13.3.2 等边三角形 课时达标检测（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
人教版2021年八年级上册数学同步练习卷
13.3等腰三角形
13.3.2 等边三角形
一、单选题
1．下列说法错误的是( )
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．直角三角形的两个锐角互余
C．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合
D．一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
2．下列条件中，不能得到等边三角形的是( )
A．有两个内角是60°的三角形 B．三边都相等的三角形
C．有一个角是60°的等腰三角形 D．有两个外角相等的等腰三角形
3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
4．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（　　）
A．45° B．15° C．10° D．125°
5．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°
7．如图，在等边△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=30°，在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
9．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于G．则下列结论中错误的是(　　)
A．AD＝BE B．BE⊥AC
C．△CFG为等边三角形 D．FG∥BC
10．如图，O是正三角形ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3；⑤S△AOC+S△AOB=6+．其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤ B．①③④ C．②③④⑤ D．①②⑤
11．如图所示，在等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=3，则EP＋CP的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．如图，均为等边三角形，三点共线，且是的中点，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④⑤，其中正确的个数为（ 　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．下列三角形中：
①有两个角等于的三角形；②有一个角等于的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有____(填序号)．
14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm，则BC＝_____cm．
15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若=14cm，则阴影部分的面积是___cm2
16．如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________．
17．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为______
18．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下结论：①PQAE；②∠AOE＝120°；③CO平分∠BCD；④△CPQ是等边三角形，⑤OC+BO＝AO恒成立的是_____．
三、解答题
19．已知点C和点F在线段BE上，且AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，AC和DF相交于点G．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）当∠AGF＝120°，猜想△GFC的形状，并说明理由．
20．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
21．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．
（1）求证：△AEB≌△CDA；???
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的长．
22．如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，
（1）求证：△ABE≌△ADC；
（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；
（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．
23．如图1，已知点B（0，9），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．
求证：DE＝BO；
（2）如图2，当点D恰好落在BC上时．
①求点E的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；
③如图3，点M是线段BC上的动点（点B，点C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．
参考答案
1．C
【详解】
A、角平分线上的点到角的两边距离相等，故本选项正确；
B. 直角三角形的两个锐角互余，故本选项正确；
C、应该是：等腰三角形底边上的角平分线、中线、高线互相重合，故此选项错误；
D、根据等边三角形的判定定理“有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形”知本选项正确．
2．D
【详解】
A选项：两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；
B选项：三边都相等的三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
C选项：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；故本选项不符合题意；
D选项：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意；
3．D
【详解】
试解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选D．
4．A
【详解】
是等边三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
.
5．A
【详解】
∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，
∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，
∵点E在AD上，
∴BE=CE，
∴∠EBC=∠ECB，
∵∠EBC=45°，
∴∠ECB=45°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°，
6．C
【详解】
试题解析：过E作EM∥BC，交AD于N，
∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=∠ACB=30°，
故选C．
7．D
【详解】
∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，
∴BD=DC，AB=AC，∠B=∠C=60°，
在△ABD与△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，故①正确；
在△ADE与△ADF中
，
∴△ADE≌△ADF，故③正确；
∵在Rt△ADE与Rt△ADF中，
∠EAD=∠FAD=30°，
∴2DE=2DF=AD，故②正确；
同理2BE=2CF=BD，
∵AB=2BD，
∴4BE=4CF=AB，故④正确，
故选D．
8．C
【详解】
连接、，过作于
∵在中，，，
∴，
∴在中，
∴在中，

∴，
∵的垂直平分线
∴
同理
∵
∴
∴在中，
∴
同理
∴
9．B
【解析】
试题解析：和均为等边三角形，

在与中，


，正确.
.据已知不能推出是中点，即和不垂直，所以错误，故本选项符合题意.
是等边三角形，理由如下：


在 和 中，

又∵∠ACG=60°
是等边三角形，正确.
是等边三角形，

正确.
10．A
【解析】
试题解析：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，
故结论④错误；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=×3×4+×32=6+，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤．
11．B
【详解】
由等边三角形的性质得，点B，C关于AD对称，连接BE交AD于点P，则EP+CP=BE最小，又BE=AD，所以EP+CP的最小值是3.
故选B.
点睛：本题主要考查了等边三角形的性质和轴对称的性质，求一条定直线上的一个动点到定直线的同旁的两个定点的距离的最小值，常用的方法是，①确定两个定点中的一个关于定直线的对称点；②连接另一个定点与对称点，与定直线的交点就是两线段和的值最小时，动点的位置.
12．B
【详解】
解：∵△ADE、△DFG，△ABC为等边三角形，
∴DA=DE，DF=DG，∠ADE=∠FDG=∠AED=∠ACB=∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠ADG=∠EDF，∠DAB=∠CAE，
∴△ADG≌△EDF，故①正确，
∴AG=EF,
∴AG= EC,
如下图，当D、G、E共线时，显然AG≠AE，AG≠AB，
∴EC≠AE，EC≠AC，
∴不是等腰三角形, 故②错误，
∵AD+EG=DE+GE＞DG，DG=DF
∴AD+EG＞DF，故③错误．
∵△ADG≌△EDF，
∴∠DEF=∠DAG，
∵∠DEF+∠AED=∠EAC+∠ACE=∠EAC+∠ACB-∠BCE，
∴∠EAC-∠DEF=∠BCE，
∵∠BAG=∠DAB-∠DAG=∠EAC-∠DEF，
∴∠BAG=∠BCE，故④正确，
∵△ADG≌△EDF，
∴AG=EF=EC,
∵∠BAG=∠BCE，AB=BC
∴△ABG≌△BCE，
∴∠ABG=∠EBC，BG=BE,
∴∠EBG=∠ABC=，
∴为等边三角形,
∴∠BEG =，故⑤正确，
故选：B．
13．①②③④
【详解】
①有两个角等于的三角形，则该三角形的三个内角都相等，是等边三角形
②有一个角等于的等腰三角形，则其三个角都为，是等边三角形
③三个角都相等的三角形，是等边三角形
④三边都相等的三角形，是等边三角形
综上，①②③④都是等边三角形
14．3
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm，
∴BC＝AB＝3cm，
15．
【详解】
解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，=14cm，
∴AC=AB=7cm,
在ΔAFC中，∠AFC=∠D=45°，
∴CF=AC=7cm，
则阴影部分的面积是(cm)
故答案为：
16．
【详解】
解：如图，连接，延长与交于点
平分，，

是的垂直平分线，





故答案为：
17．
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F，如图，
∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°，
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF=AP=，PF=AP=，
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+）2+（）2=25+12，
则△ABC的面积是?AB2=?（25+12）=9+，
故答案为：9+．
18．①②④⑤
【详解】
解：等边和等边，
，，，
，即 ，
在与中，
，
，
，
又，
，即，
又，
，
，
又，
为等边三角形，故④正确；
，
，故①正确；
，
，故②正确；
如图，在上截取，连接，
，
，， ，
，
，，
，，
又，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，故⑤正确；
不一定垂直，
不一定等于，
不一定等于，
不一定平分，故③错误；
故答案为：①②④⑤．
19．（1）见解析；（2）△GFC是等边三角形，理由见解析
【详解】
证明：（1）∵AB=DE，且∠B=∠E，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）△GFC是等边三角形，
理由如下：∵△ABC≌△DEF，
∴∠GFC=∠GCF，
∵∠AGF=∠GFC+∠GCF =120°，
∴∠GFC=∠GCF =60°，
∴△GFC是等边三角形．
20．证明见解析.
【详解】
证明：连接，
在等边，且是的中点，
，，
，
，
，
，
，
，为等腰三角形，
又，
是的中点．
21．（1）见解析；（2）60°；（3）14
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，
即∠BPQ=∠BAC=60°；
（3）∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=12，
∴BE=BP+PE=12+2=14
22．(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析
【解析】
试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．
试题解析：
（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形
∴AB=AD，AE=AC，
∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE，
在△ABE和△ADC中，
∴，
∴△ABE≌△ADC；
（2）由（1）知△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∵∠ACD=15°，
∴∠AEB=15°；
（3）同上可证：△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
又∵∠ACD=60°，
∴∠AEB=60°，
∵∠EAC=60°，
∴∠AEB=∠EAC，
∴AC∥BE．
23．（1）见解析；（2）①E（6，9）；②存在，点P的坐标为（－3，0）或（9，0）；③不变化，MH＋MG＝9
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到BC=CE，OC=CD，∠OCD=∠BCE=60°，求得∠OCB=∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①由点B（0，9），得到OB=9，根据全等三角形的性质得到∠CDE=∠BOC=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEC=30°，求得，过E作EF⊥x轴于F，角三角形即可得到结论；
②存在，如图，当时，当CE=PE，根据等腰三角形的性质即可得到结论；③不会变化，连接EM，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
（1）∵△ODC和△EBC都是等边三角形
∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°
∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD
即∠ECD＝∠BCO
∴△DEC≌△OBC（SAS）
∴DE＝BO
（2）①∵点B（0，9），
∴OB=9，
由（1）知△BCO≌△ECD，
∴∠CDE=∠BOC=90°，
∴DE⊥BC，
∵△EBC是等边三角形，
∴∠DEC=30°，
∴∠OBC=∠DEC=30°，
∴，，
∴，
过E作EF⊥x轴于F，
∵∠DCO=∠BCE=60°，
∴∠ECF=60°，
∵，
∴，，
∵ ，
∴，
∴E（6，9）；
②存在，如图，
当时，
∵，
∴，，
∴；
当CE=PE，
∵∠ECP=60°，
∴△CPE是等边三角形，
∴P2，P3重合，
∴当△PEC为等腰三角形时，点P的坐标为（－3，0）或（9，0）；
③不会变化，如图，连接EM，

∵
∵BC=CE=BE，
∴GM+MH=DE=9，
∴MH+MG的值不会发生变化．
_21?????????è?????(www.21cnjy.com)_