函数与图像整章教案
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文档简介
第18章 函数及其图象
18.1 变量与函数
一、素质教育目标
(一)知识储备点
1.通过直观感知,领悟常量、变量、函数的意义.毛
2.了解函数的三种表示方法.
3.学会求已知函数自变量的取值范围.
4.学会求给定函数的函数值.
(二)能力培养点
经历对熟悉的具体事例数量关系的探索过程,体验函数是刻画事物变化规律的 常用方法,初步形成用函数描述事物变化规律的习惯.
二、教学设想
1.重点、难点、疑点
重点:在具体的问题情境中,探究出相应的函数关系式.
难点:对函数概念和对应思想的理解.
疑点:从图象、表格中获取有用的信息.
2.课型及基本教学思路
课型:新授课.
教学思路:问题情境━━概念归纳━━解决问题━━例题演示.
三、媒体平台
1.教具学具准备
教具:多媒体一台
学具:三角板一副、几何练习本一本、剪刀一把,正方形卡片若干张.
2.多媒体课件撷英
(1)课件资讯
利用多媒体制作“试一试”中问题1、问题2、问题3、问题4和例题等幻灯片； “圆的面积与半径的关系”课件、“涂方格子”课件、“重叠部分面积”课件(华 东师范大学出版社教学光盘).
(2)素材储备
利用幻灯片1、2、3、4、5展现“试一试”中问题1、2、3、4和例题,插入相应 的对话框和图片;课件:涂方格子、重叠部分面积等.
四、课时安排
2课时.
五、教学设计
第1课时 变量与函数
教学目标：
1.初步学会从图形(或图象),表格中获取有用信息.毛
2.了解常量、变量、函数的意义,了解函数的三种表示方法.
3.能够列出简单问题的函数解析式.
教学重点与难点：
1. 能用恰当的函数表示法描述某些实际问题中变量之间的关系。
2.逐步学会运用函数的观点观察、分析问题，预测实际问题中变量的版画规律
教学过程：
一、情境导入
1、观察情境图(利用多媒体演示情境图),并思考:情境图中哪些物体是运动变化的 怎样刻画这些物体运动变化的规律
二、课前热身
(1)怎样刻画路程、速度和时间之间的规律
(2)怎样刻画圆的面积与它的半径之间的规律
(3)银行里怎样展示存款期限与相应的存款利率之间的规律的
三、合作探究
(1)整体感知
如何利用数学知识定量刻画事物的运动变化规律呢 数学家们经过很长时间的 探索和研究,发现引入了函数的知识来表示这个动态过程.从本节课开始我们将学习 这一部分知识.
(2)四边互动
互动1
如图17-1-1是所示某地一天内的气温变化图.
温度T(℃) 时间t(时)
看图回答:
(1)这一天的6时、10时和14时的气温分别为多少
(2)这一天中,最高气温是多少 最低气温是多少
(3)这一天中,什么时段气温在逐渐上升 什么时段气温在逐渐降低
生:首先独立思考,再小组交流、讨论,然后举手回答.
师:在这个变化过程中,任选时刻t的一个确定值,温度T有几个值和这个时刻相 对应
生:独立思考后和同桌交流,举手回答.
明确 师生共同归纳:在该图形(或图象)中,任取一个时刻t的一个确定值,温度 T都有唯一的一个值和该时刻t相对应.
互动2
银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2002年7月中国工商银 行为“整存整取”的存款方式规定的年利率.
┌─────┬────┬───┬────┬───┬────┬────┐
│ 存期x │ 三月 │ 六月 │ 一年 │ 二年 │ 三年 │五年 │
├─────┼────┼───┼────┼───┼────┼────┤
│年利率y(%)│ 1.7100 │1.8900│ 1.9800 │2.2500│ 2.5200 │2.7900 │
└─────┴────┴───┴────┴───┴────┴────┘
观察上表,说一说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的.
生:逐个举手回答,不断补充完善.
师:观察上述表格,在上述变化过程中,任取存期x的一个确定的值,年利率y有几 个值和它对应
生:讨论并回答问题.
明确 师生共同归纳:从表格中可以看出,任取一个存期x的一个确定值,年利率 y都有唯一的一个值和该存期x相对应.
互动3
如图17-1-2所示的收音机刻度盘的波长和频率分别是用米和千赫兹为单位表刻 的.下表是一些对应的数值.
图17-1-2
┌───────┬──┬──┬───┬──┬───┐
│ 波长L(米) │300 │ 500│ 600 │000 │1500 │
├───────┼──┼──┼───┼──┼───┤
│频率f(千赫兹) │1000│ 600│ 500 │300 │ 200 │
└───────┴──┴──┴───┴──┴───┘
观察表格,你发现L与f之间存在怎样的规律 波长L越长,频率f将怎样变化
生:举手回答问题.
师:观察表格,在上述变化过程中,任取波长L的一个确定值,频率f有几个值和它 对应
生:独立思考后,举手回答.
明确 师生共同归纳:结论与问题1、2相同.
互动4
如果用r表示圆的半径,S表示圆的面积,则S与r满足的关系是:S=_____.利用这 个关系式填写下表:
┌──────┬─┬──┬─┬──┬───┬──┐
│半径r(厘米) │ 1│ 1.5│ 2│ 2.6│ 3.2 │ … │
├──────┼─┼──┼─┼──┼───┼──┤
│面积S(厘米2)│ │ │ │ │ │ │
└──────┴─┴──┴─┴──┴───┴──┘
从表格中你发现:圆的半径越大,它的面积就_______.
生:完成上述空格,并和同桌交流结果.
师:在上述变化过程中,任取圆的半径r的一个确定值,其面积S有几个值和它相 对应
生:思考交流后举手回答.
明确 师生共同归纳:结论与问题1、2、3相同.
互动5
师:在问题1、2、3、4中,分别涉及几个可以取不同值的量(变量) 把它们一一 说出来.
生:讨论交流.
师:同学们能够把问题1、2、3、4中反映变化过程的共同规律用自己的语言概 括归纳出来吗
生:独立尝试后,交流讨论.
明确 师生共同归纳得出下列结论:(利用多媒体展示或板演)
在某个变化过程中,可以取不同的值叫做变量,保持不变的量叫做常量.
在霜个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确 定的值和它相对应,我们就说x是自变量,y是因变量,或称y是x的函数.
互动6
师:根据问题1、2、3、4,说说函数有哪些表示方法
生:交流讨论后,举手回答,不断补充完善.
明确 师生共同归纳:函数通常有三种表示方法.
(1)解析法,例如问题3中的f=,问题4中的S=.
(2)列表法,例如问题2、3中的表格.
(3)图象法,例如问题1中的气温曲线.
互动7
师:利用多媒体演示例题内容.
小明为了表示爷爷吃过晚饭后,出门散步、报亭看报、回家的过程,绘制了爷爷 离家的路程S(米)与外出的时间(分)之间的关系图(如图17-1-3所示),请根据这个关 系图回答下列问题.
(1)这个关系图反映了哪几个变量之间的关系
(2)任取变量t的一个值,变量S有几个值与它对应,变量S是t的函数吗
(3)报亭离爷爷家多远 爷爷在报亭看了多长时间的报
(4)爷爷出门、返回的平均速度分别是多少
生:在合作交流的基础上,举手逐个回答问题.
明确 确定两个变量之间的相依关系是否是函数,必须把握住函数的概念.
四、达标反馈
(1)指出下列变化关系中,哪些y是x的函数 哪些不是 说出你的理由.
①xy=2;(是) ②x2+y2=10;(否)
③x+y=5;(是) ④│y│=3x+1;(否)
⑤y=x2-4x+5;(是)
(2)写出下列问题中的函数关系式,并指出其中的常量与变量.
①等腰三角形的顶角度数y与底角度数x的关系式;
②时速为110千米的火车行驶的路程y(千米)与行驶的时间x(小时)之间的关系 式;
③底边长为10的三角形的面积y与高x之间的关系式;
④某种弹簧原长20厘米,每挂重物1千克,伸长0.2厘米,挂上重物后的长度y(厘 米)与所挂上的重物x(千克)之间的关系式;
⑤某种饮水机盛满20升水,打开阀门每分钟可流出0.2升水,饮水机中剩余水量 y(升)与放水时间x(分)之间的关系式.
答案:①y=180-2x ②y=110x ③y=5x ④y=20+0.2x ⑤y=20-0.2x
五、课堂小结
(1)内容总结
意义
函数 表示法 解析法
列表法
图象法
(2)方法归纳 函数是表示事物运动变化的常用方法.
六、延伸拓展
1.链接生活
“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来 ,睡了一觉.当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是 先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则如图17-1 -4所示的图象中与故事情节相吻合的是 (D)
2.实践探索
①实践活动
取长为40厘米的铝丝一根,弯折成矩形,通过测量,找出使面积最大时,矩形相邻 两边的长度.
②巩固练习：课本第26页练习第2题、第3题;第28页习题17.1第1题和第29页第4题.
七、板书设计:毛
┌──┬───────────┬───────┐
│ │ 课题:变量与函数(1) │ │
│例题│常量、变量、函数的意义│多媒体演示内容│
│ │函数的表示方法 │ │
└──┴───────────┴───────┘
18.1 变量与函数(第2课时)
教学目标
1.学会求函数自变量的取值范围,了解实际情境中对函数自变量取值的限制.毛
2.理解函数自变量与函数值的对应关系,会求指定条件下的函数值.
3.会求具体问题中的函数关系式.
教学重点与难点
1.学会求函数自变量的取值范围,了解实际情境中对函数自变量取值的限制.毛
2.理解函数自变量与函数值的对应关系,会求指定条件下的函数值.
教学过程
一、复习导入
(1)为了刻画事物变化规律,数学上常用 函数 表示;
(2)函数的表示方法主要有 列表法、图象法、解析法;
(3)在220伏特的照明电路中,经过电灯的电流强度I(安培)与电灯的电阻R(欧姆 )之间的函数关系式可以表示为I=.
二、课前热身
思考:(1)如果分式的分母中含有字母,那么这个字母的取值有什么限制
(2)如果二次根式的被开方式中含有字母,那么这个字母的取值有什么限制
(3)当x=时,代数式的值是多少
三、合作探究
(1)整体感知
上节课我们学习了常量、变量、函数的意义及函数的三种主要表示方法，本节 课我们将着重探讨如何确定函数自变量的取值范围以及已知函数自变量的一个固定 值如何求函数的对应值的方法.
(2)四边互动
互动1
填写如图17-1-5所示的加法表,然后把所有填有10的格子涂黑,看看你能发现什 么
17-1-5
如果把这些涂黑的格子横向的加数用x来表示,纵向的加数用y来表示,试写出y 与x之间的函数关系式.
生:动手操作,同桌交流操作结果.
明确 师生共同归纳可知:如果把方格纸中的方格边长不断缩小,将发现这些涂 黑的方格逐渐变成点,这些点位于同一条直线上;y与x之间的函数关系可以表示为y =10-x.
互动2
师:利用幻灯片演示“试一试”中问题(2).
试写出等腰三角形顶角的底数y与底角度数x之间的函数关系式.
生:经过独立尝试后,交流各自的结果.
明确 师生共同归纳得:根据三角形的内角和公式及等腰三角形的特征“等腰 三角形同底上的两个底角相等”可知:y=180-2x.
互动3
师:利用幻灯片演示“试一试”中的问题(3),并演示“重叠部分面积”课件.
如图17-1-6所示,等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10厘米 ,AC与MN在同一条直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重 合.试写出重叠部分面积y(厘米2)与MA的长度x(厘米)之间的函数关系式.
师(点拨):重叠部分的△AMD是什么三角形 边AM与DM之间存在怎样的大小关系
生:分组讨论,小组推选代表回答,不断补充完善.
明确 师生共同归纳得:由于△ABC是等腰直角三角形,得出∠BAC=∠ADM=45° ,所以AM=DM=x,因为S△ADM=AM·DM,所以y=x2.
互动4
师:利用幻灯片演示提出的问题.
在上述“试一试”中出现的各个函数的自变量的取值范围有限制吗 如果有,分 别写出它的取值范围.
生:讨论交流后,回答问题.
明确 从“试一试”问题(1)中可以看出:横向和纵向的加数都是正整数,因此:
,解得0归纳可知:在反映实际问题的函数中,函数自变量的取值范围必须满足“使实际 有意义”.
互动5
师:利用多媒体演示幻灯片5.
【例1】求下列函数中自变量的取值范围:
(1)y=3x-1 (2)y=2x2+7
(3)y= (4)y=.
生:讨论交流后,举手上讲台板演,然后学生互评.
明确 在问题(1)(2)中,由于函数是关于自变量的整式,所以x为一切实数;在问 题(3)中,由于函数是关于自变量的分式,必须使分母不为零,所以x≠-2;在问题(4) 中,由于函数是关于自变量的二次根式,必须使被开方式非负,所以x≥2.
归纳上述结论可知:(相对于已学知识而言)函数自变量的取值范围必须满足下 列条件:
(1)使分母不为零;
(2)使二次根式中被开方式非负;
(3)使实际有意义.
互动6
师:利用多媒体演示幻灯片6.
【例2】在上试“试一试”的问题(3)中,当MA=1厘米时,重叠部分的面积是多少
生:独立尝试后,和同学们交流.
师:请同学们求出(1)当x=6时,例1中各题对应的y的值;(2)当y=9时,例1各题中 对应的x的值.
生:推选四名同学板演,互评答题结果.
明确 在给定的函数中,取自变量的一个固定值,可以计算出与之对应的函数一 个值(简称函数值),其计算的方法与求代数式的值的方法相同;取一个函数值,通过 构建方程,可以求出对应的自变量的值.
四、达标反馈
课本第28页中的练习第1题、第2题、第3题.
(教师来回巡视,进行点拨、交流或合作,最后请同学们推选代表发言.)
五、学习小结
(1)内容总结
函数 自变量取值范围的限制条件
函数值的求法
(2)方法归纳
求函数自变量的取值范围,常常首先依据函数关系式的结构特点或依据实际构 建不等式或不等式组,通过解不等式(组)达到解决问题的目的.
在给定一个函数解析式的条件下,已知自变量的一个固定值,可以利用求代数式 的值的方法求出函数的对应值;已知函数的一个固定值,可以首先构建方程,通过解 方程求出自变量的对应值.
六、拓展延伸
1.链接生活
如图17-1-7所示,一堵旧墙长8米,现要借助旧墙用20米长的篱笆围成一个矩形 养鸡场,其中垂直于墙的一边留一个宽1米的木门,设垂直于墙的另一边长为x米,试 求养鸡场的面积y(米2)与x(米)的函数关系式,并求出x的取值范围.
2.实践探索
(1)实践活动
请同学们收集社会生活中有关函数应用的一个实例,写出该函数关系式,求出函 数自变量的取值范围,并取一个使实际有意义的自变量的值,求出对应的函数值.
(2)巩固练习
课本第29页第2题、第3题、第5题、第6题.
七、板书设计
┌───────────────┬──────────┐
│课题 │ │
│函数自变量取值范围的确定方法 │ │
│函数值的求法 │多媒体演示(投影幕) │
├───────────────┤ │
│学生板演内容 │ │
└───────────────┴──────────┘
八、资料下载
函数
函数(Function)是数学中最基本、最重要的概念之一.在历史上,函数概念的出 现与解析几何的产生有密切联系.17世纪上半叶,笛卡儿把变量引入了数学,他指出 了平面上的点与实数对(x,y)之间的对应关系.当动点做曲线运动时,它的x坐标和y 坐标相互依赖并同时发生变化,其关系可由包含x、y的方程式给出.相应的方程式就 揭示了变量x和y之间的关系.
“函数”作为数学术语是莱布尼兹首次采用的.他在1692年的论文中第一次提 出函数这一概念.起初他用函数一词表示x的幂(即x、x2、x3…),后来他又用函数表 示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等几何量.现在一般把莱布尼兹引用的函数 概念的最初形式看作是函数的第一个定义.把函数理解为幂的同义语,可以看作是函 数概念的解析的起源;用函数表示某些几何量,可以看作是函数概念的几何起源.
随着数学的发展,函数的定义不断地得到改进和明确.毛
18.2 函数的图像
1.平面直角坐标系(一)
教学目的：
1．使学生理解平面直角坐标系的意义，会建立直角坐标系．
2．掌握平面内的点与有序实数对的一一对应关系，并能熟练地根据坐标找出平面内的点，由点求得坐标．
3.使学生掌握平面内一点关于x轴，y轴及原点的对称点的坐标．
4．能熟练地指出某些几何图形在坐标平面内一些点的坐标．
教学重点和难点：
使学生掌握x轴和y轴上的点及四个象限内点的坐标具有的特征，平行x轴和y轴的直线上的点和第一、三象限角平分线，第二、四象限角平分线上点的坐标的特征，使学生懂得建立了平面直角坐标系，就使平面上的点与一对有序实数之间建立起一一对应关系，这就建立了“数”与“形”之间的联系．
教学过程
一、复习提问
1．什么是数轴？(规定了原点，正方向及长度单位的直线)
2．数轴上的点与实数间的关系是什么？(一一对应关系，即数轴上每一个点的位置都能用一个实数表示，反之，任何一个实数在数轴上都有唯一的一个点和它对应，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标)．
二、新课
问题：你去过电影院吗？还记得在电影院是怎么找座位的吗？
（答：电影票上都标有“x排Хx座”的字样，所以找座位时，先找到第几排，再找到这一排的第几座就可以了。也就是说，电影院里的座位完全可以由两个数确定下来。）
在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．
1、如何在平面内建立直角坐标系呢？
（1）在平面内取互相垂直有公共原点的两条数轴；取向右，向上的方向为正方向；两条数轴的单位长度相同．
(2)指出坐标系中各部分的名称(x轴，y轴，原点及第一、二、三、四象限)．
(3)x轴及y轴上的点属于哪个象限？
2． 学生已经知道两个实数可以表示平面内的点，图1中的点M，N的坐标如何表示呢？
由M点向x轴和y轴分别引垂线，垂足在x轴坐标为1，在y轴坐标为3，一对实数1，3就表示了M点的位置，1叫M点的横坐标，3叫M点的纵坐标，记作M(1，3)，容易得到N点坐标为(4，－1)，特别要指出：一个点的横纵坐标不能写颠倒，(1，3)和(3，1)是两组不同的实数对，表示平面内不同的点．
由学生回答，若给出实数对(－2，2)，(3，－2)，如何在坐标系中找出对应的点，并把点画在图1中．
例1 在坐标系中，如图2，指出A点、B点、C点坐标,同时指出各点所在的象限．
由上面的例1引导学生总结出四个象限内点的坐标的特征，并画出图3帮助同学们记忆．
练习：点P（x,y ）的坐标满足xy>0,x+y<0 ，则点P在第 象限。
例2 在坐标平面内，
(1)x轴上点的纵坐标有什么特点？
(2)y轴上点的横坐标有什么特点？
(3)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？
(4)第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点？
分析:由(1)和(2)总结出：一般地x轴上点的坐标表示为P(x，0)，y轴上点的坐标表示为P(0，y).(3),(4)省略.
例3 在直角坐标系中画出下列各点:
A(2 ,3) ,B(-2 ,3) C( -2 ,- 3) ,D( 2 ,-3)
引导学生得出若P(a，b)，则P点关于x轴对称点P1的坐标：横坐标与P的横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反，即P1(a，-b)； P点关于y轴的对称点P2点的坐标；横坐标与P点横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标与P点纵坐标相同，即P2(-a，b)；P点关于原点的对称点坐标：横纵坐标与P点的横纵坐标绝对值相等，符号相反，即P3(-a，-b)．
对称点的坐标可归纳成下表
练习：点P（-2，1）关于x轴的对称点是 ，关于y轴的对称点是 ，关于原点的对称点坐标是 。
注：点P（a,b）关于y=x轴的对称点是(b,a) ，点P(a,b)关于y=-x轴的对称点是(-b,-a).
例4：已知长方形ABCD，边长分别为6和4，如图8，求其四个顶点坐标；对角线交点坐标．
例5 如图11，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上,
分析：因为D点在第一象限角平分线上，所以D点的横坐标与纵坐标相同，又D、C在平行x轴直线上，所以D、C点纵坐标相同，结合平行四边形性质，即可求出各顶点坐标了．
在引导学生分析的基础上，由同学们完成此题，D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．
例6：已知等边的两个顶点的坐标为A（-4，0）、B（2，0）。试求：（1）C点的坐标；（2）的面积。
例7：一个菱形较短的对角线的长是2，有一个内角是。取两条对角线所在的直线为坐标轴，求它四个顶点的坐标。
拓展：两点间的距离公式
如图，A、B两点在x轴上，求A、B之间的距离；
如图，C、D两点在y轴上，求C、D之间的距离;
求P、Q两点之间的距离。
归纳：
练习：求下列两点间的距离。
A(3,4),B(-4,-3);
C(3,4),D(-3,4);
四、课堂小结：
(1)如何建立平面直角坐标系．
(2)各象限内的点及x轴，y轴上的点的特征．
(4)关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数.关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同.关于原点对称的两点，横坐标、纵坐标均互为相反数。
五、板书设计
六、课后反思
函数的表示法与函数的图象
教学目标：
1、知道函数图象的意义；
2、能画出简单函数的图象，会列表、描点、连线；
3、能从图象上由自变量的值求出对应的函数的近似值。
教学重点和难点：
重点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。
难点：对已恬图象能读图、识图，从图象解释函数变化关系。
教学过程设计：
一、复习：
1、什么叫函数？
2、什么叫平面直角坐标系？
3、如果已知一个点的坐标，可在坐标平面内画出几个点？反过来，如果坐标平面内的一个点确定，这个点的坐标有几个？这样的点和坐标的对应关系，叫做什么对应？（答：叫做坐标平面内的点与有序实数对一一对应）
二、新课：
一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成．图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．
例1 画出函数y＝x2的图象．
分析 要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变量的值，并求出对应的函数值．
解 取自变量x的一些值，例如x＝－3，－2,－1，0，1，2，3 …，计算出对应的函数值．为表达方便，可列表如下：
由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：
…，（－3，4.5），（－2，2），（－1，0.5），（0，0），（1，0.5），（2，2），（3，4.5），…
在直角坐标系中，描出这些有序实数对(坐标)的对应点，如图18.2.4所示．
通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图18.2.5所示．
图18.2.5
这里画函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法．
归纳：列表、描点、连线。列表时应注意自变量的取值范围，取值时可由小到大，或从中间向两边取，选点要具有代表性，尽量使画出的函数图像能反映出函数的全貌。连线时，要用平滑的曲线，顺次连结。这种方法叫描点法。对于画直线，只要描两个点就可以了。
课堂练习：
在所给的直角坐标系中画出函数y=x的图象（先填写下表，再描点、连线）.
（第1题）
2．画出函数y=的图象.
例2
王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图18.2.6中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时），看图回答下列问题：
图18.2.6
小强让爷爷先上多少米？
山顶高多少米？谁先爬上山顶？
课堂练习：
1．下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答：
从1830年到1998年，世界总人口数呈怎样的变化趋势？
在图中，显示哪一段时间中世界总人口数变化最快？
()
2．一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是（ ）.
小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系.你能根据图象说出小明散步过程中的一些具体信息吗？
例3：王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式
y=击球，球正好进洞．其中，y（m）是球的飞行高度，x（m）是球
飞出的水平距离．
试画出高尔夫球飞行的路线；
从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？球的起点与洞之间的距离是多少？
分 析
高尔夫球飞行的路线，也就是函数 y=的图象．用描点法画出图
象，其他问题也就可以解决了．
解 （1） 列表如下：
在图18.2.7所示的直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致
图象．
（2）从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是___m，球的起点与洞之间
的距离是___m．
课堂练习：
1、 画出§18.1的试一试问题（3）中的函数图象，并结合图象指出重叠部分面积的最大值．
2、（1）已知点在函数的图像上，求b的值；
（2）已知点B（4，2）在函数y=2x+b的图像上，试判断点C（-2，3）是否在此函数的图像上。
三、课堂小结：
到现在，我们已经学过了表示函数关系的方法有三种：
1、解析式法——用数学式子表示函数的关系。
2、列表法——通过列表给出函数与自变量的对应关系。
3、图象法——把自变量作为点的横坐标，对应的函数值作为点的纵坐标，在直角坐标系内描出对应的点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象。用图象来表示函数与自变量对应关系。
这三种表示函数的方法各有优缺点。
1、用解析法表示函数关系：
优点：简单明了。能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算。
缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算。
2、用列表表示函数关系
优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便。
缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律。
3、用图象法表示函数关系
优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化。
缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值。
函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点，因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法。在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图象。
四、布置作业
五、课后反思
1、在建立平面直角坐标系后，点的坐标（有序实数对）与坐标平面内的点一一对应；不同的坐标与不同的点一一对应；函数关系与动点轨迹一一对应，把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来，通过解读图象，了解抽象的数量关系，这种“数形结合”，是数学中的一种重要的思想方法。
2、本课的目标是使学生会画函数图象，并会解读图象，即会从图象了解到抽象的数量关系。为此，先在复习旧课时，着重提问坐标平面上的点与有序实数对一一对应，接着在新课开始时介绍了画函数图象的三个步骤。
18.3 一次函数(第1课时)
教学目标：
1.了解一次函数与正比例函数的意义.
2.理解一次函数与正比例函数的联系和区别.
教学重点与难点：
一次函数与正比例函数的联系和区别
教学过程：
一、整体感知
前面我们已经学习了函数的概念、函数图象的画法,本节课我们将学习一种最 基本、常见的初等函数── 一次函数.
二、四边互动
互动1
问题1:小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发 现汽车的平均速度是95千米/时.已知A地直达北京的高速公路全程570千米,小明想 知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系, 以便根据时间估计自己和北京的距离.
你能帮助小明解决这个问题吗
师:(点拨)可以通过适当设未知数(变量),利用函数知识解决问题.
分析 汽车距北京的路程随行驶的时间变化而变化,因此这里涉及两个变量:汽 车距北京的路程和汽车行驶的时间,为此可设汽车距北京的路程为s(千米),汽车行 驶的时间为t(小时),通过观察如图17-3-1所示的图形可知:s=570-95t(0≤t≤6).
分清已知量与未知量之间的相互关系,再用变量(字母)表示未知量是探究函数 关系的关键.
互动2
问题2:小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元,从现在起每 个月节存12元,试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式.
分析 这里涉及存款数和月份数两个变量,变量与常量之间的关系为:
存款数=已有存款数+将存入的存款数.
设从现在开始存款的月份数为x,存款总数为y元,则
y=50+12x(x为自然数)
互动3
问题3：某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y（元）关于用电度数x的函数关系式为: y= 0.5x(x≥0)
互动4：以上（1）,(2)与（3）表示的这三个函数有什么共同点？
师生共同归纳可得:上述函数的解析式都是关于自变量的一次整式,可统 一表示为y=kx+b的形式,其中k、b为常数,且k≠0.
特别,当b=0时,一次函数y=kx(k≠0)也叫正比例函数.
互动4：（利用多媒体演示幻灯片.）
下列函数，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
见课件《一次函数（1）》
明确:正比例函数是一次函数的特例, 因此正比例函数一定是一次函数,当一次函数解析式中的常数项为0时,一次函数才 是正比例函数;一个函数解析式能够转化成y=kx+b(k≠0)的形式,它就是一次函数; 一个函数解析式能够转化成y=kx(k≠0)的形式,它就是正比例函数.
互动5：利用多媒体演示幻灯片. 见课件《一次函数（1）》
已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m取什么值时,y是x的一次函数 当m取什么值时 ,y是x的正比例函数
解:要使此函数是一次函数,必须m+1≠0,即m≠-1;
要使此函数是正比例函数,必须,解得m=1.
互动6
师:请同学们完成课本第40、41页的练习.
生:独立尝试后,在小组之间展开交流讨论,推选3名代表进行板演.
明确 师生共同归纳板演的结果.
三、达标反馈
(1)函数:①y=-2x+3;②x+y=0;③xy=1;④y=+1;⑤y=;⑥y=-0.5x中,属一 次函数的有 ①②⑥ ;属正比例函数的有 ②⑥ (填写序号).
(2)当m=-1时,y=(m2-1)x2+(m-1)x+m是一次函数.
(3)写出一个满足条件:当自变量取2时,对应的函数值为-3的一次函数的解析式 (只写一个) y=-x-1.
(4)我国是一个水资源缺乏的国家,大家要节约用水.据统计,拧不紧的水龙头每 秒钟会滴下2滴水,每滴水约0.05毫升.李丽同学在洗手时,没有把水龙头拧紧,当李 丽同学离开x小时后水龙头滴了y毫升水.则y与x之间的函数关系式是 y=360x ,该函 数是 正比例 函数.
(5)设圆的面积为S,半径为R,那么下列说法正确的是(C)
A.S是R的一次函数 B.S是R的正比例函数
C.S是R2的正比例函数 D.以上说法都不正确
四、课堂小结
(1)内容总结
一次函数、正比例函数 意义
表达式
(2)方法归纳
在具体问题中,如果涉及两个变量且只包含一个等量关系时,常用两个字母表示 这两个变量,通过建立函数模型来解决问题.
识别一个具体的函数是否为一次函数或正比例函数的关键是理解一次函数、正 比例函数的意义及能否转化成其一般表达形式.
四、拓展延伸
1.链接生活
为了加强公民节约用水意识,某市制定了如下收费标准:每户每月用水不超过 10吨时,每吨水收费1.2元;超过10吨时,超过部分每吨按1.8元收费.该市某住户3月 份用水超过10吨,那么该住户3月份应缴水费多少元
答案:设该用户3月份用水x吨
y=10×1.2+(x-10)×1.8
=1.8x-3(x≥10)
2.实践探索
(1)实践活动
请收集有关一次函数在社会生活中应用的两个实例,列出函数关系式,然后解答 问题.
(2)巩固练习
课本第47页习题17.3第1-3题.
五、板书设计:毛
┌────────────────┬────┐
│课题 │ │
│一次函数、正比例函数的意义 │ │
│一次函数、正比例函数的表达形式 │ 投影幕 │
├────────────────┤ │
│学生板演内容 │ │
└────────────────┴────┘
18.3 一次函数的图像(第2课时)
教学目标与要求：
1.经历探究画一次函数图象的过程,了解一次函数、正比例函数的图象特征.毛
2.会画一次函数、正比例函数的图象.
3.了解直线y=kx+b(k≠0)中k、b的几何意义.
教学重点与难点：
理解直线y=kx+b(k≠0)中k、b的几何意义.
教学过程：
一、整体感知
上节课我们主要学习了一次函数、正比例函数的概念,这节课我们将着重探讨 一次函数与正比例函数图象的主要特征及其图象的画法.
二、四边互动
互动1
师:利用多媒体演示幻灯片“做一做”内容.
做一做:在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
(1)y=x; (2)y=x+2; (3)y=3x; (4)y=3x+2.
通过画图,你发现一次函数、正比例函数的图象的形状分别是什么
生:动手操作,在几何练习簿上建立坐标系,用描点法画出上述函数的图象,在小 组之间展开交流讨论,推选代表表达小组归纳的结论.
师生共同概括:根据以上实践、观察与讨论,我们发现一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是一条直线.通常也称为直线y=kx+b.特别地,正比例函数y=kx(k≠0) 的图象是经过原点(0,0)的一条直线.值得注意的是:一次函数的图象不可能与坐标 轴平行.
互动2
师:利用多媒体演示幻灯片.
认真观察上述画出的四个函数图象的特点,比较下列各对函数图象的相同点和 不同点:
(1)y=3x与y=3x+2; (2)y=x与y=x+2; (3)y=3x+2与y=x+2.
由此你发现什么规律
生:在小组之间展开交流与讨论,各组推选代表发言.
师:利用多媒体演示“一次函数图象的平移”课件(华东师范大学出版社教学光 盘),验证同学们的猜想.
概括 在第(1)组和第(2)组中的两个函数图象平行,但位置不同,可以通过相互 平移得到;在第(3)组的两个函数图象相交,且交点在y轴上.
概括归纳可知:对于一次函数y=kx+b和y=k1x+b1,
(1)当k=k1,b≠b1时,两条直线平行,可以通过平移其中一条直线得到另一条直 线;
(2)当k≠k1,b=b1时,两条直线相交,且交点在y轴上,是(0,b).
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片.
(1)直线y=2x-3可以由直线y=2x经过 向下平移3个单位 而得到;直线y=-3x+2可 以由直线y=-3x经过 向上平移2个单位 而得到;直线y=x+2可以由直线y=x-3经过 向 下平移5个单位 而得到.
(2)直线y=2x+5与直线y=x+5都经过y轴上的同一点( 0, 5 ).
(3)将直线y=-2x-1向上平移3个单位,得到的直线是 y=-2x+2.
生:动手尝试,在4人小组中交流结果,然后举手回答解题思路和结果.
明确 教师利用多媒体逐个点击答案,验证同学们操作结果的正确性.
互动4
师:利用多媒体演示幻灯片.
【例1】在同一平面直角坐标系中画下列函数的图象.
(1)y=2x与y=2x+3; (2)y=2x+1与y=x+1.
师:(点拨)画一次函数和正比例函数的图象,我们还需要用描点法吗 只要在图 象上分别找到几点就可以确定其图象的位置
生:动手操作,并交流操作的结果.
明确 教师利用多媒体演示操作的过程和结果.
归纳:由于一次函数是直线,因此在画其图象时,只要在图象上找到两点,便可以 画出它的图象,通常所取的两点是图象与坐标轴的两个交点;特别地,由于正比例函 数的图象是经过原点的一条直线,因此画其图象时,只要找到异于原点(0,0)的一点 的坐标即可,通常所取的点是(1,k).
互动5
师:请同学们完成课本第42页的练习.
生:动手操作,在小组之间展开交流和互评.
明确 教师利用多媒体演示练习的答案,并口述解题过程和应注意的事项.
把练习的第1题与例1作出的图象比较可知:
对于直线y=kx+b(k≠0),当k>0时,图象可形象说成“撇”;当k<0时，图象可想 像地说成“捺”;当b>0时，直线与y轴的交点位于x轴的上方;当b<0时,直线与y轴的 交点位于x轴的下方;当b=0时,直线经过坐标系原点.
三、达标反馈
(多媒体演示)
(1)正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过( 0,0 )和点 (1,k)的一条直线.
(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点 (0,b)且与直线y=kx 平行 的直线.
(3)画出下列各组一次函数的图象,并说出它们有什么关系.
①y=-2x-1与y=-2x+6. ②y=x+3与y=-3x+3.
答案:①平行,位置不同 ②相交,交点在y轴上.
四、学习小结
(1)内容总结
一次函数、正比例函数 图象的特征
图象的画法
(2)方法归纳
画一次函数图象时,只要在图象上找到两点的坐标,在坐标系中描出这两点,再 经过这两点画直线即可.
五、拓展延伸
1.链接生活
画出问题“拖拉机油箱中装油20升，使用时每小时耗油4升，油箱中的剩余油 量y(升)与使用时间t(小时)之间的关系”中函数图象.
提示:图象为线段.
2.实践探索
(1)实践活动
对于一次函数y=kx+b(k≠0),分别取k、b的四组不同值:①都是正数;②k为正, b为负;③k为负,b为正;④都是负数,分别画出这四个一次函数的图象,并探讨直线y =kx+b(k≠0)所经过的象限与k、b取值正、负的关系.
(2)巩固练习
课本第47页习题17.3第4-6题.
(四)板书设计:毛
课题一次函数图象的特征不同一次函数图象之间的关系一次函数图象的画法 投影幕
学生板演内容
18.3 一次函数的性质(第3课时)
教学目标和要求
1.了解一次函数图象与坐标轴的交点的求法。
2.理解一次函数与一次方程的关系毛
3.学会利用一次函数图象解答简单问题.
教学重点与难点
理解一次函数与一次方程的关系毛
教学过程
复习与回顾
1、 在同一坐标系中画出下列各组函数的图像，并说出每组函数的共同点与不同点：
（1）y=-x+2和y=-x (2)y= 和y=-x+3
二、 实践探索
互动1
对于一次函数y=kx+b(k≠0),分别取k、b的四组不同值:①都是正数;②k为正, b为负;③k为负,b为正;④都是负数,分别画出这四个一次函数的图象,并探讨直线y =kx+b(k≠0)所经过的象限与k、b取值正、负的关系.
你们发现了什么现象
对于直线y=kx+b(k≠0),当k>0,b>0时,直线经过 第一、二、三 象限;当k>0,b <0时,直线经过 第一、三、四 象限;当k<0,b>0时,直线经过 第一、二、四 象限; 当k<0,b<0时,直线经过 第二、三、四 象限.
例题1：已知一次函数y=(2-m)x+(1-4m)的图像经过一、三、四象限，则m的取值范围是：
A、m>2 B、m< C、m>-2 D、
例题2：一次函数y=(3a+2)x-(4-b),问a,b为何值时，使得
图像经过原点；
图像与y轴的交点在x轴的上方；
图像经过二、三、四象限。
互动2
求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点, 并画出这条直线.
师:(点拨)由于横轴上各点的纵坐标为0,所以我们把横轴的解析式规定为y=0, 同样把纵轴的解析式规定为x=0.我们知道在函数图象上的点的坐标一定满足函数的 解析式(可以看成方程),即函数图象上一点的坐标是图象方程的一个解,那么两个函 数图象的交点坐标必定同时满足这两个图象的方程,说明交点坐标是这两个图象方 程的一个公共解,即交点坐标是两个图象方程构成的方程组的解,这样我们就把求函 数图象的交点坐标问题转化成解方程组问题.
解:求直线y=-2x-3与x轴的交点问题可以转化为解方程组,解方程组得 ,所以直线与x轴的交点为(-1.5,0);同样求得直线与y轴的交点为(0,-3).
过点(-1.5,0)和(0,-3)作直线,如图17-3-4所示,就是直线y=-2x-3的图象.
归纳:求两个函数图象的交点坐标问题,可以首先联立这两个 函数的方程,通过解方程组来解决问题,求直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点问题,实际 上是求一次方程kx+b=0的解.
例题3：已知直线y=2x和直线y=x+2.
求这两条直线的交点A的坐标；
求这两条直线与x轴所围成的三角形的面积。
练习：
1、已知直线y=2x-3和直线y=-x+2.
求这两条直线的交点A的坐标；
在同一坐标系内画出这两条直线；
求这两条直线与y轴所围成的三角形的面积。
2、已知直线2x+y=6与两条坐标轴分别相交于点A、B(如图17-3-3所示),
（1）你能求出 △AOB的面积吗
（2）观察图像，求当x取何值时，y>0,y=0,y<0
3、求直线y=2x+3和y=-3x+6与x轴围成的三角形的面积.
4、已知直线y=k1x与直线y=k2x-9交于点P(3,-6).
(1)求k1、k2的值,并写出它们的解析式;
(2)设两直线与x轴分别交于A、B两点,求△PAB的周长.
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片.
【例3】画出问题1中小明距北京的路程s与开车时间t之间函数s=570-95t的图 象.
师:(点拨)在实际问题中,我们可以在表示时间的t轴和表示路程的s轴上分别选 取适当的单位长度,画出平面直角坐标系,如图17-3-5所示.
生:(在课本中)动手尝试,交流画图的结果.
师:利用多媒体演示画出的函数图象(如图17-3-6所示),对照所画的图象,求小 明离北京的距离是475千米时,汽车行驶了多长时间
生:动手尝试,举手回答问题.
师:当汽车行驶2-3小时时,汽车离北京的路程在什么范围
生:分组合作,推选代表回答.
师:对照画出的函数的图象,请作如下的讨论.
讨论:(1)这个函数是不是一次函数 (2)这个函数中自变量t的取值范围是什么 函数的图象是什么 (3)在实际问题中,一次函数的图象除了直线和本题的图形外, 还有没有其他情形 你能不能找出几个例子加以说明
生:分组讨论,并推选代表说明本组讨论的结果.
明确 画实际问题的函数图象时应注意以下几个问题:
(1)要根据实际选择合适的单位长度分别作为纵、横轴的单位长度(两个数轴上 的单位长度可以不一样).
(2)要根据实际确定函数自变量的取值范围,预测其图象的发展趋势和画图的区 域范围(对于一次函数而言,当自变量的取值范围是一切实数时,其图象一定要画成 直线;当自变量的取值范围介于某两个实数之间时,其图象是线段,要画出它的两个 端点;当自变量的取值范围大于或小于某个实数时,其图象是射线,要画出射线的端 点).
(3)画一次函数图象时,常常选择图象与坐标轴的两个交点来定位.
互动4
师:请同学们解答课本上第44页的练习.
生:独立尝试后和同桌交流.
三、达标反馈
(多媒体演示)
(1)一次函数y=-2x+3的图象经过 第一、二、四 象限.
(2)直线y=kx+b与x轴的交点横坐标就是方程 kx+b=0 的解.
(3)已知一次函数的图象如图17-3-7所示,则 (B)
A.k>0,b>0 B.k>0,b<0
C.k<0,b>0 D.k<0,b<0
(4)如果直线y=(m-2)x+(m-1)经过第一、二、四象限,则实数m的取值范围是(D)
A.m<2 B.m>1 C.m≠2 D.1(5)汽车由天津驶往相距120千米的北京,它的平均速度是30千米/时,则汽车距 北京的路程s(千米)与行驶的时间t(小时)的函数关系用图象应为图17-3-8中的(C)
图17-3-8
四、课堂小结
(1)内容总结
一次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法.
(2)方法归纳
求函数图象的交点坐标问题,一般都可以通过联立图象的方程,解方程组解决.
五、延伸拓展
1.链接生活
一辆小轿车油箱储油30升,已知耗油量为0.2升/千米.
(1)写出轿车油箱中剩余油量y(升)与行驶的路程x(千米)之间的函数关系式;
(2)画出这个函数的图象.
2.实践探索
(1)实践活动
画出函数y=2x+1和y=-3x-2的图象,并探究当x增大时,y的值将随着x怎样变化
(2)巩固练习
课本第47页习题17.3第8题和第10题;第61页复习题第6题和第8题.
六、板书设计:毛
┌────────────────┬────┐
│课题 │ │
│一次函数图象与坐标轴交点的求法 │ 投影幕 │
│实际问题中一次函数图象的画法 │ │
└────────────────┴────┘
18.3 一次函数的性质(第4课时)
教学目标与要求：
1.理解掌握一次函数的性质.毛
2.学会利用一次函数的图象解决一次方程、一次不等式问题.
3.能够利用一次函数的性质解决简单的实际问题.
教学重点与难点：
1.理解掌握一次函数的性质.毛
2.学会利用一次函数的图象解决一次方程、一次不等式问题.
教学过程：
一、情境导入
(多媒体演示幻灯片)
某学校需要刻录一批电脑光盘,若电脑公司刻录,每张需要8元(含空白光盘费) ;若学校自刻,除租用刻录机需120元外,每张还需成本费4元(含空白光盘费).问刻录 这批电脑光盘,到电脑公司刻录费用少,还是自刻费用少 你能帮助设计出一种使刻 录费用最少的刻录方案吗
二、实践与探索
在上节课的实践活动中:“画出函数(1)y=2x+1;(2)y=-3x-2的图象,并探究当x 增大时,y的值将随着x怎样变化 ”同学们发现什么现象
(师广泛听取同学们发现的问题和提出的猜想,不做任何解释,等待本节课同学 们探索的结果加以验证).
(1)整体感知
为了解决本节课开始提出的问题和验证同学们在上节课实践活动中提出的猜想 ,本节课我们着重探讨了一次函数具有的相关性质.
(2)四边互动
互动1
师:利用多媒体演示课件:一次函数图象上的点与两条坐标轴上的对应点做同步 运动的动画.
请同学们观察函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步运动的动画.
通过观察同学们发现什么现象
生:讨论、交流,并举手逐个回答,不断补充完善.
师:函数y=3x-2的图象(图17-3-9中虚线)是否也有这种现象
生:在自主探索的基础上合作交流.
师:对于函数y=kx+b(k≠0),当k>0时,结果是否与上述一样
生:讨论后举手回答.
明确 如图17-3-9所示,在函数的图象中,我们看到:当一个点在直线上从左向 右移动(自变量x从小到大)时,它的位置也在逐步从低到高变化(函数y的值也从小变 到大)──图象自左向右是上升的,函数值y随自变量x的增大而增大.
对于函数y=kx+b(k≠0),当k>0时,y随自变量x的增大而增大,图象自左向右是上 升的.
互动2
师:再观察函数y=-x+2和y=-x-1的图象,研究它们是否也有相应的性质,有什么 不同 你能否发现什么规律
生:动手画图,对照图象进行探索,相互交流达成共识,然后举手回答发现的现象.
师:利用多媒体课件演示函数图象(如图17-3-10)所示),验证学生发现结论.
师:对于函数y=kx+b(k≠0),当k<0时,你能归纳出它的性质吗
明确 在函数y=-x+2和y=-x-1的图象中,我们看到:当一个点在直线上从左向 右移动(自变量x从小到大)时,它的位置也在逐步从高到低变化(函数y的值也从大变 到小)──图象自左向右是下降的,函数值y随自变量x的增大而减小.
对于函数y=kx+b(k≠0),当k<0时,y随自变量x的增大而减小,图象自左向右是下 降的.
概括归纳得:
一次函数y=kx+b有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升;
(2)当k<0时,y随x的增大而 减小,这时函数的图象从左到右 下降.
互动3
师:请同学们思考:这些性质在问题1和问题2中,反映怎样的实际意义
生:对照课本第39、40页问题1和问题2,结合一次函数的性质进行讨论.
明确 在问题1中,函数解析式为s=-95t+570,由于k=-95<0,表明s随着t的增大 而减小,即汽车距北京的路程随着行驶时间的增大而缩短.
在问题2中,函数解析式为y=-12x+50,由于k=12>0,表明y随着x的增大而增大,即 小张在银行的存款数随着存款时间月份数的增大而增多.
互动4
师:利用多媒体演示.
做一做:画出函数y=-x+2的图象,结合图象回答下列问题.
(1)这个函数中,随着x的增大,y将增大还是减小 它的图象从左到右怎样变化
(2)当x取何值时,y=0
(3)当x取何值时,y>0
生:动手画图,并对照图象解答提出的问题,再在四人小组中展开交流.
明确 函数y=-2x+2的图象如图17-3-11所示(1)由于自变量的系数小于0,所以 y随x的增大而减小,图象自左向右是下降的;(2)当x=2时,y=0;(3)当x<2时,y>0.
概括:对于一次函数y=kx+b(k≠0),图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的 解;图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围就是不等式kx+b>0的解集;图象位于x 轴下方部分对应的x的取值范围就是不等式kx+b<0的解集.
互动5
师:利用本节课所学的知识,现在你能解答本课开始提出的问题吗 (出示幻灯片)
师:(点拨)这里涉及两个费用(学校自刻光盘费用和电脑公司刻录光盘费用),且 两个费用都与要刻录的光盘的张数有关,可以用两个函数分别表示这两个费用.
生:分组合作解决.
明确 设刻录的光盘有x张,学校自刻光盘和电脑公司刻录光盘的费用分别为 y1、y2元,则y1=4x+120,y2=8x.当y1>y2时,有4x+120>8x,解得x<30,表明需要刻录的 光盘少于30张时,由电脑公司自刻光盘费用较小;当y130,表明需要刻录的光盘多于30张时,由学校自刻光盘费用较小;当y1=y2时,有4x +120=8x,解得x=30,表明需要刻录的光盘等于30张时,两种刻录光盘的方案的费用一 样多.
注:本题还可以借助图象法求解.
互动6
师:请同学们解答课本第45页的练习.
生:独立尝试后,同桌交流;推选两名代表进行板演.
明确 师生共同完善学生板演的结果.
4.达标反馈
(多媒体演示)
(1)已知点(x 1,y1)和(x2,y2)在一次函数y=-3x+2的图象上,且x1 y2.
(2)一次函数y=kx+b的图象如图17-3-12所示,观察图象可知,y随x的增大而减小.
(3)如果正比例函数y=kx中y随x的增大而增大,那么一次函数y=-x+k的图象一定 不经过第 三 象限.
(4)已知一次函数y=(a-2)x+1中y随x的增大而减小,化简=5-2a.
(5)已知一次函数y=(1-2k)x+(2k+1).
①当k取何值时,y随x的增大而增大
②当k取何值时,函数图象经过坐标系原点
③当k取何值时,函数图象不经过第四象限
答案:①k<0.5 ②k=-0.5 ③-0.5三、课堂小结
(1)内容总结
一次函数的性质.
(2)方法归纳
利用函数图象归纳函数的性质或解决方程、不等式问题是我们经常使用的方法 ,是数形结合的具体体现.
四、延伸拓展
1.链接生活
某服装厂现有甲种布料42米,乙种布料30米,计划用这两种布料生产M、L两种型 号的校服共40件.已知做一件M型号的服装需要甲种布料0.8米,乙种布料1.1米,可获 利45元;做一件L型号的服装需要甲种布料1.2米,乙种布料0.5米,可获利30元.设生 产M型号服装x件,用这批布料生产两种型号的服装所获的利润为y元.
(1)写出y(元)与x(件)之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围.
(2)该厂生产这批校服时,当M型号校服为多少件时,能使该厂所获的利润最大 最大利润是多少
2.实践探索
(1)实践活动
请收集利用一次函数性质解决实际问题的两个实例,并解答所列举的问题.
(2)巩固练习
课本第62页复习题第14题和15题.
五、板书设计:毛
┌────────────────┬────┐
│课题 │ │
│一次函数的性质 │ 投影幕 │
│一次函数性质的应用 │ │
└────────────────┴────┘
18.3 求一次函数的关系式(第5课时)
教学目标与要求
1.会用待定系数法求一次函数的解析式.毛
2.学会利用一次函数解析式、性质、图象解决简单的实际问题.
教学重点与难点
1.会用待定系数法求一次函数的解析式.毛
2.学会利用一次函数解析式、性质、图象解决简单的 实际问题.
教学过程：
1.情境导入
问题:弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数,其图象如图17-3-13所 示,则该弹簧在不挂物体时的长度是多少
2.课前热身
我们知道一次函数的图象是直线,确定直线的条件是已知两点,因此已知一次函 数图象上的两点坐标,便可以求出它的解析式.特别地,由于正比例函数的图象是经 过原点的一条直线,因此已知正比例函数图象上异于原点的一点坐标,便可以求出它 的解析式.
3.合作探究
(1)整体感知
前面我们已经学习了一次函数的概念、性质、图象及其画法,本节课我们着重 探讨一次函数解析式的求法.
(2)四边互动
互动1
师:利用多媒体演示幻灯片.
求满足下列条件的函数解析式:
(1)图象经过点(1,-2)的正比例函数的解析式;
(2)与直线y=-2x平行且经过点(1,-1)的直线的解析式;
(3)经过点(0,2)和(1,1)的直线的解析式;
(4)直线y=2x-3关于x轴对称的直线的解析式;
(5)把直线y=-2x+1向下平移两个单位,再向右平移3个单位后所得直线的解析式. 生:在讨论的基础上动手尝试,并交流结果,然后推选5名同学进行板演.
师:完善修订学生板演的结果,并提问:从上述操作过程中,你获得哪些体会和经 验
生:讨论交流.
明确 概括:确定正比例函数解析式y=kx,需要知道一对对应的x,y的值,或其图 象上一点的坐标(但不能是原点坐标),通过解一元一次方程求出k的值;确定一次函 数的解析式y=kx+b需要知道两对对应的x、y的值,或其图象上两点的坐标,通过解方 程组求出k和b的值,这种求函数解析式的方法叫做待定系数法(method of undetermined coefficient).
求对称、平移等变换后的直线解析式,首先要在原直线上找到两点坐标,再求出 这两点经过变换后的坐标,然后用待定系数法求出变换后的直线的解析式.例如:第 (4)题,先在直线上取两点(0,-3)和(1,-1),再求出它们关于x轴的对称点(0,3)和(1 ,1),这样便可以求出变换后的直线的解析式.
互动2
师:利用幻灯片再现本课提出的问题,现在你能解答本节课开始提出的问题吗 独立解答,并在小组内交流.
生:独立解答后,和同学们交流解题的思路和方法.
明确 解:设该直线的解析式是y=kx+b,由图象可知点(5,12.5)和(20,20)在直 线上,所以 ,解方程组得:
所以直线解析式为y=0.5x+10.
弹簧不挂重物时的长度,即为当x=0时的长度,所以弹簧不挂重物时的长度为10 厘米.
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片:
【例4】已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x(千克)的一 次函数.现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂4千克质量的重物时,弹簧的长 度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式.
师:(点拨)弹簧不挂重物的长度是6厘米是什么意思 一次函数解析式可以设成 什么形式
生:举手回答问题,然后解答例题.
明确 解:设所求函数的关系式是y=kx+b,根据题意,得
解这个方程组,得
所以所求函数的关系式是 y=0.3x+6.
互动4
师:利用多媒体演示幻灯片
做一做:已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,1)和点(1,-5),求当x=5时,函数 y的值.
师:(点拨)解决问题的突破口是什么 有没有求出函数解析式的必要
生:讨论后,选出两名同学进行板演,其余同学独立尝试.
明确 师生共同修订完善板演过程.
师:利用多媒体演示幻灯片.
某图书馆开展两种租书业务:一种是使用会员卡,另一种是使用租书卡.使用两 种卡租书,租书的金额y(元)与租书时间x(天)之间的关系如图17-3-14所示.
(1)分别写出使用会员卡和租书卡租书的金额y(元)与租书时间x(天)之间的函 数关系式.
(2)两种租书方式每天的租书费用分别是多少元
(3)若两种租书卡的使用期限均为一年,则在这一年中,如何选取这两种租书方 式比较划算
生:在小组之间展开讨论,达成共识,并进行解答.
明确 教师利用多媒体展示解答过程.
互动6
师:请同学们解答课本第46页练习.
生:推选两名代表进行板演,其余同学在座位上独立解答(教师来回巡视,并进行 必要的指点).
明确 教师利用多媒体演示解答的过程和结果.
4.达标反馈
(多媒体演示)
(1)若直线y=mx+1经过点(1,2),则该直线的解析式是 y=x+1.
(2)点(1,1)、(2,0)、(3,-1)是否在同一条直线上 答: 是 (填“是”或“否”)
(3)一次函数y=kx+b的图象如图17-3-15所示,则k、b的值分别为 (B)
A.-,1; B.-2,1; C.,1; D.2,1
(4)已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(-3,-2)和点B(1,6).
①求此一次函数的解析式,并画出图象;
②求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.
答案:①y=2x+4,图象略 ②4
5.学习小结
(1)内容总结
本节课我们主要学习了什么内容 通过本课的学习,你有哪些收获
(2)方法归纳
求一次函数解析式,我们常用的方法是待定系数法──首先假设出函数解析式 的一般形式,再由已知条件列出关于系数的方程或方程组,然后通过解方程(组)达到 目的.
(三)延伸拓展
1.链接生活
为了保护学生的视力,课桌椅的高度是按一定关系配套设计的.研究表明:假设 课桌的高度为y厘米,椅子的高度为x厘米,则y是x的一次函数.下表给出两套符合条 件的课桌椅的高度:
第一套 第二套
椅子的高度x(厘米) 40.0 37.0
桌子的高度y(厘米) 75.0 70.2
(1)请确定y与x之间的函数关系式;
(2)现有一把高为42.0厘米的椅子和一张高为78.2厘米的课桌,它们是否配套 简单说明你的理由.
2.实践探索
(1)实践活动
总结归纳一次函数解析式的求法,并各举实例一个.
(2)巩固练习
课本第47页习题17.3第7题和第9题.
(四)板书设计
课题一次函数解析式的求法一次函数在实际中的应用 投影幕
学生板演内容
六、资料下载
华氏温标与摄氏温标
温度是热学中最重要的概念之一,温度计的出现标志着热学跨入定量科学的第 一步.
第一支实用温度计,是迁居荷兰的德国玻璃工华伦海特(1686-1736年)制成的. 他把冰、水、氨水和盐的混合物平衡温度定为0°F,冰的熔点定为32°F,而人体的 温度为96°F,1724年,他又把水的沸点定在212°F,后人称这一温标为华氏温标 .1742年,瑞典天文学家摄尔修斯(1701-1744年)用水银作测温物质,以水的沸点为0 ℃,冰的熔点为100℃,其间为一百个等分.八年之后,摄尔修斯接受了同事施特默尔 的建议,把两个定点值对调了过来,这就是至今仍广为使用的百分温标,通常又称为 摄氏温标.
十八世纪前半期,实用温度计的制作和应用为十九世纪热学理论的建立提供了 先决条件.毛
18.4 反比例函数(第1课时)
教学目标与要求
1.了解反比例函数的意义.
2.会用待定系数法求反比例函数解析式.
教学重点与难点
1.了解反比例函数的意义.
2.会用待定系数法求反比例函数解析式.
教学过程
一、情境导入
利用多媒体演示课件“反比例函数”.(华东师范大学出版社教学光盘)
通过观察发现:无论三角形的底边和底边上的高怎样变化,它们的积保持不变( 等于一个非零常数).
二、课前热身
(1)在正比例函数中,两个变量的商具有什么特征
(2)回顾小学所学的反比例,请举出两个成反比例关系的实例.
(例如:路程一定时,速度与时间成反比;矩形面积一定时,长与宽成反比例等)
三、合作探究
(1)整体感知
本节课我们着重探讨两个变量的积是一个非零常数的函数的相关概念、解析式 的求法.
(2)四边互动
互动1
师:利用多媒体演示幻灯片.
问题1:小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米外的镇上去赶集,回来时让小 华乘坐公共汽车,用的时间少了.假设两人经过的路程一样,而且自行车和汽车的速 度都不变,爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘车不同交通工具的速度之间的 关系.
师:这里的“找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系 ”是什么意思
生:展开讨论,举手回答个人的不同认识.
师:归纳讨论的结果:这里涉及两个时间和两个对应的速度──两个函数值和与 函数值对应的自变量的两个值,实际含义是指找出一个统一的表示时间和速度之间 关系的函数关系式,给出其中任意一个速度,就可以通过这个函数关系式计算出与之 相对应的时间.
现在你们能解答这个问题了.
生:动手尝试,并交流解答的过程和结果.
明确 和其他实际问题一样,要探求两个变量之间的关系,应先选用适当的字母 表示变量,再根据题意列出相应的函数关系式.
设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时,从家里到镇上的时间是t小时.因为在 匀速运动中,时间=路程÷速度,所以t=.
互动2
师:利用多媒体演示课件“你能建围栏吗 ”(华东师范大学出版社教学光盘)
问题2:学校课外生物小组的同学准备自己动手,用旧围栏建一个面积为24平方 米的矩形饲养场.设它的一边长为x(米),求另一边的长y(米)与x的函数关系式.
生:观察课件,讨论发现的问题,并解答问题.
明确 根据矩形面积可知y=24,即y=.
互动3
师:上述函数(1)、(2)具有怎样的共同特征 能否用一个统一的函数关系式把它 们表示出来 说出你的想法.
生:相互交流自己的观点,逐渐达成共识.
明确 上述函数中,两个变量的积等于一个非零常数,都可以写成y=(k≠0)的 形式.
一般地,形如y=(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数(inverse proportional function).
互动4
师:请同学们把正比例函数与反比例函数进行比较,说出它们有哪些不同
生:讨论交流,逐个举手回答自己的观点.
明确 从形式上来看,正比例函数是关于自变量的整式,反比例函数是关于自变 量的分式;从内涵上来看,正比例函数两个变量的商是一个非零常数,反比例函数两 个变量的积是一个非零常数;从自变量和函数的取值范围来看,正比例函数中的自变 量和函数值都可以为零,反比例函数中的自变量和函数值都不能为零.
互动5
师:利用多媒体演示幻灯片.
请解答下列问题.
(1)若y与x成正比例,x与z成反比例,则y与z成什么关系
(2)y是x的反比例函数,当x=2时,y=3,求y与x之间的函数关系式.
(3)已知y1与x成正比,y2与x成反比,且y=y1+y2,当x=1时,y=3;当x=2时,y=3,求 y与x之间的函数关系式.
生:分组合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演,其余同学在座位 上独立解答.
明确 师生共同归纳完善学生板演结果.
(1)因为y与x成正比例,所以可设y=k1x(k1≠0),同样设x= (k2≠0),则y=,由于 k1k2≠0,所以y与z成反比例.
(2)设y= (k≠0),则3=,解得k=6,所以函数解析式为y=.
(3)设y1=k1x,y2=,则y=k1x+,依题题得,解方程组得k1=1,k2=2,所以y=x+.
由上面的操作过程可知:确定反比例函数解析式的条件是已知一对对应的自变 量和函数值；求几个简单函数的复合形式函数的解析式,常常首先分别设出这几个函 数的一般形式,然后用待定系数法解决问题.
互动6
师:请同学们独立解答课本第50页练习,解答完毕后在小组内进行交流.
生:独立尝试,并交流解答结果.(教师来回巡视,帮助学有困难的学生分析.)
明确 教师和学生共同归纳解答过程和应注意的事项.
四、达标反馈
(多媒体演示)
(1)若y与x成反比,x与z成反比,则y与z成 正比 关系.
(2)若y与x2-2成反比例,且当x=2时,y=1,则y与x之间的关系式为 y=.
(3)如果点(3,-1)在反比例函数y=的图象上,那么一次函数y=kx-k的解析式为y=-3x+3.
(4)在电压一定时,通过用电器的电流与用电器的电阻之间成 (B)
A.正比 B.反比 C.一次函数关系 D.无法确定
(5)已知点(2,5)在反比例函数y= 的图象上,其中“”是被污染的无法辨认的字 迹,则下列各点在该反比例函数图象上的是(B)
A.(2,-5) B.(-5,-2) C.(-3,4) D.(4,-3)
五、学习小结
(1)内容总结
反比例函数 意义(表达形式)
解析式的求法
(2)方法归纳
确定反比例函数解析式的条件是已知一对自变量和函数的对应值(或其图象上 一点的坐标),可以利用待定系数法求反比例函数的解析式.
六、延伸拓展
1.链接生活
火车从安庆驶往相距约200千米的合肥,求火车行驶的速度v(千米/时)与行驶的 时间t(时)之间的函数关系式.
2.实践探索
(1)实践活动
用描点法画出本节课中问题2的函数图象,并把所画的图象与一次函数的图象进 行比较.
(2)巩固练习
课本第52页习题17.4第3题.
补充题:
列出下列函数关系式,并指出它们是分别什么函数.
①火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,求火车距 离安庆的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.
②火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,求火车距 离合肥的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.
③某中学现有存煤20吨,如果平均每天烧煤y(吨),共烧了x(天),求y与x之间的 函数关系式.
答案:①s=60t(0≤t≤);正比例函数 ②s=200-60t(0≤t≤);一次函数 ③ y=(x>0);反比例函数.毛
(四)板书设计
课题反比例函数的意义反比例函数解析式的求法 投影幕
学生板演内容
17.4 反比例函数(第2课时)
教学目标与要求
1.了解反比例函数图象的形状特征.毛
2.会画反比例函数的图象.
3.经历探究反比例函数性质的过程,掌握反比例函数的性质.
4.学会利用反比例函数的性质解决简单的实际问题.
教学重点与难点
教学过程
一、复习导入
(1)反比例函数是怎样定义的
(2)确定反比例函数的解析式需要什么条件
二、课前热身
请同学们展示各自在上节课实践活动中所画出的问题2的函数图象,比一比谁画 得最好
(学生互评在上节课的实践活动中所画出的问题2的函数图象,形成对反比例函 数图象的初步感形认识.)
三、合作探究
(1)整体感知
我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线,其性质随着k的正负发生变化, 那么反比例函数y= (k≠0)的图象又具有什么特征 其性质是否随着k的正负发生变 化呢 本课我们着重探讨这两个问题.
(2)四边互动
互动1
【例1】画出函数y= 的图象.
师:在未知函数图象的形状特征时,我们画函数的图象通常用什么方法
这个函数自变量的取值范围是什么 由此猜想这个函数的图象是连在一起的吗
用描点法画该函数的图象,在列表应注意哪些
生:逐个举手回答问题,达成共识.
师:利用多媒体展现画图过程.
(1)列表:这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y的对 应值表:
──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──
x │…│-6│-3│-2│-1│…│1 │2 │3 │6 │…
──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──
y │…│-1│-2│-3│-6│…│6 │3 │2 │1 │…
──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──
(2)描点:由这些有序实数对,可以在直角坐标系中描出相应的点(-6,-1),(-3, -2),(-2,-3)等.
(3)连线:用光滑曲线将各点依次连起来,就得到反比例函数的图象,如图所示:
师:请同学们用透明纸放在课本的该函数图象上复制这个图象,并用大头钉固定 上下坐标系原点,再把上面的图象绕着原点旋转180°,结果你发现什么现象
生:动手操作,并提出发现的问题.
师:利用多媒体演示.
试一试:在课本图17.4.1所在坐标系中画出函数y=-的图象.
生:动手画图,交流画图的结果.
师:请同学们讨论下列问题.
讨论:(1)这个函数的图象在哪两个象限 和函数y= 的图象有什么不同
(2)反比例函数y= 图象在哪两个象限 由什么确定
生:在小组内展开交流,然后各组推选代表回答提出的问题,在全班交流,让全体 同学达成共识.
明确 概括:通过上述操作、讨论与交流,我们发现反比例函数的图象是两条曲 线,且这两条曲线关于原点对称,这种图象通常称为双曲线(hyperbola).
反比例函数y= 图象的两个分支位居的象限与k的正负有关,当k>0时,函数的图 象分布在第一、三象限;当k<0时,函数的图象分布在第二、四象限.
互动2
师:利用多媒体演示课件:反比例函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步 运动.
请同学们观察反比例函数y= 和y=- 图象上点的运动情况,然后回答下列问题.
(1)对于反比例函数y= ,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的 y 的值随着x的变化将怎样变化
(2)对于反比例函数y=-,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的 y 的值随着x的变化将怎样变化
生:在观察的基础上,在小组内展开讨论,并概括归纳发现的现象,对提出的问题 进行解答.
明确 通过观察可知,反比例函数y= 有下列性质:(1)当k>0时,函数的图象(如 图17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x的增加 而减小;(2)当k<0时,函数的图象(如图17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右上 升,也就是在每个象限内y随x的增加而增大.
互动3
已知反比例函数y=在第一象限内的图象如图所示,点M、N是图象上的两 个不同点,分别过点M、N作x轴的垂线,垂足分别为A、B,试探究△MOA的面积S△MOA 与△NOB的面积S△NOB之间的大小关系.
师:(点拨)如果设点M、N的坐标分别位(x1,y1)和(x2,y2),那么S△MOA与x1、 y1之间存在怎样的关系 x1·y1的值是多少 S△NOB与x2,y2呢
生:在讨论交流的基础上,回答问题,并着手尝试解决问题,最后交流解答的过程 与结果.
明确 因为点(x1,y1)在该反比例函数图象上,所以y1=,得x1·y1=3,
S△MOA= OA·MA=,同理S△NOB=,所以S△MOA=S△NOB.
归纳可知:过反比例函数图象上任意一点作x轴的垂线,那么这点与垂足、坐标 系原点构成的三角形的面积是一个定值.
互动4
已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(4,c)在双曲线y=-上,请把a、b、c按从小到大的 顺序进行排列.
生:动手操作,操作完毕把个人所得结果在小组内展开交流.
师:请同学们画出该双曲线的草图,验证你的结论,从中你发现什么问题
生:动手画图,验证各自解答的结果.
明确 许多同学直接利用反比例函数的性质,得出错误的结论:c原因是没有理解反比例函数的性质“当k<0时,在每个象限内y随x的增加而增大” .在同一个象限内y随x的增加而增大,并不是说在整个坐标平面内y随x的增加而增大 .因此,在比较反比例函数值的大小时,要分清对应的自变量的值是否在x轴的同一个 方向上(或几个点是否在同一个象限),如果不在同一个方向上,不能直接应用反比例 函数的性质.
四、达标反馈
(1)写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数解析式为y=
(2)如图所示,直线y=kx与双曲线y=-相交于点A、B,过点A作AC⊥y轴于点 C,则△ABC的面积为 6.
(3)已知反比例函数y= 的两点(x1,y1),(x2,y2),当x1<0A.m<0 B.m>0 C.m>3 D.m<3
(4)下列四个函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是(D)
A.y=2x B.y=x+3 C.y=- D.y=
5.学习小结
(1)内容总结
反比例函数 图象特征、画法
性质
(2)方法归纳
画反比例函数的图象,只能用描点法,利用反比例函数的性质比较大小时,要注 意对应的点是否在同一个象限内.
五、延伸拓展
1.链接生活
某课外小组在做气体实验时,获得压强p(帕)与体积v(cm3)之间的下列对应数据:
┌───┬─┬─┬─┬─┬──┬──┬─┐
│p(帕) │…│1 │2 │3 │4 │5 │…│
├───┼─┼─┼─┼─┼──┼──┼─┤
│v(cm3)│…│6 │3 │2 │1.5 │1.2 │…│
└───┴─┴─┴─┴─┴──┴──┴─┘
根据表中提供的信息,回答下列问题:
(1)在坐标系中描出表中各点,猜想p与v之间的关系,并求出函数解析式;
(2)当气体的体积是12cm3时,压强是多少
2.实践探索
(1)实践活动 收集反比例函数在社会生活中应用的实例2个.
(2)巩固练习
课本第52页练习第1题和第2题和习题17.4第2题.毛
六、板书设计
课题 反比例函数图象的特征及图象的画法反比例函数的性质 投影幕
附:另一份教案
反比例函数（1）
知识技能目标
1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式；
2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式．
过程性目标
1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力；
2.探求反比例函数的求法，发展学生的数学应用能力．
教学过程
一、创设情境
两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积一定，这两个数的关系叫做反比例关系．
二、探究归纳
问题1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系．
分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．
设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时，从家里到镇上的时间是t小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以
从这个关系式中发现:
1.路程一定时，时间t就是速度v的反比例函数．即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大．
2.自变量v的取值是v＞0．
问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x(米)，求另一边的长y(米)与x的函数关系式．
分析 根据矩形面积可知
xy＝24，
即
从这个关系中发现：
1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数．即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大；
2.自变量的取值是x＞0．
上述两个函数都具有的形式，一般地，形如(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function)．
说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例y＝kx，即，k是常数，且k≠0；反比例函数，则xy＝k，k是常数，且k≠0．可利用定义判断两个量x和y满足哪一种比例关系．
2.反比例函数的解析式又可以写成：( k是常数，k≠0)．
3.要求出反比例函数的解析式，只要求出k即可．
三、实践应用
例1 下列函数关系中，哪些是反比例函数？
(1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系；
(2)压强p一定时，压力F与受力面积s的关系；
(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系．
(4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式．
分析 确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合(k是常数，k≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．
解 (1)，是反比例函数；
(2)F＝ps，是正比例函数；
(3)，是反比例函数；
(4)，是反比例函数．
例2 当m为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式．
分析 由反比例函数的定义易求出m的值．
解 由反比例函数的定义可知：2m－2＝1，．
所以反比例函数的解析式为．
例3 将下列各题中y与x的函数关系与出来．
(1)，z与x成正比例；
(2)y与z成反比例，z与3x成反比例；
(3)y与2z成反比例，z与成正比例；
解 (1)根据题意，得z＝kx(k≠0)．
把z＝kx代入，得，即．因此y是x的反比例函数．
(2)根据题意，得(k1，k2均不为0)．
把代入，得，即．
因此y是x的正比例函数．
(3)根据题意，得．把，得
，即y＝．因此y是x的反比例函数．
例4 已知y与x2成反比例，并且当x＝3时，y＝2．求x＝1.5时y的值．
分析 因为y与 x2成反比例，所以设，再用待定系数法就可以求出k，进而再求出y的值．
解 设．因为当x＝3时，y＝2，所以，k ＝18．
当x＝1.5时，．
例5 已知y＝y1＋y2， y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于19．求y与x间的函数关系式．
分析 y1与x成正比例，则y1＝k1x，y2与x2成反比例，则，又由y＝y1＋y2，可知，，只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式．
解 因为y1与x成正比例，所以 y1＝k1x；
因为y2与x2成反比例，所以 ，
而y＝y1＋y2，所以 ，
当x＝2与x＝3时，y的值都等于19．
所以 解得
所以．
四、交流反思
本堂课，我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数，一般地，形如(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function)．
要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出k值，即可确定．
五、检测反馈
1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数？
(1)小红一分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花；
(2)体积为100cm3的长方体，高为hcm时，底面积为Scm2；
(3)用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm时，面积为ycm2；
(4)小李接到对长为100米的管道进行检修的任务，设每天能完成10米，x天后剩下的未检修的管道长为y米．
2.已知y与x－2成反比例，当x＝4时，y＝3，求当x＝5时，y的值．
3.已知y＝y1＋y2， y1与成正比例，y2与x2成反比例．当x＝1时，y＝－12；当x＝4时，y＝7．(1)求y与x的函数关系式和x的取范围；(2)当x＝时，求y的值．
4.已知一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是ycm，宽是5cm，高是xcm．
(1)写出用高表示长的函数式；
(2)写出自变量x的取值范围；
(3)当x＝3cm时，求y的值．
5.试用描点作图法画出问题1中函数的图象．
反比例函数（2）
知识技能目标
1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质；
2.利用反比例函数的图象解决有关问题．
过程性目标
1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质；
2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题．
教学过程
一、创设情境
上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发现它并不是直线．那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数（k是常数，k≠0）的图象，探究它有什么性质．
二、探究归纳
1.画出函数的图象．
分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．
解 1．列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：
2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．
3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．
上述图象，通常称为双曲线(hyperbola)．
提问 这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？
学生试一试：画出反比例函数的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤）．
学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题．
1.这个函数的图象在哪两个象限？和函数的图象有什么不同？
2.反比例函数(k≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？
3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？
反比例函数有下列性质：
(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．
注 1．双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；
2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称．
以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义？
在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少．
在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小．
三、实践应用
例1 若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值．
分析 由反比例函数的定义可知： ,又由于图象在二、四象限，所以m＋1＜0，由这两个条件可解出m的值．
解 由题意，得 解得．
例2 已知反比例函数(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，求一次函数y＝kx－k的图象经过的象限．
分析 由于反比例函数(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，因此k＜0，而一次函数y＝kx－k中，k＜0，可知，图象过二、四象限，又－k＞0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方．
解 因为反比例函数(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以k＜0，所以一次函数y＝kx－k的图象经过一、二、四象限．
例3 已知反比例函数的图象过点(1,－2)．
(1)求这个函数的解析式，并画出图象；
(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？
分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；
(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．
解 (1)设：反比例函数的解析式为：(k≠0)．
而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．
所以，k＝－2．
即反比例函数的解析式为：．
(2)点A(－5,m)在反比例函数图象上，所以，
点A的坐标为．
点A关于x轴的对称点不在这个图象上；
点A关于y轴的对称点不在这个图象上；
点A关于原点的对称点在这个图象上；
例4 已知函数为反比例函数．
(1)求m的值；
(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？
(3)当－3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值．
解 (1)由反比例函数的定义可知： 解得，m＝－2．
(2)因为－2＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大．
(3)因为在第个象限内，y随x的增大而增大，
所以当x＝时，y最大值＝；
当x＝－3时，y最小值＝．
所以当－3≤x≤时，此函数的最大值为8，最小值为．
例5 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．
(1)写出用高表示长的函数关系式；
(2)写出自变量x的取值范围；
(3)画出函数的图象．
解 (1)因为100＝5xy,所以 ．
(2)x＞0．
(3)图象如下：
说明 由于自变量x＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．
四、交流反思
本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质．
1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)．
2.反比例函数有如下性质：
(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．
五、检测反馈
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
(1)； (2)．
2.已知y是x的反比例函数，且当x＝3时，y＝8,求：
(1)y和x的函数关系式；
(2)当时，y的值；
(3)当x取何值时，
3.若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值．
4.已知反比例函数经过点A(2,－m)和B(n,2n)，求：
(1)m和n的值；
(2)若图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x1＜0＜ x2，试比较y1和 y2的大小．
反比例函数(3)
知识技能目标
1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；
2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题．
过程性目标
1.进一步探求一次函数和反比例函数的性质，感受用待定系数法求函数解析式的方法；
2.通过培养学生看图（象）、识图（象）、读图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题．
教学过程
一、创设情境
已知正比例函数y＝ax和反比例函数的图象相交于点(1,2)，求两函数解析式．
分析 根据题意可作出图象．点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把点(1,2)代入正比例函数和反比例函数的解析式中，求出a和b．
解 因为点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，
把x＝1，y＝2分别代入y＝ax和中，得
2＝a，，b＝2．
所以正比例函数解析式为y＝2x．
反比例函数解析式为．
二、探究归纳
综合运用一次函数和反比例函数的知识解题，一般先根据题意画出图象，借助图象和题目中提供的信息解题．
三、实践应用
例1 已知直线y＝x＋b经过点A(3,0)，并与双曲线的交点为B(－2，m)和C，求k、b的值．
解 点A(3,0)在直线y＝x＋b上，所以0＝3＋b，b＝－3．
一次函数的解析式为：y＝x－3．
又因为点B(－2，m)也在直线y＝x－3上，所以m＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)．
而点B(－2,－5)又在反比例函数上，所以k＝－2×(－5)＝10．
例2 已知反比例函数的图象与一次函数y＝k2x－1的图象交于A(2,1)．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．
分析 (1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即
可求出k1、k2的值．
(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A′是否在这两个函数图象上．
解 (1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝2×1＝2．
1＝2 k2－1，k2＝1．
所以反比例函数的解析式为：；一次函数解析式为：y＝x－1．
(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(－2,－1)．
把A点的横坐标代入反比例函数解析式得，，所以点A在反比例函数图象上．
把A点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝－2－1＝－3，所以点A不在一次函数图象上．
例3 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的的图象上．
(1)求a的值．
(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．
(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．
(4)如果P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．
分析 (1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值．
(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．
(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题．
解 (1)反比
18.1 变量与函数
一、素质教育目标
(一)知识储备点
1.通过直观感知,领悟常量、变量、函数的意义.毛
2.了解函数的三种表示方法.
3.学会求已知函数自变量的取值范围.
4.学会求给定函数的函数值.
(二)能力培养点
经历对熟悉的具体事例数量关系的探索过程,体验函数是刻画事物变化规律的 常用方法,初步形成用函数描述事物变化规律的习惯.
二、教学设想
1.重点、难点、疑点
重点:在具体的问题情境中,探究出相应的函数关系式.
难点:对函数概念和对应思想的理解.
疑点:从图象、表格中获取有用的信息.
2.课型及基本教学思路
课型:新授课.
教学思路:问题情境━━概念归纳━━解决问题━━例题演示.
三、媒体平台
1.教具学具准备
教具:多媒体一台
学具:三角板一副、几何练习本一本、剪刀一把,正方形卡片若干张.
2.多媒体课件撷英
(1)课件资讯
利用多媒体制作“试一试”中问题1、问题2、问题3、问题4和例题等幻灯片； “圆的面积与半径的关系”课件、“涂方格子”课件、“重叠部分面积”课件(华 东师范大学出版社教学光盘).
(2)素材储备
利用幻灯片1、2、3、4、5展现“试一试”中问题1、2、3、4和例题,插入相应 的对话框和图片;课件:涂方格子、重叠部分面积等.
四、课时安排
2课时.
五、教学设计
第1课时 变量与函数
教学目标：
1.初步学会从图形(或图象),表格中获取有用信息.毛
2.了解常量、变量、函数的意义,了解函数的三种表示方法.
3.能够列出简单问题的函数解析式.
教学重点与难点：
1. 能用恰当的函数表示法描述某些实际问题中变量之间的关系。
2.逐步学会运用函数的观点观察、分析问题，预测实际问题中变量的版画规律
教学过程：
一、情境导入
1、观察情境图(利用多媒体演示情境图),并思考:情境图中哪些物体是运动变化的 怎样刻画这些物体运动变化的规律
二、课前热身
(1)怎样刻画路程、速度和时间之间的规律
(2)怎样刻画圆的面积与它的半径之间的规律
(3)银行里怎样展示存款期限与相应的存款利率之间的规律的
三、合作探究
(1)整体感知
如何利用数学知识定量刻画事物的运动变化规律呢 数学家们经过很长时间的 探索和研究,发现引入了函数的知识来表示这个动态过程.从本节课开始我们将学习 这一部分知识.
(2)四边互动
互动1
如图17-1-1是所示某地一天内的气温变化图.
温度T(℃) 时间t(时)
看图回答:
(1)这一天的6时、10时和14时的气温分别为多少
(2)这一天中,最高气温是多少 最低气温是多少
(3)这一天中,什么时段气温在逐渐上升 什么时段气温在逐渐降低
生:首先独立思考,再小组交流、讨论,然后举手回答.
师:在这个变化过程中,任选时刻t的一个确定值,温度T有几个值和这个时刻相 对应
生:独立思考后和同桌交流,举手回答.
明确 师生共同归纳:在该图形(或图象)中,任取一个时刻t的一个确定值,温度 T都有唯一的一个值和该时刻t相对应.
互动2
银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是2002年7月中国工商银 行为“整存整取”的存款方式规定的年利率.
┌─────┬────┬───┬────┬───┬────┬────┐
│ 存期x │ 三月 │ 六月 │ 一年 │ 二年 │ 三年 │五年 │
├─────┼────┼───┼────┼───┼────┼────┤
│年利率y(%)│ 1.7100 │1.8900│ 1.9800 │2.2500│ 2.5200 │2.7900 │
└─────┴────┴───┴────┴───┴────┴────┘
观察上表,说一说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的.
生:逐个举手回答,不断补充完善.
师:观察上述表格,在上述变化过程中,任取存期x的一个确定的值,年利率y有几 个值和它对应
生:讨论并回答问题.
明确 师生共同归纳:从表格中可以看出,任取一个存期x的一个确定值,年利率 y都有唯一的一个值和该存期x相对应.
互动3
如图17-1-2所示的收音机刻度盘的波长和频率分别是用米和千赫兹为单位表刻 的.下表是一些对应的数值.
图17-1-2
┌───────┬──┬──┬───┬──┬───┐
│ 波长L(米) │300 │ 500│ 600 │000 │1500 │
├───────┼──┼──┼───┼──┼───┤
│频率f(千赫兹) │1000│ 600│ 500 │300 │ 200 │
└───────┴──┴──┴───┴──┴───┘
观察表格,你发现L与f之间存在怎样的规律 波长L越长,频率f将怎样变化
生:举手回答问题.
师:观察表格,在上述变化过程中,任取波长L的一个确定值,频率f有几个值和它 对应
生:独立思考后,举手回答.
明确 师生共同归纳:结论与问题1、2相同.
互动4
如果用r表示圆的半径,S表示圆的面积,则S与r满足的关系是:S=_____.利用这 个关系式填写下表:
┌──────┬─┬──┬─┬──┬───┬──┐
│半径r(厘米) │ 1│ 1.5│ 2│ 2.6│ 3.2 │ … │
├──────┼─┼──┼─┼──┼───┼──┤
│面积S(厘米2)│ │ │ │ │ │ │
└──────┴─┴──┴─┴──┴───┴──┘
从表格中你发现:圆的半径越大,它的面积就_______.
生:完成上述空格,并和同桌交流结果.
师:在上述变化过程中,任取圆的半径r的一个确定值,其面积S有几个值和它相 对应
生:思考交流后举手回答.
明确 师生共同归纳:结论与问题1、2、3相同.
互动5
师:在问题1、2、3、4中,分别涉及几个可以取不同值的量(变量) 把它们一一 说出来.
生:讨论交流.
师:同学们能够把问题1、2、3、4中反映变化过程的共同规律用自己的语言概 括归纳出来吗
生:独立尝试后,交流讨论.
明确 师生共同归纳得出下列结论:(利用多媒体展示或板演)
在某个变化过程中,可以取不同的值叫做变量,保持不变的量叫做常量.
在霜个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确 定的值和它相对应,我们就说x是自变量,y是因变量,或称y是x的函数.
互动6
师:根据问题1、2、3、4,说说函数有哪些表示方法
生:交流讨论后,举手回答,不断补充完善.
明确 师生共同归纳:函数通常有三种表示方法.
(1)解析法,例如问题3中的f=,问题4中的S=.
(2)列表法,例如问题2、3中的表格.
(3)图象法,例如问题1中的气温曲线.
互动7
师:利用多媒体演示例题内容.
小明为了表示爷爷吃过晚饭后,出门散步、报亭看报、回家的过程,绘制了爷爷 离家的路程S(米)与外出的时间(分)之间的关系图(如图17-1-3所示),请根据这个关 系图回答下列问题.
(1)这个关系图反映了哪几个变量之间的关系
(2)任取变量t的一个值,变量S有几个值与它对应,变量S是t的函数吗
(3)报亭离爷爷家多远 爷爷在报亭看了多长时间的报
(4)爷爷出门、返回的平均速度分别是多少
生:在合作交流的基础上,举手逐个回答问题.
明确 确定两个变量之间的相依关系是否是函数,必须把握住函数的概念.
四、达标反馈
(1)指出下列变化关系中,哪些y是x的函数 哪些不是 说出你的理由.
①xy=2;(是) ②x2+y2=10;(否)
③x+y=5;(是) ④│y│=3x+1;(否)
⑤y=x2-4x+5;(是)
(2)写出下列问题中的函数关系式,并指出其中的常量与变量.
①等腰三角形的顶角度数y与底角度数x的关系式;
②时速为110千米的火车行驶的路程y(千米)与行驶的时间x(小时)之间的关系 式;
③底边长为10的三角形的面积y与高x之间的关系式;
④某种弹簧原长20厘米,每挂重物1千克,伸长0.2厘米,挂上重物后的长度y(厘 米)与所挂上的重物x(千克)之间的关系式;
⑤某种饮水机盛满20升水,打开阀门每分钟可流出0.2升水,饮水机中剩余水量 y(升)与放水时间x(分)之间的关系式.
答案:①y=180-2x ②y=110x ③y=5x ④y=20+0.2x ⑤y=20-0.2x
五、课堂小结
(1)内容总结
意义
函数 表示法 解析法
列表法
图象法
(2)方法归纳 函数是表示事物运动变化的常用方法.
六、延伸拓展
1.链接生活
“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来 ,睡了一觉.当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是 先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则如图17-1 -4所示的图象中与故事情节相吻合的是 (D)
2.实践探索
①实践活动
取长为40厘米的铝丝一根,弯折成矩形,通过测量,找出使面积最大时,矩形相邻 两边的长度.
②巩固练习：课本第26页练习第2题、第3题;第28页习题17.1第1题和第29页第4题.
七、板书设计:毛
┌──┬───────────┬───────┐
│ │ 课题:变量与函数(1) │ │
│例题│常量、变量、函数的意义│多媒体演示内容│
│ │函数的表示方法 │ │
└──┴───────────┴───────┘
18.1 变量与函数(第2课时)
教学目标
1.学会求函数自变量的取值范围,了解实际情境中对函数自变量取值的限制.毛
2.理解函数自变量与函数值的对应关系,会求指定条件下的函数值.
3.会求具体问题中的函数关系式.
教学重点与难点
1.学会求函数自变量的取值范围,了解实际情境中对函数自变量取值的限制.毛
2.理解函数自变量与函数值的对应关系,会求指定条件下的函数值.
教学过程
一、复习导入
(1)为了刻画事物变化规律,数学上常用 函数 表示;
(2)函数的表示方法主要有 列表法、图象法、解析法;
(3)在220伏特的照明电路中,经过电灯的电流强度I(安培)与电灯的电阻R(欧姆 )之间的函数关系式可以表示为I=.
二、课前热身
思考:(1)如果分式的分母中含有字母,那么这个字母的取值有什么限制
(2)如果二次根式的被开方式中含有字母,那么这个字母的取值有什么限制
(3)当x=时,代数式的值是多少
三、合作探究
(1)整体感知
上节课我们学习了常量、变量、函数的意义及函数的三种主要表示方法，本节 课我们将着重探讨如何确定函数自变量的取值范围以及已知函数自变量的一个固定 值如何求函数的对应值的方法.
(2)四边互动
互动1
填写如图17-1-5所示的加法表,然后把所有填有10的格子涂黑,看看你能发现什 么
17-1-5
如果把这些涂黑的格子横向的加数用x来表示,纵向的加数用y来表示,试写出y 与x之间的函数关系式.
生:动手操作,同桌交流操作结果.
明确 师生共同归纳可知:如果把方格纸中的方格边长不断缩小,将发现这些涂 黑的方格逐渐变成点,这些点位于同一条直线上;y与x之间的函数关系可以表示为y =10-x.
互动2
师:利用幻灯片演示“试一试”中问题(2).
试写出等腰三角形顶角的底数y与底角度数x之间的函数关系式.
生:经过独立尝试后,交流各自的结果.
明确 师生共同归纳得:根据三角形的内角和公式及等腰三角形的特征“等腰 三角形同底上的两个底角相等”可知:y=180-2x.
互动3
师:利用幻灯片演示“试一试”中的问题(3),并演示“重叠部分面积”课件.
如图17-1-6所示,等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10厘米 ,AC与MN在同一条直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重 合.试写出重叠部分面积y(厘米2)与MA的长度x(厘米)之间的函数关系式.
师(点拨):重叠部分的△AMD是什么三角形 边AM与DM之间存在怎样的大小关系
生:分组讨论,小组推选代表回答,不断补充完善.
明确 师生共同归纳得:由于△ABC是等腰直角三角形,得出∠BAC=∠ADM=45° ,所以AM=DM=x,因为S△ADM=AM·DM,所以y=x2.
互动4
师:利用幻灯片演示提出的问题.
在上述“试一试”中出现的各个函数的自变量的取值范围有限制吗 如果有,分 别写出它的取值范围.
生:讨论交流后,回答问题.
明确 从“试一试”问题(1)中可以看出:横向和纵向的加数都是正整数,因此:
,解得0
互动5
师:利用多媒体演示幻灯片5.
【例1】求下列函数中自变量的取值范围:
(1)y=3x-1 (2)y=2x2+7
(3)y= (4)y=.
生:讨论交流后,举手上讲台板演,然后学生互评.
明确 在问题(1)(2)中,由于函数是关于自变量的整式,所以x为一切实数;在问 题(3)中,由于函数是关于自变量的分式,必须使分母不为零,所以x≠-2;在问题(4) 中,由于函数是关于自变量的二次根式,必须使被开方式非负,所以x≥2.
归纳上述结论可知:(相对于已学知识而言)函数自变量的取值范围必须满足下 列条件:
(1)使分母不为零;
(2)使二次根式中被开方式非负;
(3)使实际有意义.
互动6
师:利用多媒体演示幻灯片6.
【例2】在上试“试一试”的问题(3)中,当MA=1厘米时,重叠部分的面积是多少
生:独立尝试后,和同学们交流.
师:请同学们求出(1)当x=6时,例1中各题对应的y的值;(2)当y=9时,例1各题中 对应的x的值.
生:推选四名同学板演,互评答题结果.
明确 在给定的函数中,取自变量的一个固定值,可以计算出与之对应的函数一 个值(简称函数值),其计算的方法与求代数式的值的方法相同;取一个函数值,通过 构建方程,可以求出对应的自变量的值.
四、达标反馈
课本第28页中的练习第1题、第2题、第3题.
(教师来回巡视,进行点拨、交流或合作,最后请同学们推选代表发言.)
五、学习小结
(1)内容总结
函数 自变量取值范围的限制条件
函数值的求法
(2)方法归纳
求函数自变量的取值范围,常常首先依据函数关系式的结构特点或依据实际构 建不等式或不等式组,通过解不等式(组)达到解决问题的目的.
在给定一个函数解析式的条件下,已知自变量的一个固定值,可以利用求代数式 的值的方法求出函数的对应值;已知函数的一个固定值,可以首先构建方程,通过解 方程求出自变量的对应值.
六、拓展延伸
1.链接生活
如图17-1-7所示,一堵旧墙长8米,现要借助旧墙用20米长的篱笆围成一个矩形 养鸡场,其中垂直于墙的一边留一个宽1米的木门,设垂直于墙的另一边长为x米,试 求养鸡场的面积y(米2)与x(米)的函数关系式,并求出x的取值范围.
2.实践探索
(1)实践活动
请同学们收集社会生活中有关函数应用的一个实例,写出该函数关系式,求出函 数自变量的取值范围,并取一个使实际有意义的自变量的值,求出对应的函数值.
(2)巩固练习
课本第29页第2题、第3题、第5题、第6题.
七、板书设计
┌───────────────┬──────────┐
│课题 │ │
│函数自变量取值范围的确定方法 │ │
│函数值的求法 │多媒体演示(投影幕) │
├───────────────┤ │
│学生板演内容 │ │
└───────────────┴──────────┘
八、资料下载
函数
函数(Function)是数学中最基本、最重要的概念之一.在历史上,函数概念的出 现与解析几何的产生有密切联系.17世纪上半叶,笛卡儿把变量引入了数学,他指出 了平面上的点与实数对(x,y)之间的对应关系.当动点做曲线运动时,它的x坐标和y 坐标相互依赖并同时发生变化,其关系可由包含x、y的方程式给出.相应的方程式就 揭示了变量x和y之间的关系.
“函数”作为数学术语是莱布尼兹首次采用的.他在1692年的论文中第一次提 出函数这一概念.起初他用函数一词表示x的幂(即x、x2、x3…),后来他又用函数表 示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等几何量.现在一般把莱布尼兹引用的函数 概念的最初形式看作是函数的第一个定义.把函数理解为幂的同义语,可以看作是函 数概念的解析的起源;用函数表示某些几何量,可以看作是函数概念的几何起源.
随着数学的发展,函数的定义不断地得到改进和明确.毛
18.2 函数的图像
1.平面直角坐标系(一)
教学目的：
1．使学生理解平面直角坐标系的意义，会建立直角坐标系．
2．掌握平面内的点与有序实数对的一一对应关系，并能熟练地根据坐标找出平面内的点，由点求得坐标．
3.使学生掌握平面内一点关于x轴，y轴及原点的对称点的坐标．
4．能熟练地指出某些几何图形在坐标平面内一些点的坐标．
教学重点和难点：
使学生掌握x轴和y轴上的点及四个象限内点的坐标具有的特征，平行x轴和y轴的直线上的点和第一、三象限角平分线，第二、四象限角平分线上点的坐标的特征，使学生懂得建立了平面直角坐标系，就使平面上的点与一对有序实数之间建立起一一对应关系，这就建立了“数”与“形”之间的联系．
教学过程
一、复习提问
1．什么是数轴？(规定了原点，正方向及长度单位的直线)
2．数轴上的点与实数间的关系是什么？(一一对应关系，即数轴上每一个点的位置都能用一个实数表示，反之，任何一个实数在数轴上都有唯一的一个点和它对应，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标)．
二、新课
问题：你去过电影院吗？还记得在电影院是怎么找座位的吗？
（答：电影票上都标有“x排Хx座”的字样，所以找座位时，先找到第几排，再找到这一排的第几座就可以了。也就是说，电影院里的座位完全可以由两个数确定下来。）
在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．
1、如何在平面内建立直角坐标系呢？
（1）在平面内取互相垂直有公共原点的两条数轴；取向右，向上的方向为正方向；两条数轴的单位长度相同．
(2)指出坐标系中各部分的名称(x轴，y轴，原点及第一、二、三、四象限)．
(3)x轴及y轴上的点属于哪个象限？
2． 学生已经知道两个实数可以表示平面内的点，图1中的点M，N的坐标如何表示呢？
由M点向x轴和y轴分别引垂线，垂足在x轴坐标为1，在y轴坐标为3，一对实数1，3就表示了M点的位置，1叫M点的横坐标，3叫M点的纵坐标，记作M(1，3)，容易得到N点坐标为(4，－1)，特别要指出：一个点的横纵坐标不能写颠倒，(1，3)和(3，1)是两组不同的实数对，表示平面内不同的点．
由学生回答，若给出实数对(－2，2)，(3，－2)，如何在坐标系中找出对应的点，并把点画在图1中．
例1 在坐标系中，如图2，指出A点、B点、C点坐标,同时指出各点所在的象限．
由上面的例1引导学生总结出四个象限内点的坐标的特征，并画出图3帮助同学们记忆．
练习：点P（x,y ）的坐标满足xy>0,x+y<0 ，则点P在第 象限。
例2 在坐标平面内，
(1)x轴上点的纵坐标有什么特点？
(2)y轴上点的横坐标有什么特点？
(3)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？
(4)第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点？
分析:由(1)和(2)总结出：一般地x轴上点的坐标表示为P(x，0)，y轴上点的坐标表示为P(0，y).(3),(4)省略.
例3 在直角坐标系中画出下列各点:
A(2 ,3) ,B(-2 ,3) C( -2 ,- 3) ,D( 2 ,-3)
引导学生得出若P(a，b)，则P点关于x轴对称点P1的坐标：横坐标与P的横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反，即P1(a，-b)； P点关于y轴的对称点P2点的坐标；横坐标与P点横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标与P点纵坐标相同，即P2(-a，b)；P点关于原点的对称点坐标：横纵坐标与P点的横纵坐标绝对值相等，符号相反，即P3(-a，-b)．
对称点的坐标可归纳成下表
练习：点P（-2，1）关于x轴的对称点是 ，关于y轴的对称点是 ，关于原点的对称点坐标是 。
注：点P（a,b）关于y=x轴的对称点是(b,a) ，点P(a,b)关于y=-x轴的对称点是(-b,-a).
例4：已知长方形ABCD，边长分别为6和4，如图8，求其四个顶点坐标；对角线交点坐标．
例5 如图11，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上,
分析：因为D点在第一象限角平分线上，所以D点的横坐标与纵坐标相同，又D、C在平行x轴直线上，所以D、C点纵坐标相同，结合平行四边形性质，即可求出各顶点坐标了．
在引导学生分析的基础上，由同学们完成此题，D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．
例6：已知等边的两个顶点的坐标为A（-4，0）、B（2，0）。试求：（1）C点的坐标；（2）的面积。
例7：一个菱形较短的对角线的长是2，有一个内角是。取两条对角线所在的直线为坐标轴，求它四个顶点的坐标。
拓展：两点间的距离公式
如图，A、B两点在x轴上，求A、B之间的距离；
如图，C、D两点在y轴上，求C、D之间的距离;
求P、Q两点之间的距离。
归纳：
练习：求下列两点间的距离。
A(3,4),B(-4,-3);
C(3,4),D(-3,4);
四、课堂小结：
(1)如何建立平面直角坐标系．
(2)各象限内的点及x轴，y轴上的点的特征．
(4)关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数.关于y轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同.关于原点对称的两点，横坐标、纵坐标均互为相反数。
五、板书设计
六、课后反思
函数的表示法与函数的图象
教学目标：
1、知道函数图象的意义；
2、能画出简单函数的图象，会列表、描点、连线；
3、能从图象上由自变量的值求出对应的函数的近似值。
教学重点和难点：
重点：认识函数图象的意义，会对简单的函数列表、描点、连线画出函数图象。
难点：对已恬图象能读图、识图，从图象解释函数变化关系。
教学过程设计：
一、复习：
1、什么叫函数？
2、什么叫平面直角坐标系？
3、如果已知一个点的坐标，可在坐标平面内画出几个点？反过来，如果坐标平面内的一个点确定，这个点的坐标有几个？这样的点和坐标的对应关系，叫做什么对应？（答：叫做坐标平面内的点与有序实数对一一对应）
二、新课：
一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成．图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．
例1 画出函数y＝x2的图象．
分析 要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变量的值，并求出对应的函数值．
解 取自变量x的一些值，例如x＝－3，－2,－1，0，1，2，3 …，计算出对应的函数值．为表达方便，可列表如下：
由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：
…，（－3，4.5），（－2，2），（－1，0.5），（0，0），（1，0.5），（2，2），（3，4.5），…
在直角坐标系中，描出这些有序实数对(坐标)的对应点，如图18.2.4所示．
通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图18.2.5所示．
图18.2.5
这里画函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法．
归纳：列表、描点、连线。列表时应注意自变量的取值范围，取值时可由小到大，或从中间向两边取，选点要具有代表性，尽量使画出的函数图像能反映出函数的全貌。连线时，要用平滑的曲线，顺次连结。这种方法叫描点法。对于画直线，只要描两个点就可以了。
课堂练习：
在所给的直角坐标系中画出函数y=x的图象（先填写下表，再描点、连线）.
（第1题）
2．画出函数y=的图象.
例2
王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图18.2.6中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时），看图回答下列问题：
图18.2.6
小强让爷爷先上多少米？
山顶高多少米？谁先爬上山顶？
课堂练习：
1．下图为世界总人口数的变化图.根据该图回答：
从1830年到1998年，世界总人口数呈怎样的变化趋势？
在图中，显示哪一段时间中世界总人口数变化最快？
()
2．一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列3幅图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度h（厘米）与点燃时间t之间的函数关系的是（ ）.
小明从家里出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，继续散步了一段时间，然后回家.下面的图描述了小明在散步过程中离家的距离s（米）与散步所用时间t（分）之间的函数关系.你能根据图象说出小明散步过程中的一些具体信息吗？
例3：王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式
y=击球，球正好进洞．其中，y（m）是球的飞行高度，x（m）是球
飞出的水平距离．
试画出高尔夫球飞行的路线；
从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？球的起点与洞之间的距离是多少？
分 析
高尔夫球飞行的路线，也就是函数 y=的图象．用描点法画出图
象，其他问题也就可以解决了．
解 （1） 列表如下：
在图18.2.7所示的直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致
图象．
（2）从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是___m，球的起点与洞之间
的距离是___m．
课堂练习：
1、 画出§18.1的试一试问题（3）中的函数图象，并结合图象指出重叠部分面积的最大值．
2、（1）已知点在函数的图像上，求b的值；
（2）已知点B（4，2）在函数y=2x+b的图像上，试判断点C（-2，3）是否在此函数的图像上。
三、课堂小结：
到现在，我们已经学过了表示函数关系的方法有三种：
1、解析式法——用数学式子表示函数的关系。
2、列表法——通过列表给出函数与自变量的对应关系。
3、图象法——把自变量作为点的横坐标，对应的函数值作为点的纵坐标，在直角坐标系内描出对应的点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象。用图象来表示函数与自变量对应关系。
这三种表示函数的方法各有优缺点。
1、用解析法表示函数关系：
优点：简单明了。能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算。
缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算。
2、用列表表示函数关系
优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便。
缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律。
3、用图象法表示函数关系
优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化。
缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值。
函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点，因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法。在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图象。
四、布置作业
五、课后反思
1、在建立平面直角坐标系后，点的坐标（有序实数对）与坐标平面内的点一一对应；不同的坐标与不同的点一一对应；函数关系与动点轨迹一一对应，把抽象的数量关系与形象直观的图形联系起来，通过解读图象，了解抽象的数量关系，这种“数形结合”，是数学中的一种重要的思想方法。
2、本课的目标是使学生会画函数图象，并会解读图象，即会从图象了解到抽象的数量关系。为此，先在复习旧课时，着重提问坐标平面上的点与有序实数对一一对应，接着在新课开始时介绍了画函数图象的三个步骤。
18.3 一次函数(第1课时)
教学目标：
1.了解一次函数与正比例函数的意义.
2.理解一次函数与正比例函数的联系和区别.
教学重点与难点：
一次函数与正比例函数的联系和区别
教学过程：
一、整体感知
前面我们已经学习了函数的概念、函数图象的画法,本节课我们将学习一种最 基本、常见的初等函数── 一次函数.
二、四边互动
互动1
问题1:小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发 现汽车的平均速度是95千米/时.已知A地直达北京的高速公路全程570千米,小明想 知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系, 以便根据时间估计自己和北京的距离.
你能帮助小明解决这个问题吗
师:(点拨)可以通过适当设未知数(变量),利用函数知识解决问题.
分析 汽车距北京的路程随行驶的时间变化而变化,因此这里涉及两个变量:汽 车距北京的路程和汽车行驶的时间,为此可设汽车距北京的路程为s(千米),汽车行 驶的时间为t(小时),通过观察如图17-3-1所示的图形可知:s=570-95t(0≤t≤6).
分清已知量与未知量之间的相互关系,再用变量(字母)表示未知量是探究函数 关系的关键.
互动2
问题2:小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来.他已存有50元,从现在起每 个月节存12元,试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式.
分析 这里涉及存款数和月份数两个变量,变量与常量之间的关系为:
存款数=已有存款数+将存入的存款数.
设从现在开始存款的月份数为x,存款总数为y元,则
y=50+12x(x为自然数)
互动3
问题3：某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y（元）关于用电度数x的函数关系式为: y= 0.5x(x≥0)
互动4：以上（1）,(2)与（3）表示的这三个函数有什么共同点？
师生共同归纳可得:上述函数的解析式都是关于自变量的一次整式,可统 一表示为y=kx+b的形式,其中k、b为常数,且k≠0.
特别,当b=0时,一次函数y=kx(k≠0)也叫正比例函数.
互动4：（利用多媒体演示幻灯片.）
下列函数，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
见课件《一次函数（1）》
明确:正比例函数是一次函数的特例, 因此正比例函数一定是一次函数,当一次函数解析式中的常数项为0时,一次函数才 是正比例函数;一个函数解析式能够转化成y=kx+b(k≠0)的形式,它就是一次函数; 一个函数解析式能够转化成y=kx(k≠0)的形式,它就是正比例函数.
互动5：利用多媒体演示幻灯片. 见课件《一次函数（1）》
已知函数y=(m+1)x+(m2-1),当m取什么值时,y是x的一次函数 当m取什么值时 ,y是x的正比例函数
解:要使此函数是一次函数,必须m+1≠0,即m≠-1;
要使此函数是正比例函数,必须,解得m=1.
互动6
师:请同学们完成课本第40、41页的练习.
生:独立尝试后,在小组之间展开交流讨论,推选3名代表进行板演.
明确 师生共同归纳板演的结果.
三、达标反馈
(1)函数:①y=-2x+3;②x+y=0;③xy=1;④y=+1;⑤y=;⑥y=-0.5x中,属一 次函数的有 ①②⑥ ;属正比例函数的有 ②⑥ (填写序号).
(2)当m=-1时,y=(m2-1)x2+(m-1)x+m是一次函数.
(3)写出一个满足条件:当自变量取2时,对应的函数值为-3的一次函数的解析式 (只写一个) y=-x-1.
(4)我国是一个水资源缺乏的国家,大家要节约用水.据统计,拧不紧的水龙头每 秒钟会滴下2滴水,每滴水约0.05毫升.李丽同学在洗手时,没有把水龙头拧紧,当李 丽同学离开x小时后水龙头滴了y毫升水.则y与x之间的函数关系式是 y=360x ,该函 数是 正比例 函数.
(5)设圆的面积为S,半径为R,那么下列说法正确的是(C)
A.S是R的一次函数 B.S是R的正比例函数
C.S是R2的正比例函数 D.以上说法都不正确
四、课堂小结
(1)内容总结
一次函数、正比例函数 意义
表达式
(2)方法归纳
在具体问题中,如果涉及两个变量且只包含一个等量关系时,常用两个字母表示 这两个变量,通过建立函数模型来解决问题.
识别一个具体的函数是否为一次函数或正比例函数的关键是理解一次函数、正 比例函数的意义及能否转化成其一般表达形式.
四、拓展延伸
1.链接生活
为了加强公民节约用水意识,某市制定了如下收费标准:每户每月用水不超过 10吨时,每吨水收费1.2元;超过10吨时,超过部分每吨按1.8元收费.该市某住户3月 份用水超过10吨,那么该住户3月份应缴水费多少元
答案:设该用户3月份用水x吨
y=10×1.2+(x-10)×1.8
=1.8x-3(x≥10)
2.实践探索
(1)实践活动
请收集有关一次函数在社会生活中应用的两个实例,列出函数关系式,然后解答 问题.
(2)巩固练习
课本第47页习题17.3第1-3题.
五、板书设计:毛
┌────────────────┬────┐
│课题 │ │
│一次函数、正比例函数的意义 │ │
│一次函数、正比例函数的表达形式 │ 投影幕 │
├────────────────┤ │
│学生板演内容 │ │
└────────────────┴────┘
18.3 一次函数的图像(第2课时)
教学目标与要求：
1.经历探究画一次函数图象的过程,了解一次函数、正比例函数的图象特征.毛
2.会画一次函数、正比例函数的图象.
3.了解直线y=kx+b(k≠0)中k、b的几何意义.
教学重点与难点：
理解直线y=kx+b(k≠0)中k、b的几何意义.
教学过程：
一、整体感知
上节课我们主要学习了一次函数、正比例函数的概念,这节课我们将着重探讨 一次函数与正比例函数图象的主要特征及其图象的画法.
二、四边互动
互动1
师:利用多媒体演示幻灯片“做一做”内容.
做一做:在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
(1)y=x; (2)y=x+2; (3)y=3x; (4)y=3x+2.
通过画图,你发现一次函数、正比例函数的图象的形状分别是什么
生:动手操作,在几何练习簿上建立坐标系,用描点法画出上述函数的图象,在小 组之间展开交流讨论,推选代表表达小组归纳的结论.
师生共同概括:根据以上实践、观察与讨论,我们发现一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是一条直线.通常也称为直线y=kx+b.特别地,正比例函数y=kx(k≠0) 的图象是经过原点(0,0)的一条直线.值得注意的是:一次函数的图象不可能与坐标 轴平行.
互动2
师:利用多媒体演示幻灯片.
认真观察上述画出的四个函数图象的特点,比较下列各对函数图象的相同点和 不同点:
(1)y=3x与y=3x+2; (2)y=x与y=x+2; (3)y=3x+2与y=x+2.
由此你发现什么规律
生:在小组之间展开交流与讨论,各组推选代表发言.
师:利用多媒体演示“一次函数图象的平移”课件(华东师范大学出版社教学光 盘),验证同学们的猜想.
概括 在第(1)组和第(2)组中的两个函数图象平行,但位置不同,可以通过相互 平移得到;在第(3)组的两个函数图象相交,且交点在y轴上.
概括归纳可知:对于一次函数y=kx+b和y=k1x+b1,
(1)当k=k1,b≠b1时,两条直线平行,可以通过平移其中一条直线得到另一条直 线;
(2)当k≠k1,b=b1时,两条直线相交,且交点在y轴上,是(0,b).
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片.
(1)直线y=2x-3可以由直线y=2x经过 向下平移3个单位 而得到;直线y=-3x+2可 以由直线y=-3x经过 向上平移2个单位 而得到;直线y=x+2可以由直线y=x-3经过 向 下平移5个单位 而得到.
(2)直线y=2x+5与直线y=x+5都经过y轴上的同一点( 0, 5 ).
(3)将直线y=-2x-1向上平移3个单位,得到的直线是 y=-2x+2.
生:动手尝试,在4人小组中交流结果,然后举手回答解题思路和结果.
明确 教师利用多媒体逐个点击答案,验证同学们操作结果的正确性.
互动4
师:利用多媒体演示幻灯片.
【例1】在同一平面直角坐标系中画下列函数的图象.
(1)y=2x与y=2x+3; (2)y=2x+1与y=x+1.
师:(点拨)画一次函数和正比例函数的图象,我们还需要用描点法吗 只要在图 象上分别找到几点就可以确定其图象的位置
生:动手操作,并交流操作的结果.
明确 教师利用多媒体演示操作的过程和结果.
归纳:由于一次函数是直线,因此在画其图象时,只要在图象上找到两点,便可以 画出它的图象,通常所取的两点是图象与坐标轴的两个交点;特别地,由于正比例函 数的图象是经过原点的一条直线,因此画其图象时,只要找到异于原点(0,0)的一点 的坐标即可,通常所取的点是(1,k).
互动5
师:请同学们完成课本第42页的练习.
生:动手操作,在小组之间展开交流和互评.
明确 教师利用多媒体演示练习的答案,并口述解题过程和应注意的事项.
把练习的第1题与例1作出的图象比较可知:
对于直线y=kx+b(k≠0),当k>0时,图象可形象说成“撇”;当k<0时，图象可想 像地说成“捺”;当b>0时，直线与y轴的交点位于x轴的上方;当b<0时,直线与y轴的 交点位于x轴的下方;当b=0时,直线经过坐标系原点.
三、达标反馈
(多媒体演示)
(1)正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过( 0,0 )和点 (1,k)的一条直线.
(2)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点 (0,b)且与直线y=kx 平行 的直线.
(3)画出下列各组一次函数的图象,并说出它们有什么关系.
①y=-2x-1与y=-2x+6. ②y=x+3与y=-3x+3.
答案:①平行,位置不同 ②相交,交点在y轴上.
四、学习小结
(1)内容总结
一次函数、正比例函数 图象的特征
图象的画法
(2)方法归纳
画一次函数图象时,只要在图象上找到两点的坐标,在坐标系中描出这两点,再 经过这两点画直线即可.
五、拓展延伸
1.链接生活
画出问题“拖拉机油箱中装油20升，使用时每小时耗油4升，油箱中的剩余油 量y(升)与使用时间t(小时)之间的关系”中函数图象.
提示:图象为线段.
2.实践探索
(1)实践活动
对于一次函数y=kx+b(k≠0),分别取k、b的四组不同值:①都是正数;②k为正, b为负;③k为负,b为正;④都是负数,分别画出这四个一次函数的图象,并探讨直线y =kx+b(k≠0)所经过的象限与k、b取值正、负的关系.
(2)巩固练习
课本第47页习题17.3第4-6题.
(四)板书设计:毛
课题一次函数图象的特征不同一次函数图象之间的关系一次函数图象的画法 投影幕
学生板演内容
18.3 一次函数的性质(第3课时)
教学目标和要求
1.了解一次函数图象与坐标轴的交点的求法。
2.理解一次函数与一次方程的关系毛
3.学会利用一次函数图象解答简单问题.
教学重点与难点
理解一次函数与一次方程的关系毛
教学过程
复习与回顾
1、 在同一坐标系中画出下列各组函数的图像，并说出每组函数的共同点与不同点：
（1）y=-x+2和y=-x (2)y= 和y=-x+3
二、 实践探索
互动1
对于一次函数y=kx+b(k≠0),分别取k、b的四组不同值:①都是正数;②k为正, b为负;③k为负,b为正;④都是负数,分别画出这四个一次函数的图象,并探讨直线y =kx+b(k≠0)所经过的象限与k、b取值正、负的关系.
你们发现了什么现象
对于直线y=kx+b(k≠0),当k>0,b>0时,直线经过 第一、二、三 象限;当k>0,b <0时,直线经过 第一、三、四 象限;当k<0,b>0时,直线经过 第一、二、四 象限; 当k<0,b<0时,直线经过 第二、三、四 象限.
例题1：已知一次函数y=(2-m)x+(1-4m)的图像经过一、三、四象限，则m的取值范围是：
A、m>2 B、m< C、m>-2 D、
例题2：一次函数y=(3a+2)x-(4-b),问a,b为何值时，使得
图像经过原点；
图像与y轴的交点在x轴的上方；
图像经过二、三、四象限。
互动2
求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点, 并画出这条直线.
师:(点拨)由于横轴上各点的纵坐标为0,所以我们把横轴的解析式规定为y=0, 同样把纵轴的解析式规定为x=0.我们知道在函数图象上的点的坐标一定满足函数的 解析式(可以看成方程),即函数图象上一点的坐标是图象方程的一个解,那么两个函 数图象的交点坐标必定同时满足这两个图象的方程,说明交点坐标是这两个图象方 程的一个公共解,即交点坐标是两个图象方程构成的方程组的解,这样我们就把求函 数图象的交点坐标问题转化成解方程组问题.
解:求直线y=-2x-3与x轴的交点问题可以转化为解方程组,解方程组得 ,所以直线与x轴的交点为(-1.5,0);同样求得直线与y轴的交点为(0,-3).
过点(-1.5,0)和(0,-3)作直线,如图17-3-4所示,就是直线y=-2x-3的图象.
归纳:求两个函数图象的交点坐标问题,可以首先联立这两个 函数的方程,通过解方程组来解决问题,求直线y=kx+b(k≠0)与x轴的交点问题,实际 上是求一次方程kx+b=0的解.
例题3：已知直线y=2x和直线y=x+2.
求这两条直线的交点A的坐标；
求这两条直线与x轴所围成的三角形的面积。
练习：
1、已知直线y=2x-3和直线y=-x+2.
求这两条直线的交点A的坐标；
在同一坐标系内画出这两条直线；
求这两条直线与y轴所围成的三角形的面积。
2、已知直线2x+y=6与两条坐标轴分别相交于点A、B(如图17-3-3所示),
（1）你能求出 △AOB的面积吗
（2）观察图像，求当x取何值时，y>0,y=0,y<0
3、求直线y=2x+3和y=-3x+6与x轴围成的三角形的面积.
4、已知直线y=k1x与直线y=k2x-9交于点P(3,-6).
(1)求k1、k2的值,并写出它们的解析式;
(2)设两直线与x轴分别交于A、B两点,求△PAB的周长.
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片.
【例3】画出问题1中小明距北京的路程s与开车时间t之间函数s=570-95t的图 象.
师:(点拨)在实际问题中,我们可以在表示时间的t轴和表示路程的s轴上分别选 取适当的单位长度,画出平面直角坐标系,如图17-3-5所示.
生:(在课本中)动手尝试,交流画图的结果.
师:利用多媒体演示画出的函数图象(如图17-3-6所示),对照所画的图象,求小 明离北京的距离是475千米时,汽车行驶了多长时间
生:动手尝试,举手回答问题.
师:当汽车行驶2-3小时时,汽车离北京的路程在什么范围
生:分组合作,推选代表回答.
师:对照画出的函数的图象,请作如下的讨论.
讨论:(1)这个函数是不是一次函数 (2)这个函数中自变量t的取值范围是什么 函数的图象是什么 (3)在实际问题中,一次函数的图象除了直线和本题的图形外, 还有没有其他情形 你能不能找出几个例子加以说明
生:分组讨论,并推选代表说明本组讨论的结果.
明确 画实际问题的函数图象时应注意以下几个问题:
(1)要根据实际选择合适的单位长度分别作为纵、横轴的单位长度(两个数轴上 的单位长度可以不一样).
(2)要根据实际确定函数自变量的取值范围,预测其图象的发展趋势和画图的区 域范围(对于一次函数而言,当自变量的取值范围是一切实数时,其图象一定要画成 直线;当自变量的取值范围介于某两个实数之间时,其图象是线段,要画出它的两个 端点;当自变量的取值范围大于或小于某个实数时,其图象是射线,要画出射线的端 点).
(3)画一次函数图象时,常常选择图象与坐标轴的两个交点来定位.
互动4
师:请同学们解答课本上第44页的练习.
生:独立尝试后和同桌交流.
三、达标反馈
(多媒体演示)
(1)一次函数y=-2x+3的图象经过 第一、二、四 象限.
(2)直线y=kx+b与x轴的交点横坐标就是方程 kx+b=0 的解.
(3)已知一次函数的图象如图17-3-7所示,则 (B)
A.k>0,b>0 B.k>0,b<0
C.k<0,b>0 D.k<0,b<0
(4)如果直线y=(m-2)x+(m-1)经过第一、二、四象限,则实数m的取值范围是(D)
A.m<2 B.m>1 C.m≠2 D.1
图17-3-8
四、课堂小结
(1)内容总结
一次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法.
(2)方法归纳
求函数图象的交点坐标问题,一般都可以通过联立图象的方程,解方程组解决.
五、延伸拓展
1.链接生活
一辆小轿车油箱储油30升,已知耗油量为0.2升/千米.
(1)写出轿车油箱中剩余油量y(升)与行驶的路程x(千米)之间的函数关系式;
(2)画出这个函数的图象.
2.实践探索
(1)实践活动
画出函数y=2x+1和y=-3x-2的图象,并探究当x增大时,y的值将随着x怎样变化
(2)巩固练习
课本第47页习题17.3第8题和第10题;第61页复习题第6题和第8题.
六、板书设计:毛
┌────────────────┬────┐
│课题 │ │
│一次函数图象与坐标轴交点的求法 │ 投影幕 │
│实际问题中一次函数图象的画法 │ │
└────────────────┴────┘
18.3 一次函数的性质(第4课时)
教学目标与要求：
1.理解掌握一次函数的性质.毛
2.学会利用一次函数的图象解决一次方程、一次不等式问题.
3.能够利用一次函数的性质解决简单的实际问题.
教学重点与难点：
1.理解掌握一次函数的性质.毛
2.学会利用一次函数的图象解决一次方程、一次不等式问题.
教学过程：
一、情境导入
(多媒体演示幻灯片)
某学校需要刻录一批电脑光盘,若电脑公司刻录,每张需要8元(含空白光盘费) ;若学校自刻,除租用刻录机需120元外,每张还需成本费4元(含空白光盘费).问刻录 这批电脑光盘,到电脑公司刻录费用少,还是自刻费用少 你能帮助设计出一种使刻 录费用最少的刻录方案吗
二、实践与探索
在上节课的实践活动中:“画出函数(1)y=2x+1;(2)y=-3x-2的图象,并探究当x 增大时,y的值将随着x怎样变化 ”同学们发现什么现象
(师广泛听取同学们发现的问题和提出的猜想,不做任何解释,等待本节课同学 们探索的结果加以验证).
(1)整体感知
为了解决本节课开始提出的问题和验证同学们在上节课实践活动中提出的猜想 ,本节课我们着重探讨了一次函数具有的相关性质.
(2)四边互动
互动1
师:利用多媒体演示课件:一次函数图象上的点与两条坐标轴上的对应点做同步 运动的动画.
请同学们观察函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步运动的动画.
通过观察同学们发现什么现象
生:讨论、交流,并举手逐个回答,不断补充完善.
师:函数y=3x-2的图象(图17-3-9中虚线)是否也有这种现象
生:在自主探索的基础上合作交流.
师:对于函数y=kx+b(k≠0),当k>0时,结果是否与上述一样
生:讨论后举手回答.
明确 如图17-3-9所示,在函数的图象中,我们看到:当一个点在直线上从左向 右移动(自变量x从小到大)时,它的位置也在逐步从低到高变化(函数y的值也从小变 到大)──图象自左向右是上升的,函数值y随自变量x的增大而增大.
对于函数y=kx+b(k≠0),当k>0时,y随自变量x的增大而增大,图象自左向右是上 升的.
互动2
师:再观察函数y=-x+2和y=-x-1的图象,研究它们是否也有相应的性质,有什么 不同 你能否发现什么规律
生:动手画图,对照图象进行探索,相互交流达成共识,然后举手回答发现的现象.
师:利用多媒体课件演示函数图象(如图17-3-10)所示),验证学生发现结论.
师:对于函数y=kx+b(k≠0),当k<0时,你能归纳出它的性质吗
明确 在函数y=-x+2和y=-x-1的图象中,我们看到:当一个点在直线上从左向 右移动(自变量x从小到大)时,它的位置也在逐步从高到低变化(函数y的值也从大变 到小)──图象自左向右是下降的,函数值y随自变量x的增大而减小.
对于函数y=kx+b(k≠0),当k<0时,y随自变量x的增大而减小,图象自左向右是下 降的.
概括归纳得:
一次函数y=kx+b有下列性质:
(1)当k>0时,y随x的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升;
(2)当k<0时,y随x的增大而 减小,这时函数的图象从左到右 下降.
互动3
师:请同学们思考:这些性质在问题1和问题2中,反映怎样的实际意义
生:对照课本第39、40页问题1和问题2,结合一次函数的性质进行讨论.
明确 在问题1中,函数解析式为s=-95t+570,由于k=-95<0,表明s随着t的增大 而减小,即汽车距北京的路程随着行驶时间的增大而缩短.
在问题2中,函数解析式为y=-12x+50,由于k=12>0,表明y随着x的增大而增大,即 小张在银行的存款数随着存款时间月份数的增大而增多.
互动4
师:利用多媒体演示.
做一做:画出函数y=-x+2的图象,结合图象回答下列问题.
(1)这个函数中,随着x的增大,y将增大还是减小 它的图象从左到右怎样变化
(2)当x取何值时,y=0
(3)当x取何值时,y>0
生:动手画图,并对照图象解答提出的问题,再在四人小组中展开交流.
明确 函数y=-2x+2的图象如图17-3-11所示(1)由于自变量的系数小于0,所以 y随x的增大而减小,图象自左向右是下降的;(2)当x=2时,y=0;(3)当x<2时,y>0.
概括:对于一次函数y=kx+b(k≠0),图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的 解;图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围就是不等式kx+b>0的解集;图象位于x 轴下方部分对应的x的取值范围就是不等式kx+b<0的解集.
互动5
师:利用本节课所学的知识,现在你能解答本课开始提出的问题吗 (出示幻灯片)
师:(点拨)这里涉及两个费用(学校自刻光盘费用和电脑公司刻录光盘费用),且 两个费用都与要刻录的光盘的张数有关,可以用两个函数分别表示这两个费用.
生:分组合作解决.
明确 设刻录的光盘有x张,学校自刻光盘和电脑公司刻录光盘的费用分别为 y1、y2元,则y1=4x+120,y2=8x.当y1>y2时,有4x+120>8x,解得x<30,表明需要刻录的 光盘少于30张时,由电脑公司自刻光盘费用较小;当y1
注:本题还可以借助图象法求解.
互动6
师:请同学们解答课本第45页的练习.
生:独立尝试后,同桌交流;推选两名代表进行板演.
明确 师生共同完善学生板演的结果.
4.达标反馈
(多媒体演示)
(1)已知点(x 1,y1)和(x2,y2)在一次函数y=-3x+2的图象上,且x1
(2)一次函数y=kx+b的图象如图17-3-12所示,观察图象可知,y随x的增大而减小.
(3)如果正比例函数y=kx中y随x的增大而增大,那么一次函数y=-x+k的图象一定 不经过第 三 象限.
(4)已知一次函数y=(a-2)x+1中y随x的增大而减小,化简=5-2a.
(5)已知一次函数y=(1-2k)x+(2k+1).
①当k取何值时,y随x的增大而增大
②当k取何值时,函数图象经过坐标系原点
③当k取何值时,函数图象不经过第四象限
答案:①k<0.5 ②k=-0.5 ③-0.5
(1)内容总结
一次函数的性质.
(2)方法归纳
利用函数图象归纳函数的性质或解决方程、不等式问题是我们经常使用的方法 ,是数形结合的具体体现.
四、延伸拓展
1.链接生活
某服装厂现有甲种布料42米,乙种布料30米,计划用这两种布料生产M、L两种型 号的校服共40件.已知做一件M型号的服装需要甲种布料0.8米,乙种布料1.1米,可获 利45元;做一件L型号的服装需要甲种布料1.2米,乙种布料0.5米,可获利30元.设生 产M型号服装x件,用这批布料生产两种型号的服装所获的利润为y元.
(1)写出y(元)与x(件)之间的函数关系式,并求出自变量的取值范围.
(2)该厂生产这批校服时,当M型号校服为多少件时,能使该厂所获的利润最大 最大利润是多少
2.实践探索
(1)实践活动
请收集利用一次函数性质解决实际问题的两个实例,并解答所列举的问题.
(2)巩固练习
课本第62页复习题第14题和15题.
五、板书设计:毛
┌────────────────┬────┐
│课题 │ │
│一次函数的性质 │ 投影幕 │
│一次函数性质的应用 │ │
└────────────────┴────┘
18.3 求一次函数的关系式(第5课时)
教学目标与要求
1.会用待定系数法求一次函数的解析式.毛
2.学会利用一次函数解析式、性质、图象解决简单的实际问题.
教学重点与难点
1.会用待定系数法求一次函数的解析式.毛
2.学会利用一次函数解析式、性质、图象解决简单的 实际问题.
教学过程：
1.情境导入
问题:弹簧的长度与所挂物体的质量的关系为一次函数,其图象如图17-3-13所 示,则该弹簧在不挂物体时的长度是多少
2.课前热身
我们知道一次函数的图象是直线,确定直线的条件是已知两点,因此已知一次函 数图象上的两点坐标,便可以求出它的解析式.特别地,由于正比例函数的图象是经 过原点的一条直线,因此已知正比例函数图象上异于原点的一点坐标,便可以求出它 的解析式.
3.合作探究
(1)整体感知
前面我们已经学习了一次函数的概念、性质、图象及其画法,本节课我们着重 探讨一次函数解析式的求法.
(2)四边互动
互动1
师:利用多媒体演示幻灯片.
求满足下列条件的函数解析式:
(1)图象经过点(1,-2)的正比例函数的解析式;
(2)与直线y=-2x平行且经过点(1,-1)的直线的解析式;
(3)经过点(0,2)和(1,1)的直线的解析式;
(4)直线y=2x-3关于x轴对称的直线的解析式;
(5)把直线y=-2x+1向下平移两个单位,再向右平移3个单位后所得直线的解析式. 生:在讨论的基础上动手尝试,并交流结果,然后推选5名同学进行板演.
师:完善修订学生板演的结果,并提问:从上述操作过程中,你获得哪些体会和经 验
生:讨论交流.
明确 概括:确定正比例函数解析式y=kx,需要知道一对对应的x,y的值,或其图 象上一点的坐标(但不能是原点坐标),通过解一元一次方程求出k的值;确定一次函 数的解析式y=kx+b需要知道两对对应的x、y的值,或其图象上两点的坐标,通过解方 程组求出k和b的值,这种求函数解析式的方法叫做待定系数法(method of undetermined coefficient).
求对称、平移等变换后的直线解析式,首先要在原直线上找到两点坐标,再求出 这两点经过变换后的坐标,然后用待定系数法求出变换后的直线的解析式.例如:第 (4)题,先在直线上取两点(0,-3)和(1,-1),再求出它们关于x轴的对称点(0,3)和(1 ,1),这样便可以求出变换后的直线的解析式.
互动2
师:利用幻灯片再现本课提出的问题,现在你能解答本节课开始提出的问题吗 独立解答,并在小组内交流.
生:独立解答后,和同学们交流解题的思路和方法.
明确 解:设该直线的解析式是y=kx+b,由图象可知点(5,12.5)和(20,20)在直 线上,所以 ,解方程组得:
所以直线解析式为y=0.5x+10.
弹簧不挂重物时的长度,即为当x=0时的长度,所以弹簧不挂重物时的长度为10 厘米.
互动3
师:利用多媒体演示幻灯片:
【例4】已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度内是所挂重物质量x(千克)的一 次函数.现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂4千克质量的重物时,弹簧的长 度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式.
师:(点拨)弹簧不挂重物的长度是6厘米是什么意思 一次函数解析式可以设成 什么形式
生:举手回答问题,然后解答例题.
明确 解:设所求函数的关系式是y=kx+b,根据题意,得
解这个方程组,得
所以所求函数的关系式是 y=0.3x+6.
互动4
师:利用多媒体演示幻灯片
做一做:已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,1)和点(1,-5),求当x=5时,函数 y的值.
师:(点拨)解决问题的突破口是什么 有没有求出函数解析式的必要
生:讨论后,选出两名同学进行板演,其余同学独立尝试.
明确 师生共同修订完善板演过程.
师:利用多媒体演示幻灯片.
某图书馆开展两种租书业务:一种是使用会员卡,另一种是使用租书卡.使用两 种卡租书,租书的金额y(元)与租书时间x(天)之间的关系如图17-3-14所示.
(1)分别写出使用会员卡和租书卡租书的金额y(元)与租书时间x(天)之间的函 数关系式.
(2)两种租书方式每天的租书费用分别是多少元
(3)若两种租书卡的使用期限均为一年,则在这一年中,如何选取这两种租书方 式比较划算
生:在小组之间展开讨论,达成共识,并进行解答.
明确 教师利用多媒体展示解答过程.
互动6
师:请同学们解答课本第46页练习.
生:推选两名代表进行板演,其余同学在座位上独立解答(教师来回巡视,并进行 必要的指点).
明确 教师利用多媒体演示解答的过程和结果.
4.达标反馈
(多媒体演示)
(1)若直线y=mx+1经过点(1,2),则该直线的解析式是 y=x+1.
(2)点(1,1)、(2,0)、(3,-1)是否在同一条直线上 答: 是 (填“是”或“否”)
(3)一次函数y=kx+b的图象如图17-3-15所示,则k、b的值分别为 (B)
A.-,1; B.-2,1; C.,1; D.2,1
(4)已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(-3,-2)和点B(1,6).
①求此一次函数的解析式,并画出图象;
②求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.
答案:①y=2x+4,图象略 ②4
5.学习小结
(1)内容总结
本节课我们主要学习了什么内容 通过本课的学习,你有哪些收获
(2)方法归纳
求一次函数解析式,我们常用的方法是待定系数法──首先假设出函数解析式 的一般形式,再由已知条件列出关于系数的方程或方程组,然后通过解方程(组)达到 目的.
(三)延伸拓展
1.链接生活
为了保护学生的视力,课桌椅的高度是按一定关系配套设计的.研究表明:假设 课桌的高度为y厘米,椅子的高度为x厘米,则y是x的一次函数.下表给出两套符合条 件的课桌椅的高度:
第一套 第二套
椅子的高度x(厘米) 40.0 37.0
桌子的高度y(厘米) 75.0 70.2
(1)请确定y与x之间的函数关系式;
(2)现有一把高为42.0厘米的椅子和一张高为78.2厘米的课桌,它们是否配套 简单说明你的理由.
2.实践探索
(1)实践活动
总结归纳一次函数解析式的求法,并各举实例一个.
(2)巩固练习
课本第47页习题17.3第7题和第9题.
(四)板书设计
课题一次函数解析式的求法一次函数在实际中的应用 投影幕
学生板演内容
六、资料下载
华氏温标与摄氏温标
温度是热学中最重要的概念之一,温度计的出现标志着热学跨入定量科学的第 一步.
第一支实用温度计,是迁居荷兰的德国玻璃工华伦海特(1686-1736年)制成的. 他把冰、水、氨水和盐的混合物平衡温度定为0°F,冰的熔点定为32°F,而人体的 温度为96°F,1724年,他又把水的沸点定在212°F,后人称这一温标为华氏温标 .1742年,瑞典天文学家摄尔修斯(1701-1744年)用水银作测温物质,以水的沸点为0 ℃,冰的熔点为100℃,其间为一百个等分.八年之后,摄尔修斯接受了同事施特默尔 的建议,把两个定点值对调了过来,这就是至今仍广为使用的百分温标,通常又称为 摄氏温标.
十八世纪前半期,实用温度计的制作和应用为十九世纪热学理论的建立提供了 先决条件.毛
18.4 反比例函数(第1课时)
教学目标与要求
1.了解反比例函数的意义.
2.会用待定系数法求反比例函数解析式.
教学重点与难点
1.了解反比例函数的意义.
2.会用待定系数法求反比例函数解析式.
教学过程
一、情境导入
利用多媒体演示课件“反比例函数”.(华东师范大学出版社教学光盘)
通过观察发现:无论三角形的底边和底边上的高怎样变化,它们的积保持不变( 等于一个非零常数).
二、课前热身
(1)在正比例函数中,两个变量的商具有什么特征
(2)回顾小学所学的反比例,请举出两个成反比例关系的实例.
(例如:路程一定时,速度与时间成反比;矩形面积一定时,长与宽成反比例等)
三、合作探究
(1)整体感知
本节课我们着重探讨两个变量的积是一个非零常数的函数的相关概念、解析式 的求法.
(2)四边互动
互动1
师:利用多媒体演示幻灯片.
问题1:小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米外的镇上去赶集,回来时让小 华乘坐公共汽车,用的时间少了.假设两人经过的路程一样,而且自行车和汽车的速 度都不变,爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘车不同交通工具的速度之间的 关系.
师:这里的“找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系 ”是什么意思
生:展开讨论,举手回答个人的不同认识.
师:归纳讨论的结果:这里涉及两个时间和两个对应的速度──两个函数值和与 函数值对应的自变量的两个值,实际含义是指找出一个统一的表示时间和速度之间 关系的函数关系式,给出其中任意一个速度,就可以通过这个函数关系式计算出与之 相对应的时间.
现在你们能解答这个问题了.
生:动手尝试,并交流解答的过程和结果.
明确 和其他实际问题一样,要探求两个变量之间的关系,应先选用适当的字母 表示变量,再根据题意列出相应的函数关系式.
设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时,从家里到镇上的时间是t小时.因为在 匀速运动中,时间=路程÷速度,所以t=.
互动2
师:利用多媒体演示课件“你能建围栏吗 ”(华东师范大学出版社教学光盘)
问题2:学校课外生物小组的同学准备自己动手,用旧围栏建一个面积为24平方 米的矩形饲养场.设它的一边长为x(米),求另一边的长y(米)与x的函数关系式.
生:观察课件,讨论发现的问题,并解答问题.
明确 根据矩形面积可知y=24,即y=.
互动3
师:上述函数(1)、(2)具有怎样的共同特征 能否用一个统一的函数关系式把它 们表示出来 说出你的想法.
生:相互交流自己的观点,逐渐达成共识.
明确 上述函数中,两个变量的积等于一个非零常数,都可以写成y=(k≠0)的 形式.
一般地,形如y=(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数(inverse proportional function).
互动4
师:请同学们把正比例函数与反比例函数进行比较,说出它们有哪些不同
生:讨论交流,逐个举手回答自己的观点.
明确 从形式上来看,正比例函数是关于自变量的整式,反比例函数是关于自变 量的分式;从内涵上来看,正比例函数两个变量的商是一个非零常数,反比例函数两 个变量的积是一个非零常数;从自变量和函数的取值范围来看,正比例函数中的自变 量和函数值都可以为零,反比例函数中的自变量和函数值都不能为零.
互动5
师:利用多媒体演示幻灯片.
请解答下列问题.
(1)若y与x成正比例,x与z成反比例,则y与z成什么关系
(2)y是x的反比例函数,当x=2时,y=3,求y与x之间的函数关系式.
(3)已知y1与x成正比,y2与x成反比,且y=y1+y2,当x=1时,y=3;当x=2时,y=3,求 y与x之间的函数关系式.
生:分组合作,在小组内达成共识的基础上,推选代表进行板演,其余同学在座位 上独立解答.
明确 师生共同归纳完善学生板演结果.
(1)因为y与x成正比例,所以可设y=k1x(k1≠0),同样设x= (k2≠0),则y=,由于 k1k2≠0,所以y与z成反比例.
(2)设y= (k≠0),则3=,解得k=6,所以函数解析式为y=.
(3)设y1=k1x,y2=,则y=k1x+,依题题得,解方程组得k1=1,k2=2,所以y=x+.
由上面的操作过程可知:确定反比例函数解析式的条件是已知一对对应的自变 量和函数值；求几个简单函数的复合形式函数的解析式,常常首先分别设出这几个函 数的一般形式,然后用待定系数法解决问题.
互动6
师:请同学们独立解答课本第50页练习,解答完毕后在小组内进行交流.
生:独立尝试,并交流解答结果.(教师来回巡视,帮助学有困难的学生分析.)
明确 教师和学生共同归纳解答过程和应注意的事项.
四、达标反馈
(多媒体演示)
(1)若y与x成反比,x与z成反比,则y与z成 正比 关系.
(2)若y与x2-2成反比例,且当x=2时,y=1,则y与x之间的关系式为 y=.
(3)如果点(3,-1)在反比例函数y=的图象上,那么一次函数y=kx-k的解析式为y=-3x+3.
(4)在电压一定时,通过用电器的电流与用电器的电阻之间成 (B)
A.正比 B.反比 C.一次函数关系 D.无法确定
(5)已知点(2,5)在反比例函数y= 的图象上,其中“”是被污染的无法辨认的字 迹,则下列各点在该反比例函数图象上的是(B)
A.(2,-5) B.(-5,-2) C.(-3,4) D.(4,-3)
五、学习小结
(1)内容总结
反比例函数 意义(表达形式)
解析式的求法
(2)方法归纳
确定反比例函数解析式的条件是已知一对自变量和函数的对应值(或其图象上 一点的坐标),可以利用待定系数法求反比例函数的解析式.
六、延伸拓展
1.链接生活
火车从安庆驶往相距约200千米的合肥,求火车行驶的速度v(千米/时)与行驶的 时间t(时)之间的函数关系式.
2.实践探索
(1)实践活动
用描点法画出本节课中问题2的函数图象,并把所画的图象与一次函数的图象进 行比较.
(2)巩固练习
课本第52页习题17.4第3题.
补充题:
列出下列函数关系式,并指出它们是分别什么函数.
①火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,求火车距 离安庆的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.
②火车从安庆驶往约200千米的合肥,若火车的平均速度为60千米/时,求火车距 离合肥的距离S(千米)与行驶的时间t(时)之间的函数关系式.
③某中学现有存煤20吨,如果平均每天烧煤y(吨),共烧了x(天),求y与x之间的 函数关系式.
答案:①s=60t(0≤t≤);正比例函数 ②s=200-60t(0≤t≤);一次函数 ③ y=(x>0);反比例函数.毛
(四)板书设计
课题反比例函数的意义反比例函数解析式的求法 投影幕
学生板演内容
17.4 反比例函数(第2课时)
教学目标与要求
1.了解反比例函数图象的形状特征.毛
2.会画反比例函数的图象.
3.经历探究反比例函数性质的过程,掌握反比例函数的性质.
4.学会利用反比例函数的性质解决简单的实际问题.
教学重点与难点
教学过程
一、复习导入
(1)反比例函数是怎样定义的
(2)确定反比例函数的解析式需要什么条件
二、课前热身
请同学们展示各自在上节课实践活动中所画出的问题2的函数图象,比一比谁画 得最好
(学生互评在上节课的实践活动中所画出的问题2的函数图象,形成对反比例函 数图象的初步感形认识.)
三、合作探究
(1)整体感知
我们知道一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是直线,其性质随着k的正负发生变化, 那么反比例函数y= (k≠0)的图象又具有什么特征 其性质是否随着k的正负发生变 化呢 本课我们着重探讨这两个问题.
(2)四边互动
互动1
【例1】画出函数y= 的图象.
师:在未知函数图象的形状特征时,我们画函数的图象通常用什么方法
这个函数自变量的取值范围是什么 由此猜想这个函数的图象是连在一起的吗
用描点法画该函数的图象,在列表应注意哪些
生:逐个举手回答问题,达成共识.
师:利用多媒体展现画图过程.
(1)列表:这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y的对 应值表:
──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──
x │…│-6│-3│-2│-1│…│1 │2 │3 │6 │…
──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──
y │…│-1│-2│-3│-6│…│6 │3 │2 │1 │…
──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──
(2)描点:由这些有序实数对,可以在直角坐标系中描出相应的点(-6,-1),(-3, -2),(-2,-3)等.
(3)连线:用光滑曲线将各点依次连起来,就得到反比例函数的图象,如图所示:
师:请同学们用透明纸放在课本的该函数图象上复制这个图象,并用大头钉固定 上下坐标系原点,再把上面的图象绕着原点旋转180°,结果你发现什么现象
生:动手操作,并提出发现的问题.
师:利用多媒体演示.
试一试:在课本图17.4.1所在坐标系中画出函数y=-的图象.
生:动手画图,交流画图的结果.
师:请同学们讨论下列问题.
讨论:(1)这个函数的图象在哪两个象限 和函数y= 的图象有什么不同
(2)反比例函数y= 图象在哪两个象限 由什么确定
生:在小组内展开交流,然后各组推选代表回答提出的问题,在全班交流,让全体 同学达成共识.
明确 概括:通过上述操作、讨论与交流,我们发现反比例函数的图象是两条曲 线,且这两条曲线关于原点对称,这种图象通常称为双曲线(hyperbola).
反比例函数y= 图象的两个分支位居的象限与k的正负有关,当k>0时,函数的图 象分布在第一、三象限;当k<0时,函数的图象分布在第二、四象限.
互动2
师:利用多媒体演示课件:反比例函数图象上的点与两条坐标轴上对应点做同步 运动.
请同学们观察反比例函数y= 和y=- 图象上点的运动情况,然后回答下列问题.
(1)对于反比例函数y= ,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的 y 的值随着x的变化将怎样变化
(2)对于反比例函数y=-,其图象在每个象限内从左到右是上升的还是下降的 y 的值随着x的变化将怎样变化
生:在观察的基础上,在小组内展开讨论,并概括归纳发现的现象,对提出的问题 进行解答.
明确 通过观察可知,反比例函数y= 有下列性质:(1)当k>0时,函数的图象(如 图17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象限内y随x的增加 而减小;(2)当k<0时,函数的图象(如图17-4-2所示)在每个象限内,曲线从左向右上 升,也就是在每个象限内y随x的增加而增大.
互动3
已知反比例函数y=在第一象限内的图象如图所示,点M、N是图象上的两 个不同点,分别过点M、N作x轴的垂线,垂足分别为A、B,试探究△MOA的面积S△MOA 与△NOB的面积S△NOB之间的大小关系.
师:(点拨)如果设点M、N的坐标分别位(x1,y1)和(x2,y2),那么S△MOA与x1、 y1之间存在怎样的关系 x1·y1的值是多少 S△NOB与x2,y2呢
生:在讨论交流的基础上,回答问题,并着手尝试解决问题,最后交流解答的过程 与结果.
明确 因为点(x1,y1)在该反比例函数图象上,所以y1=,得x1·y1=3,
S△MOA= OA·MA=,同理S△NOB=,所以S△MOA=S△NOB.
归纳可知:过反比例函数图象上任意一点作x轴的垂线,那么这点与垂足、坐标 系原点构成的三角形的面积是一个定值.
互动4
已知点A(-3,a)、B(-2,b)、C(4,c)在双曲线y=-上,请把a、b、c按从小到大的 顺序进行排列.
生:动手操作,操作完毕把个人所得结果在小组内展开交流.
师:请同学们画出该双曲线的草图,验证你的结论,从中你发现什么问题
生:动手画图,验证各自解答的结果.
明确 许多同学直接利用反比例函数的性质,得出错误的结论:c
四、达标反馈
(1)写出一个反比例函数,使它的图象在第二、四象限,这个函数解析式为y=
(2)如图所示,直线y=kx与双曲线y=-相交于点A、B,过点A作AC⊥y轴于点 C,则△ABC的面积为 6.
(3)已知反比例函数y= 的两点(x1,y1),(x2,y2),当x1<0
(4)下列四个函数中,当x>0时,y随x的增大而减小的是(D)
A.y=2x B.y=x+3 C.y=- D.y=
5.学习小结
(1)内容总结
反比例函数 图象特征、画法
性质
(2)方法归纳
画反比例函数的图象,只能用描点法,利用反比例函数的性质比较大小时,要注 意对应的点是否在同一个象限内.
五、延伸拓展
1.链接生活
某课外小组在做气体实验时,获得压强p(帕)与体积v(cm3)之间的下列对应数据:
┌───┬─┬─┬─┬─┬──┬──┬─┐
│p(帕) │…│1 │2 │3 │4 │5 │…│
├───┼─┼─┼─┼─┼──┼──┼─┤
│v(cm3)│…│6 │3 │2 │1.5 │1.2 │…│
└───┴─┴─┴─┴─┴──┴──┴─┘
根据表中提供的信息,回答下列问题:
(1)在坐标系中描出表中各点,猜想p与v之间的关系,并求出函数解析式;
(2)当气体的体积是12cm3时,压强是多少
2.实践探索
(1)实践活动 收集反比例函数在社会生活中应用的实例2个.
(2)巩固练习
课本第52页练习第1题和第2题和习题17.4第2题.毛
六、板书设计
课题 反比例函数图象的特征及图象的画法反比例函数的性质 投影幕
附:另一份教案
反比例函数（1）
知识技能目标
1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式；
2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式．
过程性目标
1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力；
2.探求反比例函数的求法，发展学生的数学应用能力．
教学过程
一、创设情境
两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积一定，这两个数的关系叫做反比例关系．
二、探究归纳
问题1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系．
分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．
设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时，从家里到镇上的时间是t小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以
从这个关系式中发现:
1.路程一定时，时间t就是速度v的反比例函数．即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大．
2.自变量v的取值是v＞0．
问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x(米)，求另一边的长y(米)与x的函数关系式．
分析 根据矩形面积可知
xy＝24，
即
从这个关系中发现：
1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数．即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大；
2.自变量的取值是x＞0．
上述两个函数都具有的形式，一般地，形如(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function)．
说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例y＝kx，即，k是常数，且k≠0；反比例函数，则xy＝k，k是常数，且k≠0．可利用定义判断两个量x和y满足哪一种比例关系．
2.反比例函数的解析式又可以写成：( k是常数，k≠0)．
3.要求出反比例函数的解析式，只要求出k即可．
三、实践应用
例1 下列函数关系中，哪些是反比例函数？
(1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系；
(2)压强p一定时，压力F与受力面积s的关系；
(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系．
(4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式．
分析 确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合(k是常数，k≠0)．所以此题必须先写出函数解析式，后解答．
解 (1)，是反比例函数；
(2)F＝ps，是正比例函数；
(3)，是反比例函数；
(4)，是反比例函数．
例2 当m为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式．
分析 由反比例函数的定义易求出m的值．
解 由反比例函数的定义可知：2m－2＝1，．
所以反比例函数的解析式为．
例3 将下列各题中y与x的函数关系与出来．
(1)，z与x成正比例；
(2)y与z成反比例，z与3x成反比例；
(3)y与2z成反比例，z与成正比例；
解 (1)根据题意，得z＝kx(k≠0)．
把z＝kx代入，得，即．因此y是x的反比例函数．
(2)根据题意，得(k1，k2均不为0)．
把代入，得，即．
因此y是x的正比例函数．
(3)根据题意，得．把，得
，即y＝．因此y是x的反比例函数．
例4 已知y与x2成反比例，并且当x＝3时，y＝2．求x＝1.5时y的值．
分析 因为y与 x2成反比例，所以设，再用待定系数法就可以求出k，进而再求出y的值．
解 设．因为当x＝3时，y＝2，所以，k ＝18．
当x＝1.5时，．
例5 已知y＝y1＋y2， y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x＝2与x＝3时，y的值都等于19．求y与x间的函数关系式．
分析 y1与x成正比例，则y1＝k1x，y2与x2成反比例，则，又由y＝y1＋y2，可知，，只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式．
解 因为y1与x成正比例，所以 y1＝k1x；
因为y2与x2成反比例，所以 ，
而y＝y1＋y2，所以 ，
当x＝2与x＝3时，y的值都等于19．
所以 解得
所以．
四、交流反思
本堂课，我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数，一般地，形如(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数(proportional function)．
要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出k值，即可确定．
五、检测反馈
1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数？
(1)小红一分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花；
(2)体积为100cm3的长方体，高为hcm时，底面积为Scm2；
(3)用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm时，面积为ycm2；
(4)小李接到对长为100米的管道进行检修的任务，设每天能完成10米，x天后剩下的未检修的管道长为y米．
2.已知y与x－2成反比例，当x＝4时，y＝3，求当x＝5时，y的值．
3.已知y＝y1＋y2， y1与成正比例，y2与x2成反比例．当x＝1时，y＝－12；当x＝4时，y＝7．(1)求y与x的函数关系式和x的取范围；(2)当x＝时，求y的值．
4.已知一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是ycm，宽是5cm，高是xcm．
(1)写出用高表示长的函数式；
(2)写出自变量x的取值范围；
(3)当x＝3cm时，求y的值．
5.试用描点作图法画出问题1中函数的图象．
反比例函数（2）
知识技能目标
1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质；
2.利用反比例函数的图象解决有关问题．
过程性目标
1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质；
2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题．
教学过程
一、创设情境
上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发现它并不是直线．那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数（k是常数，k≠0）的图象，探究它有什么性质．
二、探究归纳
1.画出函数的图象．
分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．
解 1．列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：
2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(－6,－1)、(－3,－2)、(－2,－3)等．
3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支．这两个分支合起来，就是反比例函数的图象．
上述图象，通常称为双曲线(hyperbola)．
提问 这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？
学生试一试：画出反比例函数的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤）．
学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题．
1.这个函数的图象在哪两个象限？和函数的图象有什么不同？
2.反比例函数(k≠0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？
3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？
反比例函数有下列性质：
(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．
注 1．双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；
2．双曲线的两个分支关于原点成中心对称．
以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义？
在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少．
在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小．
三、实践应用
例1 若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值．
分析 由反比例函数的定义可知： ,又由于图象在二、四象限，所以m＋1＜0，由这两个条件可解出m的值．
解 由题意，得 解得．
例2 已知反比例函数(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，求一次函数y＝kx－k的图象经过的象限．
分析 由于反比例函数(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，因此k＜0，而一次函数y＝kx－k中，k＜0，可知，图象过二、四象限，又－k＞0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方．
解 因为反比例函数(k≠0)，当x＞0时，y随x的增大而增大，所以k＜0，所以一次函数y＝kx－k的图象经过一、二、四象限．
例3 已知反比例函数的图象过点(1,－2)．
(1)求这个函数的解析式，并画出图象；
(2)若点A(－5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？
分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；
(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上．
解 (1)设：反比例函数的解析式为：(k≠0)．
而反比例函数的图象过点(1,－2)，即当x＝1时，y＝－2．
所以，k＝－2．
即反比例函数的解析式为：．
(2)点A(－5,m)在反比例函数图象上，所以，
点A的坐标为．
点A关于x轴的对称点不在这个图象上；
点A关于y轴的对称点不在这个图象上；
点A关于原点的对称点在这个图象上；
例4 已知函数为反比例函数．
(1)求m的值；
(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？
(3)当－3≤x≤时，求此函数的最大值和最小值．
解 (1)由反比例函数的定义可知： 解得，m＝－2．
(2)因为－2＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大．
(3)因为在第个象限内，y随x的增大而增大，
所以当x＝时，y最大值＝；
当x＝－3时，y最小值＝．
所以当－3≤x≤时，此函数的最大值为8，最小值为．
例5 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米．
(1)写出用高表示长的函数关系式；
(2)写出自变量x的取值范围；
(3)画出函数的图象．
解 (1)因为100＝5xy,所以 ．
(2)x＞0．
(3)图象如下：
说明 由于自变量x＞0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支．
四、交流反思
本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质．
1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola)．
2.反比例函数有如下性质：
(1)当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；
(2)当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加．
五、检测反馈
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：
(1)； (2)．
2.已知y是x的反比例函数，且当x＝3时，y＝8,求：
(1)y和x的函数关系式；
(2)当时，y的值；
(3)当x取何值时，
3.若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值．
4.已知反比例函数经过点A(2,－m)和B(n,2n)，求：
(1)m和n的值；
(2)若图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x1＜0＜ x2，试比较y1和 y2的大小．
反比例函数(3)
知识技能目标
1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题；
2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题．
过程性目标
1.进一步探求一次函数和反比例函数的性质，感受用待定系数法求函数解析式的方法；
2.通过培养学生看图（象）、识图（象）、读图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题．
教学过程
一、创设情境
已知正比例函数y＝ax和反比例函数的图象相交于点(1,2)，求两函数解析式．
分析 根据题意可作出图象．点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把点(1,2)代入正比例函数和反比例函数的解析式中，求出a和b．
解 因为点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，
把x＝1，y＝2分别代入y＝ax和中，得
2＝a，，b＝2．
所以正比例函数解析式为y＝2x．
反比例函数解析式为．
二、探究归纳
综合运用一次函数和反比例函数的知识解题，一般先根据题意画出图象，借助图象和题目中提供的信息解题．
三、实践应用
例1 已知直线y＝x＋b经过点A(3,0)，并与双曲线的交点为B(－2，m)和C，求k、b的值．
解 点A(3,0)在直线y＝x＋b上，所以0＝3＋b，b＝－3．
一次函数的解析式为：y＝x－3．
又因为点B(－2，m)也在直线y＝x－3上，所以m＝－2－3＝－5，即B(－2,－5)．
而点B(－2,－5)又在反比例函数上，所以k＝－2×(－5)＝10．
例2 已知反比例函数的图象与一次函数y＝k2x－1的图象交于A(2,1)．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系．
分析 (1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即
可求出k1、k2的值．
(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A′是否在这两个函数图象上．
解 (1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k1＝2×1＝2．
1＝2 k2－1，k2＝1．
所以反比例函数的解析式为：；一次函数解析式为：y＝x－1．
(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(－2,－1)．
把A点的横坐标代入反比例函数解析式得，，所以点A在反比例函数图象上．
把A点的横坐标代入一次函数解析式得，y＝－2－1＝－3，所以点A不在一次函数图象上．
例3 已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0,1)和点B(a,－3a),a＜0，且点B在反比例函数的的图象上．
(1)求a的值．
(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象．
(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在－1≤y≤3范围内时，相应的x的取值范围．
(4)如果P(m,y1)、Q(m＋1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小．
分析 (1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值．
(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象．
(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题．
解 (1)反比