3.1 函数的概念及其表示-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解（含答案）

函数的概念及其表示知识点总结与例题讲解
本节主要知识点
（1）函数的概念.
（2）函数的三要素与函数相等.
（3）区间的概念及其表示.
（4）函数的表示法.
（5）分段函数.
（6）函数的图象变换.
知识点一 函数的概念
初中学习的函数的传统定义
一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量和,对于的每一个值,都有唯一的值与之对应,我们就说是自变量,是因变量,此时也称是的函数.
函数的近代定义
设A , B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称:为从集合A到集合B的一个函数,记作
,.
其中,叫作自变量,的取值范围A叫做函数的定义域;与的值相对应的值叫作函数值,函数值的集合叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集.
对函数的近代定义的理解
（1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的.
如就不是函数.
（2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性.
任意性:集合A中的任意一个元素都要考虑到.
存在性:集合A中的任意一个元素,在集合B中都存在对应元素.
唯一性:在集合B中,与每一个元素对应的元素是唯一的.
（3）集合B不一定是函数的值域,值域是集合B的子集.
在集合B中,可以存在元素在集合A中没有与之对应者.
例1. 讨论二次函数的定义域和值域.
解:二次函数的一般式为,为整式函数,所以其定义域为R,其值域的确定分为两种情况:
①当时,函数的值域为;
②当时,函数的值域为.
注意:上面讨论二次函数值域的结果是定义在实数集R上的,若二次函数的定义域是R的子集,则其值域的确定要结合二次函数的性质和图象的简图来确定.经过后面的学习可以知道,求函数的值域前要先确定函数的定义域.
知识点二 函数的三要素
函数的三要素分别是定义域、对应关系和值域.
在函数的三要素中,只要定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了.
定义域 使函数解析式有意义或使实际问题有意义的的取值范围.
确定函数定义域时,要从两个方面考虑:
（1）使函数解析式有意义;
（2）符合客观实际.
对应关系 用表示,对应关系又叫对应法则,它是函数的本质特征,是沟通定义域和值域的桥梁.对应关系的作用相当于对自变量施以某种运算,类似于程序的作用.
值域 在函数的定义域内,所有对应的函数值的集合,叫做函数的值域.
例2. 讨论反比例函数的定义域和值域.
解:反比例函数的定义域为,值域为.
与的区别与联系
表示当时的函数值,是其值域内的一个值,它表示的是常量;表示自变量为的函数,它表示的是变量.
如表示的是一个函数,是它的一个函数值,是常量.
知识点三 具体函数的定义域的确定方法
所谓具体函数,指的是给出解析式的函数,与之相对的是抽象函数.根据函数解析式的特点来确定函数的定义域:
（1）如果函数解析式是整式,则函数的定义域是全体实数,即R.
（2）如果函数解析式中含有分式,则函数的定义域是使分式的分母不等于零的实数集;
（3）如果函数解析式中含有二次根式,则函数的定义域是使二次根式的被开方数为非负数的实数集;
（4）如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则函数的定义域是使底数不等于零的实数集.
（5）如果函数解析式含有上述两种或两种以上的结构特点,则函数的定义域是使每一部分有意义的实数集的交集.
（6）如果函数解析式是由实际问题得到的,则函数的定义域还要符合客观实际.
知识点四 函数的相等
只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.
对函数的相等理解时要注意:
（1）当一个函数的定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了,所以当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,两个函数才相等,即表示同一个函数.
（2）定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.
（3）定义域和值域分别相同的两个函数,不一定相等.
如函数与函数的定义域都是R,值域都是R,但它们表示的不是同一个函数,两个函数不相等.
（4）因为函数是两个非空数集之间的对应关系,所以与用什么字母表示自变量,用什么字母表示因变量没有关系.
如函数与函数表示的就是同一个函数.
（5）对中的理解:如果两个函数解析式的右边相同,但施加关系的对象不同,两个函数也不相等.
如函数和函数表示的就不是同一个函数.
例3. 下列各组函数表示同一函数的是【 】
（A）,
（B）,
（C）,
（D）,
分析:这是判断两个函数相等的问题.只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.所以,当两个函数的定义域和对应关系二者中只要有一个不相同,两个函数就不相等.
解:（A）选项中,函数的定义域为R,函数的定义域为,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;
（B）选项中,两个函数的定义域和对应关系都相同,所以它们是同一函数,与用哪个字母表示自变量没有关系;
（C）选项中,函数为常数函数,其图象为一条平行于轴的直线,其定义域为R,函数的定义域为,它们的定义域不相同,所以它们不是同一函数;
（D）选项中,函数与函数的定义域均为R,但二者的对应关系不相同,它们不是同一函数.
选择【 B 】.
例4. 求下列函数的定义域:
（1）; （2）;
（3）; （4）.
分析:例4给出的三个函数均为具体函数,求具体函数的定义域的方法是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合,要表示成集合的形式或区间的形式.
解:（1）由题意可知:,即,解之得:≤0且.
∴函数的定义域为;
（2）由题意可知:,解之得:.
∴函数的定义域为;
（3）由题意可知:,即,解之得:≤1且.
∴函数的定义域为;
（4）由题意可知:,即
解之得:≤≤或≤≤.
∴函数的定义域为.
注意:
（1）函数的定义域要表示成集合或区间的形式.
（2）若函数的解析式为综合型,则定义域为解析式各部分有意义的交集.若交集在数轴上表示有两部分,则这两部分之间用“或”字.
知识点五 区间的概念及其表示
设是两个实数,且,规定:
（1）满足不等式≤≤的实数的集合,叫做闭区间,表示为;
（2）满足不等式的实数的集合,叫做开区间,表示为;
（3）满足不等式≤或≤的实数的集合,叫做半开半闭区间,分别表示为,.
这里的实数叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时,包含端点的那一端用中括号表示,不包含端点的那一端用小括号表示.
区间的数轴表示（几何表示）
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间

开区间

半开半闭区间

半开半闭区间

实数集R可以用区间表示为.“”读作“无穷大”,“”读作“负无穷大”,“”读作“正无穷大”.
把满足不等式,≥,,≤的实数的集合,分别表示为,,,.
定义 符号 数轴表示


≥



≤

对区间的概念及其表示的理解:
（1）区间用来表示连续的数集,并不是所有的集合都可以用区间来表示,如集合就不能用区间来表示.
（2）区间的左端点必须小于右端点.
（3）区间符号里的两个字母或数字之间用“,”隔开.
（4）在将连续的数集表示为区间时,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用小括号表示.
（5）在用数字表示区间时,包含端点的,画成实心点,不包含端点的,画成空心点.
（6）若为区间的左端点,为区间的右端点,则把叫做区间的长度.区间的长度必须大于0.（因为）
（7）连续的数集既可以用集合表示,也可以用区间来表示.
例5. 函数的定义域是【 】
（A） （B）
（C） （D）
分析:不等式（组）的解集为连续的数集时,既可以用集合表示,也可以用区间来表示.在用区间表示数集时,一定要弄清是否包含端点,包含端点的用中括号表示,不包含端点的,用小括号表示.
解:由题意可知:,即,解之得:≥3且.
∴函数的定义域用集合表示为,用区间表示为.
选择【 B 】.
知识点六 复合函数与抽象函数
复合函数的概念
如果是的函数,记为,又是的函数,记为,且的值域与的定义域的交集非空,那么通过的联系也是自变量的函数,我们称为的复合函数,记为.其中叫做中间变量,叫做内层函数, 叫做外层函数.
对复合函数概念的理解
由复合函数的定义可知,内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子集,外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域.
例6. 下列函数中,是复合函数的是【 】
（A） （B）
（C） （D）
分析:判断一个函数是不是复合函数,就是看它是否是两个函数复合而成的.
解:函数是由函数和两个函数复合而成的,是复合函数.选择【 B 】.
抽象函数的概念
没有给出具体解析式的函数,叫做抽象函数.
知识点七 求抽象函数或复合函数的定义域
理解抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点:
（1）函数的定义域是自变量的范围.
（2）函数的定义域是自变量的范围,而不是的范围.
（3）、两个函数中,、在对应关系下的范围相同.
求抽象函数或复合函数定义域的方法
（1）已知的定义域为,求的定义域,其实质是的取值范围为,求的取值范围;
（2）已知的定义域为，求的定义域,其实质是已知中的的取值范围为,求的范围（值域）,此范围就是的定义域.
（3）已知的定义域,求的定义域,要先按（2）求出的定义域.
例7. 已知函数,则函数的定义域为【 】
（A） （B）
（C） （D）
分析:本题需要根据具体函数的解析式,先求出函数的定义域,然后再确定抽象函数的定义域:函数中自变量的取值范围与的范围相同,从而列出关于的不等式（组）,解集即为函数的定义域.
解:∵函数
∴,解之得:≥且.
∴函数的定义域为.
对于函数,则有:
,解之得:≥且.
∴函数的定义域为.
选择【 B 】.
例8. 已知的定义域为,则的定义域为_________.
分析:函数的定义域为,指的是的取值范围是,而不是的范围.
先根据,求出的范围,此范围即为函数的定义域.
解:∵的定义域为
∴≤≤3,根据二次函数的知识可得:≤≤8
∴的定义域为.
例9. 若函数的定义域为,则函数的定义域为__________.
分析:本题为已知已知的定义域,求的定义域,要先确定的定义域.
解:∵函数的定义域为
∴≤≤2,∴≤≤
∴≤≤3
∴函数的定义域为.
对于函数,则有:
,解之得:≤≤4
∴函数的定义域为.
知识点八 求函数的函数值
（1）若函数为具体函数,把自变量的值代入函数解析式即可求得对应额函数值;
（2）求抽象函数的函数值,常采用赋值法求求解.
例10. 已知,.
（1）求和;
（2）求,;
（3）若,求.
分析:函数的本质是对应关系,表示的是对括号里的内容施以某种运算.
计算的值时,应从内到外依次计算.
解:（1）,;
（2）
;
（3）∵
∴,,解之得:.
例11. 已知函数对任意实数,都有成立.
（1）求,的值;
（2）若（为常数）,求的值.
解:（1）∵函数对任意实数,都有
∴令,则有:
∴.
令,则有:
∴.
（2）∵
∴
∴.
例12. 已知函数的定义域为,对任意正实数都有,且,则_________.
解:∵,且
∴令,则有:,∴.
令,则有:
∴.
知识点九 求函数的值域
求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法、判别式法、反表示法等.
方法1 观察法
通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域.
如函数,因为≥1,所以≤1,即该函数的值域为.
方法2 配方法
常用于求二次函数的值域.通过配方把二次函数化为顶点式,结合函数的定义域来求函数值域的一种方法.
注意:在求函数的值域时,要先确定函数的定义域.
方法3 分离常数法
形如的函数常用分离常数法求值域.分离过程为:
∵,∴
所以函数的值域为.
方法4 换元法
形如的函数常用换元法求值域.具体做法是:先令（≥0）,用表示出,并标明的取值范围,并代入函数解析式,将表示成关于的二次函数,最后用配方法求出值域.
用换元法求函数的值域时,注意换元后要标明新元的取值范围.
方法5 图象法
有些函数的图象比较容易画出,可以通过其图象得出函数的值域.
方法6 判别式法
形如（中至少有一个不为0）的函数常用判别式法求值域.具体做法是:先把函数转化为关于的一元二次方程,然后通过方程有实数根,判别式≥0,求出的取值范围,即为原函数的值域.（注意对二次项系数的讨论）.
方法7 反表示法
根据函数解析式用表示出,根据原函数中的取值范围列出关于的不等式,不等式的解集即为原函数的值域.
例13. 求函数的值域.
分析:采用观察法求其值域.
解:∵≥0（≥0）
∴≥
∴函数的值域为.
例14. 求函数的值域,其中.
分析:求二次函数的值域常用配方法.通过配方把函数的一般式转化为顶点式,根据自变量的取值范围并结合二次函数图象的简图求解.
解:∵
∴函数图象的顶点坐标为( 1 , 2 )
∵,1
∴函数的最小值为2.
∵
∴函数的值域为.
例15. 求函数的值域.
分析:求形如的函数的值域,常用分离常数法.
解:
∵,∴
∴函数的值域为.
例16. 函数的值域为__________.
分析:形如的函数常用换元法求值域.
解:令,则≥0
∴
∴
∵≥0,
∴随的增大而增大
∴当时,,无最大值.
∴≥.
∴函数的值域为.
注意:用换元法求函数的值域时,必须要根据已知函数的定义域求新元的取值范围,
例17. 求下列函数的值域:
（1）;（2）.
分析:对于形如（中至少有一个不为0）的函数,若分子、分母能进行因式分解并化简,在化简后再求其值域;若不能化简,常用判别式法求其值域.
要求会用十字相乘法分解二次三项式.
解:方法一（分离常数法）:∵
∴（且）.
∵,∴
当时,
∴函数的值域为.
方法二（反表示法）:由上面的方法得到:（）
∴（）
∵,∴,解之得:
∴函数的值域为.
（2）∵
∴整理得:.
当时,,不符合题意,舍去;
当时,∵函数的定义域为R
∴≥0,解之得:≤≤2.
综上,函数的值域为.
例18. 已知函数,求函数的值域.
分析:先把函数解析式里面的绝对值去掉,化为分段函数的形式,然后画出函数的图象,由图象得出函数的值域.
解:∵
∴,其图象如图所示.
由图象可知,函数的只有为.
例19. 求函数的值域.
解:方法一（配方法）:∵
∴
∵≥,∴≤∴≤
∴函数的值域为.
方法二（判别式法）:∵
∴,整理得:
∵函数的定义域为R
∴关于的方程有实数根.
当时,,不符合题意,舍去;
当时,有≥0,解之得:≤≤1
综上,≤
∴函数的值域为.
★例20. 已知的值域为,试求的值域.
解:∵的值域为
∴≤≤,∴≤≤,∴≤1≤
∴≤≤.
令,则,∴
∴.
∵,∴随着的增大而增大.
∴当时,
当时,
∴的值域即的值域为.
知识点十 函数的表示法
函数的表示法有三种,分别是解析法、图象法和列表法.
解析法
用数学表达式来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法,记作.
这个数学表达式叫做函数解析式、函数表达式或函数关系式.
解析法是不是函数的一种重要方法,这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了两个变量之间的数量关系.
图象法
在平面直角坐标系中,用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.
图象法能形象、直观地反映因变量随自变量的变化趋势,从“形”的方面刻画了两个变量之间的数量关系.
函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.
列表法
列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.
列表法的优点是不用通过计算,就可以得出与自变量对应的函数值.
知识点十一 分段函数
分段函数的定义
有些函数在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数.
关于分段函数:
（1）分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.注意各段函数定义域的交集为空集;
（2）分段函数的值域是各段函数值域的并集;
（3）分段函数包括几段,它的图象就有几条曲线组成.采用“分段作图”法画分段函数的图象:在同一平面直角坐标系中,依次画出各段函数的图象,这些函数的图象组合在一起就是分段函数的图象;
（4）分段函数是一个函数,而不是几个函数;
（5）分段函数在书写时要用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式,并在各段解析式的后面标明相应的自变量的取值范围;
（6）处理分段函数问题时,首先要确定自变量的取值在哪一段函数的区间内,再选取相应的对应关系.
几种常见的分段函数
1.取整函数（表示不大于的最大整数）.
其图象如图（1）所示.
2.绝对值函数 含有绝对值符号的函数.如函数,其图象如图（2）所示,为一条折线.
解决绝对值函数的问题时,先把绝对值函数化为对应的分段函数,然后分段解决.
3.自定义函数
如函数为自定义的分段函数,其图象如图（3）所示.
4.符号函数
符号函数,其图象如图（4）所示.
符号函数的性质: .
说明:函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线或离散的点.
分段函数的常见题型
1.求分段函数的函数值.
求分段函数的函数值的方法是:先确定自变量的值属于哪一个区间段,然后代入该段的解析式求值.当出现的形式时,应从内到外依次求值.
例1. 已知函数,则的值为【 】
（A） （B）2 （C）4 （D）11
解:∵,∴,∴
∵,∴,∴.【 C 】.
习题1. 已知函数,则【 】
（A）0 （B） （C） （D）1
2.已知分段函数的函数值,求自变量的值.
方法是:先假设函数值在分段函数的各段上取得,解关于自变量的方程,求出各段上自变量的值.
注意:所求出的自变量的值应在相应的各段函数定义域内,不在的应舍去.
例2. 已知函数,若,则_________.
解:当时,,解之得:,不符合题意,舍去;
当时,,解之得:,其中,舍去,∴
综上,.
习题2. 已知函数,若,则的值是【 】
（A） （B）2或
（C）2或 （D）2或或
习题3. 已知,若,则实数的值等于________.
3.求分段函数自变量的取值范围
在分段函数的前提下,求某条件下自变量的取值范围的方法是:先假设自变量的值在分段函数的各段上,然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范围,再求它们的并集即可.
例3. 已知函数,求使成立的的取值范围.
解:由题意可得:
或
解不等式组得:1≤;
解不等式在得:或
∴使成立的的取值范围为.
习题4. 已知,则不等式≤2的解集为【 】
（A） （B） （C） （D）
习题5. 设函数,则不等式的解集是_______.
习题6. 函数,若,则实数的取值范围是_____.
例4. 已知,函数,若,则的值为_________.
解:当,即时,
∴,
∵
∴,解之得:,不符合题意,舍去;
当,即时,
,
∵
∴,解之得:,符合题意.
综上,的值为.
习题7. 设,若,则_________.
习题8. 设,,则当时,【 】
（A） （B） （C） （D）
习题9. 设函数,若,则实数的值为【 】
（A） （B）
（C）或 （D）或
4.求分段函数的定义域
分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.
例5. 函数的定义域是_________.
解:由各段函数的定义域可知该分段函数的定义域为.
5.求分段函数的值域
分段函数的值域是各段函数值域的并集.
对于某些简单的分段函数,可画出其图象,由图象的最高点和最低点求值域（图象法）.
例6. 设R,求函数的值域.
解:当≥1时,;
当0≤时,;
当时,.
综上所述,
其图象如图（5）所示,由图象可知其值域为.
另解:由上面可知:
当≥1时,函数的值域为;
当0≤时,函数的值域为;
当时,函数的值域为.
∴函数的值域为.
例7. 若R,函数是这两个函数值中的较小者,则函数的最大值为【 】
（A）2 （B）1 （C） （D）无最大值
解:解不等式≥得:≤≤1
∴当≤≤1时,,其值域为;
解不等式得:或
∴当或时,,其值域为
综上所述,
函数的值域为
∴函数在其值域内的最大值为1.
函数的图象如图（6）所示.
习题10. 若函数,则函数的值域是【 】
（A） （B） （C） （D）
习题11. 函数的值域是【 】
（A）R （B） （C） （D）
习题12. 已知函数.
（1）用分段函数的形式表示该函数;
（2）画出该函数的图象;
（3）写出该函数的值域.
习题13. 已知函数.
（1）画出函数的图象;
（2）求,的值;
（3）当≥2时,求的取值范围.
知识点十二 函数的图象变换
函数图象的平移变换
在平面直角坐标系中,函数图象的平移变换分为上下平移变换和左右平移变换两种.图象变换后,函数的解析式也发生了有规律的变化.
（1）上下平移变换
将函数的图象沿轴方向向上或向下平移个单位长度,得到函数的图象,即遵循“上加下减”的原则.
（2）左右平移
将函数的图象沿轴方向向左或向右平移个单位长度,得到函数的图象,即遵循“左加右减”的原则.
例1. 将函数的图象向上和向下平移2个单位长度,画出平移后的函数的图象.
解:函数,即函数.
将函数的图象向上平移2个单位长度,得到函数的图象,如图（1）所示;将函数的图象向下平移2个单位长度,得到函数的图象,如图（2）所示.
例2. 将函数的图象向左平移1个单位长度,画出平移后的函数的图象.
解:将函数的图象向左平移1个单位长度,得到函数的图象,如图（3）所示.
说明:在图（3）中,反比例函数的图象无限趋近于轴和轴,但不相交.因此把轴和轴叫做双曲线的两条渐近线.所以,函数的图象的两条渐近线分别是轴和直线.
例3. 将函数的图象向右平移1个单位长度,画出平移后的函数的图象.
解:将函数的图象向右平移1个单位长度,得到函数的图象,如图（4）所示.
函数图象的对称变换
在同一平面直角坐标系中,下列函数图象的对称关系为:
（1）函数与函数的图象关于轴对称;
（2）函数与函数的图象关于轴对称;
（3）函数与函数的图象关于原点对称（即关于原点成中心对称）.
根据以上两个函数图象的对称关系,作出其中一个函数的图象,可以作出相应的另一个函数的图象.
例4. 已知函数的图象如图（5）所示,画出函数的大致图象.
解:∵ ,∴先作出函数的图象关于轴对称的函数的图象,如图（6）所示,再把函数的图象向右平移1个单位长度,即可得到函数的图象,如图（7）所示.
函数图象的翻折变换
在同一平面直角坐标系中,通过对函数图象的翻折变换,可以得到函数和的图象.
（1）要作出函数的图象,可先作出函数的图象,然后保留轴上及其上方的图象,把轴下方的图象翻折到轴上方即可;
（2）要作出函数的图象,可先作出函数的图象,然后保留轴上及其右侧的图象,把轴右侧的图象翻折到轴左侧即可.
例5. 画出函数的大致图象.
解:
先作出函数然后把函数向左平移1个单位长度,得到函数的图象,再把函数的图象向上平移2个单位长度,即可得到函数的大致图象,如图（8）所示.
说明:在图（8）中,直线和直线是函数的图象的两条渐近线.
例6. 作出函数的大致图象.
解:先作出函数的图象,然后把轴下方的图象翻折到轴上方即可得到函数的图象,如图（9）所示.
说明:事实上,函数为绝对值函数,可化为分段函数:
.
例7. 作出函数的大致图象.
解:先作出函数的图象,然后保留其在轴上及其右侧的图象,把轴右侧的图象翻折到轴左侧即可得到函数的图象,如图（10）所示.
说明:事实上,.
习题1. 若方程有四个互不相等的实数根,则实数的取值范围是________.
提示:根据数形结合思想,构造两个函数:和常数函数,将方程的根的个数转化为两个函数图象的交点个数问题.
习题2. 将函数的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得的图象对应的函数解析式为________________.
习题3. 画出函数的图象,并根据图象指出函数的值域.
知识点十三 求函数的解析式
求函数的解析式的方法
（1）待定系数法; （2）换元法; （3）配凑法; （4）解方程组法;
（5）赋值法.
一、待定系数法
已知函数的类型,求函数的解析式，用待定系数法.
例1. 已知一次函数满足,求函数的解析式.
解:设函数
∵
∴
∴,解之得:或
∴或.
例2. 已知是一次函数,且满足,求函数的解析式.
解:设函数,则:
,
∵
∴
整理得:
∴,解之得:
∴.
例3. 已知函数是二次函数,且满足,,求函数的解析式.
解:设
∵
∴
∴
∵
∴
∴,解之得:
∴.
二、换元法
已知函数的解析式,求函数的解析式，用换元法.
例4. 已知函数,则的解析式为____________.
解:设,则(≥1)
∴(≥1)
∴(≥1). （第二种解法见例8）
注意:使用换元法求函数解析式,换元后要标明新元的取值范围,即函数的定义域.
例5. 已知函数,求及.
解:设,则(R)
∴
∴
∴.
例6. 已知函数,求函数的解析式.
解:由可知:.
设,则(
∴
∴(.
三、配凑法
已知函数的解析式,求某些函数的解析式，也可用配凑法.
例7. 已知函数,求函数的解析式.
解:∵
∴
∴.
例8. 已知函数,则的解析式为____________.
解:∵
∴
∵≥1
∴(≥1).
例9. 已知,求函数的解析式.
解法1（配凑法）∵
∴
∵
∴().
解法2（换元法）:
四、解方程组法
已知中含有或形式的函数,求函数的解析式,用解方程组法.
例10. 已知函数满足,则函数的解析式为____________.
解:∵
∴用替换上式中的,得到:
解方程组得:
.
例11. 定义在区间上的函数满足,求函数的解析式.
解:∵,∴
∵
∴用替换上式中的,得到:
解方程组得:
.
五、赋值法
求抽象函数的解析式用赋值法.
例12. 设是R上的函数,且满足,并且对任意的实数都有:
,求的解析式.
解:设,∵
∴
∴.