1.5全称量词与存在量词-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解（Word含答案解析）

全称量词与存在量词知识点总结与例题讲解
知识点讲解
知识点一 全称量词与全称量词命题
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中叫做全称量词,并用符号“false”表示.
含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.
全称量词命题“对M中任意一个false,false成立”可用符号表示为:
false.
读作:对任意false属于M,有false成立.
对全称量词命题的理解:
（1）全称量词命题是陈述集合中所有元素都具有某种性质的命题.
（2）一个全称量词命题可用包含多个变量:如falseR,false≥0.
（3）在某些全称量词命题中,有时全称量词可用省略.例如“长方体是六面体”,它指的是“所有的长方体都是六面体”.
全称量词命题真假的判断
（1）要判断全称量词命题“false”是真命题,需要对集合M中的每个元素false,证明false成立;
（2）要判断全称量词命题“false”是假命题,只需举出一个反例.若在集合M中能找到一个元素false,使false不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.
知识点二 存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词,并用符号“false”表示.
含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在M中的元素false,false成立”可用符号表示为:
false.
读作:存在M中的元素false,使false成立.
对存在量词命题的理解:
（1）存在量词命题是陈述集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题.
（2）一个存在量词命题可用包含多个变量,如falseR,使false.
（3）如果一个命题含有存在量词,不管包含的范围有多大,都是存在量词命题.
存在量词命题真假的判断
（1）要判断存在量词命题“false”是真命题,只需在集合M中找到一个元素false,使false成立即可;
（2）要判断存在量词命题“false”是假命题,需要对集合M中任意一个元素false,证明false都不成立.
知识点三 全称量词命题和存在量词命题的否定
全称量词命题的否定
一般来说,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,我们只需把“所有的” “任意一个”等全称量词,变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说,假定全称量词命题为“false”,则它的否定为“并非false”,也就是“false,false不成立”.用“falsefalse”表示“false不成立”.
对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:
全称量词命题:
false,
它的否定:
false,falsefalse.
也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题.
存在量词命题的否定
一般来说,对含有一个量词的存在量词命题进行否定,我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词,变成“不存在一个”“没有一个”“都”等短语即可.也就是说,假定存在量词命题为“false”,则它的否定为“不存在false,使false成立”,也就是“false不成立”.
对含有一个量词的存在量词命题的否定,由下面的结论:
存在量词命题:
false,
它的否定:
false,falsefalse.
也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题.
重要结论
一个命题的否定仍是一个命题,它和原命题只能一真一假,不能同真同假.
所以,我们判断一个命题的否定是真是假,只需判断原命题的真假即可.
四、例题讲解
例1. 判断下列全称量词命题的真假:
（1）每个四边形的内角和都是false;
（2）任何实数都有算术平方根;
（3）falsefalse,false是无理数.
分析: 要判断全称量词命题“false”是真命题,需对集合false中的每个元素false,证明false成立;要判断全称量词命题“false”是假命题,只需在集合false中找到一个元素false,使false不成立即可.
解:（1）根据多边形内角和定理,四边形的内角和为:false
∴全称量词命题“每个四边形的内角和都是false”是真命题;
（2）∵只有非负实数才有算术平方根
∴全称量词命题“任何实数都有算术平方根”是假命题;
（3）false是无理数,但false是有理数.
∴全称量词命题“falsefalse,false是无理数”是假命题.
例2. 判断下列存在量词命题的真假:
（1）存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直;
（2）至少有一个整数false,使得false为奇数;
（3）falsefalse,false是无理数.
分析: 要判断存在量词命题“false”是真命题,只需在集合false中找到一个元素false,使false成立即可;要判断存在量词命题“false”是假命题,需要对集合M中任意一个元素false,证明false都不成立.
解:（1）菱形是特殊的四边形,它的两条对角线互相垂直.
∴存在量词命题“存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直”是真命题;
（2）∵false为整数,false为偶数
∴存在量词命题“至少有一个整数false,使得false为奇数”是假命题;
（3）∵false是无理数,false也是无理数
∴存在量词命题“falsefalse,false是无理数”是真命题.
例3. 写出下列命题的否定:
（1）falseZ,falseQ;
（2）任意奇数的平方还是奇数;
（3）每个平行四边形都是中心对称图形.
解:（1）falseZ,falseQ;
（2）存在一个奇数,它的平方不是奇数;
（3）存在一个平行四边形不是中心对称图形.
例4. 写出下列命题的否定:
（1）有些三角形是直角三角形;
（2）有些梯形是等腰梯形;
（3）存在一个实数false,它的绝对值不是正数.
解:（1）所有的三角形都不是直角三角形;
（2）所有的梯形都不是等腰梯形;
（3）任意一个实数false,它的绝对值是正数.
例5. 写出下列命题的否定,并判断真假:
（1）任意两个等边三角形都相似;
（2）falseR,false.
解:（1）该命题的否定:存在两个等边三角形,它们不相似.
∵任意两个等边三角形的三边对应成比例
∴任意两个等边三角形都相似.
∴该命题的否定为假命题;
（2）该命题的否定:falseR,false.
∵false对任意falseR恒成立
∴该命题的否定为真命题.
例6. 写出下列命题的否定,并判断真假:
（1）falseR,一元二次方程false有实数根;
（2）每个正方形都是平行四边形;
（3）falseN,falseN;
（4）存在一个四边形ABCD,其内角和不等于false.
分析: 要先判断原命题是全称量词命题还是存在量词命题,任何给出正确的否定.
解:（1）falseR,一元二次方程false没有实数根.
∵false对falseR恒成立
∴一元二次方程false总有两个不相等的实数根
∴该命题的否定为假命题;
（2）存在一个正方形不是平行四边形.是假命题;
（3）falseN,falseN.
∵当false时,falseN
∴该命题的否定为假命题;
（4）任意一个四边形ABCD的内角和等于false.是真命题.
（或所有的四边形ABCD的内角和等于false）
例7. 已知命题false: false,方程false有解,则falsefalse为 【 】
（A）false,方程false无解
（B）false≤0,方程false有解
（C）false,方程false无解
（D）false≤0,方程false有解
解析: 本题考查存在量词命题的否定.
存在量词命题:false,它的否定:falsefalse.存在量词命题的否定为全称量词命题.
选择答案【 A 】.
例8. 已知命题false:false≥3,使得false是假命题,则实数false的最大值是_______.
解析: 本题考查全称量词命题与存在量词命题的求参问题.
重要结论
一个命题的否定仍是一个命题,它和原命题只能一真一假,不能同真同假.
该命题的否定为:false≥3,false≥false.
由题意可知,该命题的否定为真命题.
∴只需false≥false即可.
∴false≤5,即实数false的最大值是5.
例9. 若对false≤false≤2,有false≤0恒成立,则实数false的取值范围是__________.
解析: 本题中的命题为全称量词命题,即false,false≤0恒成立.
由false≤0得:false≤false恒成立,只需false≤false即可.
∵false,∴false.
∴实数false的取值范围是false.
例10. 命题“false,false≥0”的否定是 【 】
（A）false,false （B）false,false≥0
（C）false,false （D）false,false≥0
解析: 把量词“false”变成“false”,并把结论否定即可.
∴选择答案【 C 】.