人教A版选修2-3 高二数学：1.3.1 二项式定理 同步练习

选修2-3 1.3.1 二项式定理
一、选择题
1．二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　)
A．2n 　 　 B．2n＋1　　
C．2n－1　 　 D．2(n＋1)
[答案]　B
2．(x－y)n的二项展开式中，第r项的系数是(　　)
A．C B．C
C．C D．(－1)r－1C
[答案]　D
3．在(x－)10的展开式中，x6的系数是(　　)
A．－27C B．27C
C．－ 9C D．9C
[答案]　D
[解析]　∵Tr＋1＝Cx10－r(－)r.令10－r＝6，
解得r＝4.∴系数为(－)4C＝9C.
4．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2)3(1－)5的展开式中x的系数是(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
[答案]　C
[解析]　(1＋2)3(1－)5＝(1＋6＋12x＋8x)(1－)5，
故(1＋2)3(1－)5的展开式中含x的项为1×C(－)3＋12xC＝－10x＋12x＝2x，所以x的系数为2.
5．在n(n∈N*)的展开式中，若存在常数项，则n的最小值是(　　)
A．3 B．5
C．8 D．10
[答案]　B
[解析]　Tr＋1＝C(2x3)n－rr＝2n－r·Cx3n－5r.
令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.
∴n的最小值为5.
6．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中x5的系数是(　　)
A．－297 B．－252
C．297 D．207
[答案]　D
[解析]　x5应是(1＋x)10中含x5项与含x2项．
∴其系数为C＋C(－1)＝207.
7．(2009·北京)在n的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案]　D
[解析]　通项Tr＋1＝C(x2)n－r(－)r＝(－1)rCx2n－3r，常数项是15，则2n＝3r，且C＝15，验证n＝6时，r＝4合题意，故选D.
8．(2010·陕西理，4)(x＋)5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于(　　)
A．－1 B.
C．1 D．2
[答案]　D
[解析]　C·xr()5－r＝C·a5－rx2r－5，令2r－5＝3，∴r＝4，
由C·a＝10，得a＝2.
9．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是(　　)
A.＜x＜ B.＜x＜
C.＜x＜ D.＜x＜
[答案]　A
[解析]　由得∴＜x＜.
10．在20的展开式中，系数是有理数的项共有(　　)
A．4项 B．5项
C．6项 D．7项
[答案]　A
[解析]　Tr＋1＝C(x)20－rr＝r·()20－rC·x20－r，
∵系数为有理数，
∴()r与2均为有理数，
∴r能被2整除，且20－r能被3整除，
故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.
∴r＝2,8,14,20.
二、填空题
11．(1＋x＋x2)·(1－x)10的展开式中，x5的系数为____________．
[答案]　－162
12．(1＋x)2(1－x) 5的展开式中x3的系数为________．
[答案]　5
[解析]　解法一：先变形(1＋x)2(1－x)5＝(1－x)3·(1－x2)2＝(1－x)3(1＋x4－2x2)，展开式中x3的系数为－1＋(－2)·C(－1)＝5；
解法二：C(－1)3＋C·C(－1)2＋CC(－1)＝5.
13．若6的二项展开式中x3的系数为，则a＝________(用数字作答)．
[答案]　2
[解析]　C(x2)3·3＝x3＝x3，∴a＝2.
14．(2010·辽宁理，13)(1＋x＋x2)(x－)6的展开式中的常数项为________．
[答案]　－5
[解析]　(1＋x＋x2)6
＝6＋x6＋x26，
∴要找出6中的常数项，项的系数，项的系数，Tr＋1＝Cx6－r(－1)rx－r＝C(－1)rx6－2r，
令6－2r＝0，∴r＝3，
令6－2r＝－1，无解．
令6－2r＝－2，∴r＝4.
∴常数项为－C＋C＝－5.
三、解答题
15．求二项式(a＋2b)4的展开式．
[解析]　根据二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cb得
(a＋2b)4＝Ca4＋Ca3(2b)＋Ca2(2b)2＋Ca(2b)3＋C(2b)4＝a4＋8a3b＋24a2b2＋32ab3＋16b4.
16．m、n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
[解析]　由题设m＋n＝19，∵m，n∈N*.
∴，，…，.
x2的系数C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
∴当m＝9或10时，x2的系数取最小值81，此时x7的系数为C＋C＝156.
17．已知在(－)n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[解析]　(1)Tr＋1＝C· ()n－r·(－)r
＝C·(x)n－r·(－·x－)r
＝(－)r·C·x.
∵第6项为常数项，
∴r＝5时有＝0，∴n＝10.
(2)令＝2，得r＝(n－6)＝2，
∴所求的系数为C(－)2＝.
(3)根据通项公式，由题意得：
令＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，
即r＝＝5－k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2,0，－2，
∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．
它们分别为C·(－)2·x2，C(－)5，
C·(－)8·x－2.
18．若n展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最大的项．
[解析]　通项为：Tr＋1＝C·()n－r·r.
由已知条件知：C＋C·＝2C·，解得：n＝8.
记第r项的系数为tr，设第k项系数最大，则有：
tk≥tk＋1且tk≥tk－1.
又tr＝C·2－r＋1，于是有：
即
∴解得3≤k≤4.
∴系数最大项为第3项T3＝7·x和第4项T4＝7·x.