四川省成都市树德协进中学2011-2012学年高二下学期期中考试数学试题

一．选择题（以下各题只有一个正确答案，每小题5分，共60分）
1. 某学校有教师人，其中高级教师人，中级教师人，初级教师人. 现按职称分层抽样选出名教师参加教工代表大会,则选出的高、中、初级教师的人数分别为 （ ）
A． B． C． D．
2．命题，，命题,，则下列命题中真命题是 （ ）
（A）（B）（C）（D）
3.在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
4.在平面直角坐标系中，点的直角坐标为.若以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标可以是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
5、某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是：（ ）
A、至少有1名男生与全是女生 B、至少有1名男生与全是男生
C、至少有1名男生与至少有1名女生 D、恰有1名男生与恰有2名女生
6（理科做）．甲从正四面体的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正四面体四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是 （ ）
A. B. C. D.
6、（文科做）从写上0,1,2,…,9 十张卡片中,有放回地每次抽一张,连抽两次,则两张卡片数字各不相同的概率是( )
A. B. C. D. 1
7．要将一根长为60cm的木棒截成两段，有一段小于15cm的概率是：（ ）
A、 B、 C、 D、
8．(理科做)．命题“存在，使＜0，为假命题”是命题“”的 （ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（文科做）.如果，那么“∥”是“”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
9.(理科做)．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A． B． C． D． 0
9．（文科做）函数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10.函数f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a的取值为 (　　)
A．[2，＋∞) B．[4，＋∞)
C．{4} D．[2,4]
11（理科做）．方程的实根个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
11. （文科做）若函数是R上的单调函数，则实数m的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
二．填空题。（每小题4分，共16分）
13．命题“x∈R，x≤1或x2>4”的否定为　
14．在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；
若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数后，两组数据的平均数中较大的一组
是 组．
15．在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离为 ．
16．（理科做）．有下列命题：
①若存在导函数，则；
②若函数，则；
③若函数,则
④若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件．
其中真命题的序号是 ．
16（文科做）已知R上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为 .
三．解答题（17-20每题12分，21-22每题13分）
17．我区高三期末统一测试中某校的数学成绩分组统计如下表：
分组 频数 频率
合计
（Ⅰ）求出表中、、、的值，并根据表中所给数据在下面给出的坐标系中画出频率分布直方图；
（Ⅱ）若我区参加本次考试的学生有600人，试估计这次测试中我区成绩
在分以上的人数；
（Ⅲ）若该校教师拟从分数不超过60的学生中选取2人进行个案分析，求
被选中2人分数不超过30分的概率
．
18．已知p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．

19（理科做） 已知关于的一元二次函数
（Ⅰ）设集合和，分别从集合和中随机取一个数作为和，求函数在区间[上是增函数的概率；
（Ⅱ）设点是区域内的随机点，记有两个零点,其中一个大于，另一个小于,求事件发生的概率。
.
19（文科做）、口袋中有大小、形状都相同的八个球，其中白球3个，红球5个，
（1）任取一个球投在一个面积为的正方形内，求球落在正方形内切圆内
概率；
（2）若在袋中任取两个，求取到红球的概率。
20.一出租车每小时耗油的费用与其车速的立方成正比，当车速为时，该车耗油
费用为/h,其他费用为12元/h.甲乙两地的公路里程为160km，在不考虑其他因素的
提下，为了使该车开往乙地的总费用最低，该车的车速应当确定为多少公里/小时？
21（理科做）已知函数 ．
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若a>0，函数y=f(x)在区间(a，a 2-3)上存在极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a>2，求证：函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点．
21（文科做）．已知函数 。
(Ⅰ) 若点(1,)在函数图象上且函数在该点处的切线斜率为-4,求的极大值；
(Ⅱ)若在区间[－1,2]上是单调减函数,求的最小值。
22（理科做）22．已知函数为自然对数的底数）
（1）求的单调区间，若有最值，请求出最值；
（2）是否存在正常数，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。
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22（文科做）已知函数 ．（Ⅰ）若曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）若a>0，函数y=f(x)在区间(a，a 2-3)上存在极值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a>2，求证：函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点．
2013级半期考试数学答案
一．选择题 1b2d3a4a5d6(理)a6（文）a7b8（理）b8（文）b9（理）b9（文）a10b11（理）c11（文）c12c
二．填空题
13．x∈R，x>1且x2≤4
18．若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2
即p：m＞2
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0
解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.
因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“p且q”为假，所以p、q至少有一为假，
因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真.
∴
解得： m≥3或1＜m≤2.
19．（理科做）18．解析：（Ⅰ）∵函数的图象的对称轴为
要使在区间上为增函数，
当且仅当且 ………………………………2分
若则，若则若则 ……………………4分
记函数在区间上是增函数
则事件包含基本事件的个数是1+2+2=5，∴……6分
（Ⅱ）依条件可知试验的全部结果所构成的区域为，
其面积 ……………………………………8分
事件构成的区域：
由,得交点坐标为………………………………10分
，∴事件发生的概率为
19（文科做）解：（1）圆面积为，设“落在圆内”为事件则
（2）设“取到红球”为事件则 为“两个都为白球”
实验“在袋中任取两个”共有基本事件28个，“两个都为白球”包含三个基本事件则所以P()=，P()=
答为了使这辆出租车由甲地开往乙地得总费用最低。该车得速度应确定为
21（理科）．解：（Ⅰ）， ……………………1分
， ……………………2分
因为曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行
所以， ……………………3分
所以． ……………………4分
（Ⅱ）令， ……………………5分
即，所以 或． ……………………6分
因为a>0，所以不在区间(a，a2-3)内，
要使函数在区间(a，a 2-3)上存在极值，只需． ……………………7分
所以． ……………………9分
（Ⅲ）证明：令，所以 或．
因为a>2，所以2a>4， ……………………10分
所以在(0，2)上恒成立，函数f(x)在(0，2)内单调递减．
又因为，， ……………………11分
所以f(x)在(0，2)上恰有一个零点． ……………………13分
21（文科）解：(Ⅰ)∵, 1分
∴ 由题意可知：且,
∴ 得： ， 3分
∴,.
令，得，
由此可知：
X (－∞,－1) －1 (－1, 3) 3 (3, +∞)
+ 0 － 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴ 当x=－1时, f(x)取极大值 6分
(Ⅱ) ∵在区间[－1，2]上是单调减函数，
∴ 在区间[－1，2]上恒成立. 7分
根据二次函数图象可知且，
即：也即 9分
作出不等式组表示的平面区域如图： 11分
当直线经过交点P(－, 2)时，
取得最小值, 13分
∴取得最小值为 14分
（2）方法一，若与的图象有且只有一个公共点，
则方程有且只有一解，所以函数有且只有一个零点…………8分
由（1）的结论可知…………10分
此时，
的图象的唯一公共点坐标为
又的图象在点处有共同的切线，
其方程为，即…………13分
综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为…………14分
方法二：设图象的公共点坐标为，
根据题意得即
由②得，代入①得 从而…………10分
此时由（1）可知 时，
因此除外，再没有其它，使…………13分
故存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得公共点坐标为，公切线方程为…………14分高考资源网
22（文科）．解：（Ⅰ）， ……………………1分
， ……………………2分
因为曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行
所以， ……………………3分
所以． ……………………4分
（Ⅱ）令， ……………………5分
即，所以 或． ……………………6分
因为a>0，所以不在区间(a，a2-3)内，
要使函数在区间 (a，a 2-3)上存在极值，只需． ……………………7分
所以． ……………………9分
（Ⅲ）证明：令，所以 或．
因为a>2，所以2a>4， ……………………10分
所以在(0，2)上恒成立，函数f(x)在(0，2)内单调递减．
又因为，， ……………………11分
所以f(x)在(0，2)上恰有一个零点． ……………………13分
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.010
0.011
0.012
0.013
0.014
0.015
0.016
分数
频率/组距
30
60
90
120
150
o
a
b
P(－, 2)
4a-b+4=0
2a+b-1=0
z=a+b
-2
2
4
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