2021-2022学年九年级数学人教版上册第二十一章 21.2.2公式法同步课件（29张PPT）

21.2.2
第二十一章 一元二次方程
【学习目标】
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，
2.掌握公式法解一元二次方程；
3.掌握利用根的判别式△判定一元二次方程根的情况。
【课前预习】
1．对于实数 a，b，定义运算“#”如下：a#b＝a2－ab，如：3#2＝32－3×2＝3，则方程（x＋1）#3＝2的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
2．关于x的一元二次方程x?-(2+m)x+m=0根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
3．关于x的方程（m2﹣1）x2+2（m﹣1）x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
4．一元二次方程2x?-4x-1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
5．关于x的方程kx2+2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞-1且k≠0 B．k≥-1且k≠0 C．k＞-1 D．k≥-1
【课前预习】答案
1．D
2．C
3．A
4．B
5．D
用配方法解下列方程.
(1)6x2-7x+1=0; (2)4x2-3x+16=0.
问题思考
解:(1)移项,得6x2-7x=-1,
二次项系数化为1,得
配方,得
开平方,得
(2)移项,得4x2-3x=-16,
二次项系数化为1,得
配方,得
∴原方程无实数根.
化：把原方程化成 x2＋px＋q = 0 的形式.
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q.
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.
开方：根据平方根的意义，方程两边开平方.
求解：解一元一次方程.
定解：写出原方程的解.
用配方法解一元二次方程的步骤
方程右边是非负数
x2＋px＋ ( )2 = －q＋ ( )2
( x+ )2 =－q＋ ( )2
【思考】如何用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)呢？
ax2＋bx＋c = 0(a≠0)
公式法的概念
1
一元二次方程的一般形式是什么？
【思考】如果使用配方法解出一元二次方程一般形式的根，那么这个根是不是可以普遍适用呢？
用配方法解一般形式的一元二次方程
方程两边都除以a，得
解:
移项，得
配方，得
即
一元二次方程的求根公式
当
?
当 b-4ac ＜0 时，方程有实数根吗？
由上可知，一元二次方程
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ，当 时，将a，b，c 代入式子 ，就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.

公式法的概念
解：∵a=1，b=-4，c=-7,
∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.



例1 用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：
则方程有两个相等的实数根：
（2）2x2-2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
则方程有两个不相等的实数根
（3）5x2-3x=x+1
解：原方程可化为
方程无实数根.
（4）x2+17=8x
解：原方程可化为
方法点拨
（1）当
时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
（2）当
时，一元二次方程有两个相
等的实数根.
（3）当
时，一元二次方程没有实
数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值.
2. 求出 ? 的值.
3. (1)当 ? >0 时，代入求根公式 :
写出一元二次方程的根.
(2)当?=0时，代入求根公式：
写出一元二次方程的根.
（3）当?<0时，方程无实数根.

用公式法解下列方程：
（1） x2＋x－1 = 0 （2） x2－2
（3） 2x2－2x＋1 = 0
x＋3 = 0
观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？
一元二次方程的根的情况
2
【思考】
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3
（3）没有实数根.
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
【发现】b2－4ac的符号决定着方程的解.
（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根：
（1）当b2-4ac＞0 时，有两个不等的实数根：
（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“?”来表示，即?＝b2-4ac.
一元二次方程的根的情况
若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？
当一元二次方程有两个不相等的实数根时， b2-4ac ＞0
当一元二次方程有两个相等的实数根时， b2-4ac = 0
当一元二次方程没有实数根时， b2-4ac ＜ 0
【注意】
一元二次方程的根的情况
例2 不解方程，判断下列方程根的情况：
解：a＝﹣1，b＝ ，c＝﹣6
△= b2-4ac
=24－4×（﹣1）×（-6）=0
该方程有两个相等的实数根
解： 移项，得 x2+4x-2=0
a＝1，b＝4 ，c＝﹣2
△= b2-4ac
=16-4×1×（-2）=24＞0
该方程有两个不相等的实数根
（2）x2+4x=2
（1）
（3）4x2+1=-3x
解：移项，得4x2+3x+1=0，
a＝4，b＝3 ，c＝1
∵ △= b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0
∴该方程没有实数根
解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）
∵ △= b2-4ac
=（-2m）?-4×1×4（m-1）
=4m2-16（m-1）
=4m2-16m+16
=（2m-4）2≥0
∴该方程有两个实数根
（4）x?-2mx+4（m-1）=0


例3 m为何值时，关于x的一元二次方程 2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：
（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0 ∴m=
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0 ∴m＜
∴当m＞ 时，方程有两个不相等的实数根；当m= 时，
方程有两个相等的实数根；当m＜ 时，方程没有实数根
3、判别根的情况，得出结论.
1、化为一般式，确定a,b,c的值.
小结
根的判别式使用方法
2、计算 的值，确定 的符号.
课堂小结
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（ Δ值）；
四判（方程根的情况）；
五代（求根公式计算）.
根的判别式b2-4ac
务必将方程化为一般形式
【课后练习】
1．关于x的一元二次方程x?-(k-3)-k+1=0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
2．小刚在解关于x的方程ax?+bx+c=0(a≠0)时，只抄对了a=2,c=1，，解出其中一个根是x=1．他核对时发现所抄的b比原方程的b值小1，则原方程的根的情况是（ ）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有另一个根是x=-1 D．有两个相等的实数根
3．已知a、b、4分别是等腰三角形三边的长，且a、b是关于的一元二次方程x?-6x+2=0的两个根，则k的值等于（ ）
A．6 B．7 C．-7或6 D．6或7
4．对于函数y=xn+xm，我们定义y=nxn-1+mxm-1（m，n为常数）．例如：y=x4+x?，则y=4x3+2x．已知： ，若方程y=0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．0 B． C． D．1
5．若关于x的一元二次方程x2+5x+m＝0有两个不相等的实数根，且m为正整数，则符合条件的m有（　　）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
6．若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x?-6x+n=0的两个根，则n的值为______．
7．关于x的一元二次方程xm-1+4x-n=0有两个相等的实数根，则m+n的值为_____．
8．已知关于y的一元二次方程(k-1)y?+2y+1=0有实数根，则k的取值范围是__________．
9．已知命题：“关于x的一元二次方程x?+bx+1=0，当b＞0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是___．
10．如果关于x的一元二次方程x?+2x-c=0有两个相等的实数根，那么c=_______
【课后练习】答案
1.A 2．A 3．D 4．D 5．B
6．8或9
7．-1
8．k≤2且k≠1
9．b=1（答案不唯一）
10．-1