准考证号_____________姓名________________
(在此卷上答题无效)
三明市2020-2021学年第二学期普通高中期末质量检测
高一数学试题
(考试时间:120分钟 满分:150分)
本试卷共6页.
注意事项:
1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效.
3.考试结束后,考生必须将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,仅有一项是符合题目要求的.
1.青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题.现用分层随机抽样的方法调查某校学生的视力情况,该校三个年级的学生人数如下表:
年级
高一
高二
高三
人数
550
500
450
已知在抽取的样本中,高二年级有20人,那么该样本中高三年级的人数为( )
A.18 B.20 C.22 D.24
2.用斜二测画法画水平放置的false的直观图false如图所示,则在false的三边及中线false中,最长的线段是( )
A.false B.false C.false D.false
3.下列结论正确的是( )
A.事件A发生的概率false是false
B.若事件A发生的概率false,则事件A是必然事件
C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗,结果有380人有明显的疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则有明显疗效的可能性为76%
D.某奖券中奖率为0.5,若某人购买此券10张,则一定有5张中奖
4.若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)均不低于第3名,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据,推断一定是尖子生的是( )
A.甲同学:平均数为2,方差小于1 B.乙同学:平均数为2,众数为1
C.丙同学:中位数为2,众数为2 D.丁同学:众数为2,方差大于1
5.设D,E分别为false两边false,false的中点,则false( )
A.false B.false C.false D.false
6.袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球,分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字,若有放回地从袋子中任意摸出一个小球,直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数,用1,2,3,4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下20组随机数:
411 231 324 412 112 443 213 144 331 123
114 142 111 344 312 334 223 122 113 133
由此可以估计,恰好在第三次就停止摸球的概率为( )
A.false B.false C.false D.false
7.如图,在三棱锥false中,点D,E分别为棱false,false的中点.若点F在线段false上,且满足false平面false,则false的值为( )
A.1 B.2 C.false D.false
8.false中,若false,false,点E满足false,直线false与直线false相交于点D,则false( )
A.false B.false C.false D.false
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.从1至9这9个自然数中任取两个,有如下随机事件:
A=“恰有一个偶数”,B=“恰有一个奇数”,
C=“至少有一个是奇数”,D=“两个数都是偶数”,
E=“至多有一个奇数”.
下列结论正确的有( )
A.false B.false
C.false D.false,false
10.下列命题正确的是( )
A.若false,则false或false
B.已知false,false,则向量false在向量false上的投影向量的坐标为false
C.若false,则向量false,false的夹角为钝角
D.设false,false是同一平面内两个不共线的向量,则false,false可作为该平面的一个基底
11.如图,在正方体false中,点E,F分别是棱false,false上的动点.
给出下面四个命题,其中正确的是( )
A.false
B.直线false与直线false所成角的最大值是false
C.若直线false与直线false相交,则交点在直线false上
D.若直线false与直线false相交,则二面角false的平面角的最小正切值为false
12.在false中,false,false,false,P为false内一点,false,下列结论正确的是( )
A.若false,则false
B.若false,则false
C.false的面积的最大值为false
D.false的面积的取值范围是false
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知a为实数,若复数false为纯虚数,则false_____________.
14.2021年1月1日起,三明市全面铺开市区生活垃圾分类工作,生活垃圾需按照“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、“其他垃圾”的标准进行分类投放.若某居民将“厨余垃圾“和“可回收物“两袋垃圾随机地投放到四个分类垃圾桶中的两个,则两袋垃圾均投放准确的概率为_____________.
15.“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.如图,是一个棱长为1的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上.则该正方体的棱长为____________;半正多面体的表面积为_____________.
16.已知正三棱锥false的底面是边长为3的正三角形,其外接球O的表面积为false,且点A到底面false的距离小于外接球O的半径,E为false的中点,则异面直线false与false所成角的余弦值为____________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)
在复平面内,O为坐标原点,复数false,false所对应的向量分别为false,false.
(1)求false所对应的点C的坐标;
(2)求false的值.
18.(12分)
三棱柱false中,侧面false是边长为false的菱形,false,false平面false,E,F分别是false,false的中点.
(1)求证:false平面false;
(2)求直线false与平面false所成的角.
19.(12分)
在false中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且false.
(1)求B;
(2)若false,false,求false的面积.
20.(12分)
为庆祝中国共产党成立100周年,某校举行了党史知识竞赛,在必答题环节,甲、乙两位选手分别从3道选择题、2道填空题中随机抽取2道题作答,若甲每道题答对的概率为false,乙每道题答对的概率为false,且甲乙答对与否互不影响,各题的结果也互不影响.求:
(1)甲至少抽到1道填空题的概率;
(2)甲答对的题数比乙多的概率.
21.(12分)
已知A,B两家公司的员工月均工资情况如下:
(1)以每组数据的区间中点值代表该组数据的平均水平,根据图1估计A公司员工月均工资的平均数、中位数,你认为用哪个数据更能反映该公司普通员工的工资水平?请简要说明理由.
(2)小明拟到A,B两家公司中的一家应聘,以公司普通员工的工资水平作为决策依据,他应该选哪个公司?
22.(12分)
如图,在四棱锥false中,底面false是菱形,false,false是正三角形,E为线段false的中点,false.
(1)求证:平面false平面false;
(2)是否存在点F,使得false?若存在,求出false的值;若不存在,请说明理由.
(3)若平面false平面false,在平面false内确定一点H,使false的值最小,并求此时false的值.
三明市2020-2021学年第二学期普通高中期末质量检测
高一数学参考答案及评分细则
评分说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
1.A 2.D 3.C 4.A 5.D 6.B 7.C 8.A
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9.ABD 10.BD 11.BCD 12.BC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.2 14.false
15.false;false 16.false
四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解:(1)因为false,false,
所以false,.…………………………………………3分
所以点C的坐标为false.……………………………………………………………………5分
(2)依题意false,false,false,
所以false,.……………………………………………………………………7分
所以false.…………………………………………………………10分
18.解法一:(1)证明:
如图,取false的中点G,连接false,false,
则false,false,
∵false,∴false,
∵false平面false,false平面false,
∴false平面false;
∵false平面false,false平面false,∴false平面false;.………………………………4分
又false,false,false平面false,∴平面false平面false;
∵false平面false,∴false平面false.………………………………………………6分
(2)解:设false与false交于点H,连接false,
∵侧面false是边长为false的菱形,false,
∴false,false,∴false;
∵false平面false,false平面false,
∴false,
∵false,false,false平面false,
∴false平面false,
∴false为直线false与平面false所成的角;.………………………………………………9分
∵false平面false,∴false;
∵又false,false,∴false,
∴false,即直线false与平面false所成的角为false.…………………………………………12分
解法二:(1)如图,取false的中点false,连接false,false,则false,false,
∵false,∴false,
false,
∴四边形false是平行四边形,
∴false,.……………………………………………………………………………4分
false平面false,false平面false,∴false平面false.…………………………6分
(2)同解法一.……………………………………………………………………………………12分
19.解:(1)∵false,
由正弦定理false得,false,.……………………………………1分
∴false,
∴false,.…………………………………………3分
∴false,
∴false,∴false,
又false,∴false;.…………………………………………………………5分
(2)false,.………………………………………………………………6分
false.…………………………………………………………………………8分
由正弦定理false得,
false,.……………………………………………………………………10分
∴false.……………………………………12分
20.解:(1)记3道选择题的题号为1,2,3,
2道填空题的题号为4,5,
则试验的样本空间false,.……2分
共有10个样本点,且每个样本点是等可能发生的,所以这是一个古典概型.
记事件A=“甲至少抽到1道填空题”,则
false,.…………………………………………4分
所以,false,.……………………………………………………5分
所以,false.
因此,甲至少抽到1道填空题的概率为false.…………………………………………6分
(2)设false,false分别表示甲答对1道题,2道题的事件
false,false分别表示乙答对0道题,1追题的事件,根据独立性假定,得
false,false.
false,false.……………………………………9分
记事件B=“甲答对的题数比乙多”,则false,且false,false,false两两互斥,false与false,false与false,false与false分别相互独立,所以
false
false.………………………………………………10分
false.
因此,甲答对的题数比乙多的概率为false.…………………………………………………………12分
21.解:(1)A公司员工月均工资的平均数为
false(万元).………………2分
由A公司员工月均工资的扇形图知,在0.6万元以下的比例为
false
A公司员工月均工资在0.8万元以下的比例为
false
A公司员工月均工资的中位数为
false(万元).…………………………………………………………4分
用中位数更能反映该公司普通员工的工资水平.
理由:因为平均数受每一个数据的影响,越离群的数据对平均数的影响越大,该公司少数员工的月收入很高,在这种情况下平均数明显右偏,并不能较好的反映普通员工的收入水平,而中位数不受少数极端数据的影响,可以较好的反映普通员工的收入水平.………………………………………………………………6分
(2)B公司员工月均工资的平均数为
false(万元)
由B公司员工月均工资的频率分布直方图知,在0.6万元以下的比例为
false
B公司员工月均工资在0.8万元以下的比例为
false
所以,B公司员工月均工资的中位数为
false(万元).……………………………………………………9分
小明应选择B公司应聘.
理由:B公司员工工资数据较为集中,月工资的平均数和中位数均能反映该公司普通员工的平均收入水平,B公司员工月工资(万元)平均数为0.69,中位数为0.7均大于反映A公司普通员工的收入水平的中位数0.62,所以以公司普通员工的工资水平作为决策依据,小明应该选B公司应聘.…………………………12分
22.解:(1)证明:因为false是正三角形,E为线段false的中点,
所以false.
因为false是菱形,所以false.
因为false,
所以false是正三角形,
所以false,而false,
所以false平面false.
又false,
所以false平面false.…………………………………………………………………………3分
因为false平面false
所以平面false平面false.……………………………………………………………………4分
(2)由false,知false.……………………………………5分
所以,false,
false.…………………………………………………………7分
因此,false的充要条件是false,
所以,false.
即存在满足false的点F,使得false,此时false.……………………8分
(3)延长false到false,使得false,
由(1)知false平面false,
则false是点C关于面false的对称点,.……………………………………………………9分
在平面false中,过点false作false,垂足为F,交false于H,则点H是使false的值最小时,在平面false上的一点.………………………………………………………………………………10分
设false,则false,
因为平面false平面false,平面false平面false,false,
所以false平面false,因为false平面false,
所以false,所以false,
所以false,
所以false,
所以false.…………………………………………………………………………………………12分