2021-2022学年九年级数学人教版上册《21.2解一元二次方程》同步能力提升训练（word解析版）

2021年人教版九年级数学上册《21.2解一元二次方程》同步能力提升训练（附答案）
1．若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝0
2．一元二次方程4x2﹣4x﹣3＝0配方后可化为（　　）
A．（x+）2＝1 B．（x﹣）2＝1 C．（x+）2＝ D．（x﹣）2＝
3．若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜且k≠﹣2 B．k C．k≤且k≠﹣2 D．k
4．关于x的一元二次方程x2﹣mx+（m+1）＝0有两个相等的实数根，则代数式8m﹣2m2+10的值为（　　）
A．18 B．10 C．4 D．2
5．已知m、n、3分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．1 B．﹣2 C．1或2 D．1或﹣2
6．设a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，则a2+b2+a+b的值是　　）
A．0 B．2020 C．4040 D．4042
7．对于代数式x2﹣4x+5，通过配方能说明它有最小值为（　　）
A．5 B．1 C．4 D．9
8．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，且满足x12+x22＝3，则m的值是（　　）
A．0 B．﹣2 C．0 或﹣ D．﹣2或0
9．下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（　　）
A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1
C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0
10．已知直角三角形的两边长是x2﹣7x+12＝0的两个根，则第三边长为（　　）
A．5 B． C．5或 D．7
11．已知m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则代数式m2+mn+3m+n＝　 　．
12．已知一个直角三角形的两条直角边的长是方程2x2﹣10x+9＝0的两个实数根，则这个直角三角形的斜边长是　 　．
13．等腰△ABC的腰和底边分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个不相等的解，则此三角形的周长为　 　．
14．若（a2﹣2a）2﹣9＝0，则代数式a2﹣2a的值为　 　．
15．用公式法解方程：x2﹣5x﹣1＝0．
16．解方程：
（1）x2﹣3x﹣1＝0； （2）x2﹣2x﹣5＝0．
17．用适当方法解下列方程：
（1）x2﹣3x﹣4＝0； （2）6x2﹣13x﹣15＝0；
（3）（3﹣x）2+x2＝9； （4）（y﹣2）2＝3；
（5）（y+）2＝4y； （6）（2x﹣1）（x+3）＝4；
（7）（2y+1）2+3（2y+1）+2＝0．
18．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）设出x1、x2是方程的两根，且x12+x22＝12，求m的值．
19．已知关于x的方程：（k﹣2）x2﹣kx+2＝0．
（1）若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；
（2）证明：无论k取何值，该方程总有实数根．
20．用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为3a2≥0，所以3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有在a＝0时，才能得到这个式子的最大值1．
（1）当x＝　 　时，代数式3（x+3）2+4有最　 　（填写大或小）值为　 　．
（2）当x＝　 　时，代数式﹣2x2+4x+3有最　 　（填写大或小）值为　 　．
（3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是16m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？
参考答案
1．解：∵a（﹣x﹣m+1）2+b＝0，
∴a（x+m﹣1）2+b＝0，
又∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m﹣1）2+b＝0中x﹣1＝2或x﹣1＝﹣1，
解得x1＝3，x2＝0，
故选：D．
2．解：∵4x2﹣4x﹣3＝0，
∴4x2﹣4x＝3，
则x2﹣x＝，
∴x2﹣x+＝+，即（x﹣）2＝1，
故选：B．
3．解：∵关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，
∴k+2≠0且△＝（﹣3）2﹣4（k+2）?1≥0，
解得：k且k≠﹣2，
故选：C．
4．解：根据题意，得△＝（﹣m）2﹣4×（m+1）＝0，
整理，得m2﹣4m＝4，
所以原式＝﹣2（m2﹣4m）+10＝﹣2×4+10＝2，
故选：D．
5．解：①当m、n为腰时，m＝n，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，
∴方程有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（k+2）＝0，
解得：k＝2；
②当m和3（或n和3）是腰时，m＝3，
∵三角形不是等边三角形，
∴此时方程有两个不相等的实数根，
∵m、n是关于x的一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0的两个根，
∴把m＝3代入方程得9﹣12+k+2＝0，
解得：k＝1；
所以k＝1或2，
故选：C．
6．解：∵a，b是方程x2+x﹣2021＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2021、b2+b＝2021、a+b＝﹣1，
∴则a2+b2+a+b＝a2+a）+b2+b）＝2021+2021＝4042．
故选：D．
7．解：由配方法得，x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1．
因为（x﹣2）2≥0，
所以（x﹣2）2+1≥1，
所以代数式x2﹣4x+5的最小值是1．
故选：B．
8．解：∵方程x2+（2m+1）x+m﹣1＝0的两个根分别是x1，x2，
∴x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2＝m﹣1，
∵x12+x22＝3，即（x1+x2）2﹣2x1x2＝3，
∴[﹣（2m+1）]2﹣2（m﹣1）＝3，
解得m＝0或m＝﹣，
∵△＝（2m+1）2﹣4（m﹣1）＝4m2+5＞0，
∴m为任意实数，方程均有实数根，
∴m＝0或m＝﹣均符合题意．
故选：C．
9．解：A、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0没有实数根；
B、方程变形为x2﹣2x+1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有两个相等的实数根；
C、方程变形为x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0，
∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有两个不相等的实数根；
D、∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴一元二次方程x2+1＝0没有实数根．
故选：C．
10．解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣4＝0，
解得x＝3或x＝4，
则直角三角形的两边长为3和4，
当两直角边分别为3和4，则第三边的长＝＝5，
当斜边为4，第三边的长＝＝，
所以此三角形的第三边长为5或，
故选：C．
11．解：∵m、n是方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，mn＝﹣2021，m2+2m＝2021，
∴m2+mn+3m+n＝m2+2m+mn+（m+n）＝2021﹣2021﹣2＝﹣2．
故答案是：﹣2．
12．解：设这两个根分别是m，n，
根据题意可得m+n＝5，mn＝，
根据勾股定理，直角三角形的斜边长的平方＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝25﹣9＝16，
则这个直角三角形的斜边长是4，
故答案为：4．
13．解：解方程x2﹣5x+6＝0，得x1＝2，x2＝3，
当2为腰，3为底时，2﹣2＜3＜3+3，能构成等腰三角形，周长为2+2+3＝7；
当3为腰，2为底时，3﹣2＜3＜3+2，亦能构成等腰三角形，周长为3+3+2＝8．
故周长为7或8，
故答案为7或8．
14．解：（a2﹣2a）2﹣9＝0，
设a2﹣2a＝x，则原方程化为：x2﹣9＝0，
解得：x＝±3，
当x＝3时，a2﹣2a＝3，解得：a＝2或﹣1；
当x＝﹣3时，a2﹣2a＝﹣3，
a2﹣2a+3＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，此方程无解；
所以a2﹣2a的值是3，
故答案为：3．
15．解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴△＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝．
16．解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13．
∴x＝＝，
∴，；
（2）∵x2﹣2x+1＝5+1，
∴（x﹣1）2＝6，
∴，
∴，
∴，．
17．解：（1）x2﹣3x﹣4＝0，
（x﹣4）（x+1）＝0，
x﹣4＝0，x+1＝0，
x1＝4，x2＝﹣1；
（2）6x2﹣13x﹣15＝0，
b2﹣4ac＝（﹣13）2﹣4×6×（﹣15）＝529，
x＝＝，
解得：x1＝，x2＝﹣；
（3）（3﹣x）2+x2＝9；
移项得：（x﹣3）2+x2﹣9＝0，
（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）＝0，
（x﹣3）[（x﹣3）+（x+3）]＝0，
x﹣3＝0，（x﹣3）+（x+3）＝0，
x1＝3，x2＝0；
（4）（y﹣2）2＝3，
开方得：y﹣2＝，
解得：y1＝2+，y2＝2﹣；
（5）（y+）2＝4y，
整理得：y2﹣2y+3＝0，
（y﹣）2＝0，
y﹣＝0，
即y1＝y2＝；
（6）（2x﹣1）（x+3）＝4，
整理得：2x2+5x﹣7＝0，
（2x+7）（x﹣1）＝0，
2x+7＝0，x﹣1＝0，
x1＝﹣3.5，x2＝1；
（7）（2y+1）2+3（2y+1）+2＝0，
（2y+1+2）（2y+1+1）＝0，
2y+1+2＝0，2y+1+1＝0，
y1＝﹣1.5，y2＝﹣1．
18．解：（1）根据题意得：
△＝（2m）2﹣4（m2+m）＞0，
解得：m＜0．
∴m的取值范围是m＜0．
（2）根据题意得：x1+x2＝﹣2m，x1x2＝m2+m，
∵x12+x22＝12，
∴﹣2x1x2＝12，
∴（﹣2m）2﹣2（m2+m）＝12，
∴解得：m1＝﹣2，m2＝3（不合题意，舍去），
∴m的值是﹣2．
19．解：（1）把x＝2代入方程：（k﹣2）x2﹣kx+2＝0，
得：4（k﹣2）﹣2k+2＝0．
解得：k＝3．
由根与系数的关系得x1+x2＝﹣，即2+x2＝﹣＝3，
所以x2＝1；
（2）证明：当k﹣2＝0即＝2时，该方程是﹣2x+2＝0，此时x＝1，符合题意．
当k﹣2≠0，时，△＝b2﹣4ac＝（﹣k）2﹣4（k﹣2）×2＝（k﹣4）2≥0，该方程总有实数根．
综上所述，无论k取何值，该方程总有实数根．
20．解：（1）∵（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，（x+3）2的最小值为0，
则当x＝﹣3时，代数式3（x+3）2+4的最小值为4；
（2）代数式﹣2x2+4x+3＝﹣2（x﹣1）2+5，
则当x＝1时，代数式﹣2x2+4x+3的最大值为5；
（3）设垂直于墙的一边为xm，则平行于墙的一边为（16﹣2x）m，
∴花园的面积为x（16﹣2x）＝﹣2x2+16x＝﹣2（x2﹣8x+16）+32＝﹣2（x﹣4）2+32，
则当边长为4米时，花园面积最大为32m2．
故答案为：（1）﹣3，小，4；
（2）1，大，5；