人教A版（2019）必修第一册学案
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
第2课时 补集及综合运用
【学习目标】
1．能从教材实例中抽象出全集和补集的含义，准确翻译和使用补集符号和Venn图．．(数学抽象)
2．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的补集运算．(数学运算)
3．会用Venn图、数轴解决集合综合运算问题．(直观想象)
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；
5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
知识点1 全集
1．概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为__全集__.
2．记法：通常记作U.
思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．
知识点2 补集
思考2：怎样理解补集？
提示：(1)补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．
(2)补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给定全集U的情况下，求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．
预学自测：
1．已知集合A＝{x|x<－5或x>7}，则?RA＝( B )
A．{x|－5
B．{x|－5≤x≤7}
C．{x|x<－5}∪{x|x>7}
D．{x|x≤－5}∪{x|x≥7}
[解析] ∵A＝{x|x<－5或x>7}，∴?RA＝{x|－5≤x≤7}，故选B．
(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，B＝{2,4}，则
(?UA)∪B＝( A )
A．{2,4,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,4}
D．{2,3,4,5}
[解析] ∵?UA＝{2,5}，∴(?UA)∪B＝{2,5}∪{2,4}＝{2,4,5}．
3．(2019·浙江，1)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(?UA)∩B＝( A )
A．{－1}
B．{0,1}
C．{－1,2,3}
D．{－1,0,1,3}
[解析] ∵?UA＝{－1,3}，∴(?UA)∩B＝{－1,3}∩{－1,0,1}＝{－1}，故选A．
4．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则?UA与?UB的关系是__?UA??UB__.
[解析] 全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则?UA＝{4,5，…}，则?UB＝{3,4,5，…}，则?UA??UB．
5．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，?UA＝{2,4,6,8}，?UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B．
[解析] 解法一：∵A＝{1,3,5,7,9}，?UA＝{2,4,6,8}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
又∵?UB＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}．
解法二：借助韦恩图，如图所示，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
∵?UB＝{1,4,6,8,9}，B＝{2,3,5,7}．
【我的疑惑】
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【探究案】
探究一：补集的基本运算
例1
(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，则集合B＝__{2,3,5,7}__.
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则?UA＝__{x|x<－3，或x＝5}__.
[分析] (1)先结合条件，由补集的性质求出全集U，再由补集的定义求出集合B，也可借助Venn图求解．
(2)利用补集的定义，借助于数轴的直观作用求解．
[解析] (1)∵A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
(2)将全集U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．
由补集的定义可知?UA＝{x|x<－3，或x＝5}．
[归纳提升] 求集合的补集的方法
1．定义法：当集合中的元素较少时，可利用定义直接求解．
2．Venn图法：借助Venn图可直观地求出全集及补集．
3．数轴法：当集合中的元素连续且无限时，可借助数轴求解，此时需注意端点问题．
【对点练习】?
(1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则?UA＝( B )
A．?
B．{2}
C．{5}
D．{2,5}
(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝__2__.
[解析] (1)由题意知集合A＝{x∈N|x≥}，则?UA＝{x∈N|2≤x＜}＝{2}，故选B．
(2)∵A∪(?UA)＝U，且A∩(?UA)＝?，
∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2.
探究二：交集、并集、补集的综合运算
例2
已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)．
[分析] 对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U及集合A、B，先求出?UA及?UB，再求解．
[解析] 如图，
由图可得?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}．
如图，
由图可得?UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}．
如图，
由图可得A∩B＝{x|－2＜x≤2}，
∴(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|2[归纳提升] 求集合交、并、补运算的方法
【对点练习】?
(1)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(?UB)＝__{1,2,3}__；
(2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(?UB)＝( B )
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0}
D．{x|x＞1}
[解析] (1)?UB＝{2}，A∪(?UB)＝{1,2,3}．
(2)∵U＝R，B＝{x|x＞1}，∴?UB＝{x|x≤1}．又A＝{x|x＞0}，∴A∩(?UB)＝{x|0＜x≤1}．
探究三：与补集相关的参数值的求解
例3
已知集合A＝{y|y>a2＋1或y[分析] 由于集合A包含两个不等式，若直接利用交集不为空集求解，则所分情况较多，因此考虑从交集为空集的角度入手．
[解析] 因为A＝{y|y>a2＋1或y由得
故a≤－或≤a≤2.
即A∩B＝?时，a的取值范围为a≤－或≤a≤2，
故A∩B≠?时，a的取值范围为a>2或－[归纳提升] 当从正面考虑情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．其解题步骤为：(1)否定已知条件，考虑反面问题；(2)求解反面问题对应的参数范围；(3)取反面问题对应的参数范围的补集．
【对点练习】?
若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则实数a的取值范围为__{a|a≥或a＝0}__.
[解析] 假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，则解得a<且a≠0，则此时实数a的取值范围是{a|a<且a≠0}．在全集U＝R中，集合{a|a<且a≠0}的补集是{a|a≥或a＝0}．
所以满足题意的实数a的取值范围是{a|a≥或a＝0}．
误区警示
忽视空集的特殊性
例4
已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为__{a|a<1或a>3}__.
[错解] ∵A∪B＝A，∴B?A，
从而有或解得a>3.
故实数a的取值范围是a>3.
[错因分析] 由并集的定义容易知道，对于任何一个集合A，都有A∪?＝A，所以错解忽略了B＝?时的情况．
[正解] ∵A∪B＝A，∴B?A．
①当B≠?时，有或解得a>3.
②当B＝?时，由a>2a－1，得a<1.
综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}，故填{a|a<1或a>3}．
[方法点拨] ?有两个独特的性质：(1)对于任意集合A，皆有A∩?＝?；(2)对于任意集合A，皆有A∪?＝A，因此，如果A∩B＝?，就要考虑集合A或B可能是?，如果A∪B＝A，就要考虑集合B可能是?.
【检测案】
1．(2020·吉林乾安七中高一期末测试)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝( D )
A．{1,3,4}
B．{3,4}
C．{3}
D．{4}
[解析] A∪B＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，∴?U(A∪B)＝{4}．
2．如图，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( D )
A．(?IA∩B)∩C
B．(?IB∪A)∩C
C．(A∩B)∩(?IC)
D．(A∩?IB)∩C
[解析] 由图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是(A∩?IB)∩C．
3．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(?UA)∩B＝__{7,9}__.
[解析] 由题意，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故?UA＝{4,6,7,9,10}，所以(?UA)∩B＝{7,9}．
4．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，求A∩(?UB)，(?UA)∩(?UB)．
[解析] ?UA＝{1,3,6,7}，?UB＝{2,4,6}，
∴A∩(?UB)＝{2,4,5}∩{2,4,6}＝{2,4}，
(?UA)∩(?UB)＝{1,3,6,7}∩{2,4,6}＝{6}．
5．设S＝{x|x是平行四边形或梯形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C，?SB，?SA．
[解析] B∩C＝{x|x是正方形}，?SB＝{x|x是邻边不相等的平行四边形或梯形}，?SA＝{x|x是梯形}．
【课堂小结】人教A版（2019）必修第一册学案
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
第2课时 补集及综合运用
【学习目标】
1．能从教材实例中抽象出全集和补集的含义，准确翻译和使用补集符号和Venn图．．(数学抽象)
2．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的补集运算．(数学运算)
3．会用Venn图、数轴解决集合综合运算问题．(直观想象)
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；
5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
知识点1 全集
1．概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为_______.
2．记法：通常记作U.
思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
知识点2 补集
思考2：怎样理解补集？
预学自测：
1．已知集合A＝{x|x<－5或x>7}，则?RA＝( )
A．{x|－5B．{x|－5≤x≤7}
C．{x|x<－5}∪{x|x>7}
D．{x|x≤－5}∪{x|x≥7}
2.(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，B＝{2,4}，则
(?UA)∪B＝( )
A．{2,4,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,4}
D．{2,3,4,5}
3．(2019·浙江，1)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(?UA)∩B＝( )
A．{－1}
B．{0,1}
C．{－1,2,3}
D．{－1,0,1,3}
4．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则?UA与?UB的关系是___________.
5．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，?UA＝{2,4,6,8}，?UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B．
【我的疑惑】
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【探究案】
探究一：补集的基本运算
例1
(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，则集合B＝_________.
(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则?UA＝_______________.
【对点练习】?
(1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则?UA＝( )
A．? B．{2}
C．{5}
D．{2,5}
(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝_____.
探究二：交集、并集、补集的综合运算
例2
已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，
A∩(?UB)．
【对点练习】?
(1)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(?UB)＝________；
(2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(?UB)＝( )
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0}
D．{x|x＞1}
探究三：与补集相关的参数值的求解
例3
已知集合A＝{y|y>a2＋1或y【对点练习】?
若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则实数a的取值范围为________.
误区警示
忽视空集的特殊性
例4
已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为_____________.
【检测案】
1．(2020·吉林乾安七中高一期末测试)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝( )
A．{1,3,4} B．{3,4}
C．{3}
D．{4}
2．如图，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A．(?IA∩B)∩C
B．(?IB∪A)∩C
C．(A∩B)∩(?IC)
D．(A∩?IB)∩C
3．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(?UA)∩B＝________.
4．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，求A∩(?UB)，(?UA)∩(?UB)．
5．设S＝{x|x是平行四边形或梯形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C，?SB，?SA．
【课堂小结】