2.2基本不等式 同步课时训练-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册Word含解析

2021-2022学年高一数学同步课时训练（人教A版2019必修第一册）
2.2课时
基本不等式
一、单选题。本大题共18小题，每小题只有一个选项符合题意。
1．若，且，则下列不等式中，恒成立的是
A．
B．
C．
D．
2．已知，则下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
3．设a，b，c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．下列不等式一定成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．若，，且，则
，
，
，
中最大的一个是（
）
A．
B．
C．
D．
6．某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．若对、，有恒成立，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润（单位：百万元）与营运年数（）满足二次函数关系，且与满足的二次函数的图象如图所示.若使每辆客车营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运（
）
A．3年
B．4年
C．5年
D．6年
二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。
9．已知a>0，b>0，，对于代数式，下列说法正确的是（
）
A．最小值为9
B．最大值是9
C．当a=b=时取得最小值
D．当a=b=时取得最大值
10．下列推导过程，正确的为
（
）
A．因为、为正实数，所以
B．因为，所以
C．，所以
D．因为、，，所以
11．下列函数中最大值为的是（
）
A．
B．
C．
D．
12．设其中为参数.下列选项正确的是（
）
A．当时，的最大值为4
B．当时，的最小值为4
C．当时，的最小值为9
D．当时，的最大值为3
三、填空题。本大题共4小题。
13．若，则的最小值为_____．
14．工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元.则工厂和仓库之间的距离为___________千米时，运费与仓储费之和最小.
15．已知正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，则当取得最大值时，的最大值为_______.
16．已知为直线上一点，且，则的最小值为__．
四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．设a>0，b>0，且a＋b＝，证明：a＋b≥2．
18．求下列函数的最值
（1）求函数的最小值.
（2）若正数，满足，求的最小值.
19．（1）若，且，求的最小值；
（2）若，求的最大值．
20．正实数a，b，c满足a2﹣3ab+4b2﹣c＝0当最大值时，求的最大值．
21．已知实数a＞0，b＞0，且a2+b2＝8，若a+b≤m恒成立．
（1）求实数m的最小值；
（2）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．
22．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－
(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？
参考答案
1．D
【解析】，所以A错；，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当时，B错；同时C错；或都是正数，根据基本不等式求最值，，故D正确．
2．D
【解析】对于选项A，由于可能有，故A错误；
对于选项B，若，则，所以B错误；
对于选项C，虽有，但的正负不确定，故C错误；
对于选项D，由于，所以，所以.
故D正确.
故选D
3．C
【解析】a，b，c是互不相等的正数.
对于A，，当且仅当时，等号成立，故A恒成立；
对于B，由，得，故B恒成立；
对于C，当，不等式不成立，故C不恒成立；
对于D，
，
又，
，
，
即恒成立，故D恒成立.
故选：C.
4．B
【解析】解：对于：可能是负数
，不成立；
对于：由基本不等式可知，当且仅当，即时取等号，故成立；
对于：当时，，无解，不成立；
对于：可能是负数，不成立.
故选：.
5．D
【解析】，，且，
，.
故选D.
6．B
【解析】解：由题意得，，则，
因为，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
故选：B
7．A
【解析】解：、
，当且仅当时，
等号成立，
，
故选：.
8．C
【解析】解：由题可设与满足的二次函数为（，），将点的坐标代入，解得，
故（），
则年平均利润，
当且仅当，即（负值舍去）时；等号成立，所以每辆客车营运5年时，年平均利润最大.
故选：C.
9．AC
【解析】因为，所以==·
=5+2，当且仅当时，即a=b=时，等号成立.
所以a=b=时，代数式取得最小值9.
故选：AC.
10．AD
【解析】对于A选项，因为、为正实数，则、为正实数，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，，所以，，B选项错误；
对于C选项，当时，，
当且仅当时，等号成立，C选项错误；
对于D选项，因为、，，则、均为负数，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选：AD.
11．BC
【解析】解：对A，，
当且仅当，即时取等号，故A错误；
对B，，
当且仅当，又，即时取等号，故B正确；
对C，，
当且仅当，即时等号成立，故C正确；
对D，，
当且仅当
，又
，时取等号，故D错误.
故选：BC.
12．BC
【解析】当时，，则，即，
，，当且仅当时等号成立，
当时，的最小值为4；
当时，，解得（舍去）或，
则，当且仅当时等号成立，
当时，的最小值为9.
故选：BC.
13．2
【解析】由，则，
当且仅当时取“”，即的最小值为2．
故答案为：2.
14．2
【解析】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，
设；
当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，
所以，，则；
所以运费与仓储费之和为，
因为，当且仅当，即时，运费与仓储费之和最小为万元.
故答案为：2
15．1
【解析】正实数a，b，c满足a2-2ab+9b2-c=0，
得===，
其中，当且仅当=，即a=3b时，取最小值6.
故，取最大值．
又因为a2-2ab+9b2-c=0，所以此时，
所以，当时，即当a=3，b=1时，取得最大值1，
故答案为：1.
16．.
【解析】为直线上一点，，又，，，
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
17．证明见解析
【解析】由a>0，b>0，则a＋b＝＋＝，由于a＋b>0，则ab＝1，
所以a＋b≥2＝2，当且仅当a＝b时取得等号，∴a＋b≥2．
18．（1）；（2）5.
【解析】（1），当且仅当即时等号成立，
故函数的最小值为.
（2）由得，
则，
当且仅当,即，时等号成立，
故的最小值为5.
19．（1）18；（2）-1.
【解析】（1）由，得，
，当且仅当时取等号
故当，取最小值18.
（2）若，则
当且仅当时取等号
.
即若，的最大值为．
20．1
【解析】解：由条件可得，则
由
当且仅当，即时，有最大值，此时c＝2b2，
所以
当b＝1时，有最大值1．
所以的最大值为1
．
21．（1）4；（2）或．
【解析】（1）∵a2+b2≥2ab，
∴2a2+2b2≥（a+b）2，
∴（a+b）2≤16，
∴（a+b）≤4，
故m≥4，实数m的最小值为
（2）由2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，
由（1）可得a+b的最大值为4
故只需2|x﹣1|+|x|≥4，
即：当x≥1时，2（x﹣1）+x≥4，解得：x≥2；
当0≤x＜1时，2（1﹣x）+x≥4，无解；
当x＜0时，2（1﹣x）﹣x≥4，解得；
故得实数x的取值范围是或．
22．（1）y＝－＋29(m≥0)；（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．.
【解析】(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，
所以1＝3－k?k＝2，所以x＝3－
(m≥0)，
每件产品的销售价格为1.5×
(元)，
所以2020年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1?m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．