6.3.2二项式系数的性质 教案-2020-2021学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高中数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.3.2二项式系数的性质
教案
一、教学目标
1.掌握展开式中二项式系数的对称性、增减性与最大值.
2.会求二项式系数的和或某些项的系数的和.
二、教学重难点
1、教学重点
学会讨论二项式系数性质的一些方法.
2、教学难点
求二项展开式系数的最大项，灵活运用二项式系数的性质解决相关问题.
三、教学过程
1、新课导入
的展开式的二项式系数有很多有趣的性质，这节课就让我们从不同的角度来研究一下吧.
2、探索新知
一、二项式系数的关系
通过观察的展开式的二项式系数表格可以发现，每一行的系数具有对称性.
对于的展开式的二项式系数，我们还可以从函数的角度分析它们，可以看成是以为自变量的函数，其定义域是.
对于确定的，我们还可以画出它的图象.例如，当时，函数的图象是7个离散点，如图所示.
二、二项式系数的性质
1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
事实上，这一性质可直接由得到.
直线将函数的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.
2.增减性与最大值
因为，即，所以，当时，即时，随的增加而增大；由对称性知，当时，随的增加而减小.
当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值.
3.各项式系数的和
已知，令，得.这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于.
例
求证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
分析：奇数项的二项式系数的和为，偶数项的二项式系数的和为.
由于中的可以取任意实数，因此我们可以通过对适当賦值来得到上述两个系数和.
证明：在展开式中，
令，，则得.
即.
因此，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
3、课堂练习
1.已知，则的值等于(
)
A.64
B.32
C.63
D.31
答案：C
解析：因为，所以，所以，因此，故选C.
2.若，且，则实数(
)
A.1或
B.1或3
C.
D.1
答案：A
解析：，令得，所以或，解得或.故选A.
3.若展开式的所有二项式系数之和为32，则该展开式的常数项为(
)
A.10
B.
C.5
D.
答案：A
解析：由二项式系数之和为32，即，可得，展开式的通项.令，得.所以常数项为，故选A.
4.二项式展开式中，第三项的系数为______；所有的二项式系数之和为________.
答案：40；32
解析：二项式展开式的通项为，当时，第三项的系数为.所有的二项式系数之和为.
5.设n为正整数，的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为_______________.
答案：112
解析：由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得，则的通项为.令，得，则展开式中的常数项为.
4、小结作业
小结：本节课学习了二项式系数的对称性、增减性与最大值，以及运用二项式系数的性质解决相关问题.
作业：完成本节课课后习题.
四、板书设计
6.3.2
二项式系数的性质
二项式系数的性质：
1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.
2.增减性与最大值
因为，即，所以，当时，即时，随的增加而增大；由对称性知，当时，随的增加而减小.
当是偶数时，中间的一项取得最大值；当是奇数时，中间的两项和相等，且同时取得最大值.
3.各项式系数的和
已知，令，得.这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于.