1.2集合间的基本关系-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解（Word含答案解析）

集合间的基本关系知识点总结与例题讲解
一、本节知识点
（1）Venn图,表示集合的图示法;
（2）子集的含义及表示;
（3）集合相等;
（4）真子集的含义及表示;
（5）空集的含义及其性质;
（6）子集、真子集个数的确定.
知识点一 Venn图
在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图（韦恩图）.这种表示集合的方法叫做图示法.
关于Venn图:
（1）Venn图的边界是封闭的曲线,它可以是椭圆、圆、矩形,也可以是其它的封闭曲线;
（2）用Venn图表示集合的优点是能直观地反映集合之间的关系,缺点是集合元素的共同特征不明显.
知识点二 子集的含义及表示
子集反映的是集合之间的包含关系.
一般地,对于两个集合A , B ,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作（或）,读作“A含于B”（或“B包含A”）.
对子集的理解:
（1）的Venn图表示:
（2）的符号表述:对任意的,都有.
（3）若集合A中存在不属于集合B的元素时,则集合A不是集合B的子集.
子集的性质:
（1）任何一个集合都是它本身的子集（包括后面的空集,即）;
（2）传递性:若,则.
子集的应用
根据集合之间的关系可以确定参数的值或取值范围.
若,在未指明A非空时,要分两种情况进行讨论:
①;
②.
知识点三 集合相等
如果集合A是集合B的子集（）,且集合B是集合A的子集（）,此时集合A与集合B的元素是一样的,集合A与集合B相等,叫做.
上面也即互为子集的两个集合相等.
集合的符号表述:若,且,则.
如何证明两个集合相等
对于两个集合A , B ,若要证明,只需证明与均成立即可.
如何判断两个集合相等
（1）当两个集合为有限集时,若两个集合的元素个数相同,且都含有相同的元素,则这两个集合相等.
（2）当两个集合为无限集时,若两个集合的代表元素满足的条件一致,则两个集合相等.
注意:集合相等与集合的形式无关,形式不同的两个集合也可以相等.
如.
知识点四 真子集的含义及表示
如果集合,但存在元素,且,我们称集合A是集合B的真子集,记作（或）,读作“A真含于B”（或“B真包含A”）.
对真子集的理解:
（1）的Venn图表示:
（2）的符号表述:若,且,则.
（3）若,则B中至少存在一个A中没有的元素.
（4）规定是任何非空集合的真子集,即若,则.
子集与真子集的关系
若,则或.
知识点五 空集的含义及其性质
不含任何元素的集合叫做空集,记作.
空集的性质:
（1）空集是任何集合的子集（包括空集）.
（2）空集的只有一个子集,是空集,即它本身.
（3）空集是任何非空集合的真子集,即若,则.
重要提醒:在由集合间的关系确定参数的值或参数的取值范围时,注意对空集的讨论.
知识点六 子集、真子集个数的确定
若集合A含有个元素,则集合A:
（1）含有个子集;
（2）含有个非空子集;
（3）含有个真子集;
（4）含有个非空真子集.
知识点七 关于集合为空集的重要结论
（1）若集合,则;
（2）若集合,则≥;
（3）若集合或,则≥.
以上结论雅慧你要熟记在心,在解决由集合间的关系确定参数取值范围的问题时要会灵活运用,并注意分类讨论（如关于空集的讨论）.
二、例题讲解
例1. 已知集合,,若,求实数的取值范围.
分析:这是一道由集合间的关系确定参数的取值范围的问题,注意数形结合思想和分类讨论思想的应用.
因为,集合B中含有参数,所以分为两种情况:①;②.对于这种情况,要借助于数轴来完成对参数的约束,从而可以确定参数的取值范围.
最后需要说明的是,参数的取值范围要表示成集合的形式.
解:∵,,∴分为两种情况:
①当时,,解之得:;
②当时,则有:或,解之得:或≤3.
综上,实数的取值范围为.
例2. 已知集合,,若,求实数的取值范围.
分析:需要知道的是由集合间的基本关系可以确定参数的取值范围.
本题在分类讨论时要用到下面的结论:
关于集合为空集的重要结论
（1）若集合,则;
（2）若集合,则≥;
（3）若集合或,则≥.
最后,实数的取值范围最好写成集合的形式.
解:∵,
∴分为两种情况:
①当时,,解之得:;
②当时,则有:,解之得:≤≤2.
综上,实数的取值范围为.
例3. 设集合,,若,则实数的值取值范围为__________.
分析:在进行分类讨论时要做到不重不漏,特别注意不能漏掉对的讨论.解决本题还要明白以下两点:（1）空集是任何集合的子集;（2）空集是任何非空集合的真子集.
解:
∵,
∴分为两种情况:
（1）当时,方程没有实数根
∴,解之得:;
（2）当时,则有或或
①当或时,方程有两个相等的实数根
∴,解之得:
∴符合题意;
②当时,由根与系数的关系定理可得:
解之得:.
综上,实数的值取值范围为.
例4. 已知集合.
（1）若,,求实数的取值范围;
（2）若,,求实数的取值范围;
（3）若,,求实数的取值范围.
解:（1）∵,,∴分为两种情况:
①当时,,解之得:;
②当时,则有:
,解之得:2≤≤3.
综上所述,实数的取值范围是;
（2）∵,,∴
则有:,解之得:3≤≤4
∴实数的取值范围是;
（3）∵
∴,无解,即不存在实数,使得.
例5. 已知集合,,且,求实数的取值范围.
分析:本题的解决要用到关于一元二次方程的结论.
一元二次方程有两个正根的条件是:
一元二次方程有两个负根的条件是:
解:∵,,∴分为两种情况:
①当时,,解之得:;
②当时,方程有两个正实数根,则有:
,解之得:≤.
综上所述,实数的取值范围是.
例6. 已知集合,,若,求实数的取值范围.
解:∵,∴分为两种情况:
①当时,,解之得:;
②当时,方程有两个负实数根,则有:
,解之得:≤.
综上所述,实数的取值范围是.