6.2.1排列 6.2.2排列数 教案-2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.2.1排列
6.2.2排列数
教案
一、教学目标
1.理解排列、排列数的概念.
2.能利用计数原理推导排列数公式，并掌握排列数公式及其变形，能运用排列数公式熟练地进行相关计算.
3.能熟练地运用排列知识解决一些有关排列的实际问题.
4.通过实例，体验数学知识的形成与发展，学会分析问题、解决问题的方式，培养解决实际问题的能力.
二、教学重难点
1、教学重点
排列的概念，用列举法、树状图列出排列，从简单排列问题的计数过程中体会排列数公式.
2、教学难点
对排列要完成的“一件事”的理解，对“一定顺序”的理解.
三、教学过程
1、新课导入
在上节课的学习中我们发现，用分步乘法计数原理解决问题时，因做了一些重复性工作而显得烦琐.
能否对这类计数问题给出一种简捷的方法呢？为此，先来分析两个具体的问题.
2、探索新知
问题1
从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？
此时，要完成的一件事是“选出2名同学参加活动，1名参加上午的活动，另1名参下午的活动”，可以分两个步骤：
第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种选法；
第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从剩下的2人中去选，有2种选法.
根据分步乘法计数原理，不同的选法种数为.
这6种不同的选法如图所示.
如果把上面问题中被取出的对象叫做元素，那么问题可叙述为：
从3个不同的元素中任意取出2个，并按一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是，不同的排列方法种数为.
问题2
从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？
显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，就得到一个三位数.因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数.可以分三个步骤来解决这个问题：
第1步，确定百位上的数字，从1，2，3，4这4个数字中任取1个，有4种方法；
第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；
第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法.
根据分步乘法计数原理，从1，2，3，4这4个不同的数字中，每次取出3个数字按“百位、十位、个位”的顺序排成一列，不同的排法种数为.因而共可得到24个不同的三位数，如图所示.
由此可写出所有的三位数：
123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.
同样，问题2可以归结为：
从4个不同的元素中任意取出3个，并按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？
所有不同的排列是
.
不同的排列方法种数为.
上述问题1，2的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？
问题1和问题2都是研究从一些不同元素中取出部分元素，并按照一定的顺序排成一列的方法数.
一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
根据排列的定义，两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.例如，在问题1中，“甲乙”与“甲丙”的元素不完全相同，它们是不同的排列，“甲乙”与“乙甲”虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.又如，在问题2中，123与134的元素不完全相同，它们是不同的排列；123与132虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列.
前面给出了排列的定义，下面探究计算排列个数的公式.
我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.
例如，前面问题1是求从3个不同元素中取出2个元素的排列数，表示为.已经算得.问题2是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，表示为.已经算得.
从个不同元素中取出个元素的排列数是多少？
可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数.根据前面的求解经验，可以这样考虑：
假定有排好顺序的两个空位，从个不同元素中取出2个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就得到一个排列；反之，任何一种排列总可以由这种填法得到.
因此，所有不同填法的种数就是排列数.
现在来计算有多少种填法.
完成“填空”这件事可以分为两个步骤完成：
第1步，填第1个位置的元素，可以从这个不同元素中任选1个，有种选法；
第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的个元素中任选1个，有种选法.
根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为.
同理，求排列数可以按依次填3个空位来考虑，有.
一般地，求排列数可以按依次填个空位来考虑：
假定有排好顺序的个空位如图，从个不同元素中取出个元素去填空，一个空位填上一个元素，每一种填法就对应一个排列.
因此，所有不同填法的种数就是排列数.
填空可以分为个步骤完成：
第1步，从个不同元素中任选1个填在第1位，有种选法；
第2步，从剩下的个元素中任选1个填在第2位，有种选法；
第3步，从剩下的个元素中任选1个填在第3位，有种选法；
……
第步，从剩下的个元素中任选1个填在第位，有种选法.
根据分步乘法计数原理，个空位的填法种数为.
这样，我们就得到公式.
这里，并且.这个公式叫做排列数公式.
根据排列数公式，我们就能方便地计算出从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数.例如，，.
特别地，我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列.
这时，排列数公式中，即有.
也就是说，将个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到的连乘积.
正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，于是，个元素的全排列数公式可以写成.
另外，我们规定，.
事实上，.因此，排列数公式还可以写成.
3、课堂练习
1.从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为(
)
A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B.甲乙丙，乙丙甲
C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D.甲乙，甲丙，乙丙
答案：C
解析：若选出的是甲、乙，则站法有甲乙、乙甲；若选出的是甲丙，则站法有甲丙、丙甲；若选出的是乙、丙，则站法有乙丙、丙乙.故选C.
2.已知，则(
)
A.11
B.12
C.13
D.14
答案：B
解析：，，整理得，解得或（不合题意，舍去），的值为12，故选B.
3.用四个数字1，2，3，4组成没有重复数字的两位数的个数为(
)
A.6
B.12
C.16
D.20
答案：B
解析：根据题意，一共有个不同的两位数.
11.从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为__________________.
答案：96
解析：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分2种情况讨论：①选出的4人中没有甲，即选出其他4人即可，有种参赛方案；②选出的4人中有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有种，则此时共有种参赛方案.综上，总共有种不同的参赛方案.
12.某单位安排5位员工在10月3日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天.若5位员工中的甲、乙不排在相邻两天，则不同的安排方案共有__________种.(用数字作答)
答案：72
解析：先安排除甲、乙之外的3人，然后利用插空法安排甲、乙两人，故不同的安排方案共有种，故答案为72.
4、小结作业
小结：本节课学习了排列、排列数的概念、排列数公式的计算及其应用.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
6.2.1排列
+
6.2.2排列数
1.排列的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
2.两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.
3.排列数的概念：我们把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.
4.排列数公式：.这里，并且.排列数公式还可以写成.
5.全排列的概念：特别地，我们把个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列.正整数1到的连乘积，叫做的阶乘，用表示，于是，个元素的全排列数公式可以写成.另外，我们规定，.