4.1指数-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解（含答案）

指数知识点总结与例题讲解
本节知识点
（1）整数指数幂;
（2）根式;
（3）分数指数幂;
（4）有理数指数幂;
（5）无理数指数幂.
知识点一 整数指数幂
1.正整数指数幂的定义:,其中N*.
2.正整数指数幂的运算法则:
（1）(N*);
（2）（且N*）;
（3）(N*);
（4）(N*);
（5）（N*）.
3.两个规定
（1）任何不等于零的数的零次幂都等于1.即.
零的零次幂没有意义.
（2）任何不等于零的数的（为正整数）次幂,等于这个数的次幂的倒数.即:
.
零的负整指数幂没有意义.
知识点二 根式的概念及其性质
1.次方根
（1）定义 一般地,如果（且N*）,那么叫做的次方根.
（2）性质:
①当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数,这时,的次方根用表示;
②当为偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数,表示为.负数没有偶次方根;
③0的任何次方根都是0,记作.
2.根式的定义 形如（且N*）的式子叫做根式,其中叫做根指数,叫做被开方数.
对根式的理解,要注意以下几点:
（1）且N*;
（2）当为奇数时,R;
（3）当为偶数时,≥0.
根式（且N*）的符号的确定:由的奇偶性和被开方数的符号共同确定.
（1）当为奇数时,的符号与的符号相同;
（2）当为偶数时,≥0,为非负数.
3.根式的性质:
（1）;
（2）对于,当为奇数时,;当为偶数时,.
与的联系与区别:
（1）对于,当为奇数时,R;当为偶数时,≥0.而对于,是一个恒有意义的式子,不受的奇偶性的限制,但式子的值受到的奇偶性的限制.
（2）当为奇数时, .
知识点三 分数指数幂
1. 规定正数的正分数指数幂的意义是
（,N*,且）
于是在条件,N*,且下,根式都可以写成分数指数幂的形式.
2. 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿,规定
（,N*,且）
3. 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
对分数指数幂的理解:
（1）分数指数幂不能理解为个相乘,它是根式的一种新的写法;
（2）分数指数不能随意约分.
如,事实上,,式子是有意义的;而在实数范围内是没有意义的.
（3）在保证相应的根式有意义的前提下,负数也存在分数指数幂.
如上面提到的,但没有意义.
所以对于分数指数幂,当≤0时,有时有意义,有时无意义.因此,在规定分数指数幂的意义时,要求.
知识点四 有理数指数幂
规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.
整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂同样适用:
（1）（Q）;
（2）（Q）;
（3）（Q）.
有理数指数幂的运算还有如下性质:
（4）（Q）;
（5）（Q）.
常用结论:
（1）当时,;
（2）若则;
（3）若（,且）,则;
（4）乘法公式适用于分数指数幂.
如（）.
知识点五 无理数指数幂
一般地,无理数指数幂（,是无理数）是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.
知识点六 运用公式进行指数幂的运算（条件求值）
常用公式:
（1）平方差公式 .
（2）完全平方公式 .
（3）立方和公式 .
（4）立方差公式 .
（5）完全立方和公式 .
（6）完全立方差公式 .
常用公式变形:
（1）,.
（2）,.
或者写成,.
（3）;
.
例题讲解
例1. 已知,求的值.
分析:采用整体思想方法,对所求式子进行合理变形,然后把条件整体代入求值.本题用到的公式和结论有:
;
.
解:∵
∴,∴.
∴.
∴.
例2. 已知,求下列各式的值:
（1）; （2）; （3）.
分析:在求的值时,直接入手比较困难,我们可以先求出的值,然后在进行开平方运算.
解:（1）∵
∴,∴;
（2）;
（3）∵
∴.
例3. 已知,其中,求的值.
分析:要学会根式与分数指数幂的相互转化,在转化时要注意:根指数是分数指数的分母,被开方数（或式）的指数是分数指数的分子.
解:∵
∴,∴,∴.
∴
∵,∴,∴.
∴.
例4. （1）已知,求的值;
（2）已知,且,求的值;
解:（1）∵
∴,∴.
∴;
（2）∵
∴
∵,∴,∴
∴.
例5. 已知,求的值.
分析:借助于分式的性质.
解:∵
∴,.
∴
.
解法二:∵
∴
.
例6. （1）当时,求的值;
（2）若,求的值.
分析: 结论 对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全平方数.
本题中,,被开方数不是完全平方数,所以不能化简,当确有.
解:（1）∵
∴
;
（2）∵
∴
.
另解:解例5的解法一.
题型一 整数指数幂的运算
例7. 已知（为常数,且Z）,求的值.
分析:因为,所以先由条件求出的值.
完全立方和公式 .
解法一:∵
∴
∴
.
解法二:（完全立方和公式）
∵
∴,展开得:.
整理得:,∴.
∴.
例8. 已知,则_________.
解:∵
∴
∴
∴.
解法二分析:使用平方差公式得.
解法二:∵
∴
∴.
∴.
例9. 若,求的值.
解:∵（这里）
∴,∴.
∵,∴.
∴
.
解法二:∵
∴
∴
∴.
例10. 已知,则【 】
（A）2 （B）2或
（C） （D）或
分析:题目的隐含条件为.
解:∵
∴,∴
∵
∴.选择【 C 】.
例11. 已知,则【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:（换元法）设,则有
∴
∴,∴.
∴.选择【 B 】.
解法二（凑整法）:∵
∴,∴.
∴.
题型二 根式的化简
在进行根式的化简时,主要用到的是根式的性质:
（1）;
（2）对于,当为奇数时,;当为偶数时,.
注意 对于,当为奇数时,R;当为偶数时,≥0.而对于,是一个恒有意义的式子,不受的奇偶性的限制,但式子的值受到的奇偶性的限制.
例12. 化简下列各式:
（1）;
（2）（≥1）.
解:（1）原式;
（2）.
∵≥1
∴当1≤≤3时,原式;
当时,原式.
例13. 化简:
（1）; （2）（≤）.
分析:对于（1）,要对的奇偶性进行分类讨论.
解:（1）当为奇数时,;
当为偶数时,;
（2）.
注意:当底数为正数时,其分数指数可以约分.
例14. 求下列各式的值:
（1）;
（2）.
分析: 结论 对于二次根式,若是完全平方数,则也是完全平方数.
根据此结论,可知,,均可以化为完全平方的形式.
解:（1）原式;
（2）原式
.
总结 形如（）的双重二次根式的化简,一般是将其化为的形式,然后再化简.由得:
所以是一元二次方程的两个实数根.
例15. 化简.
解:.
例16. 计算:.
解:原式.
注意 在利用根式的性质进行的化简时,一定要注意当为偶数时,底数的符号.
例17. 化简下列各式:
（1）（）;
（2）（）.
解:（1）∵
∴原式;
（2）∵,∴
∴原式
.
例18. 求值_________.
解:令,则有
,.
∴,∴
设,则,有
,∴,
∴
∵,∴,∴.
∴.
解法二:设,则有
,∴
∴,
∵,∴,∴
∴.
例19. 根据已知条件求值:
（1）已知,求的值;
（2）已知是方程的两根,且,求的值.
解:（1）∵
∴原式
;
（2）∵是方程的两根
∴
∴
∵,∴
∴.
∴.
（2）解法二:∵是方程的两根,∴
∴.
∵,∴,∴
∴.
例20. 已知,N*,求的值.
解:∵
∴.
∴
∴.
例21. 已知函数,.
（1）证明:在上是增函数（已知在R上是增函数）;
（2）分别计算和的值,由此概括出函数和对所有不等于0的实数都成立的一个等式,并加以证明.
（1）证明:任取,且
∴
∵,且,在R上是增函数
∴
∴,∴
∴在上是增函数;
（2）解:
.
同样求得.
猜想:.
证明:
.
例22. 当,且时,求的值.
解:∵,且
∴,
∴
∴,.
∴.
题型三 根式与分数指数幂的互化
在进行根式与分数指数幂的互化时要注意两个对应:
（1）根指数对应分数指数的分母;
（2）被开方数（或式）的指数对应分数指数的分子.
当出现多重根号时,应从里向外化简.
例23. 用根式或分数指数幂表示下列各式:
,,,;.
解:;
;
;
;
.
例24. 将根式化为分数指数幂是【 】
（A） （B） （C） （D）
解:选择【 A 】.
例25. 化简:_________.（用分数指数幂表示）
解:由题意可知:.
∴原式.
例26. 设,化简:.
解:∵
∴.
例27. 下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:（A）,故（A）错;
（B）,故（B）错;
（D）,故（D）错. 选择【 C 】.
例28. 下列各式正确的是【 】
（A）; （B）
（C） （D）
解:（A）,故（A）错;
（B）,故（B）错;
（C）,故（C）错. 选择【 D 】.
题型四 根式和分数指数幂有意义的条件
1.对于次根式,当为奇数时,R;当为偶数时,≥0.
2.0的0次幂和负实数幂都没有意义.
例29. 若有意义,则的取值范围是__________.
解:∵
∴,解之得:.
即的取值范围是.
例30. 函数的定义域是【 】
（A） （B）
（C） （D）
解:∵
∴,解之得:且.
∴该函数的定义域为.选择【 D 】.
题型五 幂的运算
目前,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,整数指数幂的运算性质适用于实数指数幂的运算.
运算的结果可以化成根式形式或者保留分数指数幂的形式,但不能既有根式又有分数指数幂,也不能同时含有分母和负指数幂.
（1）（R）;
（2）（R）;
（3）（R）.
例31. 计算下列各式（式中的字母均为正数）:
（1）;
（2）.
解:（1）原式;
（2）原式
例32. 化简下列各式:
（1）;
（2）.
解:（1）原式;
（2）原式
.
例33. 化简:.
解:原式
例34. 化简下列各式:
（1）; （2）.
解:（1）原式;
（2）原式
例35. 【 】
（A） （B） （C） （D）0
解:.
选择【 A 】.
例36. 化简:_________.
解:原式.
例37. _________.
解:原式.
例38. 已知,则的值是_________.
解:∵
∴原式
.
例39. 已知函数,则_________.
解:
.
题型六 解含幂的方程
例40. 解下列方程:
（1）; （2）.
解:（1）,
∴,解之得:;
（2）,设,则
∴,
解之得:（舍去）.
∴,∴.
结论 若（,且）,则
题型七 指数幂等式的证明 设参数法
例41. 设都是正数,且,求证:.
证明:设,则有.
∵
∴,∴
等式两边同时乘以2得:.
例42. 设,且,则_________.
分析:这是指数幂的连等式,参数已经给出.
解:∵,∴.
∵
∴,∴,.
∵,∴.
例43. 已知,且.
求证:.
证明:设,则.
∴.
∵,∴
∴,
∵
∴.
例44. 对于正整数（≤≤）和非零实数,若,
,求的值.
解:设,则有.
∴
∵,∴.
∵为正整数,且≤≤
∴
∴或
当时,,不符合题意,舍去.
∴.
本节易错题
例45. 计算_________.
分析 对于对于,当为奇数时,;当为偶数时,.
解:原式.
例46. 化简_________.
分析:题目的隐含条件为.
解:原式.
例47. 已知,N*,化简.
解:当为奇数时,原式;
当为偶数时,原式.
∵,∴原式.
其它
例48. 已知函数,则_________.
解:∵
∴.
例49. 已知集合,,且,则_______.
解:
根据集合元素的互异性,,∴
∴
∴,解之得:.
∴3.
例50. 设,若,则
_________.
解:∵
∴
∴
.