人教A版选修2-3 高二数学：1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质 同步练习

选修2-3 1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
一、选择题
1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　)
A．2n－1　　 B．2n－1　　
C．2n＋1－1　　 D．2n
[答案]　C
[解析]　解法一：令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n
＝＝2n＋1－1.
解法二：令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D，选C.
2．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是(　　)
A．第4项 B．第4、5两项
C．第5项 D．第3、4两项
[答案]　B
[解析]　(x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大，而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．
3．若n展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于(　　)
A．210 B．120
C．461 D．416
[答案]　A
[解析]　由已知得，第6项应为中间项，则n＝10.
Tr＋1＝C·(x3)10－r·r＝C·x30－5r.
令30－5r＝0，得r＝6.∴T7＝C＝210.
4．(2008·安徽·6)设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案]　A
[解析]　∵a0＝a8＝C＝1，a1＝a7＝C＝8，a2＝a6＝C＝28，a3＝a5＝C＝56，a4＝C＝70，∴奇数的个数是2，故选A.
5．设n为自然数，则C2n－C2n－1＋…＋(－1)kC2n－k＋…＋(－1)nC＝(　　)
A．2n B．0
C．－1 D．1
[答案]　D
[解析]　原式＝(2－1)n＝1，故选D.
6．设A＝37＋C·35＋C·33＋C·3，B＝C·36＋C·34＋C·32＋1，则A－B＝(　　)
A．128 B．129
C．47 D．0
[答案]　A
[解析]　A－B＝37－C36＋C35－C34＋…－1＝(3－1)7＝128.
7.8的展开式中x4项的系数是(　　)
A．16 B．70
C．560 D．1120
[答案]　D
[解析]　考查二项式定理的展开式．
设第r＋1项含有x4，则Tr＋1＝C(x2)8－r(2x－1)r
＝C·2r·x16－3r，
∴16－3r＝4，即r＝4，所以x4项的系数为C24＝1120.
8．(2010·广东惠州)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的(　　)
A．第9项 B．第10项
C．第19项 D．第20项
[答案]　D
[解析]　∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7展开式中含x4项的系数是C·11＋C·12＋C·13＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20，故选D.
9．若n为正奇数，则7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是(　　)
A．0 B．2
C．7 D．8
[答案]　C
[解析]　原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.
10．(2010·江西理，6)(2－)8展开式中不含x4项的系数的和为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
[答案]　B
[解析]　(2－)8的通项式为Tr＋1＝C28－r(－)r＝(－1)r·28－rCx，则x4项的系数为1，展开式中所有项的系数之和为(2－)8＝1，故不含x4项的系数之和为0，故选B.
二、填空题
11．若(1－2x)2011＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010＋a2011x2011(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)＝________.(用数字作答)
[答案]　2009
[解析]　令x＝0，则a0＝1.
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a2010＋a2011＝(1－2)2011＝－1.
∴(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2010)＋(a0＋a2011)
＝2010a0＋(a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2011)
＝2010－1＝2009.
12．(2008·北京·11)若n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________(用数字作答)．
[答案]　5　10
[解析]　令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝C·(x2)5－r·r＝C·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.
13．(2010·全国Ⅱ理，14)若9的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
[答案]　1
[解析]　由Tr＋1＝Cx9－rr＝(－a)rCx9－2r得
9－2r＝3，得r＝3，x3的系数为(－a)3C＝－84，
解得a＝1.
14．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______．
[答案]　2n－1　32
[解析]　用不完全归纳法，猜想得出．
三、解答题
15．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0.求：
(1)a8＋a7＋…＋a1；
(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.
[解析]　令x＝0，得a0＝1.
(1)令x＝1得
(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①
∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.
(2)令x＝－1得
(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②
①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，
∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32 896.
16．设(1－2x)2010＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2010x2010(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2010的值．
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2009的值．
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2010|的值．
[分析]　 →→
→
[解析]　(1)令x＝1，得：
a0＋a1＋a2＋…＋a2010＝(－1)2010＝1①
(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…＋a2010＝32010②
与①式联立，①－②得：
2(a1＋a3＋…＋a2009)＝1－32010，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2009＝.
(3)∵Tr＋1＝C·12010－r·(－2x)r
＝(－1)r·C·(2x)r，
∴a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N*)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2010|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010，
所以令x＝－1得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2010＝32010.
17．证明：(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C.
[证明]　∵(1＋x)n(1＋x)n＝(1＋x)2n，
∴(C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn)·(C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn)＝(1＋x)2n，
而C是(1＋x)2n的展开式中xn的系数，
由多项式的恒等定理得
CC＋CC＋…＋CC＝C.
∵C＝C(0≤m≤n)，
∴(C)2＋(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝C.
18．求(1＋x－2x2)5展开式中含x4的项．
[分析]　由题目可获取以下主要信息：
①n＝5；②三项的和与差．
解答本题可把三项看成两项，利用通项公式求解，也可先分解因式，根据多项式相乘的法则，由组合数的定义求解．
[解析]　方法一：(1＋x－2x2)5＝[1＋(x－2x2)]5，
则Tr＋1＝C·(x－2x2)r·(x－2x2)r展开式中第k＋1项为Tk＋1＝Cxr－k·(－2x2)k＝(－2)k·C·xx＋k.
令r＋k＝4，则k＝4－r.
∵0≤k≤r,0≤r≤5，且k、r∈N，
∴或或.
∴展开式中含x4的项为[C·(－2)2·C＋C·(－2)·C＋C·(－2)0·C]·x4＝－15x4.
方法二：(1＋x－2x2)5＝(1－x)5·(1＋2x)5，
则展开式中含x4的项为
C·C·(2x)4＋C·(－x)·C·(2x)3＋C·(－x)2·C(2x)2＋C·(－x)3·C·(2x)＋C·(－x)4·C·(2x)0＝－15x4.