1.4充分条件与必要条件-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解（Word含答案解析）

充分条件与必要条件知识点总结与例题讲解
一、本节知识点
（1）充分条件与必要条件.
（2）充要条件.
（3）从不同角度理解充分条件、必要条件、充要条件.
二、本节题型
（1）充分条件、必要条件的判断.
（2）充要条件的证明.
（3）充分条件、必要条件和充要条件的探求.
（4）含有参数的充分条件、必要条件、充要条件的应用.
三、知识点讲解.
充分条件与必要条件
一般地,“若false,则false”为真命题,是指由false通过推理可以得出false.这时,我们就说,由false可以推出false,记作
false.
并且说,false是false的充分条件,false是false的必要条件.
如果“若false,则false”为假命题,那么由条件false不能推出结论false,记作false.此时,我们就说,false不是false的充分条件,false不是false的必要条件.
对充分条件的理解
（1）我们说false是false的充分条件,是指由条件false可以推出结论false,但这并不意味着只能由这个条件false才能推出结论false.
一般地,给定结论false,使false成立的条件false不是唯一的.也即若false是false的充分条件,则false不是唯一的.
举例如下:
①若四边形的一组对边平行且相等,则这个四边形是平行四边形;
②若四边形的对角线互相平分,则这个四边形是平行四边形.
上面两个命题均为真命题,它们都是平行四边形的判定定理（未给完）,“四边形的一组对边平行且相等”、“四边形的对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的充分条件.
对必要条件的理解
一般地,要判断“若false,则false”形式的命题中false是否为false的必要条件,只需判断是否有“false”,即“若false,则false”是否为真命题.
我们说false是false的必要条件,是指以false为条件可以推出结论false,但这并不意味着由条件false只能推出结论false.
一般来说,给定条件false,可以推出的结论false并不是唯一的.
举例如下:
①若四边形为平行四边形,则这个四边形的一组对边平行且相等;
②若四边形为平行四边形,则这个四边形的对角线互相平分.
上面两个命题均为真命题,由“四边形是平行四边形”可以推出“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”（未给完）,即“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”都是“四边形是平行四边形”的必要条件.
充分不必要条件和必要不充分条件
（1）若false,但false,则false是false的充分不必要条件.
（2）若false,但false,,则false是false的必要不充分条件.
举例如下:
①若false,则false.由false可以推出false,但false不能推出false,所以false是false的充分不必要条件;
②若false,则false.由false不能推出false,但由false可以推出false,所以false是false的必要不充分条件.
辨析 在具体解题时,要注意分清什么是条件,什么是结论.如“A是B的什么条件”中,A是条件,B是结论;而“A的什么条件是B”中,A是结论,B是条件.
充要条件
如果“若false,则false”和它的逆命题“若false,则false”均为真命题,即既有false,又有false,就记作
false.
此时,false既是false的充分条件,也是false的必要条件,我们说false是false的充分必要条件,简记为充要条件.
显然,如果false是false的充要条件,那么false也是false的充要条件.即false与false互为充要条件.
充要条件的证明
一般地,证明“false的充要条件是false”时,既要证明充分性,还要证明必要性.在证明充分性时,应以false为条件,推出结论false,即false;在证明必要性时,应以false为条件,推出结论false,即false.
注意 “false的充要条件是false”和“false是false的充要条件”是不一样的.
“false的充要条件是false”即“false是false的充要条件”.
从命题的角度理解充分必要性
若把原命题的条件和结论分别记作false和false,则有:
（1）若原命题为真命题,逆命题为假命题,则false是false的充分不必要条件;
（2）若原命题为假命题,逆命题为真命题,则false是false的必要不充分条件;
（3）若原命题与逆命题均为真命题,则false是false的充要条件;
（4）若原命题与逆命题均为假命题,则false是false的既不充分也不必要条件.
从集合的角度理解充分必要性
设非空集合false,false.
（1）若false,则false是false的充分条件,若false,则false是false的充分不必要条件;
（2）若false,则false是false的必要条件,若false,则false是false的必要不充分条件;
（3）若false,则false是false的充要条件.
在解决含有参数的充分必要性问题时,把问题转化为集合之间的基本关系问题进行解决.
例题讲解
例1. 设falseR,则“false是false”的 【 】
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析 本题考查充分必要条件的判断,应弄清什么是条件,什么是结论.在“A是B的什么条件”中,A是条件,B是结论.
绝对值则不等式false同解于false,解之得:false.
显然,由false可以推出false,但由false不能推出false,所以false是false的充分不必要条件.
∴选择答案【 A 】.
方法总结 判断充分必要条件的基本思路
（1）先确定条件是什么,结论是什么;
（2）尝试用条件推结论,或由结论推条件;（必要时举出反例）
（3）指出条件是结论的什么条件.
例2. 已知集合false,false,“false”是“false”的必要条件,则实数false的取值范围是__________.
解析 本题以集合为出题背景,考查已知充分必要条件,求参数的取值范围,应从集合的角度理解充分必要条件,把问题转化为集合之间的基本关系进行求解.
由题意可知,false,即false,则有:
false,解之得:false≤false≤5.
∴实数false的取值范围是false.
例3. 若“false”是“false”的必要不充分条件,则实数false的取值范围是__________.
解析 设false,false.
由题意可知:false.
∴false≤false,解之得:false≤false≤1.
∴实数false的取值范围是false.
例4. 已知false:false,false:false,若false是false的充分条件,则false的取值范围是 【 】
（A）false （B）false （C）false （D）false
解析 解不等式false得:false
由题意可知:false
∴false≥1.
∴选择答案【 D 】.
例5. “四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的 【 】
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析 显然,原命题“若四边形的对角线互相垂直,则四边形是菱形”是假命题,其逆命题“若四边形是菱形,则四边形的对角线互相垂直”是真命题.
∴“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件.
∴选择答案【 B 】.
例6. 设false:1≤false,false:false.若false是false的充分条件,则实数false的取值范围是__________.
解析 由题意可知:false.
∴false≥4.
∴实数false的取值范围是false.
例7. 设falseR,则false的一个必要不充分条件是 【 】
（A）false （B）false （C）false （D）false
解析 这里,false作为结论.
设false,则false的一个必要不充分条件构成集合A,显然,false.
∴只有【 A 】选项符合题意.
∴选择答案【 A 】.
例8. 设falseR,则“false”是“false”的 【 】
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
解析 解绝对值不等式false得:false.
false,即false,∴false.
∵false,∴false,∴false,即不等式false的解集为false.
显然,“false”false“false”,但“false” 不能推出“false”.
∴“false”是“false”的充分不必要条件.
∴选择答案【 A 】.
例9. 求证:方程false的两个根均大于1的充要条件是false.
分析 本题考查充要条件的证明.
由题意可知,本题即证明false是方程false的两个根均大于1的充要条件,即条件为false,结论是方程false的两个根均大于1.
一般地,证明“false的充要条件是false”时,既要证明充分性,还要证明必要性.在证明充分性时,应以false为条件,推出结论false,即false;在证明必要性时,应以false为条件,推出结论false,即false.
本题还涉及到一元二次方程实数根的K分布问题,有下面的结论:
若一元二次方程false的两个实数根均大于实数false,则有:
false
证明: 充分性: ∵false
∴false
∴该方程有两个不相等的实数根,分别设为false,则有
false
false
∴false,即false.
∴方程false的两个根均大于1.
必要性: ∵方程false的两个根均大于1
∴false,解之得:false.
综上所述,方程false的两个根均大于1的充要条件是false.