2.2 基本不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解（Word含答案解析）

基本不等式知识点总结与例题讲解
一、本节知识点
（1）基本不等式.
（2）利用基本不等式求最值.
（3）基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式.
二、本节题型
（1）利用基本不等式求最值.
（2）利用基本不等式证明不等式.
（3）基本不等式的实际应用.
（4）与基本不等式有关的恒成立问题.
三、知识点讲解
知识点 基本不等式（均值不等式）
一般地,R,有
≥.
当且仅当时,等号成立.
特别地,当时,分别用代替上式中的,可得
≥.
当且仅当时,等号成立.
通常称不等式≥为基本不等式（也叫均值不等式）,其中叫做正数的算术平均数,叫做正数的几何平均数.
基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
注意 重要不等式≥与基本不等式≥成立的条件是不一样的.前者为任意实数,后者只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是.
基本不等式的变形
（1）≥,≤.其中R+,当且仅当时,等号成立.
（2）当时,≥2,当且仅当,即时,等号成立;
当时,≤,当且仅当时,等号成立.
实际上,当时,.
∵≥2,∴≤,即≤.当且仅当,即（）时,等号成立.
（3）当同号时,≥2,当且仅当时,等号成立;当异号时,≤,当且仅当时,等号成立.
（4）不等式链: ≤≤≤（,当且仅当时,等号成立.）
其中,,,,分别叫做正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数.
知识点 利用基本不等式求最值
设,则有
（1）若（和为定值）,则当时,积取得最大值;
（∵ R+,有≤,∴≤.）
和定积最大.
（2）若（积为定值）,则当时,和取得最小值.
（∵ R+,有≥,∴≥.）
积定和最小.
说明 上述结论可简记为: 和定积最大,积定和最小.即两个正数的和为定值时,可求出其积的最大值;两个正数的积为定值时,可求出其和的最小值.
利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等.
一正: 各项都必须为正数;
二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值;
三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足.
（1）对于函数,当时,≥,即≥4,当,即时,等号成立;当时,≤,≤,当时,等号成立.
由此可见,对于函数,和的最值情况是不一样的.
（2）当时,求的最大值时,与的和不是定值,无法利用基本不等式求最值,此时可对原式进行等价变形,变形为,即可求出其最大值.
∵≤
∴的最大值为,当且仅当,即时,取得最大值.
（3）求的最小值时,虽然与都是正数,且乘积为定值1,但是当时,有,显然是不成立的,所以此时不能用基本不等式求其最小值.
知识点 基本不等式的拓展——三个正数的基本不等式
一般地,R+,有
≥.
当且仅当时,等号成立.
上面的不等式表明:三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
设,则有
（1）若,则当时,和取得最小值为;
（2）若,则当时,积取得最大值.
关于三个正数的不等式链
若均为正数,则有
≤≤≤.
当且仅当时,等号成立.
个正数的基本不等式
对于个正数,则有
≥.
当且仅当时,等号成立.
上面的不等式表明: 对于个正数（≥2）的算术平均数不小于它们的几何平均数.
四、例题讲解
例1. 若,证明: ≤≤≤.
分析: 本题即要求证明两个正数的不等式链.
证明: ∵
∴≥0
∴≥
∴≤（当且仅当时,等号成立）
∴≥
∴≤（当且仅当时,等号成立）.
∵≥
∴≥
∴≥
∴≤,即≤.
∴根据正数可开方性得:≤.
∴≤（当且仅当时,等号成立）.
综上所述,≤≤≤.
例2. 函数（）的最小值为_________,此时_________.
解: ∵
∴≥,即≥3.
当且仅当,即时,取等号.
∴当时,函数（）取得最小值3.
例3. 已知,求的最小值.
分析: 当利用基本不等式求最值时,若两项的乘积为定值（常数）,可求出两项和的最小值.当然,某些式子需要进行适当的变形,但要注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.
解: ∵,∴.
∴≥,当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为7.
例4. 已知,且,则的最小值是_________.
解: ∵,∴.
∵,∴,∴.
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值是3.
另解: ∵,∴.
∵,∴
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值是3.
例5. 已知,且,求的最小值.
解: ∵,
∴≥.
当且仅当,且,即时,等号成立.
∴的最小值为.
点评 本题若由≥,得的最小值为,则结论是错误的,错因是连续使用基本不等式时,忽视了等号成立的条件一致性.
所以有下面的警示.
易错警示 连续两次（多次）使用基本不等式时,应注意保证等号成立的条件是否相同.
例6. 已知,且,求的最小值.
解: ∵,
∴≥.
当且仅当,且,即时,等号成立.
∴的最小值为16.
另解（消元法）: ∵,∴
∵,∴,∴.
∴
≥.
当且仅当,且,即时,等号成立.
∴的最小值为16.
例7. 若正数满足,则的最小值是 【 】
（A） （B） （C）5 （D）6
解: ∵,∴.
∵均为正数
∴
≥.
当且仅当,且,即时,等号成立.
∴的最小值是5.
∴选择答案【 C 】.
例8.（1）已知,求代数式的最小值;
（2）已知,求代数式的最大值.
分析: 本题考查利用基本不等式求代数式的最值.注意三个必须满足的条件:一正、二定、三相等.
解:（1）∵,∴.
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴代数式的最小值为5;
（2）∵,∴.
∴
≤
当且仅当,即时,等号成立,取得最大值1.
例9. 已知实数,且,则的最小值是 【 】
（A） （B） （C）3 （D）2
解: ∵
∴,整理得:.
∵
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值是.
∴选择答案【 B 】.
另解: .
∵,
∴
≥.
当且仅当,且,即时,等号成立.
∴的最小值是.
例10. 设,且,则的最小值为 【 】
（A） （B）2 （C） （D）3
解: ∵
∴,∴.
∵
∴
≥.
当且仅当,且,即时,等号成立.
∴的最小值为.
∴选择答案【 A 】.
另解: ∵,∴.
∵,∴,解之得:.
∴的取值范围为.
.
设
∵,∴.
∴当时,.
∴选择答案【 A 】.
例11. 代数式（）的最小值为 【 】
（A）2 （B）7 （C）9 （D）10
分析: 形如的式子可化为的形式.
解: 可设.
∴
∴,解之得:.
∴.
∴
∵,∴
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴代数式（）的最小值为9.
∴选择答案【 C 】.
另解:
.
∵,∴
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立,.
∴选择答案【 C 】.
例12. 求函数的最小值.
解: ∵
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立..
例13. 已知函数（）在时取得最小值,则______.
解: ∵
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立,函数取得最小值.
∴,解之得:.
实际上,函数（）,当时,函数取得最小值.所以,从而求得.
例14. 设正实数满足,若恒成立,则实数的取值范围是_____________.
分析: 利用基本不等式可求出的最小值.要使恒成立,只需即可.
解: ∵为正实数,
∴
∴≥
当且仅当,即时,等号成立.
∴.
∵恒成立
∴只需即可
∴,解之得:.
∴实数的取值范围是.
例15. 已知（）,求的最大值.
分析: 当两个正数的和为定值S时,这两个正数的乘积在两个正数相等时取得最大值,简称为：和定积最大.
本题中,观察到为定值,故考虑用基本不等式求函数的最大值,但要对原解析式解析等价变形.
解: ∵,∴
∴≤.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最大值为.
另解: ∵,∴
∴≤.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最大值为.
例16. 求代数式（）的最大值.
分析: 形如的式子可化为的形式.
解: ∵,∴.
∴
≤
当且仅当,即时,等号成立.
∴代数式（）的最大值为0.
注意 使用基本不等式法求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等.
例17. 已知,求的最大值.
解: ∵,∴.
∴≤.
当且仅当,即时,等号成立.
∴.
例18. 设,若≥恒成立,则的最大值为_________.
分析: 只需≥即可,这样问题就转化为求的最小值的问题.
解: .
∵,∴
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.（注意,当时,）
∴的最小值为8.
∵≥恒成立
∴≤8,的最大值为8.
另解: ∵,∴
∴
≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为8.
∵≥恒成立
∴≤8,的最大值为8.
例19. 若对任意,≤恒成立,则实数的取值范围是_________.
解: ∵
∴≤
当且仅当,即时,等号成立.
∴.
∵对任意,≤恒成立
∴≥.
∴≥,即实数的取值范围是.
例20. 已知,,若≥恒成立,则实数的最大值是__________.
分析: 可求出的取值范围,根据范围确定其最大值.这种方法叫做不等分析法.
解: ∵
∴.
∵
∴≤
∴≤1,∴≥8.
当且仅当,即时,等号成立..
∵≥恒成立
∴≤,即≤8,解之得:≤10.
∴实数的最大值是10.
例21. 若不等式≥（常数）对一切正实数恒成立,求实数的取值范围.
解: ∵,
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴.
∵≥对一切正实数恒成立
∴只需≥即可
∴≥,解之得:≥.
∴实数的取值范围是.
方法总结 解决与不等式恒成立有关的问题,把参数从不等式中分离出来,使不等式的一端是含有参数的代数式,另一端是一个具体的函数,这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式,便于问题的解决.
例22. 已知是正实数,且,则的最小值是_________,的最小值是_________.
解: ∵
∴,∴.
∵是正实数
∴
≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为.
∵是正实数,
∴≤
∴≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值是.
例23. 已知,且,则的最大值是_________,的最小值是_________.
解: ∵,
∴≤
∴≤,当且仅当,即时,等号成立.
∴的最大值是.
∵,∴.
∴
≥.
当且仅当,即时取等号.
∴的最小值是.
例24. 要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是，平方米10元,则该容器的最低总造价是 【 】
（A）80元 （B）120元 （C）160元 （D）240元
解: 由题意可知:该容器的底面积为4 m2,设底面长为m,则底面宽为m,容器的总造价为元.则有
≥（元）
当且仅当,即时,等号成立.
∴该容器的最低总造价是160元.
∴选择答案【 C 】.
例25. 设,,则的最小值为_________.
解: ∵
∴.
≥.
当且仅当,且,即或时,等号成立.
∴的最小值为.
注意 注意与下面的例25做比较.
例26. 设,且,则的最小值为_________.
分析: 利用基本不等式求最值时,一定要满足三个条件:一定、二正、三相等.
∵,∴≥.
当且仅当时,等号成立,此时无实数解.
∴上面的等号是取不到的,即的最小值不是2.
解: ∵,且
∴≤,∴≤.
设,则.
∵在上单调递减
∴.
∴的最小值为.
例27. 设,求代数式的最大值.
解: ∵
∴
∴≤
当且仅当,即时,等号成立.
∴代数式的最大值.
例28. 已知,求证:≥8.
证明: ∵
∴≥,≥,≥.
当且仅当时,上面三个等号同时成立.
∴≥.
当且仅当时,等号成立.
例29. 已知,且.
求证:≥9.
证明: ∵,
∴

≥
当且仅当时,等号成立.
例30. 已知正数满足,求的最小值.
解: ∵
∴.
∵均为正数
∴
≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为.
例31. 若实数,且满足,则的最小值为______.
解: ∵
∴.
∵,∴.
∴

≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为4.
例32. 已知,且,则的最小值为 【 】
（A）5 （B）6 （C）7 （D）8
（参见例9）
解: .
∵,且
∴

≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为5.
∴选择答案【 A 】.
另解: ∵,∴.
整理得:.
∵
∴≥.
当且仅当,即（此时）时,等号成立.
∴的最小值为5.
∴选择答案【 A 】.
点评 在利用基本不等式求最值时,根据需要有时要对关键条件进行变形,或对要求最值的代数式进行变形,以使和为定值或积为定值.
例33. 已知,求的最小值.
分析: 注意到,所以≤,这样就消去了字母,因此≥≥4.当且仅当时,等号成立.
解: ∵
∴≤（当且仅当时,等号成立）
∴,.
∴≥≥.
当且仅当,,即时,等号成立.
∴的最小值是8.
另解: ∵,∴.
∵≥（这里,≤）（当且仅当时,等号成立）
∴≥≥.
（当且仅当,即时,等号成立）
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值是8.
例34. 若,且,求证:≥4.
证明: ∵,∴.
∵
∴≥.
当且仅当,即或时,等号成立.
∴≥4.
例35. 已知为正数,求证:≥.
证明: ∵为正数,∴.
∴
≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴≥.（这里,）
★例36. 若,.求证:≥.
分析: 注意到这一隐含条件.
证明: ∵,∴.
∴
≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴≥.
例37. 已知均为正数.求证:≥3.
证明: ∵均为正数
∴
≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴≥3.
例38. 已知,,则的最小值为 【 】
（A） （B） （C） （D）4
分析: 注意到,根据题目所给条件的特点可先求出,然后开方即可得到,而.
解: ∵,∴.
∵,∴.
∴
≥.
当且仅当,即（）时,等号成立.
∴的最小值为18.
∴的最小值为.
∴选择答案【 C 】.
例39. 已知,且,则的最大值是_________.
解: ∵,
∴
≤.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最大值是.
例40. 已知,则的最小值为_________.
解: ∵,∴.
∵
∴
≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值为6. 点评: 上面的方法为消去元后,利用基本不等式求得最值.
例41. 已知为正实数,且,求的最大值.
解: ∵为正实数
∴
≤.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最大值为.
另解: ∵,∴.
∵为正实数
∴
≤.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最大值为.
例42. 求函数的最大值.
解: 设,则≥0,∴.
∴.
当,即时,;
当,即时,≤.
当且仅当,即时,取等号.
∴当时,函数的最大值为.
综上所述,函数的最大值为.
例43. 设正实数满足,则当取得最大值时,代数式的最大值为 【 】
（A）0 （B）1 （C） （D）3
解: ∵,∴.
∵为正实数
∴≤.
当且仅当,即时,等号成立,此时.
∴≤1
∴当时,的最大值为1.
∴选择答案【 B 】.
例44. 若正数满足,则的最大值是 【 】
（A） （B） （C）2 （D）
解: ∵≥
∴≤30,∴≤2.
∴的最大值是2.
∴选择答案【 C 】.
例45. 设,且≥0恒成立,则实数的最小值等于 【 】
（A）0 （B）4 （C） （D）
解: ∵≥0恒成立
∴≥恒成立.（这里,注意）
只需≥即可,此时取得最小值.
∵
∴≥,当且仅当时,等号成立.
∴≤,∴
∴≥,即的最小值为.
∴选择答案【 C 】.
例46. 设,且≥恒成立,求的取值范围;
解: ∵,∴.
∵≥恒成立
∴≥恒成立,只需≤即可.
∵
≥
∴当且仅当时,等号成立,.
∴≤4.
∴的取值范围是.
例47. 对于任意R,不等式恒成立,求实数的取值范围.
解: ∵恒成立
∴恒成立,只需即可.
.
设,则,.
∵,且在上单调递增
∴,即.
∴,即实数的取值范围是.
注意 本题不能用基本不等式求最值.当时,方程无解.
例48. 设,,则的最大值为_________.
解: ∵
≤.
当且仅当,即时,取等号.
∴的最大值为18.
∵
∴的最大值为.
例49. 已知,,则的最小值是 【 】
（A）7 （B）9 （C）5 （D）11
解: ∵,∴.
∵
∴≥
∴≥2,∴≥9.
∴的最小值是9.
∴选择答案【 B 】.
另解: ∵,∴.
∵
∴≥.
∴的最小值是9.
∴选择答案【 B 】.
例50. 若关于的不等式≥5在上恒成立,则实数的最小值为_________.
解: ∵,∴.
∵≥5恒成立
∴只需≥5即可.
∵≥
当且仅当,即时,等号成立.
∴
∴≥5,解之得:≥1.
∴实数的最小值为1.
例51. 已知,且,则的最小值为_________.
解: ∵
∴
∴.
∵
∴
≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴,即的最小值为.
例52. 已知,且,求的最小值.
解: ∵
∴.
∵
∴≥,即≥
∴≥0
∴≥0
解之得:≥.
∴≥,当且仅当时,等号成立.
∴的最小值为.
例53. 已知为正数,则的最大值为 【 】
（A）1 （B）2 （C） （D）
解: ∵为正数
∴≤
.
当且仅当时,等号成立.
∴的最大值为.
∴选择答案【 C 】.
例54. 设,则的最小值是 【 】
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解: ∵,∴.
∴
≥.
当且仅当,即时,等号成立.
∴的最小值是4.
∴选择答案【 D 】.
例55. 设都是正数,且.
（1）求的最小值;
（2）求的最小值.
分析: 关于（1）的解决,参见例52.
解:（1）∵
∴.
∵都是正数
∴≥,即≥.
∴≥0.
解之得:≥.
∴≥.
当且仅当时,等号成立.
∴的最小值为;
（2）由（1）知:.
∵都是正数
∴≤.
（当且仅当时取等号）
∴≥,≥0.
∴≥0.
解之得:≥.
当且仅当时,等号成立.
∴的最小值为.