.42，因此X的可能值为-2,2,4
P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,
X
-2
2
4
P
0.04
0.54
0.42
即X的分布列为
X的数学期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68
例题2：(2011年高考福建卷理科19)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级
系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执
行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，
产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
5
6
7
8
P
0．4
a
b
0．1
且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；
（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：（1）产品的“性价比”=；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性．
【解析】（I）因为
又由X1的概率分布列得
由
（II）由已知得，样本的频率分布表如下：
3
4
5
6
7
8
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：
3
4
5
6
7
8
P
0．3
0．2
0．2
0．1
0．1
0．1
所以
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比
因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比
据此，乙厂的产品更具可购买性。
例题3：（2009全国卷Ⅱ理）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙
组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简
单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（3）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。 【解析】（1）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意；此分层抽样与性别无关。
（2）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。
从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率
（3）的可能取值为0，1，2，3
，，
，
分布列及期望略.
