二次函数的复习

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一、定义
二、顶点与对称轴
三、解析式的求法
四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系
一、定义
二、顶点与对称轴
四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系
一般地，如果
y=ax2+bx+c(a，b，c
是常数，a≠0)，那么，y
叫做x的二次函数。
三、解析式的求法
一、定义
二、顶点与对称轴
三、解析式的求法
四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系
y=ax2+bx+c
y=a(x+ )2+
b
2a
4ac-b2
4a
对称轴： x= –
b
2a
顶点坐标：（– ， ）
b
2a
4ac-b2
4a
一、定义
二、顶点与对称轴
三、解析式的求法
四、图象位置与
a、b、c、 的
正负关系
解析式 使用范围
一般式 已知任意
三个点
顶点式 已知顶点（h,k)及另一点
交点式 已知与x轴的两个交点及另一个点
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0
c<0
(3)a、b确定对称轴 的位置:
ab>0
ab=0
ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(0,c)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(0,0)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(0,c)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
x=-
b
2a
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
x=-
b
2a
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
x=-
b
2a
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(x1,0)
(x2,0)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
(x,0)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0

a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x=-
b
2a
两根式y=a(x-x1)(x-x2)
对称轴
二次函数图象与x轴的交点为
A(x1,0), B(x2,0);
AB=|x1-x2|=
顶点横坐标=
x
y
o
x2
x1
P
A
B
x1x2>0, 点A,点B在原点同侧
x1x2<0,点A,点B在原点两侧
x
y
o
A
B
x1
x2
A
B
x1
x2
A
B
x1
x2
A
B
x1
x2
根据条件恰当设二次函数解析式：
1.已知顶点在原点：
2.已知顶点在x轴：
3.已知顶点在y轴：
4.已知经过原点，则c值为0
例：已知二次函数
1.关于原点对称：
2.关于x轴对称：
3.关于y轴对称：
例1：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1
2
3
2
例1：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1
2
3
2
解:（1）∵a= —>0
∴抛物线的开口向上
∵y= — (x2+2x+1)-2=—(x+1)2-2
∴对称轴x=-1，顶点坐标M（-1，-2）
1
2
1
2
1
2
例1：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1
2
3
2
解:
(2)由x=0，得y= - -—
抛物线与y轴的交点C（0，- -—）
由y=0，得—x2+x- —=0
x1=-3 x2=1
与x轴交点A（-3，0）B（1，0）
3
2
3
2
3
2
1
2
例1：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1
2
3
2
解
0
x
y
(3)
④连线
①画对称轴
x=-1
②确定顶点

(-1,-2)


(0,-–)
③确定与坐标轴的交点
及对称点


(-3,0)
(1,0)
3
2
例1：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1
2
3
2
解
0

M(-1,-2)


C(0,-–)


A(-3,0)
B(1,0)
3
2
y
x
D
：（4）由对称性可知
MA=MB=√22+22=2√2
AB=|x1-x2|=4
∴ ΔMAB的周长=2MA+AB
=2 √2×2+4=4 √2+4
ΔMAB的面积=—AB×MD
=—×4×2=4
1
2
1
2
例1：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1
2
3
2
解
解
0
x
x=-1


(0,-–)


(-3,0)
(1,0)
3
2
:(5)

(-1,-2)
当x=-1时，y有最小值为
y最小值=-2
当x＜-1时，y随x的增大
而减小;
例1：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
1
2
3
2
解:
0

(-1,-2)


(0,-–)


(-3,0)
(1,0)
3
2
y
x
由图象可知
(6)
当x< -3或x>1时，y > 0
当-3 < x < 1时，y < 0
返回
你能否画出适当的函数图象，求方程
的解？
巩固练习
（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。
（2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________
（3）已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________
（4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= ____。
1
2
（—，-—）
1
25
2
4
x=—
1
2
（0，0）（2，0）
x<1
2
返回
例：已知抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．
分析：此例题给出了三个条件，但实际上要看到此题还有隐含条件，如利用A点关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)，因此可以把问题的条件又充实了，又如已知顶点M到x轴的距离为2，对称轴为x=-1，因此又可以找顶点坐标为(-1，±2)，故可利用顶点坐标式求出函数的解析式，此题的解法不唯一 。
解法(一)：∵抛物线的对称轴是x=-1，顶点M到x轴距离为2，
∴顶点的坐标为M(-1，2)或M′(-1，-2)．
故设二次函数式y=a(x＋1)2＋2
或y=a(x+1)2-2
又∵抛物线经过点A(-3，0)
∴0=a(-3＋1)2＋2或0=a(-3＋1)2-2
所求函数式是
解法(二)：根据题意：
设函数解析式为y=ax2＋bx＋c
∵点A(-3，0)在抛物线上
∴0=9a-3b＋c ①
又∵对称轴是x=-1
解法(三)：∵抛物线的对称轴是x=-1
又∵图象经过点A(-3，0)
　∴点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A′(1，0)
∴设函数式为y=a(x+3)(x-1)
把抛物线的顶点M的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得
　2=a(-1＋3)(-1-1)或-2=a(-1＋3)(-1-1)
解关于a的方程，得
例.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值: (1)a；(2)b；
(3)c；(4)b2-4ac；
(5)2a＋b；
(6)a＋b＋c；
(7)a-b＋c;
(8)a+2b+4c.
例：已知抛物线y=ax2＋bx＋c，其顶点在x轴的上方，它与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A及点B(6，0)．又知方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)两根平方和等于40．
(1)求抛物线的解析式；
(2)试问：在此抛物线上是否存在一点P，在x轴上方且使S△PAB=2S△CAB．如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，说明理由．
1.如图，有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4。
乙：与x轴两个交点A、B点的横坐标
都是整数。
丙：与y轴的交点C点的纵坐标也是整数，
且S⊿ABC= 3。
请你写出满足上述条件的全部特点的所有的
二次函数的解析式为 。
O
C
A
B
x
y
x=4
例：已知：二次函数
y=x2+2ax-2b+1和
y=-x2+(a-3)x+b2-1
的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求 a，b的值．
例．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的负半轴、正半轴分别相交于点A、点B，与y轴的正半轴相交于点C，且线段OB＝2OC＝2OA
① 求代数式abc的值;
② 若直线y=ax+b,经过点C，
求证：对一切实数x,代数式ax2+bx+c的值不大于
例.如果抛物线y= -x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．
(2)若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；
(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
(1)求m的取值范围