13.1.2 线段的垂直平分线的性质 课时达标检测（含解析）

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人教版2021年八年级上册数学同步练习卷
13.1轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
一、单选题
1．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点．
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高
2．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，若BC＝10，AC＝6，则△ACD的周长是（　　）
A．14 B．16 C．18 D．20
3．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ 　 ）
A． B． C．D．
4．到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点 D．三边的垂直平分线的交点
5．如图，已知是的角平分线，是的垂直平分线，，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．
6．如图，已知，以两点为圆心，大于的长为半径画圆，两弧相交于点，连接与相较于点，则的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
7．如图，直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若AB=6，AC=4，BC=7．则△APC周长的最小值是
A．10 B．11 C．11.5 D．13
8．已知A和B两点在线段EF的中垂线上，且∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，则∠AEB等于( )
A．95° B．15° C．95°或15° D．170°或30°
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并廷长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S△DAC：S△DAB＝1：2
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，中，的垂直平分线交的平分线于点，过作于点，若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，交的延长线于点，于点，现有下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
12．如图，中，，，点O在边BC上，OD垂直平分BC，AD平分∠BAC，过点D作于点M，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
13．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=________°．
14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB＝4cm，则AC＝_____cm．
15．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．
16．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AB的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点．若点O为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△BOM周长的最小值为_______．
17．如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连接CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，则的值为______________．
18．如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为_____________
三、解答题
19．请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，B=D，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，A=D，画出边BC的垂直平分线n．
20．已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。求证：AD垂直平分EF。
21．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
22．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
（1）若，则的度数是 ；
（2）连接，若，的周长是．
①求的长；
②在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并求的周长最小值；若不存在，说明理由．
23．问题探究：如图1，在中，点是的中点，交于点交于，连接．
（1）与之间的关系为：___；（填“”、“”或“”)
（2）若，探索线段之间的等量关系，并加以证明．
（3）问题解决:如图2．在四边形中， 以为顶点作的两边分别交于两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明．
参考答案
1．B
【详解】
试题分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
2．B
【详解】
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD．
∵AC＝6，BC＝10，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝6+10＝16．
3．B
【详解】
由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
4．D
【详解】
∵到一条线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，
∴到三角形三个顶点距离相等的点是三边的垂直平分线的交点，
5．D
【详解】
∵ED是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠C=∠DBC，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，
∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，
∴CD=6，
∴CE =3，
6．A
【详解】
由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．
故选A．
7．A
【详解】
如图，连接BP
∵直线m是ΔABC中BC边的垂直平分线,
∴BP=PC,
∴△APC周长=AC+AP+PC=AC+AP+BP,
∵两点之间线段最短
∴AP+BP≥AB，
∴△APC周长最小为AC+AB=10.
8．C
【详解】
因为A和B两点在线段EF的中垂线上，所以AE=AF，BE=BF，
所以∠AEF=∠AFE，∠BEF=∠BFE.
因为∠EBF＝100°，∠EAF＝70°，
所以∠AEF=(180°-70°)÷2=55°，∠BEF=(180°-100°)÷2=40°.
①当点A，B在EF的同侧时，∠AEB=∠AEF-∠BEF=55°-40°=15°；
②当点A，B在EF的异侧时，∠AEB=∠AEF+∠BEF=55°+40°=95°.
9．D
【详解】
解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线，故①正确；
②如图，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°，
∴∠3＝90°﹣∠2＝60°，即∠ADC＝60°．故②正确；
③∵∠1＝∠B＝30°，
∴AD＝BD，
∴点D在AB的中垂线上．故③正确；
④作DH⊥AB于H，
∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DC＝DH，
在Rt△ACD中，CD＝AD＝1dm，
∴点D到AB的距离是1dm；故④正确，
⑤在Rt△ACB中，∵∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∴S△DAC：S△DAB＝AC?CD：?AB?DH＝1：2；故⑤正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④⑤，共有5个．
10．C
【详解】
如图, 连接BD、AD,过点D作DF⊥CB于点F.
∵的垂直平分线交的平分线于点，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴BD=AD，DE=DF．∴Rt△AED≌Rt△BFD．
∴BF=AE．
又∵∠ECD=∠FCD，∠CED=∠CFD，CA=CA，∴Rt△CED≌Rt△CFD，
∴CE=CF，
设AE的长度为x，则CE=10-x，CF=CB＋BF= CB＋AE= 4＋x,
∴可列方程10-x=4＋x，x=3，∴AE=3；
11．C
【详解】
解：如图所示：连接BD、DC．
①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ED=DF．
∴①正确．
②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD=30°．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°．
∵∠AED=90°，∠EAD=30°，
∴ED=AD．
同理：DF=AD．
∴DE+DF=AD．
∴②正确．
③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．
假设MD平分∠EDF，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，
又∵∠E=∠BMD=90°，
∴∠EBM=90°．
∴∠ABC=90°．
∵∠ABC是否等于90°不知道，
∴不能判定MD平分∠EDF，
故③错误．
④∵DM是BC的垂直平分线，
∴DB=DC．
在Rt△BED和Rt△CFD中
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD．
∴BE=FC．
∴AB+AC=AE-BE+AF+FC
又∵AE=AF，BE=FC，
∴AB+AC=2AE．故④正确．
综上所述，①②④正确，
12．A
【详解】
如图，过点D作，交AC延长线于点N，连接BD、CD，
，AD平分，
，
在和中，，
，
，
OD垂直平分BC，
，
在和中，，
，
，
设，
，
，
又，
，
解得，
即，
故选：A．
13．56．
【详解】
如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=68°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF=∠DAC=34°．
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-34°=56°，
∴∠α=56°．
故答案为：56.
14．6
【详解】
∵MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
∵△ADB的周长是10cm，
∴AD+BD+AB＝10cm，
∴AD+CD+AB＝10cm，
∴AC+AB＝10cm，
∵AB＝4cm，
∴AC＝6cm，
15．24
【详解】
∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
16．9
【详解】
连接AO，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点O是BC边的中点，
∴AO⊥BC，
∴S△ABC=BC?AO=×6×AO=18，
解得AO=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点CB于直线EF的对称点为点A，
∴BM=MA，
∵OM+BM=OM+AM≥OA，
∴AO的长为BM+MO的最小值，
∴△BOM的周长最小值=（BM+MO）+BO=AO+BC=6+×6=6+3=9．
故答案为9．
17．12
【解析】
如图，过点N作NG⊥BC于点G，连接CN，根据轴对称的性质有：
MA=MC，NA=NC，∠AMN=∠CMN.
因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，所以∠ANM=∠CMN.
所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.
所以AM=AN=CM=CN.
因为△CDN的面积与△CMN的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.
设DN=x，则CG=x，AM=AN=CM=CN=3x，
由勾股定理可得NG=，
所以MN2=，BM2=.
所以=12.
枚本题应填12.
18．2.25或3
【详解】
解：∵△ABC中，AB=AC=12厘米，点D为AB的中点，
∴BD=6厘米，
若△BPD≌△CPQ，则需BD=CQ=6厘米，BP=CP=BC=×9=4.5（厘米），
∵点Q的运动速度为3厘米/秒，
∴点Q的运动时间为：6÷3=2（s），
∴v=4.5÷2=2.25（厘米/秒）；
若△BPD≌△CQP，则需CP=BD=6厘米，BP=CQ，
则有 ，
解得：v=3
∴v的值为：2.25或3厘米/秒
故答案为：2.25或3.
19．（1）见解析；（2）见解析；
【分析】
（1）连接AC，AC所在直线即为对称轴m．
（2）延长BA，CD交于一点，连接AC，BC交于一点，连接两点获得垂直平分线n．
【详解】
解：（1）如图①，直线即为所求
（2）如图②，直线即为所求
20．见解析
【分析】
由DE⊥AB,DF⊥AC，得出∠AED=∠AFD；因为AD是△ABC的角平分线，可得∠1=∠2，DE=DF，推出△AED≌△AFD，即AE=AF，所以点A在EF的垂直平分线上，又DE=DF，推出点D在EF的垂直平分线上，即可证明AD垂直平分EF；
【详解】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD，
又∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，DE=DF，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∵DE=DF，
∴点D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF.
21．（1）65°（2）证明见解析
【分析】
（1）由题意可得∠EAD=∠BAC=25°，再根据∠AED=90°，利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；
（2）由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，DE=DC，根据线段垂直平分线的判定定理即可得证.
【详解】
（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，
∴∠EAD=∠BAC=25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
又∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，DE=DC
∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.
22．（1）50° （2）① 6cm；②存在点P，点P与点M重合，△PBC周长的最小值为
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝70°,在△ABC中，根据三角形内角和定理求得∠A＝40°，在△AMN中，根据三角形内角和定理求得∠NMA＝50°;
（2）①根据线段垂直平分线可得AM＝BM，根据△MBC的周长＝BM＋BC＋CM＝AM＋BC＋CM即可求解；
②根据对称轴的性质可知，M点就是点P所在的位置，△PBC的周长最小值就是△MBC的周长．
【详解】
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠A＝180°－70°－70°＝40°
∵MN垂直平分AB交AB于N
∴MN⊥AB, ∠ANM＝90°，
在△AMN中，
∠NMA＝180°－90°－40°＝50°；
（2）①如图所示，连接MB，
∵MN垂直平分AB交于AB于N
∴AM＝BM，
∴△MBC的周长＝BM＋BC＋CM＝AM＋BC＋CM＝BC＋AC＝
又∵AB＝AC＝8cm，
∴BC＝14 cm－8 cm＝6cm；
②如图所示，
∵MN垂直平分AB，
∴点A、B关于直线MN对称，AC与MN交于点M，因此点P与点M重合；
∴△MBC的周长就是△PBC周长的最小值，
∴△PBC周长的最小值＝△MBC的周长＝．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题．解题的关键是熟练掌握这些知识点．
23．（1）＞；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】
（1）如图1中，延长到，使得，连接，．证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题．
（2）结论：．如图2中，延长到，使得，连接，．利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题．
（3）结论：．利用旋转法构造全等三角形即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，延长到，使得，连接，．
，，，
，
，
，，
，
在中，，
．
故答案为．
（2）结论：．
理由：如图2中，延长到，使得，连接，．
，，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（3）如图3中，结论：．
理由：，，
可以将绕点顺时针旋转得到，，，共线．
，，
，
，
，，
，
，
，
．
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