2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解（含答案）

二次函数与一元二次方程、不等式知识点总结与例题讲解
一、本节知识点
（1）一元二次不等式的概念.
（2）三个二次的关系.
（3）一元二次不等式的解法.
知识点拓展:
（4）分式不等式的解法.
（5）高次不等式的解法.
二、本节题型
（1）解不含参数的一元二次不等式.
（2）解含参数的一元二次不等式.
（3）三个二次之间的关系.
（4）简单高次不等式、分式不等式的解法.
（5）不等式恒成立问题.
（6）一元二次不等式的应用.
三、知识点讲解.
知识点 一元二次不等式的概念
我们把只含有1个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.即形如（≥0）或（≤0）（其中）的不等式叫做一元二次不等式.
元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,叫做这个一元二次不等式的解集.
注意 一元二次不等式的解集要写成集合或区间的形式.
知识点 三个二次的关系
一元二次不等式的解集、一元二次方程的解以及二次函数的图象之间有着紧密的联系.
一元二次方程与二次函数的关系是:
（1）当≥0时,一元二次方程有实数根,二次函数的图象与轴有交点,且方程的解是交点的横坐标,交点的横坐标亦是方程的解;
①当时,一元二次方程有两个不相等的实数根,二次函数的图象与轴有两个不同的交点;
②当时,一元二次方程有两个相等的实数根,二次函数的图象与轴只有一个交点（即抛物线的顶点）.
（2）当时,一元二次方程无实数根,二次函数的图象与轴没有交点.
具体关系见下页表（1）所示.
一元二次不等式与二次函数的关系是:
（1）一元二次不等式（≥0）的解集就是二次函数的图象位于轴上方（包括轴）的部分所对应的自变量的取值范围;
（2）一元二次不等式（≤0）的解集就是二次函数的图象位于轴下方（包括轴）的部分所对应的自变量的取值范围.
由表可知 一元二次不等式的解集的端点值就是对应的一元二次方程的解.
知识点 一元二次不等式的解法
解一元二次不等式的一般步骤是:
（1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数;
（2）计算的值,并判断的符号;
（3）当≥0时,求出相应的一元二次方程的根;
（4）画出对应的二次函数的简图;
（5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集.
注意 一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系.
其中,①当时,一元二次不等式的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”;
②当时,一元二次不等式的解集为;一元二次不等式的解集为;
③当时,一元二次不等式的解集为R;一元二次不等式的解集为.
表（1）一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:
判别式


二次函数
的图象（）


图象说明 图象与轴有两个不同的交点 图象与轴只有一个交点（顶点在轴上） 图象与轴没有交点
一元二次方程 的解 有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
没有实数根
的解集

R
的解集


一元二次不等式在R上恒成立的问题
（1）在R上恒成立,则有:或;
（2）在R上恒成立,则有:或;
（3）一元二次不等式≥0在R上恒成立,则有:;
（4）一元二次不等式≤0在R上恒成立,则有:.
补充概念 二次函数的零点
我们把使一元二次方程的实数叫做二次函数的零点.
对零点的理解
（1）二次函数的零点即相应一元二次方程的实数根;
（2）根据数形结合,二次函数的零点,即二次函数的图象与轴的交点的横坐标,且交点的个数等于零点的个数;
（3）并非所有的二次函数都有零点.当≥0时,一元二次方程有实数根,相应二次函数存在零点.
知识点 分式不等式的解法
分式不等式的概念
分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式.
利用不等式的性质,可将分式不等式化为以下标准形式:
①; ②≥0; ③; ④≤0.
分式不等式的解法
解分式不等式的思路是把其转化为整式不等式求解.
解分式不等式时,要先把分式不等式转化为标准形式.
各标准形式的分式不等式的解法为:
（1）与不等式组或同解,与不等式同解;
（2）≥0与不等式组同解;
（3）与不等式组或同解,与不等式同解;
（4）≤0与不等式组.
由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解.
知识点 高次不等式的解法
解高次不等式,一般用“数轴标根法”,也叫“穿根引线法”,其步骤如下:
（1）把高次不等式化为左边是几个因式的乘积,右边是0的形式,注意每个因式最高次项的系数必须为正;
（2）把不等号换成等号,求出所得方程的所有实数根;
（3）标根: 把各个实数根在数轴上标出;
（4）画穿根线: 从“最右根”的右上方穿过根,往左下画线,然后又穿过“次右根”上去,如此一上一下依次穿过各根.但要注意偶次根不穿过,即奇过偶不过;
（5）写出解集: 若不等号为“ > ”,则取数轴上方穿根线以内的范围;若不等号为“ < ”,则取数轴下方穿根线以内的范围.
四、例题讲解
例1. 解不等式.
分析 先把不等式的二次项系数化为正数,再进行求解.注意不等式的解集要写成区间或集合的形式.
解: 原不等式可化为:.
对于方程,∵
∴该方程有两个不相等的实数根,解之得:.
∴不等式的解集为.
点评 在求解一元二次不等式时,先观察二次项系数是否为正,若为负,则先把不等式的二次项系数化为正数（利用不等式的基本性质）.
例2. 已知关于的不等式的解集为,求不等式的解集.
分析 先根据一元二次不等式与相应一元二次方程之间的关系,利用根与系数的关系定理,求出的值.
注意 一元二次不等式的解集的端点值是对应一元二次方程的根.
解: 由题意可知:.
∵关于的不等式的解集为
∴是方程的两个实数根
由根与系数的关系定理可得:
,解之得:.
∴即
∴,解之得:.
∴不等式的解集为.
例3. 一元二次不等式的解集为 【 】
（A） （B）
（C） （D）
分析 本题可用数轴标根法求解.使用该方法时,要把乘积中所有因式的最高次项的系数化为正数.
解: 原不等式可化为:.
∵方程的根为.
∴不等式的解集为,即原不等式的解集.
∴选择答案【 C 】.
例4. 已知不等式的解集为空集,则实数的取值范围是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
分析 本题考查一元二次不等式与相应的二次函数之间的关系,同时问题还可以转化为一元二次不等式恒成立的问题.
不等式的解集为空集,即相应的二次函数的图象位于轴上及其上方,或者不等式≥0在R上恒成立.
解: ∵不等式的解集为空集
∴≤0,解之得:≤≤4.
∴实数的取值范围是.
∴选择答案【 A 】.
例5. 若关于的不等式的解集为,则实数的取值范围是 【 】
（A） （B）
（C） （D）
分析 本题由题意可知:.
解: ∵
∴.
∵其解集为
∴.
∴实数的取值范围是.
∴选择答案【 D 】.
例6. 已知函数的定义域为,则实数的值为_________,实数的值为_________.
解: ∵函数的定义域为
∴一元二次不等式≥0的解集为.
由根与系数的关系定理可得:
,解之得:.
∴实数的值为,实数的值为3.
例7. 已知函数.
（1）当时,求不等式的解集;
（2）若的解集为,,求的最小值.
解:（1）时,.
∵,∴
解之得:或.
∴不等式的解集为;
（2）∵的解集为
∴,且,解之得:.
∵,∴,.
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.此时,符合题意.
∴的最小值为9.
例8. 解关于的不等式（）.
分析 本题考查含有参数的一元二次不等式的解法.当二次项系数含有参数时,要对二次项系数的正负进行讨论（一元二次不等式解集的结构与二次项系数的符号有关）.
解: ∵,∴
∴.
∵,∴分为两种情况:
①当时,原不等式的解集为;
②当时,原不等式的解集为.
综上所述,当当时,原不等式的解集为,当时,原不等式的解集为.
另解: 解方程（）得:.
分为两种情况:
①当时,原不等式的解集为;
②当时,原不等式的解集为.
综上所述,当当时,原不等式的解集为,当时,原不等式的解集为.
点评 不等式（）可化为.当时,根据不等式的性质可知,原不等式同解于不等式;当时,原不等式同解于不等式.
例9. 若对于,≤恒成立,则实数的取值范围是 【 】
（A） （B）
（C） （D）.
解: ∵≤恒成立
∴只需≥即可.
∵
∴≤.
当且仅当,即时,等号成立.
∴.
∴≥,即实数的取值范围是.
∴选择答案【 D 】.
例10.（1）若关于的不等式（R）的解集为（R）,求的值;
（2）解关于的不等式（R）.
解:（1）由题意可知:.
一元二次方程的根为.
由根与系数的关系定理可得:,解之得:.
∴的值为1,的值为2;
（2）∵（R）
∴.
当时,原不等式为,解之得:.
∴原不等式的解集为;
当时,原不等式可化为.
①若,则原不等式的解集为;
②若时,原不等式同解于,且
∴原不等式的解集为;
③若,原不等式为,其解集为;
④若,则,则原不等式的解集为.
综上所述,当时, 原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
例11.已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为,求实数的值;
（2）若不等式恒成立,求实数的取值范围.
解:（1）由题意可知:.
一元二次方程的根是.
由根与系数的关系定理:
,解之得:.
∴实数的值为;
（2）当时,恒成立,符合题意;
当时,由题意可知:
,解之得:.
综上所述,实数的取值范围为.
例12. 若1≤≤4,不等式≥恒成立,求实数的取值范围.
分析 本题考查一元二次不等式在给定闭区间上的恒成立问题,要把问题转化为相应二次函数在闭区间上的最值问题.
解: ∵≥
∴≤.
∵1≤≤4
∴当时,显然≤成立,∴R;
当≤4时,
∴≤恒成立,只需≤即可.
∵≥.
当且仅当,即时,等号成立.此时,符合题意.
∴≤4.
综上所述,实数的取值范围是.
例13. 已知不等式.
（1）当R时不等式恒成立,求实数的取值范围;
（2）当时不等式恒成立,求实数的取值范围.
解:（1）当时,恒成立,符合题意;
当时,则有,解之得:.
综上,实数的取值范围是;
（2）当时,显然时,恒成立,符合题意;
当时,.
若,显然恒成立,此时R;
若≤3,则
∴恒成立,只需即可.
∵≥
∴.
综上所述,实数的取值范围为.
例14. 解关于的不等式≥0.
解: 当时,≥0,解之得:≤0.
∴原不等式的解集为;
当时,原不等式可化为≥0
∴≥0.
方程的两个实数根分别为.
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式同解于≤0,且.
∴原不等式的解集为.
综上所述,当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
例15. 已知关于的不等式.
（1）当时,解不等式;
（2）当R时,解不等式.
解:（1）当时,
∴
∴.
解之得:或.
∴原不等式的解集为;
（2）原不等式可化为.
当时,,解之得:.
∴原不等式的解集为;
当时,原不等式可化为
∴.
方程的根为.
当时,原不等式同解于,且.
∴原不等式的解集为;
当时,原不等式同解于.
①若,则,∴原不等式的解集为;
②若,则,∴原不等式的解集为;
③若,则,∴原不等式的解集为.
综上所述,当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
例16. 已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集为,求实数的取值;
（2）若不等式的解集为R,求实数的取值范围.
解:（1）由题意可知:.
一元二次方程的两个实数根分别为.
由根与系数的关系定理可得:
,解之得:.
∴实数的值为;
（2）当时,原不等式的解集为,不符合题意;
当时,则有:,解之得:.
综上所述,实数的取值范围是.
例17. 已知≥0恒成立,解关于的不等式.
解:∵≥0恒成立
∴当时,1≥0恒成立,符合题意;
当时,则有:,解之得:≤1.
综上,实数的取值范围是.
对于不等式
当0≤≤1时,原不等式可化为
∴,方程的根为.
①若≤1,则,∴原不等式的解集为;
②若,则,∴原不等式的解集为;
③若,则,∴原不等式的解集为.
综上所述,对于不等式:
当≤1时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当0≤时,不等式的解集为.
例18. 不等式≤0的解集为,则 【 】
（A） （B） （C）1 （D）3
解: 原不等式可化为≥0,同解于.
方程的解为.
∵该不等式的解集为
∴,或,∴或.
∴.
∴选择答案【 B 】.
例19. 已知函数（为常数）,且方程的两个根为,.
（1）求的值;
（2）设,解关于的不等式.
解:（1）由题意可得:
,整理得:,解之得:.
∴的值为,的值为2;
（2）由（1）可知:.
∵,∴.
∴.
原不等式同解于.
∵
∴当时,原不等式的解集为;
当时,,原不等式的解集为;
当时,原不等式的解集为.
综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.
例20. 已知集合,.
（1）当时,求;
（2）若,求实数的取值范围.
解:（1）当时
∵,
∴;
（2）∵R,恒有,
∴.
当,即时,.
∵,∴,解之得: 2≤≤3.
∴实数的取值范围是;
当,即时,,显然不符合题意;
当,即时,.
∵,∴,解之得: ≤≤.
∴实数的取值范围是.
综上所述,实数的取值范围是.
例21. 已知不等式.
（1）若对任意实数不等式恒成立,求实数的取值范围;
（2）若对于0≤≤4不等式恒成立,求实数的取值范围.
解:（1）∵
∴.
∵对任意实数不等式恒成立
∴,解之得: .
∴实数的取值范围是;
（2）∵
∴.
∵对,不等式恒成立
∴,解之得:且.
∴实数的取值范围是.
点评 解决恒成立问题时一定要清楚谁是主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数,构造以主元为变量的函数,根据主元的取值范围求解.
例22. 设,求使,且≤1恒成立的的取值范围.
解: ∵,≤1,∴,.
∴对恒成立.
设,则有:
,解之得:.
∴实数的取值范围是.
重要结论 一次函数在区间上的恒成立问题:
（1）若恒成立,则;
（2）若恒成立,则.
例23. 设函数,若对于,恒成立,求的取值范围.
解: ∵在上恒成立
∴在上恒成立.
令,只需即可.
函数图象的对称轴为直线.
当时,在上单调递增
∴,解之得:.
∴;
当时,在上单调递减
∴,解之得:.
综上所述,的取值范围是.
另解: ∵在上恒成立
∴在上恒成立.
∵
∴在上恒成立.
只需即可.
∵
∴的取值范围是.
例24. 已知集合,对于任意的,使不等式恒成立的的取值范围是_____________.
解: .
∵当时,不等式恒成立
∴恒成立.
设,则有:
,解之得:或.
∴的取值范围是.
例25. 对一切实数,不等式≥0恒成立,则实数的取值范围是_____________.
解: 当时,显然对R成立;
当时,≥,只需≥即可.
∵≤
∴,
∴≥.
∴实数的取值范围是.
例26. 已知,且≥0恒成立,则实数的取值范围是_____________.
解: ∵,∴.
∵≥0恒成立
∴≤恒成立,只需≤即可.
∵≥（当且仅当时,等号成立）
∴,∴≤24,解之得:≤5.
∴实数的取值范围是.
例27. 已知,对任意正实数,不等式≥恒成立,求实数的取值范围.
解: ∵,∴.
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为
∵不等式≥恒成立
∴≥
∴≥,解之得:≥.
∴实数的取值范围是.
例28. 若关于的不等式的解集为R,则实数的取值范围是_____________.
解: ∵在R上恒成立
∴原不等式同解于不等式,其解集为R
当时, 在R上恒成立,符合题意;
当时,则有:,解之得:.
综上所述,实数的取值范围是.